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  • 2021-11-11 发布

人教版中考数学二轮复习专题练习下因动点产生的平行四边形问题

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‎5.因动点产生的平行四边形问题 ‎1.如图,抛物线与轴交于、两点,过点作直线轴,交直线于点.‎ ‎(1)求该抛物线的解析式;‎ ‎(2)求点关于直线的对称点的坐标,判定点是否在该抛物线上,并说明理由;‎ ‎(3)点是抛物线上一动点,过点作轴的平行线,交线段于点,是否存在这样的点,使四边形是平行四边形?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.‎ 解析:(1)∵抛物线与轴交于、两点 ‎∴解得 ‎∴抛物线的解析式为 ‎(2)‎ 过点作轴于,与交于点 ‎∵点在直线上,‎ ‎∵点和关于直线对称,,‎ ‎,‎ 在和中 ‎,‎ 又,‎ ‎,即 点的坐标为 当时,‎ ‎∴点在该抛物线上 ‎(3)存在 理由:设直线的解析式为 则解得 ‎∴直线的解析式为 设,则 ‎∴要使四边形是平行四边形,只需 又点在点的上方,‎ 解得(不合题意,舍去)‎ 当时,‎ ‎∴当点运动到时,四边形是平行四边形 ‎2.如图,抛物线与轴交于点,与轴交于点和点,其中点的坐标为,抛物线的对称轴与抛物线交于点,与直线交于点.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)在直线上方的抛物线上是否存在点,使四边形的面积为,若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由;‎ ‎(3)平行于的动直线与直线相交于点,与抛物线相交于点,若以、、、为顶点的四边形是平行四边形,求点的坐标.‎ 解析:(1)由抛物线经过点可得 ①‎ ‎∵对称轴 ②‎ 又抛物线过点,③‎ 由①②③解得:‎ ‎∴抛物线的解析式为 ‎(2)‎ 假设存在满足条件的点,连接、、,作轴于,轴于 设点的坐标为,其中 则,‎ 令,即 则,方程无解 故不存在满足条件的点 ‎(3)‎ 设直线的解析式为,又过点 ‎,‎ 解得 ‎∴直线的解析式为 由,得 又点在直线上,则点 于是 由于,若以、、、为顶点的四边形是平行四边形,只需 设点,则 ‎①当时,‎ 由,解得或 当时,线段与重合,舍去 ‎,此时 ‎②当或时,‎ 由,解得,经检验符合题意 此时,‎ 综上所述,满足条件的点P有三个,‎ 分别是,.‎ ‎3.如图,抛物线与轴负半轴交于点,顶点为,且对称轴与轴交于点.‎ ‎(1)求点的坐标(用含的代数式表示);‎ ‎(2)为中点,直线交轴于,若点的坐标为,求抛物线的解析式;‎ ‎(3)在(2)的条件下,点在直线上,且使得的周长最小,在抛物线上,在直线上,若以、、、为顶点的四边形是平行四边形,求点的 坐标.‎ 解析:(1)‎ ‎∴抛物线的顶点的坐标为 ‎(2)令,解得,‎ ‎∵抛物线与轴负半轴交于点 且.‎ 过点作轴于 由为中点,,可得 由抛物线的对称性得 ‎,,‎ 由,,得 ‎,‎ ‎∴抛物线的解析式为 ‎(3)依题意,得,,‎ 可得直线的解析式为,直线为 作点关于直线的对称点,连接交于,则即为所求 由,,可得直线的解析式为 由解得 ‎∴点的坐标为 由点在抛物线上,设 ‎①当为平行四边形的一边时 如图,过作轴于,过作于 则 可证,得 ‎,‎ 如图,同理可 ‎②当为平行四边形的对角线时 如右图,过作于,过作轴于 则 可证,得 综上,点的坐标为,,‎ ‎4.已知正方形的边、分别在、轴的正半轴上,点坐标为,点是轴上一动点,过点作于点,直线交直线于点,连接.‎ ‎(1)如图1,当点在线段上时,求证:;‎ ‎(2)在点运动过程中,与以、、为顶点的三角形相似时,求的值;‎ ‎(3)如图2,抛物线上是否存在点,使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.