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  • 2021-11-11 发布

华师版数学九年级上册课件-第24章-24解直角三角形

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第24章 解直角三角形 24.4 解直角三角形 第3课时 坡度问题 在直角三角形中,除直角外,由已知两元素 求其余未知元素的过程叫解直角三角形. 1.解直角三角形 (1)三边之间的关系: a2+b2=c2(勾股定理); 2.解直角三角形的依据 (2)两锐角之间的关系: ∠ A+ ∠ B= 90º; (3)边角之间的关系: tan A= a bsin A= a c cos A= b c (必有一边) A C B a b c 水库大坝的横断面是梯形,坝顶宽6m,坝高23m,斜坡 AB的坡度i=1∶ 3 ,斜坡CD的坡度i=1∶ 2.5 , 则斜坡CD的坡 面角α , 坝底宽AD和斜坡AB的长应设计为多少? A D B C i=1:2.5 23m 6m 3:1i  坡度问题 例1 α l hi= h : l1.坡角 坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作α . 2.坡度(或坡比) 坡度通常写成1∶ m的形式,如i=1∶ 6. 如图所示,坡面的铅垂高度(h)和水平长度(l) 的比叫做坡面的坡度(或坡比),记作i, 即 i=——h l 3.坡度与坡角的关系 tanh li   坡度等于坡角的正切值 坡 面 水平面 1.斜坡的坡度是 ,则坡角α=______度. 2.斜坡的坡角是45°,则坡比是 _______. 3.斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是_______. 3:1 α l h 30 1:1 3:1 练一练 水库大坝的横断面是梯形,坝顶宽6m,坝高23m,斜坡AB 的坡度i=1∶ 3,斜坡CD的坡度i=1∶ 2.5,求: (1)坝底AD与斜坡AB的长度(精确到0.1m ); (2)斜坡CD的坡角α(精确到 1°). E F A D B C i=1:2.5 23m 6m 1 3i : α 分析:由坡度i会想到产生铅垂高度,即分别过点B、C 作AD的垂线; 例2 垂线BE、CF将梯形分割成Rt△ABE,Rt△CFD和矩形 BEFC,则AD=AE+EF+FD, EF=BC=6m,AE、DF可结合坡度, 通过解Rt△ABE和Rt△CDF求出; 斜坡AB的长度以及斜坡CD的坡角的问题实质上就是解 Rt△ ABE和Rt△ CDF. 解:(1)分别过点B、C作BE⊥AD,CF⊥AD,垂足分别为点E、 F,由题意可知 E FA D B C i=1:2.5 23m 6m 1:3i  α BE=CF=23m ,EF=BC=6m. 在Rt△ABE中, 1 3 BE AEi   , ∴AE=3BE=3×23=69(m). 在Rt△DCF中,同理可得 AD AE EF FD    =69+6+57.5=132.5( m ). 在Rt△ABE中,由勾股定理,得 2 2 2 269 23 72.7mAB AE BE     (2) 斜坡CD的坡度i=tanα=1:2.5=0.4, 由计算器可算得 22   即坝底宽AD为132.5米,斜坡AB的长约为72.7米.斜坡CD 的坡角α约为22°. 1 2.5 CF FDi   . FD=2.5CF=2.5×23=57.5(m). . . 如图,拦水坝的横断面为梯形ABCD(图中i=1:3是指 坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比),根据图中数据求: (1)坡角a和β; (2)坝顶宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m). B A D F E C 6m α β i=1:3i=1:1.5 解:(1)在Rt△AFB中,∠AFB=90°, 1tan 1.5 AF iBF     33.7   在Rt△CDE中,∠CED=90°, tan 1:3DE iCE     18.4   , . , . 例3 与测坝高相比,测山高的困难在于;坝坡是“直”的,而 山坡是“曲”的,怎样解决这样的问题呢? hh αα ll 我们设法“化曲为直,以直代曲”. 我们可以把山坡 “化整为零”地划分为一些小段,图表示其中一部分小段, 划分小段时,注意使每一小段上的山坡近似是“直”的, 可以量出这段坡长l1,测出相应的仰角a1,这样就可以算出 这段山坡的高度h1=l1sina1. h α l 1. 在每小段上,我们都构造出直角三角形,利用上面的方 法分别算出各段山坡的高度h1、h2、…、hn,然后我们再“积零 为整”,把h1、h2、…、hn相加,于是得到山高h. 2. 以上解决问题中所用的“化整为零,积零为整”“化曲为 直,以直代曲”的做法,就是高等数学中微积分的基本思想, 它在数学中有重要地位,在今后的学习中,你会更多地了解这 方面的内容. 解直角三角形有广泛的应用,解决问题时,要根据实际情 况灵活运用相关知识,例如,当我们要测量大坝的高度h时, 只要测出仰角a和大坝的坡面长度l,就能算出h=lsina,但是, 当我们要测量的山高h时,问题就不那么简单了,这是由于 不能很方便地得到仰角a和山坡长度l. 化整为零,积零为整,化曲为直,以直代曲的解决问 题的策略 1.一段路基的横断面是梯形,高为4米,上底的宽是12米, 路基的坡面与地面的倾角分别是45°和30°,求路基下底 的宽(精确到0.1,米, ). 45° 30° 4米 12米 A B CD 414.12,732.13  解:作DE⊥AB,CF⊥AB,垂足分别为E、F.由题意可知   DE=CF=4(米),   CD=EF=12(米). 在Rt△ADE中, 在Rt△BCF中,同理可得 因此AB=AE+EF+BF≈4+12+6.93≈22.93(米).   即路基下底的宽约为22.93米.  45tan4 AEAE DEi )(445tan 4 米 AE )(93.630tan 4 米BF 45° 30° 4米 12米 A B C E F D . , . 2.如图,某拦河坝截面的原设计方案为:AH∥BC,坡角 ∠ABC=74°,坝顶到坝脚的距离AB=6 m.为了提高拦河坝 的安全性,现将坡角改为55°,由此,点A需向右平移至点D, 请你计算AD的长(精确到0.1 m). [分析] 将坝顶与坝脚的距离看做直角三角形的斜边,将坡 角看做直角三角形的一个锐角,分别作AE、DF垂直于BC,构 造直角三角形,求出BE、BF,进而得到AD的长. 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是: (1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,转化 为解直角三角形的问题); (2)根据条件的特点,适当选用锐角三角形函数去解直 角三角形; (3)得到数学问题的答案; (4)得到实际问题的答案.