2020年山西省中考数学试卷【含答案】 12页

1 / 12 2020 年山西省中考数学试卷 一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分．在每个小题给出的四个选 项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 计算(−6) ÷ (− 1 3)的结果是（ ） A.−18 B.2 C.18 D.−2 2. 自 XXXXXX 发生以来，全国人民共同抗疫，各地积极普及科学防控知识，下面是 科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A.3푎 + 2푎＝5푎2 B.−8푎2 ÷ 4푎＝2푎 C.(−2푎2)3＝−8푎6 D.4푎3 ⋅ 3푎2＝12푎6 4. 下列几何体都是由4个大小相同的小正方体组成的，其中主视图与左视图相同的 几何体是（ ） A. B. C. D. 5. 泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰 勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的 高度，这种测量原理，就是我们所学的（ ） A.图形的平移 B.图形的旋转 C.图形的轴对称 D.图形的相似 6. 不等式组{2푥 − 6 > 0, 4 − 푥 < −1 的解集是（ ） A.푥 > 5 B.3 < 푥 < 5 C.푥 < 5 D.푥 > −5 7. 已知点퐴(푥1, 푦1)，퐵(푥2, 푦2)，퐶(푥3, 푦3)都在反比例函数푦 = 푘 푥 (푘 < 0)的图象上， 且푥1 < 푥2 < 0 < 푥3，则푦1，푦2，푦3的大小关系是（ ） A.푦2 > 푦1 > 푦3 B.푦3 > 푦2 > 푦1 C.푦1 > 푦2 > 푦3 D.푦3 > 푦1 > 푦2 8. 中国美食讲究色香味美，优雅的摆造型出会让美食锦上添花．图①中的摆盘，其 形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到퐴퐶＝ 퐵퐷＝12푐푚，퐶，퐷两点之间的距离为4푐푚，圆心角为60∘，则图中摆盘的面积是（ ） A.80휋푐푚2 B.40휋푐푚2 C.24휋푐푚2 D.2휋푐푚2 9. 竖直上抛物体离地面的高度ℎ(푚)与运动时间푡(푠)之间的关系可以近似地用公式ℎ ＝−5푡2 + 푣0푡 + ℎ0表示，其中ℎ0(푚)是物体抛出时离地面的高度，푣0(푚/푠)是物体抛出 时的速度．某人将一个小球从距地面1.5푚的高处以20푚/푠的速度竖直向上抛出，小球 达到的离地面的最大高度为（ ） A.23.5푚 B.22.5푚 C.21.5푚 D.20.5푚 10. 如图是一张矩形纸板，顺次连接各边中点得到菱形，再顺次连接菱形各边中点 得到一个小矩形．将一个飞镖随机投掷到大矩形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率 是（ ） 2 / 12 A.1 3 B.1 4 C.1 6 D.1 8 二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 3 分，共 15 分） 11. 计算：(√3 + √2)2 − √24 =________． 12. 