‎ 解析:(1)证明:正方形,,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎(2)解:当点在线段上时 若,, ‎ 当点在延长线上时,如图1‎ 若,则 可证,,‎ ‎,解得(舍去)或 当点在延长线上时,如图2‎ ‎,‎ 又,‎ ‎,‎ 若,则 可证,,‎ ‎,解得(舍去)或 ‎∴当与以、、为顶点的三角形相似时,或或 ‎(3)①若为平行四边形的对角线 则 ‎(i)当点在线段上时,‎ 如图3‎ ‎,代入,得 ‎,解得或(舍去)‎ ‎(ii)当点在延长线上时,如图 ‎,,‎ ‎,代入,得 ‎,解得(舍去)或(舍去)‎ ‎②若为平行四边形的边 则 ‎(i)当点在延长线上时,如图5‎ ‎,代入,得 ‎,解得(舍去)或 ‎(ii)当点在延长线上时,如图6、图7‎ ‎,‎ 或 把代入,得 ‎,解得或(舍去)‎ 把代入,得 ‎,解得或(舍去)‎ 综上所述,抛物上存在点,使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形,‎ 的值为:,,,‎ ‎5.如图,在平面直角坐标系中,是坐标原点,矩形的顶点,,将沿翻折得.‎ ‎(1)求点的坐标;‎ ‎(2)若抛物线经过、两点,试判断点是否在该抛物线上,并说明理由;‎ ‎(3)设(2)中的抛物线与矩形的边交于点,与轴交于另一点,点在轴上运动,在轴上运动,若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形,试求点、的坐标.‎ 解析:(1)在中,,,‎ 过作于,如图1⑦‎ 在中,‎ ‎,,‎ ‎(2)将、两点坐标代入抛物线的解析式中,得:‎ 解得 ‎∴抛物线的解析式为 当时,,∴点在该抛物线上 ‎(3)①若是平行四边形的对角线,如图2‎ 点在轴上,轴,‎ ‎∴过点作交轴于,则四边形为平行四边形 把代入抛物线解析式,得点的坐标为 把代入抛物线解析式,得点的坐标为 ‎,点即为点,坐标是 ‎②若是平行四边形的边,如图3、图4‎ ‎ ‎ 过点作交轴于,四边形是平行四边形 ‎,‎ 同理过点作交轴于,四边形是平行四边形 ‎6.如图,已知抛物线与轴交于点、(在的左侧),与轴交于点,抛物线与抛物线关于轴对称,点、的对称点分别是、,连接、,设.‎ ‎(1)当时,求的值;‎ ‎(2)若点是抛物线上的一个动点(不与点、重合),试判断点关于原点的对称点是否在抛物线上,请说明理由;‎ ‎(3)将沿直线折叠,点的对应点为.是否存在实数,使得四边形 为平行四边形,且点恰好落在抛物线上,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.‎ 解析:(1)∵抛物线的对称轴为直线 抛物线与抛物线关于轴对称 ‎∴抛物线的对称轴为直线 ‎(2)∵抛物线,抛物线与抛物线关于轴对称 ‎∴抛物线 设是抛物线上任意一点 则点关于原点的对称点,且 将点的横坐标代入抛物线的解析式 得 ‎∴点不在抛物线上 ‎(3)存在 ‎、关于轴对称,点在轴上,‎ 由折叠知 ‎∵四边形是平行四边形,‎ ‎,是等边三角形 是等边三角形 假设点恰好落在抛物线上 由抛物线和等边三角形的对称性可知点一定在抛物线的对称轴上 为等边三角形,‎ 对于抛物线,根据根与系数的关系,有 ‎∴存在实数,使得四边形为平行四边形,且点恰好落在抛物线上 ‎7.已知抛物线经过点,顶点为,点是轴上位于点上方的一个动点,连接并延长,交抛物线于点,分别过点、作轴的垂线,垂足为、,连接、.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(1)当、、三点构成直角三角形时,求点的坐标;‎ ‎(2)当、、、四条线段构成平行四边形时,求点的坐标.