2020年成都中考数学密押试卷 【解析版】 35页

‎2020年四川省成都市中考数学密押试卷（一）‎ 一、选择题 ‎1．﹣的倒数是（　　）‎ A．2 B．﹣2 C． D．‎ ‎2．如图是由五个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎3．下列运算错误的是（　　）‎ A．（﹣m2）3＝﹣m6 B．6a3b2÷3a2＝2ab2 ‎ C．2a2•a﹣1＝2a D．x2+3x2＝4x4‎ ‎4．如图，在△ABC中，已知∠B＝50°，∠C＝30°．分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点E，F，作直线EF，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（　　）‎ A．70° B．60° C．55° D．45°‎ ‎5．小明家1月至10月的用电量统计如图所示，这组数据的众数和中位数分别是（　　）‎ A．30和25 B．30和22.5 C．30和20 D．30和17.5‎ ‎6．分式方程+2＝的解为（　　）‎ A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝‎ ‎7．若关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣2＝0有实数根．则k的取值范围是（　　）‎ A．k≤ B．k＞ C．k＜ D．k≥‎ ‎8．设点A（x1，y1）和点B（x2，y2）是反比例函数y＝图象上的两点，当x1＜x2＜0时，y1＞y2，则一次函数y＝﹣3x+k的图象不经过的象限是（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎9．如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，连接AD，点F在线段AD上，EF∥BD，且交AB于点E，FH∥AC，且交CD于点H，则下列结论一定正确的是（　　）‎ A．＝ B．＝ C．＝ D．＝‎ ‎10．已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+8，下列结论：①图象的开口向下；②图象的对称轴是直线x＝1；③y的最大值是9；④图象与y轴的交点坐标为（0，﹣8）；⑤当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而减小．其中正确的是（　　）‎ A．①②③ B．①③⑤ C．②④⑤ D．①④⑤‎ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）‎ ‎11．分解因式：3a3﹣12a2+12a＝　 　．‎ ‎12．被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST的反射面总面积相当于35个标准足球场的总面积．已知每个标准足球场的面积为7140m2‎ ‎，则用科学记数法表示FAST的反射面总面积约为　 　m2．（精确到小数点后一位）‎ ‎13．如图，在▱ABCD中，AH⊥BC，垂足为H，若AB＝10，BC＝16，sinB＝，则tan∠CDH＝　 　．‎ ‎14．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝6，BC＝4，以CD为直径作⊙O，将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A′B′C′D′的边A′B′与⊙O相切，切点为M，边CD′与⊙O相交于点N，则CN的长为　 　．‎ 三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）‎ ‎15．（1）计算：|﹣2|﹣+6cos30°﹣（）﹣2+（π﹣3.14）0．‎ ‎（2）求不等式组的非负整数解．‎ ‎16．先化简，再求值：÷+，其中a＝﹣1．‎ ‎17．如图，甲、乙两座建筑物的水平距离BC为80m，从甲的顶部A处测得乙的顶部D处的俯角为50°，测得底部C处的俯角为62°．求甲、乙建筑物的高度AB和DC．（结果取整数；参考数据：tan50°≈1.19，tan62°≈1.88）‎ ‎18．我市某中学举行书法大赛，对各年级同学的获奖情况进行了统计，并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中相关数据解答下列问题：‎ ‎（1）请将条形统计图补全；‎ ‎（2）获得一等奖的同学中有来自七年级，有来自八年级，其他同学均来自九年级．现准备从获得一等奖的同学中任选两人參加市内书法大赛，请通过列表或画树状图求所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的概率．‎ ‎19．如图，设反比例函数的解析式为y＝（k＞0）．‎ ‎（1）若该反比例函数与正比例函数y＝2x的图象有一个交点的纵坐标为2，求k的值；‎ ‎（2）若该反比例函数与过点M（﹣2，0）的直线l：y＝kx+b的图象交于A，B两点，如图所示，当△ABO的面积为时，求直线l的解析式．