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- 2021-11-11 发布
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第一篇 过教材·考点透析
第六章 圆
6.3 多边形与圆
第 2 页
第 3 页
相等
相等
第 4 页
第 5 页
方法点拨:已知三角形的内心,作辅助线的常用方法:(1)过三角形的内心作
三边的垂线段;(2)连结内心和三角形的顶点.
易错提示:(1)三角形的外接圆的圆心可能在三角形内部、外部、三角形上;
(2)三角形的内切圆的圆心只能在三角形的内部.
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外接
互补
180°
等于
∠A
§ 3.正多边形和圆
§ (1)正多边形的外接圆:把圆分为n(n≥3)等份,依次连结各分点所
得的多边形就是这个圆的内接正n边形,这个圆也就是正n边形的
外接圆.
§ (2)正多边形的内切圆:把圆分为m(m≥3)等份,经过各分点作圆
的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形就是这个圆的外切正
m边形,这个圆也就是正m边形的内切圆.
§ (3)任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,且它们是同
心圆.
§ (4)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心,外接
圆的半径叫做正多边形的⑨________,正多边形每一边所对的圆
心角叫做正多边形的中心角,中心到正多边形每一边的距离叫做
正多边形的⑩__________.
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半径
边心距
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方法点拨:(1)正多边形中心与正多边形顶点连线的长度等于外接圆半径;(2)
外接圆半径、边心距(正多边形中心与边的距离)、正多边形一边的一半,刚好构成
一个直角三角形.
§ 命题点一 三角形的内切圆和外接圆
§ 1.(2017·眉山中考)如图,在△ABC中,
∠A=66°,点I是内心,则∠BIC的大小为
( )
§ A.114°
§ B.122°
§ C.123°
§ D.132° 第 9 页
C
§ 2.(2018·凉山中考)如图,△ABC外接圆的
圆心坐标是__________.
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(4,6)
§ 命题点二 圆内接四边形的性质
§ 4.(2017·凉山中考)如图,已知四边形
ABCD内接于半径为4的⊙ O中,且∠C=
2∠A,则BD=_______.
第 11 页
第 12 页
A
第 13 页
B
第 14 页
C
§ 8.(2019·广安中考)如图,正五边形ABCDE
中,对角线AC与BE相交于点F,则∠AFE=
______度.
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72
§ 核心素养
§ 9.(2019·湖北孝感中考)刘徽是我国魏晋时
期卓越的数学家,他在《九章算术》中提出
了“割圆术”,利用圆的内接正多边形逐步
逼近圆来近似计算圆的面积.如图,若用圆
的内接十二边形的面积S1来近似估计⊙O的
面积S,设⊙O的半径为1,则S-S1=
________.
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0.14
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第 18 页
第 19 页
R-d
第 20 页
§ 突破点一 圆内接四边形的性质
§ (2019·山东德州中考)如图,点O为线
段BC的中点,点A、C、D到点O的距离相等,
若∠ABC=40°,则∠ADC的度数是 ( )
§ A.130° B.140°
§ C.150° D.160°
第 21 页
B
§ 思路分析:由题意,得OA=OB=OC=
OD.以O为圆心,作出如图所示的圆,则四
边形ABCD为⊙O的内接四边形,∴∠ABC
+∠ADC=180°.∵∠ABC=40°,
∴∠ADC=140°.
§ 解题技巧:圆内接四边形的对角互补及圆内
接四边形的一个外角等于它的内对角是解决
圆的有关计算与证明中的“桥梁”.
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第 23 页
D
§ 解题技巧:关于正多边形和圆主要掌握其中的中心角、边心距、面积、
周长的计算公式,熟练掌握正六边形的性质,由三角函数求出OC是解
题的关键.
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第 25 页
A
§ 解题技巧:三角形的内心到三角形三边的距离相等;三角形的内心与三
角形顶点的连线平分这个内角.解答此题的关键是学会添加辅助线,构
造直角三角形.
