华师版数学九年级下册课件-第26章 二次函数-26二次函数的图象与性质 26页

HS九(下) 教学课件 26.2 二次函数的图象与性质 第1课时 二次函数y=ax2+k的图象与性质 2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 已知二次函数 ① y=-x2; ② y= x2; ③ y=15x2; ④ y=-4x2; ⑤ y= - x2; ⑥ y=4x2. (1)其中开口向上的有 (填题号)； (2)其中开口向下，且开口最大的是 (填题号)； (3)当自变量由小到大变化时，函数值先逐渐变大，然后 逐渐变小的有 (填题号). 3 5 9 10 ②③⑥ ⑤ ①④⑤ 这个函数的图象 是如何画出来的？ x y 21 840y x   解：先列表. x ··· －3 －2 －1 0 1 2 3 ··· ··· ··· ··· ··· 在同一直角坐标系中，画出二次函数 与 的图象． 21 2y x 21 12y x  21 2y x 21 12y x  9 2 11 2 2 1 2 0 1 2 2 9 2 3 3 2 1 3 2 3 11 2 二次函数y=ax2+k的图象与性质1 例1 x y -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 21 2y x 21 12y x  描点、连线，画出这两个函数的图象 抛物线 ， 的开口方向、对称轴和顶点各 是什么？ 21 2y x 21 12y x  21 2y x 21 12y x  二次函数 开口方向 顶点坐标 对称轴 向上 向上 （0,0） （0,1） y轴 y轴 想一想：通过上述例子，函数y=ax2+k的性质是什么？ 观察与思考 y -2 -2 4 2 2 -4 x0 二次函数y=ax2+k的图象和性质(a＜0) 在同一坐标系内画出 下列二次函数的图象： 2 21 3y x  2 2 1 23y x   2 1 1 3 2y x   21 3y x  2 2 1 23y x   2 1 1 3 2y x   根据图象回答下列问题: (1)图象的形状都 是 . (2)三条抛物线的开口方 向_______; (3)对称轴都是 __________; 抛物线 向下 直线x=0 y -2 -2 2 2 -4 x0 2 2 1 23y x   21 3y x  2 1 1 3 2y x   (4)从上而下顶点坐标分别是 _____________________; (5)顶点都是最____点，函数都有 最____值，从上而下最大值分 别为_______、_______﹑______; (6)函数的增减性都相同： ____________________________, ____________________________. ( 0,0)( 0，2) ( 0,-2) 高 大 y=0 y= -2y=2 对称轴左侧y随x增大而增大 对称轴右侧y随x增大而减小 -2 -2 2 2 -4 x0 2 2 1 23y x   21 3y x  2 1 1 3 2y x   y 二次函数y=ax2+k（a ≠ 0）的性质 y=ax2+k a＞0 a＜0 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴 y轴 顶点坐标 （0,k） （0,k） 最值 当x=0时，y最小值=k 当x=0时，y最大值=k 增减性 当x＜0时，y随x的增大 而减小；x＞0时，y随x 的增大而增大. 当x＞0时，y随x的增大 而减小；x＜0时，y随x 的增大而增大. 已知二次函数y＝ax2+c,当x取x1，x2（x1≠x2）时， 函数值相等，则当x＝x1+x2时，其函数值为________. 解析：由二次函数y＝ax2+c图象的性质可知，x1，x2 关于y轴对称，即x1+x2＝0.把x＝0代入二次函数表达 式求出纵坐标为c. c 方法总结： 二次函数y＝ax2+c的图象关于y轴对称， 因此左右两部分折叠可以重合，函数值相等的两点的 对应横坐标互为相反数． 例2 做一做：在同一直角坐标系中，画出二函数y=2x2+1与 y=2x2-1的图象． 解：列表如下. x ··· －2 －1.5 －1 0 1 1.5 2 ··· y =2 x2＋1 ··· ··· y = 2x2－1 ··· ··· 9 5.5 3 1 3 5.5 9 7 3.5 1 －1 1 3.5 7 二次函数y=ax2+c的图象及平移3 4－2 2 2 4 6 －4 8 10 －2 y = 2x2＋1 y = 2x2－1 (1)抛物线y=2x2+1,y=2x2-1的开口 方向、对称轴和顶点各是什么？ y =2 x2 向上 (0,0) y轴 y =2 x2＋1 y = 2x2－1 二次函数 开口方向 顶点坐标 对称轴 向上 向上 (0,1) (0,-1) y轴 y轴 4－2 2 2 4 6 －4 8 10 －2 y = 2x2＋1 y = 2x2－1 (2) 抛物线 y=2x2+1,y=2x2-1与抛物 线y=2x2 有什么关系？ 