‎ ‎20．如图，已知⊙O的两条直径AB，CD互相垂直，过BA延长线上一点P作PE切⊙O于点E，过点E作EF⊥AB于点F，连接AE．‎ ‎（1）求证：∠PEA＝∠AEF；‎ ‎（2）若AP＝AE，PE＝6．求PB的长；‎ ‎（3）连接PD交⊙O于点G，连接OG，FD，若∠AOG＝∠FDO，OD＝2．求四边形AGDB的面积．‎ 四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）‎ ‎21．若关于x的不等式组只有4个整数解，则a的取值范围是　 　．‎ ‎22．如图，已知AC与BD是⊙O的两条直径，首尾顺次连接点A，B，C，D得到四边形ABCD．若AC＝10，∠BAC＝36°，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域内的概率为　 　．‎ ‎23．已知x1，x2是方程x2﹣2（k+1）x+k2+2k﹣1＝0的两个实数根，而a是关于y的方程y2﹣（x1+x2﹣2k）y+（x1﹣k）（x2﹣k）＝0的实数根，则代数式（﹣）÷•的值是　 　．‎ ‎24．如图，已知正方形ABCD的边长为1，以BC为直径作半圆，E是AD的中点，CE与半圆交于点F，连接AF．给出如下结论：‎ ‎①AF＝1；②＝；③S△EAF＝；④cos∠BAF＝．‎ 其中正确的结论是　 　．（只填序号）‎ ‎25．在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为“和谐点”‎ ‎，例如点（﹣，﹣），（5，5），（﹣，﹣），…都是“和谐点”．若二次函数y＝ax2+4x+c（a≠0）的图象上有且只有一个“和谐点”（，），当0≤x≤m时，函数y＝ax2+4x+c﹣（a≠0）的最小值为﹣3，最大值为1，则m的取值范围是　 　．‎ 五、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）‎ ‎26．为了支持大学生创业，某市政府出台了一项优惠政策；提供16万元的无息创业贷款．小吴利用这笔贷款注册了一家淘宝网店，招收5名员工，销售一种畅销产品，并约定用该网店经营的利润逐月偿还这笔无息贷款．已知该产品的成本为每件4元，员工每人每月的工资为4000元，该网店还需每月支付其他费用1万元．该产品每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示．‎ ‎（1）求该网店每月利润W（万元）与销售单价x（元）之间的函数表达式；‎ ‎（2）小吴自网店开业起，最快在第几个月可还清16万元的无息贷款？‎ ‎27．已知菱形ABCD中BD为对角线，P、Q两点分别在AB、BD上，且满足∠PCQ＝∠ABD ‎（1）如图1，当∠BAD＝90°时，求：的值；‎ ‎（2）如图2，当∠BAD＝120°时，求证：DQ+BP＝2CD；‎ ‎（3）如图3，在（2）的条件下，延长CQ交AD边于点E交BA的延长线于点M，作∠DCE的平分线交AD边于点F，若＝，EF＝，求线段CD的长 ‎28．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝x+相交于A（﹣1，0），B（4，m）两点，抛物线y＝ax2+bx+c交y轴于点C（0，﹣），交x轴正半轴于点D ‎，抛物线的顶点为M．‎ ‎（1）求抛物线的表达式及点M的坐标；‎ ‎（2）设P为直线AB下方的抛物线上一动点，当△PAB的面积最大时，求此时△PAB的面积及点P的坐标；‎ ‎（3）Q为x轴上一动点，N是抛物线上一点，当△QMN∽△MAD（点Q与点M对应）时，求点Q的坐标．‎ 参考答案 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）‎ ‎1．﹣的倒数是（　　）‎ A．2 B．﹣2 C． D．‎ ‎【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可化简绝对值，根据乘积为1的两个数互为倒数，可得答案．‎ 解：﹣|﹣|的倒数是﹣2，‎ 故选：B．‎ ‎2．如图是由五个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【分析】根据从上面看得到的视图是俯视图，可得答案．‎ 解：从上面看有两层，底层的左边是一个正方形，上层是三个正方形．‎ 故选：B．‎ ‎3．下列运算错误的是（　　）‎ A．（﹣m2）3＝﹣m6 B．6a3b2÷3a2＝2ab2 ‎ C．2a2•a﹣1＝2a D．x2+3x2＝4x4‎ ‎【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．‎ 解：A、（﹣m2）3＝﹣m6，故选项A正确，不符合题意；‎ B、6a3b2÷3a2＝2ab2，故选项B正确，不符合题意；‎ C、2a2•a﹣1＝2a，故选项C正确，不符合题意；‎ D、x2+3x2＝4x2，故选项D错误，符合题意．‎ 故选：D．‎ ‎4．如图，在△ABC中，已知∠B＝50°，∠C＝30°．