2020年辽宁省本溪市中考数学试卷【含答案；word版本试题；可编辑】 12页

‎2020年辽宁省本溪市中考数学试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1. ‎-2‎的倒数是（ ）‎ A.‎-‎‎1‎‎2‎ B.‎-2‎ C.‎1‎‎2‎ D.‎‎2‎ ‎2. 如图是由一个长方体和一个圆锥组成的几何体，它的主视图是（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎3. 下列运算正确的是（ ）‎ A.m‎2‎‎+2m＝‎3‎m‎3‎ B.m‎4‎‎÷‎m‎2‎＝m‎2‎ C.m‎2‎‎⋅‎m‎3‎＝m‎6‎ D.‎( ‎m‎2‎‎)‎‎3‎＝‎m‎5‎ ‎4. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎5. 某校九年级进行了‎3‎次数学模拟考试，甲、乙、丙、丁‎4‎名同学‎3‎次数学成绩的平均分都是‎129‎分，方差分别是s甲‎2‎＝‎3.6‎，s乙‎2‎＝‎4.6‎，s丙‎2‎＝‎6.3‎，s丁‎2‎＝‎7.3‎，则这‎4‎名同学‎3‎次数学成绩最稳定的是（ ）‎ A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 ‎6. 一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放，若‎∠1‎＝‎20‎‎∘‎，则‎∠2‎的度数是（ ）‎ A.‎15‎‎∘‎ B.‎20‎‎∘‎ C.‎25‎‎∘‎ D.‎‎40‎‎∘‎ ‎7. 一组数据‎1‎，‎8‎，‎8‎，‎4‎，‎6‎，‎4‎的中位数是（ ）‎ A.‎4‎ B.‎5‎ C.‎6‎ D.‎‎8‎ ‎8. 随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周‎3000‎件提高到‎4200‎件，平均每人每周比原来多投递‎80‎件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为（ ）‎ A.‎3000‎x‎=‎‎4200‎x-80‎ B.‎‎3000‎x‎+80=‎‎4200‎x C.‎4200‎x‎=‎3000‎x-80‎ D.‎‎3000‎x‎=‎‎4200‎x+80‎ ‎9. 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AC＝‎8‎．BD＝‎6‎，点E是CD上一点，连接OE，若OE＝CE，则OE的长是（ ）‎ A.‎2‎ B.‎5‎‎2‎ C.‎3‎ D.‎‎4‎ ‎ 12 / 12‎ ‎10. 如图，在Rt△ABC中，‎∠ACB＝‎90‎‎∘‎，AC＝BC＝‎2‎‎2‎，CD⊥AB于点D．点P从点A出发，沿A→D→C的路径运动，运动到点C停止，过点P作PE⊥AC于点E，作PF⊥BC于点F．设点P运动的路程为x，四边形CEPF的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）‎ ‎11. 截至‎2020‎年‎3‎月底，我国已建成‎5G基站‎198000‎个，将数据‎198000‎用科学记数法表示为________．‎ ‎12. 若一次函数y＝‎2x+2‎的图象经过点‎(3, m)‎，则m＝________．