第3章 第2节 机械能-2021年初中物理竞赛及自主招生大揭秘专题突破 13页

第二节 机械能 自然界中的能量有很多，诸如电能、内能、化学能、核能等。机械能是重力势能、弹性势能和 动能的总称。 一、重力势能 1．重力做功的特点 当物体上升或者下降时，重力就会对物体做功，重力所做的功对 应着物体与地球之间能量的变化。如图 5.28 所示，我们分别计算物体 m 沿不同路径从 1h 高度运动至 2h 高度时，重力做的功。 物体沿 AB 下落时，有  1 2ABW mg h h  。 物体沿 AC 下落时，设 AC 与水平方向夹角为  ，则  cos 90AC ACW mg s     ，因为   2 1cos 90 sinAC ACs s h h      ，因此  1 2ACW mg h h  。 可见， AB ACW W ，无论物体沿着竖直方向下落，还是沿着倾斜直线下落，重力所做的功都等 于重力大小与下降高度的乘积。这个结论可以用来求解沿 AD 下降时重力的功 ADW 。 将曲线 AD 分割成无限多的微元段，则每一个微元段可以视为倾斜的直线，微元段的竖直高度 分别为 1h ， 2h ， 3h ，…，则    1 2 3 1 2 3 1 2ADW mg h mg h mg h mg h h h mg h h                综上可知，重力做功与物体的移动路径无关，只与物体的初、末位置的高度差有关，可以用 ABW mg h  来计算重力做的功，其中 h 表示物体在初、末位置的高度差，如果物体有一定的形 状和大小，则 h 表示物体的重心在初、末位置的高度差。 2．重力势能的定义 重力做功时，对应着物体能量的变化。这种能量是由于物体与地球之间存在引力作用，而该种 引力(重力)做功又与路径无关，只与初、末位置有关，物体和地球间的这种由相对位置决定的能叫做 重力势能。重力势能是物体和地球所共有的，为了叙述方便，可以说成是某一物体的重力势能。 重力势能的计算公式为 pE mgh ，在国际单位制中，重力势能的单位是焦( J )。式中 h 是物体 重心相对某个参考平面(零势能面)的高度，选择不同的参考平面，物体的高度 h 不同，物体的重力势 能也就不同，所以物体的重力势能具有相对性。但是物体从一个高度运动到另一高度，重力势能的 变化量是绝对的，跟参考平面的选取无关，例如，质量为 m 的物体从房顶落到地面，下落高度为 h ， 不论选择怎样的参考平面，该物体的重力势能总是减少 mg h 。 例 1 (上海第 27 届大同杯初赛)两个完全相同的正方体均匀物块，分别沿各自虚线切割掉一半， 将剩余部分 a 和b 按照图 5.29 所示位置摆放在同一水平面上，两物块的重力势能的比较结果为( )。 A． a 比较大 B．b 比较大 C．一样大 D．无法判断 分析与解 a 和b 质量相同，比较它们重力势能的大小，只需比较两者 的重心高度即可。设原来正方体的边长为 h ，则 a 的重心高度为 4a hh  。b 的重心高度等于图中等腰直角三角形的重心高度，而三角形的重心在底边中线上，且重心距底边的 距离为 1 3 的中线长度，因此b 重心的高度 2 1 2 0.2362 3 6b hh h h    ，显然，选项 A 正确。 例 2 一根质量为 m 、长为 L 的均匀链条一半放在光滑的水平桌面上，另一半挂在桌边，桌面 足够高，若在链条两端和中央各挂一个质量为 2 m 的小球，如图 5.30 所示。由静止释放，当链条刚离 开桌面时，重力做功为________，系统重力势能变化量为________。 分析与解 本题若要计算链条与铁球系统的重心下降高度，则较为烦琐，现利用“等效法”来 处理。画出链条刚离开桌面时的位置如图 5.31 所示，并与链条的初始状态相比较，可见，原来位于 链条中部和底部的两铁球的 B ，C 相当于后来的 D ，E 位置，其间的链条 BC 位置也相当于 DE 位 置，未发生变化。