分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点E，F，作直线EF，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（　　）‎ A．70° B．60° C．55° D．45°‎ ‎【分析】根据内角和定理求得∠BAC＝95°，由中垂线性质知DA＝DC，即∠DAC＝∠C＝30°，从而得出答案．‎ 解：在△ABC中，∵∠B＝50°，∠C＝30°，‎ ‎∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝100°，‎ 由作图可知MN为AC的中垂线，‎ ‎∴DA＝DC，‎ ‎∴∠DAC＝∠C＝30°，‎ ‎∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝70°，‎ 故选：A．‎ ‎5．小明家1月至10月的用电量统计如图所示，这组数据的众数和中位数分别是（　　）‎ A．30和25 B．30和22.5 C．30和20 D．30和17.5‎ ‎【分析】将折线统计图中的数据从小到大重新排列后，根据中位数和众数的定义求解可得．‎ 解：将这10个数据从小到大重新排列为：10、10、15、15、20、20、25、30、30、30，‎ 所以该组数据的众数为30、中位数为＝20，‎ 故选：C．‎ ‎6．分式方程+2＝的解为（　　）‎ A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝‎ ‎【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．‎ 解：+2＝，‎ 去分母得：x﹣1+2（x﹣2）＝﹣3，‎ 解得：x＝，‎ 经检验x＝是分式方程的解．‎ 故选：D．‎ ‎7．若关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣2＝0有实数根．则k的取值范围是（　　）‎ A．k≤ B．k＞ C．k＜ D．k≥‎ ‎【分析】根据方程有实数根结合根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出结论．‎ 解：∵关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有实数根，‎ ‎∴△＝[2（k﹣1）]2﹣4（k2﹣2）＝﹣8k+12≥0，‎ 解得：k≤．‎ 故选：A．‎ ‎8．设点A（x1，y1）和点B（x2，y2）是反比例函数y＝图象上的两点，当x1＜x2＜0时，y1＞y2，则一次函数y＝﹣3x+k的图象不经过的象限是（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【分析】根据“当x1＜x2＜0时，y1＞y2”，判断出k＜0，进而根据一次函数的性质得出一次函数y＝﹣3x+k的图象经过的象限，即可得出结论．‎ 解：∵点A（x1，y1）和B（x2，y2）是反比例函数y＝图象上的两个点，当x1＜x2＜0时，y1＞y2，‎ ‎∴当x1＜x2＜0时，y随x的增大而减小，‎ ‎∴k＞0，‎ 针对于一次函数y＝﹣3x+k，比例系数﹣3＜0，常数项k＞0，‎ ‎∴一次函数y＝﹣3x+k的图象经过第一、二、四象限，‎ ‎∴一次函数y＝﹣2x+k的图象不经过第三象限，‎ 故选：C．‎ ‎9．如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，连接AD，点F在线段AD上，EF∥BD，且交AB于点E，FH∥AC，且交CD于点H，则下列结论一定正确的是（　　）‎ A．＝ B．＝ C．＝ D．＝‎ ‎【分析】根据EF∥BD，可得△AEF∽△ABD，根据FH∥AC，可得△DHF∽△DCA，再根据相似三角形的性质即可求解．‎ 解：∵EF∥BD，‎ ‎∴△AEF∽△ABD，‎ ‎∴＝，故A错误；‎ ‎＝，‎ ‎＝．‎ ‎∵FH∥AC，‎ ‎∴△DHF∽△DCA，‎ ‎∴＝，故B错误；‎ ‎＝，‎ ‎＝，‎ ‎∴≠，故C错误；‎ ‎＝，故D正确．‎ 故选：D．‎ ‎10．已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+8，下列结论：①图象的开口向下；②图象的对称轴是直线x＝1；③y的最大值是9；④图象与y轴的交点坐标为（0，﹣8）；⑤当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而减小．其中正确的是（　　）‎ A．①②③ B．①③⑤ C．②④⑤ D．①④⑤‎ ‎【分析】先将抛物线解析式化为顶点式y＝a（x﹣h）2+k（a≠0，且a，h，k是常数），开口方向，它的对称轴是直线x＝h，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大．