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- 2021-11-11 发布
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第22章 一元二次方程
22.1 一元二次方程
1.你还记得什么叫方程?什么叫方程的解吗?
2.什么是一元一次方程?它的一般形式是怎样的?
一般形式:ax+b=0 (a≠0)
3.我们知道了利用一元一次方程可以解决生活中的一些实际
问题,你还记得利用一元一次方程解决实际问题的步骤吗?
1.审;2.设;3.列;4.解;5.验;6.答.
问题1 某地为增加农民收入,需要调整农作物种植结构,
计划2018年无公害蔬菜的产量比2016年翻一翻,要实现这一
目标,2017年和2018年无公害蔬菜产量的年平均增长率应是
多少?
1.根据以往的经验,你想用什么知识来解决这个实际问题?
方程
一元二次方程及其一般形式1
?思考
2.如图,如果假设无公害蔬菜产量的年平均增长率是x,2016
年的产量为a,那么2017年无公害蔬菜产量为 ,
2018年无公害蔬菜产量为 .
a+ax=a(1+x)
a(1+x)+a(1+x)x=a(1+x)2
3.你能根据题意,列出方程吗?
a(1+x)2=2a
把以上方程整理,得 .x2+2x-1=0 (1)
2016 2017 2018
问题2 在一块宽20m、长32m的矩形空地上,修筑宽相等的
三条小路(两条纵向,一条横向,纵向与横向垂直),把
矩形空地分成大小一样的六块,建成小花坛.如图要使花坛
的总面积为570m2,小路的宽应为多少?
32
20 x
?思考
1.若设小路的宽是xm,那么横
向小路的面积是______m2,纵
向小路的面积是 m2,
两者重叠的面积是 m2.
32x
2×20x
2x2
2.由于花坛的总面积是570m2.
你能根据题意,列出方程吗?
整理以上方程,得
32×20-(32x+2×20x)+2x2=570
x2-36x+35=0 (2).
32
20 x
?想一想
还有其他的列法吗?试说明原因.
(20-x)(32-2x)=570
32-2x
20-x
32
20
请观察下面两个方程并回答问题:
x2+2x-1=0 x2-36x+35=0
(1)它们是一元一次方程吗?
(2)与一元一次方程有何异同?
(3)通过比较你能归纳出这类方程的特点吗?
★类比发现,探索新知
1.等号两边都是整式
2.只含有一个未知数
3.未知数的最高次数是2
特点
a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0)
二次项系数
一次项系数
常数项
(4)通过与一元一次方程的对比,你能给这类方程取个合
理的名字吗?
a x 2 + b x + c = 0
1.完成下表.
方 程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
4x2=3x
(x-1)2-9=0
x(x+2)=3(x+2)
4x2-3x=0
x2-2x-8=0
x2-x-6=0
4 -3 0
1 -2 -8
1 -1 -6
2.下列方程中哪些是一元二次方程,并说明理由.
x+2=5x-3 x2=4
2x2-4=(x+2)2
3.方程(2a-4)x2-2bx+a=0在什么条件下为一元二次方程?
不是 是
是
不是
解:当2a-4≠0,即a≠2时,该方程为一元二次方程.
议一议 :通过以上习题的练习的情况,你认为在确定一元
二次方程的各项系数及常数项的时候,需要注意哪些?
(1)在确定一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常
数项时必须把方程化为一般形式才能进行.
(2)二次项系数、一次项系数以及常数项都要连同它前面
的符号.
(3)二次项系数a≠0.
判断未知数的值x= -1,x=0,x=2是不是方程x2-2=x的根.
一元二次方程的根2
1.判断下列各题括号内未知数的值是不是方程的根:
x2-3x+2=0 (x1=1, x2=2 ,x3=3)
2.构造一个一元二次方程,要求:
(1)常数项为零;(2)有一根为2.
解:当x1=1时,x2-3x+2=1-3+2=0,所以x1=1是该方程的根;
当x2=2时,x2-3x+2=4-6+2=0,所以x2=2是该方程的根;
当x3=3时,x2-3x+2=9-6+2=5≠0,所以x3=3不是该方程的根.
解:x2-2x=0.
3.已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3,求a
的值.
解:把x=3代入方程x2+ax+a=0,得
32+3a+a=0,
9+4a=0,
4a=-9,
4. 已知关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根为1,
求a+b+c的值.
解:由题意,得
思考:若 a+b+c=0,你能通过观察求出方程ax2+bx+c=0 (a≠0)
的一个根吗?
解:∵
∴方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根是1.
拓展 :若 4a+2b +c=0 ,你能通过观察求出方程ax2+bx+c=0
(a≠0)的一个根吗? x=2
★一元二次方程及其一般形式
★一元二次方程的根