‎ ‎13. 若关于x的一元二次方程x‎2‎‎+2x-k＝‎0‎无实数根，则k的取值范围是________．‎ ‎14. 如图是由全等的小正方形组成的图案，假设可以随意在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是________．‎ ‎15. 如图，在‎△ABC中，M，N分别是AB和AC的中点，连接MN，点E是CN的中点，连接ME并延长，交BC的延长线于点D．若BC＝‎4‎，则CD的长为________．‎ ‎16. 如图，在Rt△ABC中，‎∠ACB＝‎90‎‎∘‎，AC＝‎2BC，分别以点A和B为圆心，以大于‎1‎‎2‎AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN，交AC于点E，连接BE，若CE＝‎3‎，则BE的长为________．‎ ‎17. 如图，在‎△ABC中，AB＝AC，点A在反比例函数y=kx(k>0, x>0)‎的图象上，点B，C在x轴上，OC=‎1‎‎5‎OB，延长AC交y轴于点D，连接BD，若‎△BCD的面积等于‎1‎，则k的值为________．‎ ‎ 12 / 12‎ ‎18. 如图，四边形ABCD是矩形，延长DA到点E，使AE＝DA，连接EB，点F‎1‎是CD的中点，连接EF‎1‎，BF‎1‎，得到‎△EF‎1‎B；点F‎2‎是CF‎1‎的中点，连接EF‎2‎，BF‎2‎，得到‎△EF‎2‎B；点F‎3‎是CF‎2‎的中点，连接EF‎3‎，BF‎3‎，得到‎△EF‎3‎B；…；按照此规律继续进行下去，若矩形ABCD的面积等于‎2‎，则‎△EFnB的面积为________‎2‎n‎+1‎‎2‎n ．（用含正整数n的式子表示）‎ 三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）‎ ‎19. 先化简，再求值：‎(xx-3‎-‎1‎‎3-x)÷‎x+1‎x‎2‎‎-9‎，其中x=‎2‎-3‎．‎ ‎20. 为培养学生的阅读习惯，某中学利用学生课外时间开展了以“走近名著”为主题的读书活动．为了有效了解学生课外阅读情况，现随机调查了部分学生每周课外阅读的时间，设被调查的每名学生每周课外阅读的总时间为x小时，将它分为‎4‎个等级：A(0≤x<2)‎，B(2≤x<4)‎，C (4≤x<6)‎，D(x≥6)‎，并根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图：‎ 请你根据统计图的信息，解决下列问题：‎ ‎（1）本次共调查了________名学生；‎ ‎（2）在扇形统计图中，等级D所对应的扇形的圆心角为________‎​‎‎∘‎；‎ ‎（3）请补全条形统计图；‎ ‎（4）在等级D中有甲、乙、丙、丁‎4‎人表现最为优秀，现从‎4‎人中任选‎2‎人作为学校本次读书活动的宣传员，用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率．‎ ‎ 12 / 12‎ 四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）‎ ‎21. 某校计划为教师购买甲、乙两种词典．已知购买‎1‎本甲种词典和‎2‎本乙种词典共需‎170‎元，购买‎2‎本甲种词典和‎3‎本乙种词典共需‎290‎元．