如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第1个图案 有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形…按此规律摆下去， 第푛个图案有________个三角形（用含푛的代数式表示）． 13. 某校为了选拔一名百米赛跑运动员参加市中学生运动会，组织了6次预选赛，其 中甲，乙两名运动员较为突出，他们在6次预选赛中的成绩（单位：秒）如下表所示： 甲 12.0 12.0 12.2 11.8 12.1 11.9 乙 12.3 12.1 11.8 12.0 11.7 12.1 由于甲，乙两名运动员的成绩的平均数相同，学校决定依据他们成绩的稳定性进行选 拔，那么被选中的运动员是________． 14. 如图是一张长12푐푚，宽10푐푚的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全 等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是24푐푚2的有盖的长方体铁盒．则剪 去的正方形的边长为 2 푐푚． 15. 如图，在푅푡 △ 퐴퐵퐶中，∠퐴퐶퐵＝90∘，퐴퐶＝3，퐵퐶＝4，퐶퐷 ⊥ 퐴퐵，垂足为퐷，퐸 为퐵퐶的中点，퐴퐸与퐶퐷交于点퐹，则퐷퐹的长为________． 三、解答题（本大题共 8 个小题，共 75 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算 步骤） 16. （1）计算：(−4)2 × (− 1 2)3 − (−4 + 1)． （2）下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． 푥2 − 9 푥2 + 6푥 + 9 − 2푥 + 1 2푥 + 6 = (푥+3)(푥−3) (푥+3)2 − 2푥+1 2(푥+3) ⋯第一步 = 푥−3 푥+3 − 2푥+1 2(푥+3) ⋯第二步 = 2(푥−3) 2(푥+3) − 2푥+1 2(푥+3) ⋯第三步 = 2푥−6−(2푥+1) 2(푥+3) ⋯第四步 = 2푥−6−2푥+1 2(푥+3) ⋯第五步 3 / 12 = − 5 2푥+6 ⋯第六步 任务一：填空： ①以上化简步骤中，第________步是进行分式的通分，通分的依据是________．或填 为：________； ②第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________； 任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果； 任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的 事项给其他同学提一条建议． 17. 2020年5月份，省城太原开展了“活力太原•乐购晋阳”消费暖心活动，本次活 动中的家电消费券单笔交易满600元立减128元（每次只能使用一张）．某品牌电饭煲 按进价提高50%后标价，若按标价的八折销售，某顾客购买该电饭煲时，使用一张家 电消费券后，又付现金568元．求该电饭煲的进价． 18. 如图，四边形푂퐴퐵퐶是平行四边形，以点푂为圆心，푂퐶为半径的⊙ 푂与퐴퐵相切于 点퐵，与퐴푂相交于点퐷，퐴푂的延长线交⊙ 푂于点퐸，连接퐸퐵交푂퐶于点퐹．求∠퐶和∠퐸 的度数． 4 / 12 19. 2020年国家提出并部署了“新基建”项目，主要包含“特高压，城际高速铁路和 城市轨道交通，5퐺基站建设，工业互联网，大数据中心，人工智能，新能源汽车充电 桩”等．