‎ 解：∵二次函数y＝﹣x2﹣2x+8＝﹣（x+1）2+9，‎ ‎∴抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，故说法②错误，‎ 当x＝﹣1时，y的最大值为9，故说法③正确，‎ ‎∵a＝﹣1＜0，‎ ‎∴抛物线的开口向下，故说法①正确，‎ 当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而减小，故说法⑤正确，‎ 针对于二次函数y＝﹣x2﹣2x+8，‎ 令x＝0，则y＝8，‎ ‎∴图象与y轴的交点坐标为（0，8），故说法④错误，‎ 即正确的有①③⑤，‎ 故选：B．‎ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）‎ ‎11．分解因式：3a3﹣12a2+12a＝　3a（a﹣2）2　．‎ ‎【分析】首先提取公因式3a，再利用完全平方公式进行二次分解即可．‎ 解：原式＝3a（a2﹣4a+4）＝3a（a﹣2）2，‎ 故答案为：3a（a﹣2）2．‎ ‎12．被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST的反射面总面积相当于35个标准足球场的总面积．已知每个标准足球场的面积为7140m2，则用科学记数法表示FAST的反射面总面积约为　2.5×105　m2．（精确到小数点后一位）‎ ‎【分析】先计算FAST的反射面总面积，再根据科学记数法表示出来，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于249900≈250000有6位，所以可以确定n＝6﹣1＝5．‎ 解：根据题意得：7140×35＝249900≈2.5×105（m2）‎ 故答案为：2.5×105．‎ ‎13．如图，在▱ABCD中，AH⊥BC，垂足为H，若AB＝10，BC＝16，sinB＝，则tan∠CDH＝　　．‎ ‎【分析】根据题意，可以求得AH和BH的长，从而可以得到CE的长，然后即可得到DE的长，从而可以得到tan∠CDH的值．‎ 解：∵AB＝10，sinB＝，AH⊥BC，BC＝16，‎ ‎∴AH＝8，∠AHB＝90°，‎ ‎∴BH＝6，‎ ‎∴CH＝10，‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，BC＝16，‎ ‎∴AD∥BC，AD＝BC＝16，‎ ‎∴∠AHB＝∠HAD＝90°，‎ ‎∴HD＝＝8，‎ 作CE⊥DH于点E，‎ ‎，‎ 即，‎ 解得，CE＝2，‎ ‎∴HE＝＝4，‎ ‎∴DE＝4，‎ ‎∴tan∠CDH＝＝，‎ 故答案为：．‎ ‎14．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝6，BC＝4，以CD为直径作⊙O，将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A′B′C′D′的边A′B′与⊙O相切，切点为M，边CD′与⊙O相交于点N，则CN的长为　4　．‎ ‎【分析】连接OE，延长EO交CD于点G，作OH⊥B′C，由旋转性质知∠B′＝∠B′CD′＝90°、AB＝CD＝6，BC＝B′C＝4，从而得出四边形OEB′H和四边形EB′CG都是矩形且OE＝OD＝OC＝3，继而求得CG＝B′E＝OH＝＝2，根据垂径定理可得CF的长．‎ 解：连接OM，延长MO交CD于点G，作OH⊥B′C于点H，‎ 则∠OMB′＝∠OHB′＝90°，‎ ‎∵矩形ABCD绕点C旋转所得矩形为A′B′C′D′，‎ ‎∴∠B′＝∠B′CD′＝90°，AB＝CD＝6，BC＝B′C＝4，‎ ‎∴四边形OMB′H和四边形MB′CG都是矩形，OE＝OD＝OC＝3，‎ ‎∴B′H＝OM＝3，‎ ‎∴CH＝B′C﹣B′H＝1，‎ ‎∴CG＝B′M＝OH＝＝2，‎ ‎∵四边形MB′CG是矩形，‎ ‎∴∠OGC＝90°，即OG⊥CD′，‎ ‎∴CN＝2CG＝4，‎ 故答案为：4．‎ 三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）‎ ‎15．（1）计算：|﹣2|﹣+6cos30°﹣（）﹣2+（π﹣3.14）0．‎ ‎（2）求不等式组的非负整数解．‎ ‎【分析】（1）先算绝对值，二次根式，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂，再算加减法即可求解；‎ ‎（2）首先确定不等式组的解集，再根据非负整数解的定义即可求解．‎ 解：（1）|﹣2|﹣+6cos30°﹣（）﹣2+（π﹣3.14）0‎ ‎＝﹣+2﹣2+6×﹣9+1‎ ‎＝﹣+2﹣2+3﹣9+1‎ ‎＝﹣6；‎ ‎（2），‎ 由①得x＜4；‎ 由②得x≤8；‎ 故原不等式组的解集为x＜4，非负整数解为0，1，2，3．‎ ‎16．先化简，再求值：÷+，其中a＝﹣1．‎ ‎【分析】先把除法运算化为乘法运算，约分后通分，接着再约分得到原式＝，然后把a的值代入计算．‎ 解：原式＝•+‎ ‎＝+‎ ‎＝‎ ‎＝‎ ‎＝，‎ 当a＝﹣1，‎ 所以原式＝＝+1．‎ ‎17．如图，甲、乙两座建筑物的水平距离BC为80m，从甲的顶部A处测得乙的顶部D处的俯角为50°，测得底部C处的俯角为62°．求甲、乙建筑物的高度AB和DC．（结果取整数；参考数据：tan50°≈1.19，tan62°≈1.88）‎ ‎【分析】作DE⊥AB于E，根据正切的定义分别求出AB、AE，得到答案．