整个链条下落的过程仅相当于桌面上的铁球 A 运动到了最低处 F ，以及 AB 间的 链条运动到了 EF 处。由此，铁球 A 下降的高度为 L ，链条 AB 的重心下降了 3 4 L ，则重力做的功 为 3 7 2 2 4 8 mg mg L mgLW L    ，系统重力势能减少了 7 8 mgL 。 二、弹性势能 弹性势能是指物体由于发生弹性形变而具有的能量，拉伸的橡皮筋、被拉伸或被压缩的弹簧都 具有弹性势能。弹性势能用 pE 表示，单位是焦耳。 对弹簧而言，在弹性限度内，弹簧的弹力 F 与其形变量 x 成正比，即 F kx 。利用 F x 图像， 可以得出弹簧的弹性势能 pE 与形变量 x 的关系。 如图 5.32(a )所示，设弹簧在原长位置时的弹性势能为零。向右缓慢拉动弹簧时，弹簧的弹性势 能的大小就等于弹簧克服拉力所做的功，也就是等于拉力对弹簧所做的功。由于拉力等于弹簧弹力， 可画出拉力 F 随弹簧形变量 x 的关系，如图 5.32( b )所示，当弹簧形变为l 时，图下方三角形的面积 即为拉力所做的功： 21 2W kl ，则弹簧的弹性势能为 2 p 1 2E kl ，其中 k 为弹簧的劲度系数。 三、动能 动能是指物体由于运动而具有的能量，大小等于质量与速率平方乘积的一半，即 2 k 1 2E mv ， 动能的单位是 J (焦耳)。 注意动能公式中的“ v ”是指速度的大小，即速率，当物体只是速度方向改变时，动能不变。 动能没有方向，不能误以为物体运动的方向就是动能的方向。由于速度的大小与参考系有关，所以 动能也具有相对性。 例 3 某地强风的风速约为 20m/sv  ，空气密度 31.3kg/m  (即体积为 31m 的空气质量为 1.3kg )，如果把通过横截面积为 220ms  的风能全部转化为电能，则利用上述物理量计算电功率 的公式 P  ________，产生的电功率的大小约为________。 分析与解 经过时间t ，有长度为l vt 的空气柱通过截面 s ，如图 5.33 所示，则t 时间内通过截面 s 的空气柱体积为V sl svt  ，空气柱的质量 m V svt   ，空气柱的动能 2 k 31 1 2 2E mv tsv  ，由于风的动能全 部 转 化 为 电 能 ， 得 电 功 率 3k 1 2 EWP svt t    ， 代 入 数 据 可 得 51 10 WP   。 四、机械能和机械能守恒 在物理学中，重力势能、弹性势能和动能统称为机械能。机械能是用来表示物体的机械运动状 态的物理量，一个物体可能同时具有动能、重力势能等，物体的机械能就是这些能量的总和。对于 一般的单个运动物体，我们考虑其动能和重力势能比较多，因此通常情况下所说的物体的机械能往 往是动能与重力势能之和。 不同形式的机械能之间可以相互转化，比如物体从高处下落时重力势能可以转化为动能，压缩 的弹簧把木块弹开时弹性势能转化为动能等，实现这种相互转化的条件是做功。当只有重力或者是 弹簧的弹力做功时，物体(包括弹簧)的机械能总和保持不变，即机械能守恒。机械能守恒是指动能和 势能相互转化但总和不变，即势能的变化量等于动能的变化量。 在分析物体机械能转化情况时，尤其要注意机械能是只在一个物体内转化，还是在不同的物体 之间转化。 例 4 如图 5.34 所示，小球从 A 点自由落下，在 B 点恰与竖立在地面上的弹簧 接触，并在C 点将弹簧压缩得最短，计空气阻力，则下列说法正确的是( )。 A．小球从 A 点下落到 B 点的过程中，小球机械能守恒 B．小球从 A 点下落到 C 点的过程中，小球机械能守恒 C．小球在 B 点速度达到最大 D．小球在 C 点时弹簧的弹性势能小于小球在 A 点时的重力势能 分析与解 小球从 A 点下落到 B 点的过程中，不考虑空气阻力，则只有重力做功，小球的重力 势能减少，动能增加，减少的重力势能全部转化为小球的动能，因此，这个过程小球的机械能守恒， A 选项正确。