‎ ‎（1）求每本甲种词典和每本乙种词典的价格分别为多少元？‎ ‎（2）学校计划购买甲种词典和乙种词典共‎30‎本，总费用不超过‎1600‎元，那么最多可购买甲种词典多少本？‎ ‎22. 如图，我国某海域有A，B两个港口，相距‎80‎海里，港口B在港口A的东北方向，点C处有一艘货船，该货船在港口A的北偏西‎30‎‎∘‎方向，在港口B的北偏西‎75‎‎∘‎方向，求货船与港口A之间的距离．（结果保留根号）‎ ‎ 12 / 12‎ 五、解答题（满分12分）‎ ‎23. 超市销售某品牌洗手液，进价为每瓶‎10‎元．在销售过程中发现，每天销售量y（瓶）与每瓶售价x（元）之间满足一次函数关系（其中‎10≤x≤15‎，且x为整数），当每瓶洗手液的售价是‎12‎元时，每天销售量为‎90‎瓶；当每瓶洗手液的售价是‎14‎元时，每天销售量为‎80‎瓶．‎ ‎（1）求y与x之间的函数关系式；‎ ‎（2）设超市销售该品牌洗手液每天销售利润为w元，当每瓶洗手液的售价定为多少元时，超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大，最大利润是多少元？‎ 六、解答题（满分12分）‎ ‎24. 如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，‎∠CAB＝‎90‎‎∘‎，以点A为圆心，以AB的长为半径作‎⊙A，交BC边于点E，交AC于点F，连接DE．‎ ‎（1）求证：DE与‎⊙A相切；‎ ‎（2）若‎∠ABC＝‎60‎‎∘‎，AB＝‎4‎，求阴影部分的面积．‎ ‎ 12 / 12‎ 七、解答题（满分12分）‎ ‎25. 如图，射线AB和射线CB相交于点B，‎∠ABC＝α(‎0‎‎∘‎<α<‎180‎‎∘‎)‎，且AB＝CB．点D是射线CB上的动点（点D不与点C和点B重合），作射线AD，并在射线AD上取一点E，使‎∠AEC＝α，连接CE，BE．‎ ‎（1）如图①，当点D在线段CB上，α＝‎90‎‎∘‎时，请直接写出‎∠AEB的度数；‎ ‎（2）如图②，当点D在线段CB上，α＝‎120‎‎∘‎时，请写出线段AE，BE，CE之间的数量关系，并说明理由；‎ ‎（3）当α＝‎120‎‎∘‎，tan∠DAB=‎‎1‎‎3‎时，请直接写出CEBE的值．‎ 八、解答题（满分14分）‎ ‎26. 如图，抛物线y＝ax‎2‎-2‎3‎x+c(a≠0)‎过点O(0, 0)‎和A(6, 0)‎．点B是抛物线的顶点，点D是x轴下方抛物线上的一点，连接OB，OD．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）如图①，当‎∠BOD＝‎30‎‎∘‎时，求点D的坐标；‎ ‎（3）如图②，在（2）的条件下，抛物线的对称轴交x轴于点C，交线段OD于点E，点F是线段OB上的动点（点F不与点O和点B重合），连接EF，将‎△BEF沿EF折叠，点B的对应点为点B‎'‎，‎△EFB‎'‎与‎△OBE的重叠部分为‎△EFG，在坐标平面内是否存在一点H，使以点E，F，G，H为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点H的坐标，若不存在，请说明理由．