‎ 解：作DE⊥AB于E，‎ 则四边形EBCD为矩形，‎ ‎∴DE＝BC＝80m，BE＝CD，‎ 由题意得，∠ADE＝50°，∠ACB＝62°，‎ 在Rt△ADE中，tan∠ADE＝，‎ 则AE＝DE•tan∠ADE≈80×1.19＝95.2，‎ 在Rt△ACB中，tan∠ACB＝，‎ 则AB＝BC•tan∠ACB≈80×1.88＝150.4≈150（m），‎ 则CD＝BE＝AB﹣AE＝150.4﹣95.2＝55.2≈55（m），‎ 答：甲建筑物的高度AB约为156m，乙建筑物的高度DC约为55m．‎ ‎18．我市某中学举行书法大赛，对各年级同学的获奖情况进行了统计，并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中相关数据解答下列问题：‎ ‎（1）请将条形统计图补全；‎ ‎（2）获得一等奖的同学中有来自七年级，有来自八年级，其他同学均来自九年级．现准备从获得一等奖的同学中任选两人參加市内书法大赛，请通过列表或画树状图求所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的概率．‎ ‎【分析】（1）先用参与奖的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再计算出获一等奖的人数，然后补全条形统计图；‎ ‎（2）条件题意得到获得一等奖的同学中七年级一人，八年级一人，九年级两人，再画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的结果数，然后根据概率公式计算．‎ 解：（1）调查的总人数为10÷25%＝40（人），‎ 所以获一等奖的人数为40﹣8﹣6﹣12﹣10＝4（人），‎ 条形统计图为：‎ ‎（2）获得一等奖的同学中有来自七年级，有来自八年级，其他同学均来自九年级，则获得一等奖的同学中七年级一人，八年级一人，九年级两人，‎ 画树状图为：‎ 共有12种等可能的结果数，其中所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的结果数为4，‎ 所以所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的概率＝＝．‎ ‎19．如图，设反比例函数的解析式为y＝（k＞0）．‎ ‎（1）若该反比例函数与正比例函数y＝2x的图象有一个交点的纵坐标为2，求k的值；‎ ‎（2）若该反比例函数与过点M（﹣2，0）的直线l：y＝kx+b的图象交于A，B两点，如图所示，当△ABO的面积为时，求直线l的解析式．‎ ‎【分析】（1）由题意可得A（1，2），利用待定系数法即可解决问题；‎ ‎（2）把M（﹣2，0）代入y＝kx+b，可得b＝2k，可得y＝kx+2k，由消去y得到x2+2x﹣3＝0，解得x＝﹣3或1，推出B（﹣3，﹣k），A（1，3k），根据△ABO的面积为，可得•2•3k+•2•k＝，解方程即可解决问题；‎ 解：（1）由题意A（1，2），‎ 把A（1，2）代入y＝，得到3k＝2，‎ ‎∴k＝．‎ ‎（2）把M（﹣2，0）代入y＝kx+b，可得b＝2k，‎ ‎∴y＝kx+2k，‎ 由消去y得到x2+2x﹣3＝0，解得x＝﹣3或1，‎ ‎∴B（﹣3，﹣k），A（1，3k），‎ ‎∵△ABO的面积为，‎ ‎∴•2•3k+•2•k＝，‎ 解得k＝，‎ ‎∴直线l的解析式为y＝x+．‎ ‎20．如图，已知⊙O的两条直径AB，CD互相垂直，过BA延长线上一点P作PE切⊙O于点E，过点E作EF⊥AB于点F，连接AE．‎ ‎（1）求证：∠PEA＝∠AEF；‎ ‎（2）若AP＝AE，PE＝6．求PB的长；‎ ‎（3）连接PD交⊙O于点G，连接OG，FD，若∠AOG＝∠FDO，OD＝2．求四边形AGDB的面积．‎ ‎【分析】（1）连接OM，由条件易得∠PEA+∠OEA＝90°，∠AEF+∠EAO＝90°，由OE＝OA可得∠OEA＝∠OAE，从而得到∠PEA＝∠AEF．‎ ‎（2）由AP＝AE得∠MPA＝∠PEA，在△PFE中，运用三角形内角和定理可求出∠EPA的值，然后利用三角函数就可求出OE、OP的长，就可求出PB的长．‎ ‎（3）过点G作GH⊥OA于点H，如图2，易证△OFE∽△OEP，从而有＝，由OE＝OD得＝，从而可以证到△FOD∽△DOP，进而可以证到∠FDO＝∠DPO＝∠POG＝α，根据三角形内角和定理可求出α的值，然后利用三角函数就可求出PO、GH的长，进而可求出PA、PB的长，就可求出四边形AGDB的面积．‎ ‎【解答】（1）证明：连接OE．‎ ‎∵PE切⊙O于点E，‎ ‎∴∠PEO＝90°．‎ ‎∴∠PEA+∠OEA＝90°．‎ ‎∵EF⊥AB，‎ ‎∴∠AGF+∠GAO＝90°．‎ ‎∵OE＝OA，‎ ‎∴∠OEA＝∠OAE，‎ ‎∴∠PEA＝∠AEF．‎ ‎（2）解：∵AP＝AE，‎ ‎∴∠EPA＝∠PEA．‎ ‎∴∠EPA＝∠PEA＝∠AEF．‎ ‎∴∠EPA+∠PEF＝90°．‎ ‎∴3∠EPA＝90°．‎ ‎∴∠EPA＝30°．‎ ‎∴tan∠EPO＝＝＝，‎ ‎∴OE＝2‎ ‎∴OP＝＝4，‎ ‎∴PB＝PO+OB＝PO+OE＝6‎ ‎∴PB的长为6．‎ ‎（3）解：过点G作GH⊥OA于点H．