小球从 A 到 C 的过程中，小球在 A 点和在 C 点速度均为零，小球减少的重力势能最 终并未转化为小球的动能，而是转化为弹簧的弹性势能，因此，小球的机械能减少，减少的那一部 分机械能转化为弹簧的弹性势能，选项 B 错误。小球到达 B 点时，弹簧还未被压缩，小球在 B 点还 要加速，当弹簧的压缩量很小时，弹簧对小球的弹力也很小，小于重力，那么小球仍要向下加速， 可见， B 点并不是小球速度最大的位置，速度最大的位置(弹力等于重力的位置)应在 B ， C 两点之 间，选项 C 错误。当小球到达 C 点时，弹簧被压缩得最短，小球速度为零，小球在 A 点时的重力势 能转化为弹簧的弹性势能与小球在C 点的重力势能，因此，选项 D 正确。本题正确选项为 AD。 例 5 如图 5.35 所示，一根质量分布均匀的木杆竖直立在水平地面上，在木杆 倾倒过程中底部没有滑动，不计空气阻力。以地面为重力势能零点，则动能恰好与 重力势能相等时，木杆与水平地面间的夹角为( )。 A．15° B．30° C．45° D．60° 分析与解 木杆在倒地过程中，其机械能守恒。设木杆质量为 m ，长为 L ，则 木杆初始状态动能为 0，重心高度为 1 2 L ，重力势能为 1 2 mgL ，因此初始状态下的机械能为 1 1 2E mgL ，设木杆动能与重力势能相等时，木杆与水平面的夹角为 ，则其重心高度为 1 sin2 L  ， 重力势能为 1 sin2 mgL  ，此时的机械能为 2 12 sin sin2E mgL mgL    。由杆的机械能守恒， 得 1 2E E ，即 1 sin2 mgL mgL  ，显然 1sin 2   ， 30   。选项 B 正确。 五、功和能量变化的关系 能量是一个状态量，一定的状态对应一定的能量；功是一个过程量，物体由一个状态变化到另 一个状态，对应的能量发生了变化，这一个过程一定涉及做功；做功多少则能量变化多少。功和能 的关系是：功是能量变化的量度。 1．重力做功和重力势能变化的关系 设一个质量为 m 的物体，如果初状态时的高度为 1h (相对于某一位置)，重力势能为 1mgh ；末状 态时的高度为 2h ，重力势能为 2mgh ，这一过程中，重力做的功 1 2mgW mgh mgh  。 由上式可得： (1)若 1 2h h ，表示物体高度下降，重力做正功， 1 2mgh mgh ，即重力势能减少；若 1 2h h ， 表示物体高度上升，重力做负功， 1 2mgh mgh ，即重力势能增加。 (2)只要始末位置一定，即 1h ， 2h 一定，不管经过哪一路径，重力做的功 mgW 就是一定的，即重 力做功跟路径无关。 2．外力做功和物体动能变化的关系 设一个质量为 m 的物体，初状态时的速度为 1v ，在恒定的外力 F 的作用下，发生一段位移 s ， F 的方向与速度方向相同，末状态时的速度为 2v ，则有外力做的功 2 2 2 1 1 1 2 2W Fs mv m   ，如果 物体受几个力，上述结论仍正确，但W 是所有外力对物体做的功的代数和。上式表示：外力对物体 做的功等于物体动能的增量。这一结论叫做动能定理。 从上式可得：合外力是动力，物体的动能就增加，增加的动能等于动力对物体所做的功。合外 力是阻力，物体的动能就减小，物体克服阻力做的功等于物体动能的减少量。 例 6 (上海第 27 届大同杯初赛)如图 5.36 所示，一个质量为 m 的圆环在一根固定的水平粗糙直 杆上，现给环一个向右的初速度 0v ，如果在运动过程中还受到一个方向始终竖直向上的力 F 的作用， 已知力 F 的大小 F kv ( k 为常数， v 为环的运动速度)，物体的动能与速度的关系为 2 k 1 2E mv ， 则环在整个运动过程中克服摩擦力所做的功(杆足够长)可能为( )。 A． 2 0 1 2 mv B．0 C． 3 2 2 0 2 1 2 2 m gmv k  D． 3 2 2 0 2 1 2 2 m gmv k  分析与解 本题中由于力 F 与速度有关，因此杆对环的弹力 N 也在发生变化，则环受到的摩擦 力大小也随速度变化，直接求解环克服摩擦力做的功有困难。