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§ (湖南长沙中考)如图,在△ABC中,
AD是边BC上的中线,∠BAD=∠CAD,
CE∥AD,CE交BA的延长线于点E,BC=8,
AD=3.
§ (1)求CE的长;
§ (2)求证:△ABC为等腰三角形;
§ (3)求△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q
之间的距离.
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§ 自主解答:(1)解:∵AD是边BC上的中线,∴BD=
CD.∵CE∥AD,∴AD为△BCE的中位线,∴CE=2AD=6.
§ (2)证明:∵CE∥AD,∴∠BAD=∠E,∠CAD=
∠ACE.∵∠BAD=∠CAD,∴∠ACE=∠E,∴AE=AC.∵AB=AE,∴AB=AC,∴△ABC为等腰三角形.
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§ 解题技巧:本题考查了三角形内切圆与内心:
三角形的内心到三角形三边的距离相等;三
角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内
角.也考查了等腰三角形的判定与性质和三
角形的外接圆.
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§ 1.(2019·浙江湖州中考)如图,已知正五边
形ABCDE内接于⊙ O,连结BD,则∠ABD
的度数是 ( )
§ A.60°
§ B.70°
§ C.72°
§ D.114° 第 31 页
A 双基过关
C
§ 2.(河北中考)如图,点I为△ABC的内心,
AB=4,AC=3,BC=2,将∠ACB平移使
其顶点与I重合,则图中阴影部分的周长为
( )
§ A.4.5
§ B.4
§ C.3
§ D.2
§ 3.(内蒙古呼和浩特中考)同一个圆的内接正
方形和正三角形的边心距的比为
_________.
第 32 页
B
§ 4.(湖南株洲中考)如图,正五边形ABCDE
和正三角形AMN都是⊙ O的内接多边形,则
∠BOM=________.
第 33 页
48°
§ 5.(浙江湖州中考)如图,已知△ABC的内切
圆⊙ O与BC边相切于点D,连结OB、
OD.若∠ABC=40°,则∠BOD的度数是
________.
第 34 页
70°
§ 6.(山东威海中考)如图,在扇形CAB中,
CD⊥AB,垂足为点D,⊙ E是△ACD的内切
圆,连结AE、BE,则∠AEB的度数为
_________.
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135°
§ 7.(四川宜宾中考)如图,⊙ O的内接正五边
形ABCDE的对角线AD与BE相交于点G,AE
=2,则EG的长是_________.
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第 37 页
第 38 页
第 39 页
第 40 页
第 41 页
B 满分过关
D
§ 11.(四川泸州中考)如图,在平面直角坐标
系中,已知点A(1,0)、B(1-a,0)、C(1+
a,0)(a>0),点P在以D(4,4)为圆心,1为半径
的圆上运动,且始终满足∠BPC=90°,则
a的最大值是_____.
第 42 页
6
第 43 页
8
第 44 页
第 45 页
§ 问题:如图,在△ABC中,AB=
13,BC=12,AC=7,⊙ O内切
于△ABC,切点分别是D、E、
F.
§ (1)求△ABC的面积;
§ (2)求⊙ O的半径.
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§ 14.(2019·内蒙古呼和浩特中考)如
图,以Rt△ABC的直角边AB为直径
的⊙ O交斜边AC于点D,过点D作
⊙ O的切线交BC于点E,弦DM与
AB垂直,垂足为H.
§ (1)求证:E为BC的中点;
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(2)若⊙ O的面积为12π,两个三角形△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3,
求△DEC的内切圆面积S1和四边形OBED的外接圆面积S2的比.
§ (1)证明:如图,连结BD、OE.∵AB是直径,
则∠ADB=∠ADO+∠ODB=90°,
∴∠CAB+∠ABD=90°.∵DE是切线,
∴∠ODE=∠EDB+∠ODB=90°,
∴∠EDB=∠ADO=∠CAB.∵∠ABC=
∠ABD+∠DBC=90°,∴∠DBC=∠CAB,
∴∠EDB=∠EBD.又∵∠BDC=90°,
∴E为BC的中点.
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