‎ ‎∵∠EFO＝∠PEO＝90°，∠EOF＝∠POE，‎ ‎∴△OFE∽△OEP．‎ ‎∴＝，‎ ‎∵OE＝OD，‎ ‎∴＝，‎ ‎∵∠FOD＝∠DOP，设∠FOD＝∠DOP＝α，‎ ‎∴△FOD∽△DOP．‎ ‎∴∠FDO＝∠DPO．‎ ‎∵∠POG＝∠FDO，‎ ‎∴∠POG＝∠DPO＝α．‎ ‎∴∠OGD＝2α，‎ ‎∵OG＝OD，‎ ‎∴∠ODG＝∠OED＝2α．‎ ‎∵∠POD＝90°，‎ ‎∴α+2α＝90°．‎ ‎∴α＝30°．‎ ‎∴∠PDO＝60°．‎ ‎∵GH⊥AO，‎ ‎∴GH＝OG＝OD＝1．‎ 在Rt△POD中，‎ tan∠PDO＝＝＝，‎ ‎∴OP＝2‎ ‎∴AP＝OP﹣OA＝OP﹣OD＝2﹣2．‎ ‎∴S四边形AGDB＝S△DBP﹣S△GAP ‎＝BP•OD﹣AP•GH ‎＝×（2+2）×2﹣×（2﹣2）×1‎ ‎＝3+‎ ‎∴四边形AEDB的面积为3+．‎ 四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）‎ ‎21．若关于x的不等式组只有4个整数解，则a的取值范围是　﹣3＜a≤﹣　．‎ ‎【分析】将原不等式组的两不等式分别记作①和②，分别利用不等式的基本性质表示出①和②的解集，找出公共部分，表示出不等式组的解集，根据此解集只有4个整数解，列出关于a的不等式组，求出不等式组的解集即可得到a的取值范围．‎ 解：，‎ 由①去括号得：x+9＞2x﹣6，‎ 解得：x＜15，‎ 由②去分母得：2（x+1）＜3x+3a，‎ 去括号得：2x+2＜3x+3a，‎ 解得：x＞2﹣3a，‎ ‎∴不等式组的解集为2﹣3a＜x＜15，‎ ‎∵不等式组只有4个整数解，‎ ‎∴其整数解为11，12，13，14，‎ 则10≤2﹣3a＜11，‎ 可化为：，‎ 由③解得：a≤﹣；‎ 由④解得：a＞﹣3，‎ 则a的范围为﹣3＜a≤﹣．‎ 故答案为：﹣3＜a≤﹣．‎ ‎22．如图，已知AC与BD是⊙O的两条直径，首尾顺次连接点A，B，C，D得到四边形ABCD．若AC＝10，∠BAC＝36°，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域内的概率为　　．‎ ‎【分析】根据已知条件得到四边形ABCD是矩形，求得图中阴影部分的面积＝S扇形AOD+S扇形BOC＝2S扇形AOD，根据等腰三角形的性质得到∠BAC＝∠ABO＝36°，由圆周角定理得到∠AOD＝72°，于是得到阴影区域的面积，再根据圆的面积和概率公式即可求得结论．‎ 解：∵AC与BD是⊙O的两条直径，‎ ‎∴∠ABC＝∠ADC＝∠DAB＝∠BCD＝90°，‎ ‎∴四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴△ABO与△CDO的面积的和＝△AOD与△BOC的面积的和，‎ ‎∴图中阴影部分的面积＝S扇形AOD+S扇形BOC＝2S扇形AOD，‎ ‎∵OA＝OB，‎ ‎∴∠BAC＝∠ABO＝36°，‎ ‎∴∠AOD＝72°，‎ ‎∴图中阴影部分的面积＝2×＝10π，‎ ‎∴针尖落在阴影区域内的概率为＝＝．‎ 故答案为：．‎ ‎23．已知x1，x2是方程x2﹣2（k+1）x+k2+2k﹣1＝0的两个实数根，而a是关于y的方程y2﹣（x1+x2﹣2k）y+（x1﹣k）（x2﹣k）＝0的实数根，则代数式（﹣）÷•的值是　﹣　．‎ ‎【分析】根据根与系数的关系得出x1+x2＝2（k+1），x1•x2＝k2+2k﹣1，求出x1+x2﹣2k＝2，（x1﹣k）（x2﹣k）＝﹣1，求出方程②，求出a2﹣2a﹣1＝0，即可得出答案．‎ 解：∵x1，x2是方程x2﹣2（k+1）x+k2+2k﹣1＝0①的两个实数根，‎ ‎∴x1+x2＝2（k+1），x1•x2＝k2+2k﹣1，‎ ‎∴x1+x2﹣2k＝2（k+1）﹣2k＝2，（x1﹣k）（x2﹣k）＝x1•x2﹣（x1+x2）k+k2＝k2+2k﹣1﹣（2k+2）k+k2＝﹣1，‎ 方程y2﹣（x1+x2﹣2k）y+（x1﹣k）（x2﹣k）＝0②为y2﹣2y﹣1＝0，‎ ‎∵a是关于y的方程y2﹣（x1+x2﹣2k）y+（x1﹣k）（x2﹣k）＝0…②的根，‎ ‎∴a2﹣2a﹣1＝0，‎ ‎∴a2﹣1＝2a，‎ ‎∴（﹣）÷•‎ ‎＝××‎ ‎＝××‎ ‎＝﹣．‎ 故答案为：﹣．‎ ‎24．如图，已知正方形ABCD的边长为1，以BC为直径作半圆，E是AD的中点，CE与半圆交于点F，连接AF．给出如下结论：‎ ‎①AF＝1；②＝；③S△EAF＝；④cos∠BAF＝．‎ 其中正确的结论是　①②④　．（只填序号）‎ ‎【分析】①连接OF，OA，如图1．易证四边形AOCE是平行四边形，从而可得AO∥CE．结合OB＝OF，可证到∠BOA＝∠FOA，从而证到△BOA≌△FOA，则有AF＝AB＝1；‎ ‎②连接BF，如图2，根据勾股定理可求出CE．易证Rt△△BFC∽Rt△CDE（SAS），运用相似三角形的性质可求出CF，从而求出EF的值，就可得到的值；‎ ‎③过点F作FH⊥AD于H，如图3．易证△EHF∽△EDC，运用相似三角形的性质可求出EH，从而可求出S△EAF的值；‎ ‎④过点F作FN⊥AB于N，如图4．