北师大版数学九年级上册同步课件-2第二章-2用因式分解法求解一元二次方程 16页

第二章 一元二次方程 2.4 用因式分解法求解一元二次方程 1.了解因式分解法的解题步骤,会用因式分解法解一元二次方程. （重点） 2.能根据具体一元二次方程的特征,灵活选择方程的解法.（难点） 学习目标 我们知道ab=0，那么a=0或b=0，类似的解方程（x+1）（x－1） =0时，可转化为两个一元一次方程x+1=0或x-1=0来解，你能求 （x+3）（x－5）=0的解吗？ 问题：一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等, 这个数是几？你是怎样求出来的？ 小颖、小明、小亮都设这个数为x.根据题意,可得方程 x2 = 3x. 由方程 x2 = 3x ,得 x2 - 3x = 0. 因此 , x1 = 0, x2 = 3. 所以这个数是0或3. 小颖的思路： 小明的思路： 2 93 x 方程 x2 = 3x 两边 同时约去x, 得 x = 3 . 所以这个数是3. 因式分解法解一元二次方程1 小亮的思路： 由方程 x2 = 3x ,得 x2 - 3x = 0， 即 x (x - 3) = 0 . 于是 x = 0 , 或 x - 3 = 0. 因此 x1 = 0 , x2 = 3. 所以这个数是0或3. 小亮想： 如果a·b= 0,那么 a=0 或 b=0. 问题：他们做得对吗？为什么？ ★ 因式分解法的概念 ★因式分解法的基本步骤 一移-----方程的右边=0; 二分-----方程的左边因式分解; 三化-----方程化为两个一元一次方程; 四解-----写出方程两个解; 简记歌诀： 右化零 左分解 两因式 各求解 当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个 一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这 种用分解因式解一元二次方程的方法称为因式分解法. 解下列方程： （1）5x2 = 4x ; （2）x (x - 2)= x – 2 . 5 4 解：5x2 - 4x = 0, x (5x - 4) = 0. ∴x = 0 或 5x – 4 =0. ∴ x1 = 0 , x2= . 解：x (x - 2) – (x - 2)= 0, (x - 2) ( x - 1) = 0. ∴x – 2 = 0 或 x - 1= 0. ∴ x1 = 2 , x2=1. 结论：（1）对于一元二次方程（x - p）（x - q）=0,那么它的两个实数根 分别为p、q. （2）对于已知一元二次方程的两个实数根为p、q，那么这个一元二次方程 可以写成（x - p）(x - q )=0的形式. 例1 解下列方程： （1）（2x + 3）2 = 4 (2x + 3) ; （2）(x - 2) 2 = (2x + 3) 2. 解：（2x + 3）2 - 4 (2x + 3) =0 , (2x + 3) (2x + 3 - 4) = 0, (2x + 3) (2x - 1) = 0. ∴ 2x + 3 = 0 或 2x - 1 = 0. . 2 1 , 2 3- 21  xx 解：（x - 2）2 - (2x + 3) 2 =0, ( x -2+ 2x+ 3) (x -2 - 2x - 3)=0, (3x + 1)(x + 5) = 0. ∴ 3x + 1 = 0 或 x + 5 = 0. .5 , 3 1- 21  xx 练一练： 用适当的方法解方程： （1）3x（x + 5）= 5（x + 5）； （2）（5x + 1）2 = 1； 分析：该式左右两边可以提取公因式， 所以用因式分解法解答较快. 解：化简 (3x -5) (x + 5) = 0. 即 3x - 5 = 0 或 x + 5 = 0. 1 2 5 , 5.3x x    分析：方程一边以平方形式出现， 另一边是常数，可直接开平方法. 解：开平方,得 5x + 1 = ±1. 解得 x 1= 0 , x2 = 灵活选用方法解方程2 例2 （3）x2 - 12x = 4 ； （4）3x2 = 4x + 1. 分析：二次项的系数为1，可用配 方法来解题较快. 解：配方,得 x2 - 12x + 62 = 4 + 62, 即 (x - 6)2 = 40. 开平方,得 解得 x1= , x2= 分析：二次项的系数不为1，且不能直 接开平方，也不能直接因式分解，所 以适合公式法. 解：化为一般形式 3x2 - 4x + 1 = 0. ∵Δ=b2 - 4ac = 28 > 0, 填一填：各种一元二次方程的解法及适用类型. 一元二次方程的解法 适用的方程类型 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解 x2 + px + q = 0 （p2 - 4q ≥0） (x+m)2＝n（n ≥ 0） ax2 + bx +c = 0(a≠0 , b2 - 4ac≥0) (x + m) （x + n）＝0 1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax2+c=0）， 应选用直接开平方法； 2.若常数项为0（ ax2+bx=0），应选用因式分解法； 3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0），先化为一 般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因 式分解法，不然选用公式法； 4.不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法 也较简单. ★ 解法选择基本思路 1.快速说出下列方程的解： （1）（4x - 1）(5x + 7) = 0; x1 =（ ）, x2= ( ). （2） (x - 2)(x - 3) = 0; x1 =（ ）, x2 = ( ). （3）（2x + 3）(x - 4) = 0. x1 =（ ）, x2 = ( ). 2.将下面一元二次方程补充完整. （1）（2x- ）( x + 3) = 0; x1= , x2= - 3. （2） (x- )(3x - 4) = 0; x1= 2 , x2= . （3）（3x+____）(x + ) = 0. x1= , x2= -5. 4 1 5 7 2 3 2 3 4 2 5 3 4 3 1 5 1 2 -1 5    2 21 3 6 3 2 4 121 0.x x x    　　 ；　　　 　　 解：化为一般式为 因式分解，得 x2－2x+1 = 0. ( x－1 )( x－1 ) = 0. 有 x － 1 = 0 或 x － 1 = 0， ∴x1=x2=1. 解：因式分解，得 ( 2x + 11 )( 2x－ 11 ) = 0. 有 2x + 11 = 0 或 2x － 11= 0， 1 2 11 11, .2 2x x    3.解方程： 5. 如图，把小圆形场地的半径增加5 m得到大圆形场地，场地 面积增加了一倍，求小圆形场地的半径． 解：设小圆形场地的半径为r. 根据题意 ，得 ( r + 5 )2×π=2r2π. 因式分解，得   5 2 5 2 0.r r r r     于是， 2 +5 0 2 5 0.r r r r    或 1 2 5 5, ( ). 2 1 1 2 r r     舍去 答：小圆形场地的半径是 5 m. 2 1 因式分 解法 概 念 步 骤 简记歌诀： 右化零 左分解 两因式 各求解 如果a ·b=0，那么a=0或b=0原 理 将方程左边 因式分解， 右边=0 因式分解的方法有 ma+mb+mc=m(a+b+c); a2 ±2ab+b2=(a ±b)2； a2 -b2=(a +b)(a -b)