《2020新基建中高端人才市场就业吸引力报告》重点刻画了“新基建”中五 大细分领域（5퐺基站建设，工业互联网，大数据中心，人工智能，新能源汽车充电桩） 总体的人才与就业机会．如图是其中的一个统计图． 请根据图中信息，解答下列问题： （1）填空：图中2020年“新基建”七大领域预计投资规模的中位数是________亿元； （2）甲，乙两位待业人员，仅根据上面统计图中的数据，从五大细分领域中分别选 择了“5퐺基站建设”和“人工智能”作为自己的就业方向．请简要说明他们选择就业 方向的理由各是什么； （3）小勇对“新基建”很感兴趣，他收集到了五大细分领域的图标，依次制成编号 为푊，퐺，퐷，푅，푋的五张卡片（除编号和内容外，其余完全相同），将这五张卡片背 面朝上，洗匀放好，从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张．请用列表 或画状图的方法求抽到的两张卡片恰好是编号为푊（5퐺基站建设）和푅（人工智能） 的概 率． 20. 阅读与思考 如图是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． ×年×月×日星期日 没有直角尺也能作出直角 今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图①所示的四边形木板， 他已经在木板上画出一条裁割线퐴퐵，现根据木板的情况，要过퐴퐵上的一点퐶，作出 퐴퐵的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢？ 办法一：如图①，可利用一把有刻度的直尺在퐴퐵上量出퐶퐷＝30푐푚，然后分别以퐷， 퐶为圆心，以50푐푚与40푐푚为半径画圆弧，两弧相交于点퐸，作直线퐶퐸，则∠퐷퐶퐸必为 5 / 12 90∘． 办法二：如图②，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出푀，푁两点，然后把 木棒斜放在木板上，使点푀与点퐶重合，用铅笔在木板上将点푁对应的位置标记为点푄， 保持点푁不动，将木棒绕点푁旋转，使点푀落在퐴퐵上，在木板上将点푀对应的位置标 记为点푅．然后将푅푄延长，在延长线上截取线段푄푆＝푀푁，得到点푆，作直线푆퐶，则 ∠푅퐶푆＝90∘． 我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺 也能作出垂线呢？…… 任务： （1）填空：“办法一”依据的一个数学定理是________； （2）根据“办法二”的操作过程，证明∠푅퐶푆＝90∘； （3）①尺规作图：请在图③的木板上，过点퐶作出퐴퐵的垂线（在木板上保留作图痕 迹，不写作法）； ②说明你的作法所依据的数学定理或基本事实． 21. 图①是某车站的一组智能通道闸机，当行人通过时智能闸机会自动识别行人身份， 识别成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时行人即可通过．