由于环运动过程中只有摩擦力做功， 则环克服摩擦力做的功等于其动能的减少量。下面分情况讨论环的运动情况： ①若初始时 F mg ，即 0kv mg ， 0 mgv k  ，则杆对环的弹力 0N  ，滑动摩擦力为零，环 恰以速度 0 mgv k  做匀速直线运动，克服摩擦力做功为零。选项 B 正确。 ②若初始时 F mg ，即 0 mgv k  ，则杆对环的弹力 N F mg  ，方向垂直于杆向下，环受 滑动摩擦力，因此环将减速，而随着环速度的减小，力 F 逐渐减小，当力 F 减小到 F mg 时，即 环的速度 mgv k  时，杆对环的弹力 0N  ，滑动摩擦力为零，此后环保持这个速度做匀速直线运 动，因此环克服摩擦力做功为 3 2 2 2 2 0 0 2 1 1 1 2 2 2 2f m gW mv mv mv k     ，选项 C 正确。 ③若初始时 F mg ，即 0 mgv k  ，则杆对环的弹力 N mg F  ，方向垂直于杆向上，环受 滑动摩擦力而减速，随着环速度的减小，力 F 逐渐减小，而弹力 N 逐渐增大，滑动摩擦力逐渐增大， 直至环速度减为零。因此，环克服摩擦力做功为 2 0 0 1 102 2fW mv mv   ，选项 A 正确。 综上所述，本题正确选项为 ABC 。 3．外力做功与机械能变化的关系 如果除了重力(和弹力)外，还有其他外力对物体做功，则物体的机械能不守恒，机械能和其他形 式能之间发生转化。若其他力做正功，物体的机械能增加；其他力做负功，物体的机械能减少。用W其他 表示重力和弹簧弹力以外的力做的功， 1E ， 2E 分别表示物体初、末状态的机械能，则有 2 1W E E 其他 ，即除重力、弹力以外的其他力做的功等于物体机械能的增加量。 例 7 (上海第 30 届大同杯初赛)滑块以某初速度从固定的粗糙斜面底端向上运动，然后又滑回 到斜面底端，若滑块向上运动的距离中点为 A ，取斜面底端重力势能为零，则滑块( )。 A．上滑过程机械能减小，下滑过程机械能增大 B．上滑过程机械能减小，下滑过程机械能也减小 C．上滑至 A 点时动能大于重力势能 D．下滑至 A 点时动能大于重力势能 分析与解 设滑块的质量为 m ，受到的摩擦力为 f ；滑块上滑的高度为 H ，通过的路程为 L 。 根据能量关系，滑块在最开始具有的动能为 mgH fL 。当滑块上滑至斜面中点 A 时，具有的重力 势能为 2 mgH ；具有的动能为   2 2 2 2 mgH fL mgH fLmgH fL         。所以，此时动能大于重 力 势 能 。 当 滑 块 下 滑 至 斜 面 中 点 A 时 ， 具 有 的 重 力 势 能 为 2 mgH ； 具 有 的 动 能 为 2 2 2 2 mgH fL mgH fLmgH        。所以，此时动能小于重力势能。本题正确选项为 BC 。 利用功能关系，可以求解变力做的功，即只需要确定变力所做的功等于哪些能量的变化，求出 这些能量的增减情况，就可以得出变力做功的值。 例 8 (上海第 27 届大同杯初赛)如图 5.37 所示，容器的质量为 m ，若从容 器的底部通过小孔向容器内注入质量为 M 的水，需要做功为W 。现将小孔打 开，水自然会从小孔流出，与此同时提升容器，使容器内的水面相对地面始终保持原有高度，当容 器内的水全部流走时，需要做的功为( )。 A． M m gH W  B． M m gH C． M m gH W  D． M m gH W  分析与解 本题中的变力较为复杂，所做的功也显然无法用第一节中求变力做功的几种方法求 解，因此可以考虑利用功能关系来求解。通过小孔向容器内注入质量为 M 的水，需要做功为W ， 设这些水的重心高度为 0h ，则水的重力势能 0Mgh W ，即 0 Wh Mg  。