北师大版数学九年级上册同步课件-2第二章-2用配方法求解一元二次方程 18页

第二章 一元二次方程 2.2 用配方法求解一元二次方程 第2课时 用配方法求解较复杂的一元二次方程 1.会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程.（重点） 2.能够熟练地、灵活地应用配方法解一元二次方程.（难点） 学习目标 问题：用配方法解一元二次方程（二次项系数为1）的步骤是 什么？ 步骤：（1）将常数项移到方程的右边,使方程的左边只含二 次项和一次项; （2）两边都加上一次项系数一半的平方. （3）直接用开平方法求出它的解. 问题1：观察下面两个一元二次方程的联系和区别： ① x2 + 6x + 8 = 0 ; ② 3x2 +18x +24 = 0. 问题2：用配方法来解 x2 + 6x + 8 = 0 . 解：移项，得 x2 + 6x = -8 , 配方，得 （x + 3）2 = 1. 开平方, 得 x + 3 = ±1. 解得 x1 = -2 , x2= -4. 想一想怎么来解 3x2 +18x +24 = 0. 1 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 用配方法解方程： 3x2 +18x +24 = 0. 解：方程两边同时除以3,得 x2 + 6x + 8 = 0 . 移项，得 x2 + 6x = -8 , 配方, 得 （x + 3）2 = 1. 开平方, 得 x + 3 = ±1. 解得 x1 = -2 , x2= -4 . 结论：在使用配方法过程中若二次项的系数不为1时，需要将二次项系 数化为1后，再根据配方法步骤进行求解. 例1 解方程： 3x2 + 8x -3 = 0. 解：两边同除以3,得 x2 + x - 1=0. 配方,得 x2 + x + ( ) 2 - ( )2 - 1 = 0, 即（x + ）2 - =0. 移项,得 x + =± , 即 x + = 或 x + = . 所以 x1= , x2 = -3 . 3 4 3 4 3 8 3 4 9 25 3 4 3 5 3 4 3 4 3 5 3 5 3 8 3 1 例2 一个小球从地面上以15 m/s 的初速度竖直向上弹出，它 在空中的高度h (m)与时间 t (s)满足关系如下： h=15t - 5t2. 小球何时能达到10 m 高？ 解：将 h = 10代入方程式中h=15t - 5t2，得 15t - 5t2 = 10. 两边同时除以-5,得 t2 - 3t = -2, 配方,得 t2 - 3t + ( )2= ( )2 - 2, （t - ）2 = 2 3 2 3 2 3 . 4 1 例3 移项,得 （t - ）2 = 即 t - = ,或 t - = . 所以 t1= 2 , t2 = 1 . 2 3 , 2 1 2 3 2 1 2 3 2 1 注意： ①二次项系数要化为1；②在二次项系数化为1时，常数项也要 除以二次项系数；③配方时，两边同时加上一次项系数一半的平方. 即在1 s 或2 s 时，小球可达10 m 高. 试用配方法说明：不论k取何实数，多项式k2－4k＋5的 值必定大于零. 解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1 =（k－2）2＋1 因为（k－2）2≥0，所以（k－2）2＋1≥1. 所以k2－4k＋5的值必定大于零. 2 配方法的应用 例4 1. 方程2x2 - 3m - x +m2 +2=0有一根为x = 0，则m的值为（ ） A. 1 B.1 C.1或2 D.1或-2 2.应用配方法求最值. (1) 2x2 - 4x+5的最小值； (2) -3x2 + 12x -16的最大值. C 解：（1）2x2 - 4x +5 = 2(x - 1)2 +3，当x =1时,有最小值，为3. （2）-3x2 + 12x - 16 = -3(x - 2)2 - 4, 当x =2时,有最大值,为-4. 练一练： 配方法的应用 类别 解题策略 对于一个关于x的二次多项式通过配方成a(x+m)2 ＋n的形式后，(x+m)2≥0，n为常数，当a＞0时， 可知其最小值；当a＜0时，可知其最大值 如：已知x2－2mx＋16是一个完全平方式，所以 一次项系数一半的平方等于16，即m2=16，m=±4 对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数 的值，解题突破口往往是配方成多个完全平方式 得其和为0，再根据非负数的和为0，各项均为0， 从而求解.如：a2＋b2－4b＋4=0,则a2＋(b－2)2=0, 即a=0，b=2 1.用配方法解方程： x2 + x = 0. 解：方程两边同时除以 ,得 x2 - 5x + = 0 . 移项，得 x2 - 5x = - , 配方, 得 x2 - 5x + （ ）2= （ ）2 - . 即 （x + ）2 = . 2 1 2 5 4 5 2 1 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 4 15 两边开平方,得 x - = ± 即 x - = 或 x - =- 所以 x1 = , x2 = 2 5 2 15 2 5 . 2 15 2 155  . 2 155  2 5 . 2 15 2.用配方法解方程：3x2 - 4x + 1 = 0. 解：方程两边同时除以 3 ,得 x2 - x + = 0 . 3 4 3 1 移项，得 2 4 1.3 3x x   配方，得 2 2 24 2 1 2- (- ) - (- ) .3 3 3 3x x    即 （x - ）2 = ， 两边开平方,得 x - = ± ， 即 x - = 或 x - = ， 所以 x1 = 1 ， x2 = . 3 2 9 1 3 2 3 1 3 2 3 1 3 2 1 3  3 1 3.若 ，求(xy)z 的值.2 24 6 2 13 0x x y y z       解：对原式配方，得    2 22 3 2 0.x y z      由代数式的性质可知,    2 22 0, 3 0, 2 0.x y z      2, 3, 2.x y z   ∴      2 22 3 6 36.zxy         4.已知a、b、c为△ABC的三边长，且 试判断△ABC的形状. ,0222  bcacabcba 解：对原式配方，得 由代数式的性质可知，      2 2 21 0,2 a b a c b c            2 2 20, 0, 0,a b a c b c      ,a b c ∴ 所以，△ABC为等边三角形. 配方法 方 法 在方程两边都配上 2 2 二次项系数（ ） 步 骤 一移常数项； 二配方[配上 ]； 三写成（x+n)2=p (p ≥0); 四直接开平方解方程 2 2 二次项系数（ ） 特别提醒： 在使用配方法解方程之前先把方程化为x2+px+q=0的形式. 应 用 求代数式的最值或证明