图②是两 圆弧翼展开时的截面图，扇形퐴퐵퐶和퐷퐸퐹是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称， 퐵퐶和퐸퐹均垂直于地面，扇形的圆心角∠퐴퐵퐶＝∠퐷퐸퐹＝28∘，半径퐵퐴＝퐸퐷＝60푐푚，点 퐴与点퐷在同一水平线上，且它们之间的距离为10푐푚． （1）求闸机通道的宽度，即퐵퐶与퐸퐹之间的距离（参考数据：sin28∘ ≈ 0.47， cos28∘ ≈ 0.88，tan28∘ ≈ 0.53）； （2）经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的2 倍，180人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约3分钟，求一个智 能闸机平均每分钟检票通过的人数． 6 / 12 22. 综合与实践 问题情境： 如图①，点퐸为正方形퐴퐵퐶퐷内一点，∠퐴퐸퐵＝90∘，将푅푡 △ 퐴퐵퐸绕点퐵按顺时针方向旋 转90∘，得到△ 퐶퐵퐸′（点퐴的对应点为点퐶）．延长퐴퐸交퐶퐸′于点퐹，连接퐷퐸． 猜想证明： （1）试判断四边形퐵퐸′퐹퐸的形状，并说明理由； （2）如图②，若퐷퐴＝퐷퐸，请猜想线段퐶퐹与퐹퐸′的数量关系并加以证明； 解决问题： （3）如图①，若퐴퐵＝15，퐶퐹＝3，请直接写出퐷퐸的长． 7 / 12 23. 综合与探究 如图，抛物线푦 = 1 4 푥2 − 푥 − 3与푥轴交于퐴，퐵两点（点퐴在点퐵的左侧），与푦轴交于点 퐶．直线푙与抛物线交于퐴，퐷两点，与푦轴交于点퐸，点퐷的坐标为(4, −3)． （1）请直接写出퐴，퐵两点的坐标及直线푙的函数表达式； （2）若点푃是抛物线上的点，点푃的横坐标为푚(푚 ≥ 0)，过点푃作푃푀 ⊥ 푥轴，垂足为 푀．푃푀与直线푙交于点푁，当点푁是线段푃푀的三等分点时，求点푃的坐标； （3）若点푄是푦轴上的点，且∠퐴퐷푄＝45∘，求点푄的坐标． 8 / 12 参考答案与试题解析 2020 年山西省中考数学试卷 一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分．在每个小题给出的四个选 项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1.C 2.D 3.C 4.B 5.D 6.A 7.A 8.B 9.C 10.B 二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 3 分，共 15 分） 11.5 12.(3푛 + 1) 13.甲 14.2 15.54 85 三、解答题（本大题共 8 个小题，共 75 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算 步骤） 16.(−4)2 × (− 1 2)3 − (−4 + 1) ＝16 × (− 1 8) + 3 ＝−2 + 3 ＝1； 三,分式的基本性质,分式的分子分母都乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值 不变,五,括号前面是“-”，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号 17.该电饭煲的进价为580元 18.连接푂퐵，如图， ∵ ⊙ 푂与퐴퐵相切于点퐵， ∴ 푂퐵 ⊥ 퐴퐵， ∵ 四边形퐴퐵퐶푂为平行四边形， ∴ 퐴퐵 // 푂퐶，푂퐴 // 퐵퐶， ∴ 푂퐵 ⊥ 푂퐶， ∴ ∠퐵푂퐶＝90∘， ∵ 푂퐵＝푂퐶， ∴ △ 푂퐶퐵为等腰直角三角形， ∴ ∠퐶＝∠푂퐵퐶＝45∘， ∵ 퐴푂 // 퐵퐶， ∴ ∠퐴푂퐵＝∠푂퐵퐶＝45∘， ∴ ∠퐸 = 1 2 ∠퐴푂퐵＝22.5∘． 