‎ 解析:(1)∵抛物线经过点 ‎,‎ ‎∴抛物线的解析式为 ‎(2),‎ ‎①若 过点作轴,分别交、于、‎ 则 易证, ‎ 设,代入抛物线解析式,得 可得直线的解析式为 ‎②若 过点作轴,交于 易证,,‎ ‎③若 过点、分别作轴的平行线,交于、‎ 设,则 ‎,‎ 可证,‎ ‎,即 ‎,得(舍去)‎ 或,方程无实数解 ‎∴当为直角三角形时,点的坐标为或 ‎(3)①若,,此时点与点关于轴对称 ‎②若,设,则 解得或 当时,则 此时直线解析式为 与抛物线的交点为 此时、、、四条线段能构成平行四边形 符合题意 当时,则 此时直线解析式为 与抛物线的交点为 过作于,则,‎ ‎,即 此时、、、四条线段不能构成平行四边形 不符合题意 ‎③若,则点必在点上方,‎ 此时、、、四条线段不能构成平行四边形 ‎∴满足条件的点的坐标为或 ‎8.如图,抛物线与直线交于、两点,其中点在轴上,点的坐标为.点是轴右侧的抛物线上一动点,过点作轴于点,交于点.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)若点的横坐标为,当为何值时,以、、、为顶点的四边形是平行四边形?请说明理由.‎ ‎(3)若存在点,使,请直接写出相应的点的坐标.‎ 解析:(1)在直线解析式中,令,得,‎ ‎.‎ ‎∵点、在抛物线上,‎ ‎,‎ 解得,‎ ‎∴抛物线的解析式为:.‎ ‎(2),且以、、、为顶点的四边形是平行四边形,‎ ‎,‎ ‎∴将直线沿轴向上、下平移个单位之后得到的直线,与抛物线轴右侧的交点,即为所求之交点.‎ 由答图1可以直观地看出,这样的交点有个.‎ 将直线沿 轴向上平移个单位,得到直线,‎ 联立,‎ 解得,‎ ‎;‎ 将直线沿轴向下平移个单位,得到直线,‎ 联立,‎ 解得(在轴左侧,不合题意,舍去),‎ ‎.‎ ‎∴当为值为或时,以、、、为顶点的四边形是平行四边形.‎ ‎(3)存在.‎ 理由:设点的横坐标为,则.‎ 由答图2所示,过点作于点,则,‎ ‎,‎ ‎.‎ 在中,由勾股定理得:.‎ 过点作于点,‎ 则 ‎,‎ ‎,‎ 而,‎ ‎,‎ 在中,由勾股定理得:.‎ ‎,‎ ‎,‎ 整理得:,‎ 解得(舍去)或,‎ ‎;‎ 同理求得,另一点为.‎ ‎∴符合条件的点的坐标为或.‎ ‎9.如图,抛物线的顶点在直线上.‎ ‎(1)求抛物线顶点的坐标;‎ ‎(2)设抛物线与轴交于点,与轴交于点、(点在点的左侧),试判断的形状;‎ ‎(3)在直线上是否存在一点,使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形,若存在,求点的坐标;若不存在,请说明理由.‎ 解析:(1)∵顶点的横坐标为,且顶点在上 ‎∴当时,‎ ‎(2)是直角三角形 将代入,得,‎ ‎,‎ 当时,,‎ ‎,‎ ‎,,‎ ‎,‎ 即是直角三角形 ‎(3)存在.‎ 由题意知:直线交轴于点,‎ 交轴于点 ‎,又 与都是等腰直角三角形 ‎,即 则构成平行四边形只能是或,‎ 如图,过点作轴的垂线,过点作轴的垂线并交于点 设,则 则,‎ 由勾股定理得:‎ ‎,或 或 ‎∴存在点或使以点、、、为顶点的四边形 是平行四边形 ‎10.抛物线与轴交于、两点,与轴负半轴交于点,且.‎ ‎(1)求此抛物线的解析式;‎ ‎(2)如图1,为直线上一点,若以、、为顶点的三角形与相似,求点的坐标;‎ ‎(3)如图2,过点作交抛物线于点,交轴于点,直线与抛物线交于点,与直线交于点.问是否存在这样的,使、、、四点构成平行四边形?若存在,求出的值,若不存在;说明理由.‎ ‎ ‎ 解析:(1)、‎ ‎,‎ ‎∵点在轴负半轴上,‎ 解得 ‎∴抛物线的解析式为 ‎(2)易知为锐角三角形 ‎∴若以、、为顶点的三角形与相似,点只能在线段上 过作于,设 当时,‎ 则,,‎ ‎,‎ ‎,‎ 当时,‎ 过作于,则 ‎,,‎ ‎(3)‎ ‎,‎ ‎,,,‎ 设直线的解析式为 则解得 ‎∴直线的解析式为 设,则 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎,当时,、、、四点构成平行四边形 解得 或 解得(舍去)或 ‎∴当或时,、、、四点构成平行四边形