当提升容器，使得水面高度 恒为 H 时，实际上相当于将水的重心提高了 0H h 的高度，因此要对水做功  1 0W Mg H h  ， 而容器最终被提升的高度为 H ，因此对容器做的功 2W mgH ，所以，提升容器时需要做的总功为    1 2 0W W W mgH Mg H h M m gH W        总 ，选项 D 正确 。 练习题 1．长为 L 的细绳，一端被固定于O 点，另一端系住一个质量为 m 的小球，若 让小球从图 5.38 中的 A 点下摆至最低位置 B 点，小球的重力势能减少了( ) A． sinmgL  B． cosmgL  C．  1 sinmgL  D．  1 cosmgL  2．下列有关动能的叙述，正确的是( )。 A．甲、乙两物体质量之比为 1 2: 2:1m m  ，它们的速度之比为 1 2: 1: 2v v  ，则两物体的动能 是相等的 B．甲、乙两物体质量之比为 1 2: 2:1m m  ，它们的速度之比为 1 2: 1: 2v v  ，则两物体的动能 之比为 4：1 C．甲、乙两物体质量之比为 1 2: 4:1m m  ，它们的速度之比为 1 2: 1: 2v v  ，则两物体的动能 之比为 2：1 D．甲、乙两物体质量之比为 1 2: 4:1m m  ，它们的速度之比为 1 2: 1: 4v v  ，则两物体的动能 之比为 1：4 3．(上海第 7 届大同杯复赛)一只垒球以某一速度飞向木栅栏，会被木栅栏弹回来，而一辆汽车 以相同的速度撞向这一栅栏，木栅栏就会被汽车撞坍，这是因为汽车( )。 A．具有较大的势能 B．具有较大的动能 C．具有较大的弹性 D．具有较大的功率 4．(上海第 9 届大同杯复赛)如图 5.39 所示，用倾斜放置的传送带将货物 匀速地自低处运送到高处。在这一过程中，货物的重力势能不断增加。这是因为( )。 A．静摩擦力做功 B．重力做功 C．支持力做功 D．动能转化为势能 5．(上海第 10 届大同杯复赛)两辆汽车分别在水平公路和盘山公路上行驶，如果它们的牵引力相 同，当它们行驶了相同的路程后，汽车牵引力所做的功分别为 1W 和 2W ，则( )。 A． 1 2W W B． 1 2W W C． 1 2W W D．条件不足，无法比较 6．(上海第 31 届大同杯初赛)如图 5.40 所示，弹簧开始处于原长，在物体 A 由静止释 放后下降的过程中( )。 A．物体的动能与下降的距离成正比 B．物体重力势能的变化量与下降的距离成正比 C．弹簧的弹性势能与下降的距离成正比 D．物体的重力势能与弹簧的弹性势能之和先减小，后增大 7．(上海第 29 届大同杯初赛)将小球竖直上抛，然后又落回到抛出点。小球向上过程的中点为 A ， 取抛出点的重力势能为零。若该球在整个过程所受的空气阻力大小不变，则小球( )。 A．上升过程损失的机械能大于下降过程损失的机械能 B．上升过程损失的机械能等于下降过程损失的机械能 C．上升至 A 点时的动能大于势能 D．下落至 A 点时的动能大于势能 8．(上海第 27 届大同杯初赛)关于功、功率和机械效率相互关系的说法中，正确的是( )。 A．机械效率越高，机械做功越快 B．做功越多的机械，机械效率越高 C．功率越大的机械，做功越多 D．做功越快的机械，功率越大 9．(上海第 27 届大同杯初赛)如图 5.41 所示，一轻质弹簧一端固定在墙上的 O 点，另一端可自 由伸长到 B 点。今使一质量为 m 的小物体靠着弹簧，将弹簧压缩到 A 点，然后释放，小物体能在水 平面上运动到C 点静止，已知 AC L ；若将小物体系在弹簧上，在 A 点静止释放，直到最后静止， 小物体通过的总路程为 s ，则下列说法中可能的是( )。 A． s L B． s L C． 2 L s L  D． 2 Ls  10．(上海第 26 届大同杯初赛)如图 5.42 所示，长为1m 的轻杆 BO 一端通过光滑铰链铰在竖直 墙上，另一端装一轻小光滑滑轮，重力 10NG  的物体通过细线经滑轮系于墙上 A 点，平衡时OA 恰好水平。现将 A 点沿着竖直墙向上缓慢移动少许，重新平衡后轻杆受到的压力恰好也为10N ，该 过程中，外力所做的功至少为(数点后保留两位)( )。 