‎ ‎ 12 / 12‎ 参考答案与试题解析 ‎2020年辽宁省本溪市中考数学试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.A ‎2.C ‎3.B ‎4.D ‎5.A ‎6.C ‎7.B ‎8.D ‎9.B ‎10.A 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）‎ ‎11.‎‎1.98×‎‎10‎‎5‎ ‎12.‎‎8‎ ‎13.‎k<-1‎ ‎14.‎‎5‎‎9‎ ‎15.‎‎2‎ ‎16.‎‎5‎ ‎17.‎‎3‎ ‎18.‎‎2‎n‎+1‎‎2‎n 三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）‎ ‎19.原式＝‎‎(xx-3‎+‎1‎x-3‎)⋅‎‎(x+3)(x-3)‎x+1‎ ‎=x+1‎x-3‎⋅‎‎(x+3)(x-3)‎x+1‎ ‎＝x+3‎，‎ 当x=‎2‎-3‎时，原式‎=‎2‎-3+3=‎‎2‎．‎ ‎20.‎‎50‎ ‎108‎ C等级人数为‎50-(4+13+15)‎＝‎18‎（名），‎ 补全图形如下：‎ 画树状图为：‎ 共有‎12‎种等可能的结果数，其中恰好同时选中甲、乙两名同学的结果数为‎2‎，‎ 所以恰好同时选中甲、乙两名同学的概率‎2‎‎12‎‎=‎‎1‎‎6‎．‎ 四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）‎ ‎21.每本甲种词典的价格为‎70‎元，每本乙种词典的价格为‎50‎元 ‎ 12 / 12‎ 学校最多可购买甲种词典‎5‎本 ‎22.由题意得：‎∠ABC＝‎180‎‎∘‎‎-‎75‎‎∘‎-‎‎45‎‎∘‎＝‎60‎‎∘‎，‎ ‎∵ AD⊥BC，‎ ‎∴ ‎∠ADB＝‎∠ADC＝‎90‎‎∘‎，‎ 在Rt△ABD中，‎∠DAB＝‎90‎‎∘‎‎-‎‎60‎‎∘‎＝‎30‎‎∘‎，AD＝AB⋅sin∠ABD＝‎80×sin‎60‎‎∘‎＝‎80×‎3‎‎2‎=40‎‎3‎，‎ ‎∵ ‎∠CAB＝‎30‎‎∘‎‎+‎‎45‎‎∘‎＝‎75‎‎∘‎，‎ ‎∴ ‎∠DAC＝‎∠CAB-∠DAB＝‎75‎‎∘‎‎-‎‎30‎‎∘‎＝‎45‎‎∘‎，‎ ‎∴ ‎△ADC是等腰直角三角形，‎ ‎∴ AC=‎2‎AD=‎2‎×40‎3‎=40‎‎6‎（海里）．‎ 答：货船与港口A之间的距离是‎40‎‎6‎海里．‎ 五、解答题（满分12分）‎ ‎23.设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b(k≠0)‎，根据题意得：‎ ‎12k+b=90‎‎14k+b=80‎‎ ‎‎，‎ 解得：k=-5‎b=150‎‎ ‎，‎ ‎∴ y与x之间的函数关系为y＝‎-5x+150‎；‎ 根据题意得：w＝‎(x-10)(-5x+150)‎＝‎-5(x-20‎)‎‎2‎+500‎，‎ ‎∵ a＝‎-5<0‎，‎ ‎∴ 抛物线开口向下，w有最大值，‎ ‎∴ 当x<20‎时，w随着x的增大而增大，‎ ‎∵ ‎10≤x≤15‎且x为整数，‎ ‎∴ 当x＝‎15‎时，w有最大值，‎ 即：w＝‎-5×(15-20)+500‎＝‎375‎，‎ 答：当每瓶洗手液的售价定为‎15‎元时，超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大，最大利润为‎375‎元．‎ 六、解答题（满分12分）‎ ‎24.