数学华东师大版九年级上册教案22-2 一元二次方程的解法 第5课时 3页

1 22.2 一元二次方程的解法 第 5 课时 教学目标 1．理解并掌握一元二次方程根的判别式，能运用判别式，在不解方程的前提下判断一元二 次方程根的情况； 2．通过一元二次方程根的情况的探究过程，体会从特殊到一般、猜想及分类讨论的数学思 想，提高观察、分析、归纳的能力． 教学重难点 【教学重点】 一元二次方程根的判别式. 【教学难点】 运用判别式在不解方程的前提下判断一元二次方程根的情况. 课前准备 无 教学过程 一、情境导入 老师写了 4 个一元二次方程让同学们判断它们是否有解，大家都才解第一个方程呢，小强突 然站起来说出每个方程解的情况，你想知道他是如何判断的吗？ 二、合作探究 探究点一：一元二次方程的根的情况 【类型一】判断一元二次方程根的情况 不解方程，判断下列方程的根的情况． (1)2x2＋3x－4＝0； (2)x2－x＋1 4 ＝0； (3)x2－x＋1＝0. 解析：根据根的判别式我们可以知道当 b2－4ac≥0 时，方程才有实数根，而 b2－4ac<0 时， 方程没有实数根．由此我们不解方程就能判断一元二次方程根的情况． 解：(1)2x2＋3x－4＝0，a＝2，b＝3，c＝－4，∴b2－4ac＝32－4×2×(－4)＝41＞0.∴方 程有两个不相等的实数根． (2)x2－x＋1 4 ＝0，a＝1，b＝－1，c＝1 4 .∴b2－4ac＝(－1)2－4×1×1 4 ＝0.∴方程有两个相等 的实数根． (3)x2－x＋1＝0，a＝1，b＝－1，c＝1.∴b2－4ac＝(－1)2－4×1×1＝－3＜0.∴方程没有 2 实数根． 方法总结：给出一个一元二次方程，不解方程，可由 b2－4ac 的值的符号来判断方程根的情 况．当 b2－4ac＞0 时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当 b2－4ac＝0 时，一元二次 方程有两个相等的实数根；当 b2－4ac＜0 时，一元二次方程无实数根． 【类型二】由一元二次方程根的情况确定字母系数的取值 已知关于 x 的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1＝0 有两个不相等的实数根，则 a 的取值 范围是( ) A．a>2 B．a<2 C．a<2 且 a≠1 D．a<－2 解析：由于一元二次方程有两个不相等的实数根，判别式大于 0，得到一个不等式，再由二 次项系数不为 0 知 a－1 不为 0.即 4－4(a－1)＞0 且 a－1≠0，解得 a＜2 且 a≠1.选 C. 方法总结：若方程有实数根，则 b2－4ac≥0.由于本题强调说明方程是一元二次方程，所以， 二次项系数不为 0.因此本题还是一道易错题． 【类型三】 一元二次方程根的判别式与三角形的综合 已知 a，b，c 分别是△ABC 的三边长，求证：关于 x 的方程 b2x2＋(b2＋c2－a2)x＋c2＝0 没有实数根． 解析：欲证一元二次方程没有实数根，只需证明它的判别式Δ<0 即可．由 a，b，c 是三角 形三条边的长可知 a，b，c 都是正数．由三角形的三边关系可知 a＋b>c，a＋c>b，b＋c>a. 证明：∵b 为三角形一边的长，∴b≠0，∴b2≠0，∴b2x2＋(b2＋c2－a2)x＋c2＝0 是关于 x 的 一元二次方程．∴Δ＝(b2＋c2－a2)2－4b2c2＝(b2＋c2－a2＋2bc)(b2＋c2－a2－2bc)＝[(b＋c)2 －a2][(b－c)2－a2]＝(b＋c＋a)(b＋c－a)(b－c＋a)(b－c－a)＝(a＋b＋c)[(b＋c)－ a][(a＋b)－c][b－(a＋c)]．∵a，b，c 是三角形三条边的长，∴a>0，b>0，c>0，且 a＋b ＋c>0，a＋b>c，b＋c>a，a＋c>b.∴(b＋c)－a>0，(a＋b)－c>0，b－(a＋c)<0，∴(a＋b ＋c)[(b＋c)－a][(a＋b)－c][b－(a＋c)]<0，即Δ<0.∴原方程没有实数根． 方法总结：利用根的判别式与三角形的三边关系：常根据判别式得到关于三角形三边的式子， 再结合三边关系确定Δ符号． 【类型四】 利用根的判别式解决存在性问题 是否存在这样的非负整数 m，使关于 x 的一元二次方程 m2x2－(2m－1)x＋1＝0 有两个 不相等的实数根？若存在，请求出 m 的值；若不存在，请说明理由． 解：不存在，理由如下： 假设 m2x2－(2m－1)x＋1＝0 有两个不相等的实数根，则[－(2m－1)]2－4m2>0，解得 m<1 4 .∵m 为非负整数，∴m＝0. 而当 m＝0 时，原方程 m2x2－(2m－1)x＋1＝0 是一元一次方程，只有一个实数根，与假设矛 盾． ∴不存在这样的非负整数，使原方程有两个不相等的实数根． 易错提醒：在求出 m＝0 后，常常会草率地认为 m＝0 就是满足条件的非负整数，而忽略了二 次项系数不为 0 的这一隐含条件，因此解题过程中务必考虑全面． 三、板书设计 3 四、教学反思 本节课是在一元二次方程的解法的基础上，学习根的判别式的应用．学生容易在计算取值范 围的时候忘记二次项系数不能为零，这是本节课需要注意的地方，应予以特别强调.