可以发现，把抛物线y=2x2 向 平移1个单位长 度，就得到抛物线 ；把抛物线 y=2x2 向 平 移1个单位长度，就得到抛物线 y=2x2-1. 下y=2x2+1 上 解析式 y=2x2 2x2+1 y=2x2+1y=2x2-1 +1-1 点的坐标 函数对应值表 x … … y=2x2-1 … … y=2x2 … … y=2x2+1 … … 4.5 -1.5 3.5 5.5 -1 2 1 3 x 2x2 2x2-1 (x, ) (x, ) (x, )2x2-1 2x2 2x2+1 从数的角度探究 二次函数y=ax2+k的图象及平移4 可以看出，y=2x2 向___ 平移一个单位长度得到 抛物线y=2x2+1 5 3 2 1 -6 -4 -2 2 4 6 12 2  xy 22xy 4 o -1 122 xy 可以看出，y=2x2 向___ 平移一个单位长度 得到抛物线y=2x2-1 x y从 形 的 角 度 探 究 上 下 二次函数y=ax2+c的图象可以由 y=ax2 的图象平移 得到： 当c > 0 时,向上平移c个单位长度得到. 当c < 0 时,向下平移-c个单位长度得到. 二次函数y=ax2 与y=ax2+c（a ≠ 0）的图象的关系 u上下平移规律： 平方项不变，常数项上加下减. 二次函数y＝－3x2＋1的图象是将(　　) A．抛物线y＝－3x2向左平移3个单位得到 B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位得到 C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位得到 D．抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到 解析：二次函数y＝－3x2＋1的图象是将抛物线 y＝－3x2向上平移1个单位得到的．故选D. D 想一想 1.画抛物线y=ax2+c的图象有几步？ 第一种方法：平移法，两步即第一步画y=ax2的图 象，再向上（或向下）平移︱c ︱单位. 第二种方法：描点法，三步即列表、描点和连线. a决定开口方向和大小；c决定顶点的纵坐标. 如图，抛物线y＝x2－4与x轴交于A、B两点，点 P为抛物线上一点，且S△PAB＝4，求P点的坐标． 解：抛物线y＝x2－4，令y＝0，得到x＝2或－2， 即A点的坐标为(－2，0)，B点的坐标为(2，0)， ∴AB＝4. ∵S△PAB＝4，设P点纵坐标为b， ∴ ×4|b|＝4，∴|b|＝2，即b＝2或－2. 当b＝2时，x2－4＝2，解得x＝± ， 此时P点坐标为( ，2)，(－ ，2)； 当b＝－2时，x2－4＝－2，解得x＝± ， 此时P点坐标为( ，2)，(－ ，2)． 1 2 6 6 6 2 2 2 例3 1、抛物线y=2x2向下平移4个单位，就得到抛 物线 ．　　 2、填表： y = 2x2－４ 函数 开口方向 顶点 对称轴 有最高（低）点 y = ３x2 y = 3x2＋1 y = -4x2－5 向上 向上 向下 （0,0） (0,1) (0,-5) y轴 y轴 y轴 有最低点 有最低点 有最高点 3.已知（m,n)在y=ax2+a（a不为0）的图象上，(-m,n) ___（填“在”或“不在”）y=ax2+a（a不为0）的图 象上. 4. 若y=x2+（k-2）的顶点是原点，则k____；若顶点 位于x轴上方，则k____；若顶点位于x轴下方，则 k . 在 =2 >2 <2 5.不画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题： （1）抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线 y=-x2. （2）函数y=-x2+1，当x 时， y随x的增大而减小； 当x 时，函数y有最大值，最大值y是 ， 其图象与y轴的交点坐标是 ，与x轴的交点 坐标是 . （3）试说出抛物线y=x2-3的开口方向、对称轴和顶点坐 标. 向下平移1个单位. >0 =0 1 (0,1) (-1,0),(1,0) 开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标（0，-3）. 6.对于二次函数y=(m+1)xm2-m+3,当x>0时y随x的增大而 增大，则m=____. 7.已知二次函数y=(a-2)x2+a2-2的最高点为（0，2）则 a=____. 8.抛物线y=ax2+c与x轴交于A（-2,0）﹑B两点，与y轴 交于点C(0，-4),则三角形ABC的面积是_______. 2 -2 8 9.二次函数y=ax2+c与一次函数y=ax+c的图象在同一坐 标系中的是 ( )B x y 0 x y 0x y 0 x y 0 A B C D 二次函数y=ax2+k（a≠0)的图象和性质 图 象 性 质 与y=ax2的关系 1.开口方向由a的符 号决定； 2.k决定顶点位置； 3.对称轴是y轴. 增减性结合 开口方向和 对称轴才能 确定. 平移规律： k正向上； k负向下.