A． 0.86J B．1.59J C． 2.07J D． 2.93J 11．某物体速度增大为原来的 3 倍，则它的动能增大为原来的________倍。洒 水车在洒水过程中匀速前进，则它的动能________，重力势能________(选填“减小”“增大”或“不 变”)。 12．某物体在离地 4m高处具有 2000J 的重力势能，该物体的质量为________ kg ，若将该物体 移至离地8m 高处，则它的重力势能增加了________ J ．( g 取10N/kg ) 13．一质量为100kg 且分布均匀、边长为 0.5m 的立方体金属块放在水平地面上，以地面为参 照平面，则金属块的重力势能为________ J 。 14．(上海第 8 届大同杯复赛)已知铜的密度大于铝的密度。把质量相 等的实心铜球和实心铝球静止地放在同一水平桌面上，如图 5.43 所示，则 铜球具有的机械能________铝球具有的机械能；若它们都由图示位置掉落 到水平地面上，则铜球减少的重力势能________铝球减少的重力势能(填 “大于”“小于”或“等于”)。 15．(上海第 17 届大同杯复赛)有报道说：台湾地区一家厂商发明了一种“手机自生能”技术， 装上特制的电池，上下左右摇晃，即可产生电能，每摇一分钟可通话两分钟。如果将手机上下摇动 一次，相当于将 200g 的重物举高10cm ，每秒约摇一次，则根据报道可知手机使用时的功率约为 ________( 10N/kgg  )。 16．如图 5.44 所示，边长为 a 、质量为 m 的正方形均匀木板竖直放置在水平地面上，若以此板 的一个顶点为支点，使木板在竖直平面内缓慢绕此支点转动，它的重力势能的最大值为________， 此过程中外力做的功为________。 17．(上海第 26 届大同杯复赛)交通运输中用“客运效率”来反映交通工具的某项效能，即客运 效率=人数×路程/消耗能量。一个人骑电动自行车，消耗 100 万焦的能量可行驶 30 千米，一辆载有 4 人的普通轿车，消耗 3200 万焦的能量可行驶 100 千米，则电动自行车与这辆轿车的客运效率之比 是________。 有一种自动充电式电动车，前轮装有发电机，发电机与蓄电池连接。当骑车者用力蹬车或车自 行滑行时，自行车就可以连通发电机向蓄电池充电，转化成电能储存起来。某人骑车以 500 焦的初 动能在粗糙的水平路面上滑行，若关闭自动充电装置，让车自由滑行，其动能随位移变化关系如图 5.45 中的图线 1 所示；若启动自动充电装置，其动能随位移变化关系如图线 2 所示，则向蓄电池所 充电能是________焦。 18．如图 5.46 所示，一块质量为 m 、边长为 L 的立方体石块放在粗糙地面上，缓慢地翻动它， 使石块移动距离 L ，对石块至少要做多少功？如果用水平力推石块，使石块匀速移动距离 L ，所做 的功跟缓慢地翻动石块做的功一样多，则石块和地面之间的动摩擦因数为多少？ 19．(上海第 9 届大同杯复赛)某学生用质量不同的滑块以不同的速度，从地面沿倾角为 的光滑 斜面往上滑，如图 5.47 所示。他记录了滑块滑至最高点(此时小球速度为零)的高度 h ，如表 5.1 所示. 表 5．1 滑块质量 /m kg 1 2 3 速度  / m/sv 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 高度 /mh 0.05 0.20 0.45 0.80 1.25 0.05 0.20 0.45 0.80 1.25 0.05 0.20 0.45 0.80 1.25 根据上述数据分析，归纳出： (1)小球能够达到的最大高度 h 跟它在斜面底端的速度 v 和质量 m 有无关系，有何关系，并写出 关系式。 (2)若假定小球在地面的重力势能为 0，且重力势能的大小跟小球离地 高度 h 成正比，跟小球质量 m 成正比，则小球在斜面底端的动能 kE 与小 球在斜面底端的速度 v 、质量 m 有何关系。 