19.300 甲更关注在线职位的增长率，在“新基建”五大细分领域中，2020年一季度“5퐺基 站建设”在线职位与2019年同期相比增长率最高； 乙更关注预计投资规模，在“新基建”五大细分领域中，“人工智能”在2020年预计 投资规模最大； 9 / 12 列表如下： 푊 퐺 퐷 푅 푋 푊 (퐺,  푊) (퐷,  푊) (푅,  푊) (푋,  푊) 퐺 (푊,  퐺) (퐷,  퐺) (푅,  퐺) (푋,  퐺) 퐷 (푊,  퐷) (퐺,  퐷) (푅,  퐷) (푋,  퐷) 푅 (푊,  푅) (퐺,  푅) (퐷,  푅) (푋,  푅) 푋 (푊,  푋) (퐺,  푋) (퐷,  푋) (푅,  푋) 由表可知，共有20种等可能结果，其中抽到“푊”和“푅”的结果有2种， ∴ 抽到的两张卡片恰好是编号为푊（5퐺基站建设）和푅（人工智能）的概率 2 20 = 1 10 ． 20.勾股定理的逆定理 由作图方法可知，푄푃＝푄퐶，푄푆＝푄퐶， ∴ ∠푄퐶푅＝∠푄푅퐶，∠푄퐶푆＝∠푄푆퐶， ∵ ∠푆푅퐶 + ∠푅퐶푆 + ∠푄푅퐶 + ∠푄푆퐶＝180∘， ∴ 2(∠푄퐶푅 + ∠푄퐶푆)＝180∘， ∴ ∠푄퐶푅 + ∠푄퐶푆＝90∘， 即∠푅퐶푆＝90∘； ①如图③所示，直线푃퐶即为所求； ②答案不唯一，到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 21.连接퐴퐷，并向两方延长，分别交퐵퐶，퐸퐹于푀，푁， 由点퐴，퐷在同一条水平线上，퐵퐶，퐸퐹 均垂直于地面可知，푀푁 ⊥ 퐵퐶，푀푁 ⊥ 퐸퐹， 所以푀푁的长度就是퐵퐶与퐸퐹之间的距离， 同时，由两圆弧翼成轴对称可得，퐴푀＝퐷푁， 在푅푡 △ 퐴퐵푀中，∠퐴푀퐵＝90∘，∠퐴퐵푀＝28∘，퐴퐵＝60푐푚， ∵ sin∠퐴퐵푀 = 퐴푀 퐴퐵 ， ∴ 퐴푀＝퐴퐵 ⋅ sin∠퐴퐵푀＝60 ⋅ sin28∘ ≈ 60 × 0.47＝28.2， ∴ 푀푁＝퐴푀 + 퐷푁 + 퐴퐷＝2퐴푀 + 퐴퐷＝28.2 × 2 + 10＝66.4， ∴ 퐵퐶与퐸퐹之间的距离为66.4푐푚； 设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为푥人， 根据题意得，180 푥 − 3 = 180 2푥 ， 解得：푥＝30， 经检验，푥＝30是原方程的根， 当푥＝30时，2푥＝60， 答：一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为60人． 22.四边形퐵퐸′퐹퐸是正方形， 理由如下： ∵ 将푅푡 △ 퐴퐵퐸绕点퐵按顺时针方向旋转90∘， ∴ ∠퐴퐸퐵＝∠퐶퐸′퐵＝90∘，퐵퐸＝퐵퐸′，∠퐸퐵퐸′＝90∘， 10 / 12 又∵ ∠퐵퐸퐹＝90∘， ∴ 四边形퐵퐸′퐹퐸是矩形， 又∵ 퐵퐸＝퐵퐸′， ∴ 四边形퐵퐸′퐹퐸是正方形； 퐶퐹＝퐸′퐹； 理由如下：如图②，过点퐷作퐷퐻 ⊥ 퐴퐸于퐻， ∵ 퐷퐴＝퐷퐸，퐷퐻 ⊥ 퐴퐸， ∴ 퐴퐻 = 1 2 퐴퐸，퐷퐻 ⊥ 퐴퐸， ∴ ∠퐴퐷퐻 + ∠퐷퐴퐻＝90∘， ∵ 四边形퐴퐵퐶퐷是正方形， ∴ 퐴퐷＝퐴퐵，∠퐷퐴퐵＝90∘， ∴ ∠퐷퐴퐻 + ∠퐸퐴퐵＝90∘， ∴ ∠퐴퐷퐻＝∠퐸퐴퐵， 又∵ 퐴퐷＝퐴퐵，∠퐴퐻퐷＝∠퐴퐸퐵＝90∘， ∴ △ 퐴퐷퐻 ≅△ 퐵퐴퐸(퐴퐴푆)， ∴ 퐴퐻＝퐵퐸 = 1 2 퐴퐸， ∵ 将푅푡 △ 퐴퐵퐸绕点퐵按顺时针方向旋转90∘， ∴ 퐴퐸＝퐶퐸′， ∵ 四边形퐵퐸′퐹퐸是正方形， ∴ 퐵퐸＝퐸′퐹， ∴ 퐸′퐹 = 1 2 퐶퐸′， ∴ 퐶퐹＝퐸′퐹； 如图①，过点퐷作퐷퐻 ⊥ 퐴퐸于퐻， ∵ 四边形퐵퐸′퐹퐸是正方形， ∴ 퐵퐸′＝퐸′퐹＝퐵퐸， ∵ 퐴퐵＝퐵퐶＝15，퐶퐹＝3，퐵퐶2＝퐸′퐵2 + 퐸′퐶2， ∴ 225＝퐸′퐵2 + (퐸′퐵 + 3)2， ∴ 퐸′퐵＝9＝퐵퐸， ∴ 퐶퐸′＝퐶퐹 + 퐸′퐹＝12， 由（2）可知：퐵퐸＝퐴퐻＝9，퐷퐻＝퐴퐸＝퐶퐸′＝12， ∴ 퐻퐸＝3， ∴ 퐷퐸 = √퐷퐻2 + 퐻퐸2 = √144 + 9 = 3√17． 