易得AE∥NF∥BC，根据平行线分线段成比例可得＝＝，把BN＝1﹣AN代入，即可求出AN，然后在Rt△ANF中运用三角函数的定义，就可求出cos∠BAF的值．‎ 解：正确结论是①②④．‎ ‎①连接OF，OA，如图1．‎ 则四边形AOCE是平行四边形，‎ 则AO∥CE．‎ ‎∵OB＝OF，‎ ‎∴∠BOA＝∠FOA，‎ ‎∴△BOA≌△FOA（SAS），‎ ‎∴AF＝AB＝1．‎ 故①正确；‎ ‎②连接BF，如图2．‎ 则DE＝，CE＝＝．‎ 则Rt△BFC∽Rt△CDE，‎ 由相似三角形的性质可得CF＝，‎ 则EF＝﹣＝，‎ ‎∴＝．‎ 故②正确；‎ ‎③过点F作FH⊥AD于H，如图3．‎ 则△EHF∽△EDC，‎ 由相似三角形的性质可得FH＝，‎ ‎∴S△EAF＝AE•FH＝××＝．‎ 故③错误；‎ ‎④过点F作FN⊥AB于N，如图4．‎ 则AE∥NF∥BC，‎ 根据平行线分线段成比例可得＝＝，‎ 则＝，‎ 解得：AN＝．‎ 由AF＝1，得cos∠BAF＝＝．‎ 故④正确．‎ 综上所述：正确结论是①②④．‎ 故答案为：①②④．‎ ‎25．在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为“和谐点”，例如点（﹣，﹣），（5，5），（﹣，﹣），…都是“和谐点”．若二次函数y＝ax2+4x+c（a≠0）的图象上有且只有一个“和谐点”（，），当0≤x≤m时，函数y＝ax2+4x+c﹣（a≠0）的最小值为﹣3，最大值为1，则m的取值范围是　2≤m≤4　．‎ ‎【分析】根据和谐点的概念令ax2+4x+c＝x，即ax2+3x+c＝0，由题意，△＝32﹣4ac＝0，即4ac＝9，方程的根为＝，从而求得a＝﹣1，c＝﹣，所以函数y＝ax2+4x+c﹣＝﹣x2+4x﹣3，根据函数解析式求得顶点坐标与纵坐标的交点坐标，根据y的取值，即可确定x的取值范围．‎ 解：令ax2+4x+c＝x，即ax2+3x+c＝0，‎ 由题意，△＝32﹣4ac＝0，即4ac＝9，‎ 又方程的根为＝，‎ 解得a＝﹣1，c＝﹣．‎ 故函数y＝ax2+4x+c﹣＝﹣x2+4x﹣3，‎ 如图，该函数图象顶点为（2，1），与y轴交点为（0，﹣3），由对称性，该函数图象也经过点（4，﹣3）．‎ 由于函数图象在对称轴x＝2左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小，且当0≤x≤m时，函数y＝﹣x2+4x﹣3的最小值为﹣3，最大值为1，‎ ‎∴2≤m≤4，‎ 故答案为：2≤m≤4．‎ 五、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）‎ ‎26．为了支持大学生创业，某市政府出台了一项优惠政策；提供16万元的无息创业贷款．小吴利用这笔贷款注册了一家淘宝网店，招收5名员工，销售一种畅销产品，并约定用该网店经营的利润逐月偿还这笔无息贷款．已知该产品的成本为每件4元，员工每人每月的工资为4000元，该网店还需每月支付其他费用1万元．该产品每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示．‎ ‎（1）求该网店每月利润W（万元）与销售单价x（元）之间的函数表达式；‎ ‎（2）小吴自网店开业起，最快在第几个月可还清16万元的无息贷款？‎ ‎【分析】（1）y（万件）与销售单价x是分段函数，根据待定系数法分别求直线AB和BC的解析式，又分两种情况，根据利润＝（售价﹣成本）×销售量﹣费用，得结论；‎ ‎（2）分别计算两个利润的最大值，比较可得出利润的最大值，最后计算时间即可求解．‎ 解：（1）设直线AB的解析式为：y＝kx+b，‎ 代入A（4，4），B（6，2）得：，解得：，‎ ‎∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+8，‎ 同理代入B（6，2），C（8，1）可得直线BC的解析式为：y＝﹣x+5，‎ ‎∵工资及其它费用为：0.4×5+1＝3万元，‎ ‎∴当4≤x≤6时，w1＝（x﹣4）（﹣x+8）﹣3＝﹣x2+12x﹣35，‎ 当6＜x≤8时，w2＝（x﹣4）（﹣x+5）﹣3＝﹣x2+7x﹣23；‎ ‎（2）当4≤x≤6时，‎ w1＝﹣x2+12x﹣35＝﹣（x﹣6）2+1，‎ ‎∴当x＝6时，w1取最大值是1，‎ 当6＜x≤8时，‎ w2＝﹣x2+7x﹣23＝﹣（x﹣7）2+，‎ 当x＝7时，w2取最大值是1.5，‎ ‎∴，‎ 即最快在第11个月可还清10万元的无息贷款．‎ ‎27．已知菱形ABCD中BD为对角线，P、Q两点分别在AB、BD上，且满足∠PCQ＝∠ABD ‎（1）如图1，当∠BAD＝90°时，求：的值；‎ ‎（2）如图2，当∠BAD＝120°时，求证：DQ+BP＝2CD；‎ ‎（3）如图3，在（2）的条件下，延长CQ交AD边于点E交BA的延长线于点M，作∠DCE的平分线交AD边于点F，若＝，EF＝，求线段CD的长 ‎【分析】（1）当∠BAD＝90°时四边形ABCD是正方形，易证△APC∽△DQC，则可以得到AP＝DQ，则可求得答案；‎ ‎（2）作∠QCK＝∠PCQ，过B作BL∥CK，连接AC，易证△DLB∽△DQC则DL＝DQ，然后证明△ACP≌△DCK，即可证得；‎ ‎（3）设BC＝5k，则MC＝7k，过C作CG⊥AB于G，则∠CGB＝90°，在直角△BCG中，利用三角函数求得BG，CG，然后在直角△MCG中，利用勾股定理求得MG的长，证明△AME∽△DCE，根据相似三角形的对应边的比相等求得AE的长，延长CF、BM交于H，可以证得△DFC∽△AFH，求得AF的长，根据EF＝AF﹣AE求得k的值，即可求解．