参考答案 1．D。先求出 A ， B 两点的竖直高度差。 A 点到 O 点的竖直高度差为 cosL  ，则 A ， B 间 的竖直高度差为 cosL L  ，重力势能的减少量  p 1 cosE mg L   。 2．D。提示：动能的表达式为 2 k 1 2E mv 。 3．B。垒球和汽车以相同的速度撞向栅栏，汽车能把栅栏撞坍，是因为汽车质量较大，具有较 大的动能。 4．A。物块受重力、支持力和静摩擦力的作用，其中支持力与传送带垂直，不做功，重力做负 功。由于物块有相对于传送带下滑的趋势，静摩擦力方向沿传送带向上，静摩擦力与物块运动方向 相同，使物体匀速上升，重力势能增加，因此静摩擦力对物块做正功是物块重力势能增加的原因。 5．B。提示：汽车牵引力始终朝向汽车运动方向，因此牵引力做功等于牵引力与路程的乘积。 6．BD。设物体下落距离为 h ，则物体重力势能减少了 mgh ，弹簧的弹性势能增加了 21 2 kh ， 减少的重力势能一部分转化为弹簧的弹性势能，另一部分转化为物块的动能，则物体动能 2 k 1 2E mgh kh  ，可见，动能与下落距离是二次函数的关系， AC 选项错误， B 选项正确；由 2 2 2 2 k 1 1 2 2 2 mg m gE mgh kh k h k k          可知，当 mgh k  时(即此时弹力与重力等大)，动能取 得最大值 2 2 kmax 2 m gE k  ，可见，动能一定是先增大，又减小，而对于弹簧与物块组成的系统，重力 势能、弹性势能、动能三者之和为一定值，因此在动能最大时，重力势能与弹性势能之和必最小， 选项 D 正确。 7．BC。设小球上升的最大高度为 H ，空气阻力为 f ，小球在上升和下降时，克服空气阻力做 的功均为 fW fH ，所以小球在上升和下降过程中损失的机械能相同， B 选项正确。由功能关系， 小 球 在 刚 抛 出 时 具 有 的 机 械 能 为 1E mgH fH  ， 在 上 升 至 中 点 A 时 ， 动 能 为 k1 1 2 2 2 2 H H H HE E mg f mg f     ，重力势能 p1 2 HE mg ，可见 k1 p1E E ，选项 C 正确。 小球达到最高点时，速度为零，具有的机械能为 2E mgH ，然后下落至中点 A ，此时的动能为 k2 2 2 2 2 2 H H H HE E mg f mg f        ，此时的重力势能 p2 2 HE mg ，可见 k2 p2E E ，选 项 D 错误。 8．D。功率是表示做功快慢的物理量，与做功多少无关；机械效率是指有用功占总功的百分比， 与功率也无关。对同一机械，机械效率往往是固定的。 9．BCD。设物体位于 A 位置时，弹性势能为 pE ，再设物体与地面之间的摩擦力为 f ，则物体 在由 A 运动到 C 的过程中，由功能关系，弹簧释放的弹性势能等于物体克服摩擦力做的功，即 pE fL ；将小物体系在弹簧上后，物体最终静止时，弹簧可能还有弹性势能，设为 pE ，则 p pE fs E  ，即 pfL fs E  ，解得 pEs L f    ，可见，若 p 0E  ，即物体恰好静止在 B 点，则 s L ， 若 p 0E  ，则 s L ，本题正确选项为 BCD 。 10．A。结合功能关系，外力所做的功等于物体重力势能的增加量，因此只 要求出物体上升的高度 h ，即可由W mg h  求得外力的功。不妨设杆长为 L ， 绳子总长度为 s 。由于杆为轻杆，因此杆与两边绳子的夹角必相等，所以初始时 杆与绳子夹角为 45°，则物块与 A 点的竖直高度差为 1 2 2 Lh s  。