华师版数学九年级上册课件-第24章-24解直角三角形 19页

第24章 解直角三角形 24.4 解直角三角形 第3课时 坡度问题 在直角三角形中,除直角外,由已知两元素 求其余未知元素的过程叫解直角三角形. 1.解直角三角形 (1)三边之间的关系: a2＋b2＝c2（勾股定理）； 2.解直角三角形的依据 (2)两锐角之间的关系: ∠ A＋ ∠ B＝ 90º； (3)边角之间的关系: tan A＝ a bsin A＝ a c cos A＝ b c (必有一边) Ａ Ｃ Ｂ a b c 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡 AB的坡度i=1∶ 3 ，斜坡CD的坡度i=1∶ 2.5 ， 则斜坡CD的坡 面角α ， 坝底宽AD和斜坡AB的长应设计为多少？ A D B C i=1:2.5 23m 6m 3:1i  坡度问题 例1 α l hi= h : l1.坡角 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α . 2.坡度（或坡比） 坡度通常写成1∶ m的形式，如i=1∶ 6. 如图所示，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l） 的比叫做坡面的坡度（或坡比）,记作i, 即 i=——h l 3.坡度与坡角的关系 tanh li   坡度等于坡角的正切值 坡 面 水平面 1.斜坡的坡度是 ，则坡角α=______度. 2.斜坡的坡角是45°，则坡比是 _______. 3.斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是_______. 3:1 α l h 30 1：1 3:1 练一练 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB 的坡度i=1∶ 3，斜坡CD的坡度i=1∶ 2.5，求： （1）坝底AD与斜坡AB的长度（精确到0.1m ）; （2）斜坡CD的坡角α（精确到 1°）. E F A D B C i=1:2.5 23m 6m 1 3i : α 分析：由坡度i会想到产生铅垂高度，即分别过点B、C 作AD的垂线； 例2 垂线BE、CF将梯形分割成Rt△ABE，Rt△CFD和矩形 BEFC，则AD=AE+EF+FD， EF=BC=6m，AE、DF可结合坡度, 通过解Rt△ABE和Rt△CDF求出； 斜坡AB的长度以及斜坡CD的坡角的问题实质上就是解 Rt△ ABE和Rt△ CDF. 解：(1)分别过点B、C作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E、 F,由题意可知 E FA D B C i=1:2.5 23m 6m 1:3i  α BE=CF=23m ，EF=BC=6m. 在Rt△ABE中， 1 3 BE AEi   ， ∴AE=3BE=3×23=69(m). 在Rt△DCF中，同理可得 AD AE EF FD    =69+6+57.5=132.5（ m ）. 在Rt△ABE中，由勾股定理，得 2 2 2 269 23 72.7mAB AE BE     (2) 斜坡CD的坡度i=tanα=1：2.5=0.4， 由计算器可算得 22   即坝底宽AD为132.5米，斜坡AB的长约为72.7米．斜坡CD 的坡角α约为22°. 1 2.5 CF FDi   . FD=2.5CF=2.5×23=57.5（m）. . . 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中i=1:3是指 坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比），根据图中数据求： （1）坡角a和β; （2）坝顶宽AD和斜坡AB的长（精确到0.1m）. B A D F E C 6m α β i=1:3i=1:1.5 解：（1）在Rt△AFB中，∠AFB=90°， 1tan 1.5 AF iBF     33.7   在Rt△CDE中，∠CED=90°， tan 1:3DE iCE     18.4   ， . ， . 例3 与测坝高相比，测山高的困难在于；坝坡是“直”的，而 山坡是“曲”的，怎样解决这样的问题呢？ hh αα ll 我们设法“化曲为直，以直代曲”． 我们可以把山坡 “化整为零”地划分为一些小段，图表示其中一部分小段， 划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的， 可以量出这段坡长l1，测出相应的仰角a1，这样就可以算出 这段山坡的高度h1=l1sina1. h α l 1. 在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方 法分别算出各段山坡的高度h1、h2、…、hn,然后我们再“积零 为整”，把h1、h2、…、hn相加，于是得到山高h. 2. 以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为 直，以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的基本思想， 它在数学中有重要地位，在今后的学习中，你会更多地了解这 方面的内容． 解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情 况灵活运用相关知识，例如，当我们要测量大坝的高度h时， 只要测出仰角a和大坝的坡面长度l，就能算出h=lsina，但是， 当我们要测量的山高h时，问题就不那么简单了，这是由于 不能很方便地得到仰角a和山坡长度l. 化整为零，积零为整，化曲为直，以直代曲的解决问 题的策略 1.一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是12米， 路基的坡面与地面的倾角分别是45°和30°，求路基下底 的宽（精确到0.1,米, ）. 45° 30° 4米 12米 A B CD 414.12,732.13  解：作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E、F．由题意可知 　 DE＝CF＝4（米）， 　 CD＝EF＝12（米）． 在Rt△ADE中， 在Rt△BCF中，同理可得 因此AB＝AE＋EF＋BF≈4＋12＋6.93≈22.93（米）． 　　即路基下底的宽约为22.93米．  45tan4 AEAE DEi )(445tan 4 米 AE )(93.630tan 4 米BF 45° 30° 4米 12米 A B C E F D . ， . 2.如图，某拦河坝截面的原设计方案为：AH∥BC，坡角 ∠ABC＝74°，坝顶到坝脚的距离AB＝6 m．为了提高拦河坝 的安全性，现将坡角改为55°，由此，点A需向右平移至点D， 请你计算AD的长(精确到0.1 m)． [分析] 将坝顶与坝脚的距离看做直角三角形的斜边，将坡 角看做直角三角形的一个锐角，分别作AE、DF垂直于BC，构 造直角三角形，求出BE、BF，进而得到AD的长． 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是： （1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化 为解直角三角形的问题）； （2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数去解直 角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案．