证明：连接AE，‎ ‎∵ 四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴ AD＝BC，AD // BC，‎ ‎∴ ‎∠DAE＝‎∠AEB，‎ ‎∵ AE＝AB，‎ ‎∴ ‎∠AEB＝‎∠ABC，‎ ‎∴ ‎∠DAE＝‎∠ABC，‎ ‎∴ ‎△AED≅△BAC(AAS)‎，‎ ‎∴ ‎∠DEA＝‎∠CAB，‎ ‎∵ ‎∠CAB＝‎90‎‎∘‎，‎ ‎∴ ‎∠DEA＝‎90‎‎∘‎，‎ ‎∴ DE⊥AE，‎ ‎∵ AE是‎⊙A的半径，‎ ‎∴ DE与‎⊙A相切；‎ ‎∵ ‎∠ABC＝‎60‎‎∘‎，AB＝AE＝‎4‎，‎ ‎∴ ‎△ABE是等边三角形，‎ ‎∴ AE＝BE，‎∠EAB＝‎60‎‎∘‎，‎ ‎ 12 / 12‎ ‎∵ ‎∠CAB＝‎90‎‎∘‎，‎ ‎∴ ‎∠CAE＝‎90‎‎∘‎‎-∠EAB＝‎90‎‎∘‎‎-‎‎60‎‎∘‎＝‎30‎‎∘‎，‎∠ACB＝‎90‎‎∘‎‎-∠B＝‎90‎‎∘‎‎-‎‎60‎‎∘‎＝‎30‎‎∘‎，‎ ‎∴ ‎∠CAE＝‎∠ACB，‎ ‎∴ AE＝CE，‎ ‎∴ CE＝BE，‎ ‎∴ S‎△ABC‎=‎1‎‎2‎AB⋅AC=‎1‎‎2‎×4×4‎3‎=8‎‎3‎，‎ ‎∴ S‎△ACE‎=‎1‎‎2‎S‎△ABC=‎1‎‎2‎×8‎3‎=4‎‎3‎，‎ ‎∵ ‎∠CAE＝‎30‎‎∘‎，AE＝‎4‎，‎ ‎∴ S扇形AEF‎=‎30π×AE‎2‎‎360‎=‎30π×‎‎4‎‎2‎‎360‎=‎‎4π‎3‎，‎ ‎∴ S阴影＝S‎△ACE‎-‎S扇形AEF＝‎4‎3‎-‎‎4π‎3‎．‎ 七、解答题（满分12分）‎ ‎25.连接AC，如图①所示：‎ ‎∵ α＝‎90‎‎∘‎，‎∠ABC＝α，‎∠AEC＝α，‎ ‎∴ ‎∠ABC＝‎∠AEC＝‎90‎‎∘‎，‎ ‎∴ A、B、E、C四点共圆，‎ ‎∴ ‎∠BCE＝‎∠BAE，‎∠CBE＝‎∠CAE，‎ ‎∵ ‎∠CAB＝‎∠CAE+∠BAE，‎ ‎∴ ‎∠BCE+∠CBE＝‎∠CAB，‎ ‎∵ ‎∠ABC＝‎90‎‎∘‎，AB＝CB，‎ ‎∴ ‎△ABC是等腰直角三角形，‎ ‎∴ ‎∠CAB＝‎45‎‎∘‎，‎ ‎∴ ‎∠BCE+∠CBE＝‎45‎‎∘‎，‎ ‎∴ ‎∠BEC＝‎180‎‎∘‎‎-(∠BCE+∠CBE)‎＝‎180‎‎∘‎‎-‎‎45‎‎∘‎＝‎135‎‎∘‎，‎ ‎∴ ‎∠AEB＝‎∠BEC-∠AEC＝‎135‎‎∘‎‎-‎‎90‎‎∘‎＝‎45‎‎∘‎；‎ AE=‎3‎BE+CE‎，理由如下：‎ 在AD上截取AF＝CE，连接BF，过点B作BH⊥EF于H，如图②所示：‎ ‎∵ ‎∠ABC＝‎∠AEC，‎∠ADB＝‎∠CDE，‎ ‎∴ ‎180‎‎∘‎‎-∠ABC-∠ADB＝‎180‎‎∘‎‎-∠AEC-∠CDE，‎ ‎∴ ‎∠A＝‎∠C，‎ 在‎△ABF和‎△CBE中，AF=CE‎∠A=∠CAB=CB‎ ‎，‎ ‎∴ ‎△ABF≅△CBE(SAS)‎，‎ ‎∴ ‎∠ABF＝‎∠CBE，BF＝BE，‎ ‎∴ ‎∠ABF+∠FBD＝‎∠CBE+∠FBD，‎ ‎∴ ‎∠ABD＝‎∠FBE，‎ ‎∵ ‎∠ABC＝‎120‎‎∘‎，‎ ‎∴ ‎∠FBE＝‎120‎‎∘‎，‎ ‎∵ BF＝BE，‎ ‎∴ ‎∠BFE＝‎∠BEF=‎1‎‎2‎×(‎180‎‎∘‎-∠FBE)=‎1‎‎2‎×(‎180‎‎∘‎-‎120‎‎∘‎)‎＝‎30‎‎∘‎，‎ ‎∵ BH⊥EF，‎ ‎∴ ‎∠BHE＝‎90‎‎∘‎，FH＝EH，‎ 在Rt△BHE中，BH=‎1‎‎2‎BE，FH＝EH=‎3‎BH=‎3‎‎2‎BE，‎ ‎∴ EF＝‎2EH＝‎2×‎3‎‎2‎BE=‎3‎BE，‎ ‎∵ AE＝EF+AF，AF＝CE，‎ ‎ 12 / 12‎ ‎∴ AE=‎3‎BE+CE；‎ 分两种情况：‎ ‎①当点D在线段CB上时，‎ 在AD上截取AF＝CE，连接BF，过点B作BH⊥EF于H，如图②所示：‎ 由（2）得：FH＝EH=‎3‎‎2‎BE，‎ ‎∵ tan∠DAB=BHAH=‎‎1‎‎3‎，‎ ‎∴ AH＝‎3BH=‎3‎‎2‎BE，‎ ‎∴ CE＝AF＝AH-FH=‎3‎‎2‎BE-‎3‎‎2‎BE=‎3-‎‎3‎‎2‎BE，‎ ‎∴ CEBE‎=‎‎3-‎‎3‎‎2‎；‎ ‎②当点D在线段CB的延长线上时，‎ 在射线AD上截取AF＝CE，连接BF，过点B作BH⊥EF于H，如图③所示：‎ 同①得：FH＝EH=‎3‎‎2‎BE，AH＝‎3BH=‎3‎‎2‎BE，‎ ‎∴ CE＝AF＝AH+FH=‎3‎‎2‎BE+‎3‎‎2‎BE=‎3+‎‎3‎‎2‎BE，‎ ‎∴ CEBE‎=‎‎3+‎‎3‎‎2‎；‎ 综上所述，当α＝‎120‎‎∘‎，tan∠DAB=‎‎1‎‎3‎时，CEBE的值为‎3-‎‎3‎‎2‎或‎3+‎‎3‎‎2‎．‎ 八、解答题（满分14分）‎ ‎26.把点O(0, 0)‎和A(6, 0)‎代入y＝ax‎2‎-2‎3‎x+c中，‎ 得到c=0‎‎36a-12‎3‎+c=0‎‎ ‎，‎ 解得a=‎‎3‎‎3‎c=0‎‎ ‎，‎ ‎∴ 抛物线的解析式为y=‎3‎‎3‎x‎2‎-2‎3‎x．‎ 如图①中，设抛物线的对称轴交x轴于M，与OD交于点N．‎ ‎ 12 / 12‎ ‎∵ y=‎3‎‎3‎x‎2‎-2‎3‎x=‎3‎‎3‎(x-3‎)‎‎2‎-3‎‎3‎，‎ ‎∴ 顶点B(3, -3‎3‎)‎，M(3, 0)‎，‎ ‎∴ OM＝‎3‎．BM＝‎3‎‎3‎，‎ ‎∴ tan∠MOB=BMOM=‎‎3‎，‎ ‎∴ ‎∠MOB＝‎60‎‎∘‎，‎ ‎∵ ‎∠BOD＝‎30‎‎∘‎，‎ ‎∴ ‎∠MON＝‎∠MOB-∠BOD＝‎30‎‎∘‎，‎ ‎∴ MN＝OM⋅tam‎30‎‎∘‎=‎‎3‎，‎ ‎∴ N(3, -‎3‎)‎，‎ ‎∴ 直线ON的解析式为y=-‎3‎‎3‎x，‎ 由y=-‎3‎‎3‎xy=‎3‎‎3‎x‎2‎-2‎3‎x‎ ‎，解得x=0‎y=0‎‎ ‎或x=5‎y=-‎‎5‎‎3‎‎3‎‎ ‎，‎ ‎∴ D(5, -‎5‎‎3‎‎3‎)‎．‎ 如图②‎-1‎中，当‎∠EFG＝‎90‎‎∘‎时，点H在第一象限，此时G，B'‎，O重合，F(-‎3‎‎2‎, -‎3‎‎3‎‎2‎)‎，E(3, -‎3‎)‎，可得H(‎3‎‎2‎, ‎3‎‎2‎)‎．‎ 如图②‎-2‎中，当‎∠EGF＝‎90‎‎∘‎时，点H在对称轴右侧，可得H(‎7‎‎2‎, -‎3‎‎3‎‎2‎)‎．‎ 如图②‎-3‎中当‎∠FGE＝‎90‎‎∘‎时，点H在对称轴左侧，点B'‎在对称轴上，可得H(‎5‎‎2‎, -‎3‎‎3‎‎2‎)‎．‎ ‎ 12 / 12‎ 综上所述，满足条件的点H的坐标为‎(‎3‎‎2‎, ‎3‎‎2‎)‎或‎(‎5‎‎2‎, -‎3‎‎3‎‎3‎)‎或‎(‎7‎‎2‎, -‎3‎‎3‎‎2‎)‎．‎ ‎ 12 / 12‎