再设将绳 端由 A 点向上移动至 1A 点时，轻杆受到的压力恰等于10N ，则易得杆与绳子的 夹角为 60°，如图 5.48 所示，杆末端滑轮下降的高度为 h   cos45 cos60L    2 1 2 L  ， 此 时 物 体 与 A 点 的 竖 直 高 度 差 为 2h s  3 2 LL h s    2 2 L ， 物 体 上 升 的 高 度 1 2 3 22h h h L        0.086m ，因此外力做功 10 0.086J 0.86Jmg hW     ，选项 A 正 确。 11．9；减小，减小。由动能表达式 2 k 1 2E mv ，可知速度增加为原来的 3 倍，则动能增加为 原来的 9 倍。洒水车洒水时，虽然速率不变，但质量减小，所以动能减小；同时由于车内水的重力 势能减少，洒水车整体的重力势能也减小。 12 ． 50 ， 4000 。 由 pE mgh ， 解 得 p 2000 kg 50kg10 4 Em gh    ， 重 力 势 能 的 增 加 量  p 50 10 8 4 J 2000JmgE h       。 13．250。提示：公式 pE mgh 中， h 是指重心的高度，正方体的重心在其几何中心，重心离 地面高度为 0.25m 。 14．小于；等于。提示：铝的密度小于铜，质量相同的实心铝球和实心铜球，铝球的体积较大， 重心(在球心位置)比铜球重心高，因此铝球重力势能较大。两者都从水平桌面掉落到水平地面上时， 下降的高度相同，减少的重力势能也相同。 15． 0.1W 。由题意，每摇一分钟可通话两分钟，可见手机使用时的功率为发电功率的一半。 摇动手机时的发电功率为 0.2kg 10N/kg 0.1m 0.2W1s W GhP t t      ，可见手机使用时的功率 为 0.1W 。 16． 21 2 mga      ，  1 2 2 mga 。木板的重心在其中心，初始时重心高度 为 1 2 a 。当木板绕图 5.49 中的顶点 A 在竖直面内转过 135°时，木板的重心高度最 大，为 2 2a a ，因此重力势能的最大值为 21 2 mga      ，外力做的功等于重力 势能的增加量，所以外力做功=  1 221 2 2 2 mgaaW mga mg          。 17．24:1，200。利用客运效率=人数×路程/消耗能量，可计算出一个人骑电动自行车的客运效 率为 3 100 ，而客车的客运效率为 1 800 ，因此两者的客运效率之比为 24:1。 由图线 1，不开启充电装置时，自行车滑行 1 10ms  的过程中动能全部用来克服地面的阻力做 功，设阻力为 f ，则 k 1E fs ，解得 k 1 500J 50N10m Ef s    ；开启充电装置时，自行车滑行 2 6ms  的过程中动能一部分转化为电能，另一部分用来克服阻力做功，即 k 2E fs E  电 ，解得 200JE 电 。 18．  2 1 2 mgL ； 2 1 2  。缓慢地翻动石块时，只需将石块翻转 45°，石块就会在重力作 用下继续翻转过去，因此翻转一次做的功等于将石块翻转 45°的过程中克服重力做的功，则   1 2 12 2 2 2 mgLL LW mg        ；设石块与地面之间的动摩擦因数为  ，则用水平推力使石 块缓慢移动距离 L 应做功 2W FL fL mgL   ，由 1 2W W ，解得 2 1 2   。 19．(1)小球能够达到的最大高度 h 跟它的质量无关。因为从表中数据可以看出，当质量不同时， 小球以相同的速度从斜面底端冲上斜面，所能到达的最大高度是相同的。小球能够达到的最大高度 h 跟它在斜面底端的速度 v 有关。当上升高度为 0.05m 时，速度为1m/s ， 21 0.05 0.05  ，当上升高 度为 0.20m 时，速度为 2m/s ，可以看出 22 0.05 0.2  ，依此类推可以得出 20.05h v 。 (2)依题意，设物体的重力势能 pE kmh ，其中 k 为比例系数。小球达到最大高度 h 时，其动能 kE 全部转化为重力势能 pE ，则 k pE E kmh  ，将 20.05h v 代入，得 2 k p 0.05E E kmv  ，可 见，动能与质量成正比，与速度的平方成正比。