23.令푦＝0，得푦 = 1 4 푥2 − 푥 − 3＝0， 解得，푥＝−2，或푥＝6， ∴ 퐴(−2,  0)，퐵(6,  0)， 设直线푙的解析式为푦＝푘푥 + 푏(푘 ≠ 0)，则 {−2푘 + 푏 = 0 4푘 + 푏 = −3 ， 解得，{푘 = − 1 2 푏 = −1 ， 11 / 12 ∴ 直线푙的解析式为푦 = − 1 2 푥 − 1； 如图1，根据题意可知，点푃与点푁的坐标分别为 푃(푚, 1 4 푚2 − 푚 − 3)，푁(푚, − 1 2 푚 − 1)， ∴ 푃푀 = − 1 4 푚2 + 푚 + 3，푀푁 = 1 2 푚 + 1，푁푃 = − 1 4 푚2 + 1 2 푚 + 2， 分两种情况： ①当푃푀＝3푀푁时，得− 1 4 푚2 + 푚 + 3＝3(1 2 푚 + 1)， 解得，푚＝0，或푚＝−2（舍）， ∴ 푃(0, −3)； ②当푃푀＝3푁푃时，得− 1 4 푚2 + 푚 + 3＝3(− 1 4 푚2 + 1 2 푚 + 2)， 解得，푚＝3，或푚＝−2（舍）， ∴ 푃(3, − 15 4 )； ∴ 当点푁是线段푃푀的三等分点时，点푃的坐标为(3, − 15 4 )或(0, −3)； ∵ 直线푙: 푦 = − 1 2 푥 − 1与푦轴于点퐸， ∴ 点퐸的坐标为(0, −1)， 分再种情况：①如图2，当点푄在푦轴的正半轴上时，记为点푄1， 过푄1作푄1퐻 ⊥ 퐴퐷于点퐻，则∠푄1퐻퐸＝∠퐴푂퐸＝90∘， ∵ ∠푄1퐸퐻＝∠퐴퐸푂， ∴ △ 푄1퐸퐻 ∽△ 퐴퐸푂， ∴ 푄1퐻 퐴푂 = 퐸퐻 퐸푂 ，即푄1퐻 2 = 퐸퐻 1 ∴ 푄1퐻＝2퐻퐸， ∵ ∠푄1퐷퐻＝45∘，∠푄1퐻퐷＝90∘， ∴ 푄1퐻＝퐷퐻， ∴ 퐷퐻＝2퐸퐻， ∴ 퐻퐸＝퐸퐷， 连接퐶퐷， ∵ 퐶(0, −3)，퐷(4, −3)， ∴ 퐶퐷 ⊥ 푦轴， ∴ 퐸퐷 = √퐶퐸2 + 퐶퐷2 = √22 + 42 = 2√5， ∴ 퐻퐸 = 퐸퐷 = 2√5，푄1퐻 = 2퐸퐻 = 4√5， ∴ 푄1퐸 = √푄1퐻2 + 퐸퐻2 = 10， ∴ 푄1푂＝푄1퐸 − 푂퐸＝9， ∴ 푄1(0,  9)； 12 / 12 ②如图3，当点푄在푦轴的负半轴上时，记为点푄2，过푄2作푄2퐺 ⊥ 퐴퐷于퐺，则∠푄2퐺퐸＝ ∠퐴푂퐸＝90∘， ∵ ∠푄2퐸퐺＝∠퐴퐸푂， ∴ △ 푄2퐺퐸 ∽△ 퐴푂퐸， ∴ 푄2퐺 퐴푂 = 퐸퐺 푂퐸 ，即푄2퐺 2 = 퐸퐺 1 ， ∴ 푄2퐺＝2퐸퐺， ∵ ∠푄2퐷퐺＝45∘，∠푄2퐺퐷＝90∘， ∴ ∠퐷푄2퐺＝∠푄2퐷퐺＝45∘， ∴ 퐷퐺＝푄2퐺＝2퐸퐺， ∴ 퐸퐷＝퐸퐺 + 퐷퐺＝3퐸퐺， 由①可知，퐸퐷＝2√5， ∴ 3퐸퐺＝2√5， ∴ 퐸퐺 = 2√5 3 ， ∴ 푄2퐺 = 4√5 3 ， ∴ 퐸푄2 = √퐸퐺2 + 푄2퐺2 = 10 3 ， ∴ 푂푄2 = 푂퐸 + 퐸푄2 = 13 3 ， ∴ 푄2(0, − 13 3 )， 综上，点푄的坐标为(0,  9)或(0, − 13 3 )．