‎ 解：‎ ‎（1）如图1，连接AC，在菱形ABCD中，‎ ‎∵∠BAD＝90°，‎ ‎∴四边形ABCD是正方形．‎ ‎∴∠PCQ＝∠CDQ＝45°，∠PAC＝∠QDC＝∠ACD＝45°‎ ‎∴∠ACP+∠ACQ＝∠ACQ+∠QCD＝45°，‎ ‎∴∠ACP＝∠QCD ‎∴△APC∽△DQC，‎ ‎∴＝＝；‎ ‎（2）如图2，作∠QCK＝∠PCQ，过B作BL∥CK，连接AC．‎ ‎∵∠QCK＝∠ADB，‎ ‎∴∠CQD＝∠CKD ‎∵CK∥BL，‎ ‎∴∠CKD＝∠BLD，‎ ‎∴△DLB∽△DQC．‎ ‎∴DL＝DQ，‎ ‎∴CD+DK＝DQ，‎ 又∵四边形APCK对角互补，AC平分∠PAK，‎ ‎∴△ACP≌△DCK，‎ ‎∴DK＝AP，‎ ‎∴CD+DK＝CD+AP＝2CD﹣BP＝DQ，‎ 即DQ+BP＝2CD；‎ ‎（3）在菱形ABCD中，∠ABD＝∠BDC＝30°，‎ ‎∵∠PCQ＝∠ABD＝30°，‎ ‎∴∠PCQ＝∠CDQ．‎ ‎∵BM∥CD，‎ ‎∴∠PMC＝∠DCQ，‎ ‎∴△DQC∽△MPC ‎∴CQ：PM＝DC：MC＝5：7，‎ ‎∴BC：MC＝5：7．‎ 设BC＝5k，则MC＝7k，如图3，过C作CG⊥AB于G，则∠CGB＝90°‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴∠BAD+∠ABC＝180°．‎ ‎∵∠BAD＝120°，‎ ‎∴∠ABC＝60°，‎ ‎∴BG＝k，CG＝k．‎ 在Rt△MGC中，MG＝＝k，‎ ‎∴BM＝8k．‎ ‎∵AB＝BC＝5k，‎ ‎∴AM＝BM﹣AB＝3k．‎ ‎∵AM∥CD，‎ ‎∴∠AMC＝∠DCM，‎ ‎∵∠AEM＝∠DEC，‎ ‎∴△AME∽△DCE，‎ ‎∴AM：DC＝AE：DE．‎ ‎∴AE＝k．‎ 延长CF、BM交于H，则∠DCF＝∠MHC ‎∵FC平分∠ECD，‎ ‎∴∠ECF＝∠DCF，‎ ‎∴∠MCH＝∠MHC，‎ ‎∴MH＝MC＝7k，‎ ‎∴AH＝AM+MH＝10k．‎ ‎∵∠HFA＝∠CFD，‎ ‎∴△DFC∽△AFH，‎ ‎∴DF：AF＝DC：AH ‎∴AF＝k，EF＝AF﹣AE＝k，‎ ‎∵EF＝k，‎ ‎∴k＝1．‎ ‎∴DC＝5．‎ ‎28．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝x+相交于A（﹣1，0），B（4，m）两点，抛物线y＝ax2+bx+c交y轴于点C（0，﹣），交x轴正半轴于点D，抛物线的顶点为M．‎ ‎（1）求抛物线的表达式及点M的坐标；‎ ‎（2）设P为直线AB下方的抛物线上一动点，当△PAB的面积最大时，求此时△PAB的面积及点P的坐标；‎ ‎（3）Q为x轴上一动点，N是抛物线上一点，当△QMN∽△MAD（点Q与点M对应）时，求点Q的坐标．‎ ‎【分析】（1）将点B代入直线解析式求出m的值，再代入点A、B、C即可求出抛物线的解析式．‎ ‎（2）过点P作y轴的平行线交直线AB与点H，设点P的坐标，表示线段PH的长度，表示△PAB的面积，利用二次函数求最值问题配方即可．‎ ‎（3）先证出△MAD为等腰直角三角形，再构造″K″字形求点Q的坐标即可．‎ 解：（1）把点B（4，m）代入y＝x+中，得m＝，‎ ‎∴B（4，），‎ 把点A（﹣1，0）、B（4，）、C（0，﹣）代入抛物线中，得，‎ 解得 ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣，‎ ‎∵y＝x2﹣x﹣＝（x﹣1）2﹣2，‎ ‎∴点M的坐标为（1，﹣2）．‎ ‎（2）∵点P为直线AB下方抛物线上一动点，‎ ‎∴﹣1＜x＜4，‎ 如图1所示，过点P作y轴的平行线交AB于点H，‎ 设点P的坐标为（m，m2﹣m﹣），则点H（m，m+），‎ S△PAB＝•HP•（xB﹣xA）＝•（﹣m2+m+2）×5＝﹣（m﹣）2+，‎ ‎∵﹣＜0，‎ ‎∴当m＝时，S最大，最大为，此时点P（，﹣）．‎ ‎（3）如图2所示，‎ 令y＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，‎ ‎∴D（3，0），‎ ‎∵M（1，﹣2），A（﹣1，0），‎ ‎∴△AMD为等腰直角三角形，‎ 设点N的坐标为（n，n2﹣n﹣），‎ ‎∵△QEN≌△MFQ（AAS），‎ ‎∴FQ＝EN＝2，MF＝EQ＝n2﹣n﹣，‎ ‎∴n2﹣n﹣+1＝n+2，‎ 解得n＝5或﹣1（舍），‎ ‎∴点Q的坐标为（7，0），‎ 根据对称性可知，点Q的坐标为（﹣5，0）时也满足条件，‎ ‎∵△ADM是等腰直角三角形，‎ ‎∴当点Q是AD的中点，N与A或D重合时，△QMN∽△MAD，‎ 此时Q（1，0）时．‎ 综上所述：点Q的坐标为（7，0）或（﹣5，0）或（1，0）．‎