2010年中考数学压轴题(八)及解答 31页

‎2010年中考数学压轴题（八）及解答 ‎193、（2010年山西省）25．（本题10分）如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE、GC．‎ ‎（1）试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论．‎ ‎（2）将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2，连接AE和CG。你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．‎ A B G D E ‎（第25题）‎ F C A B G D E F C ‎（图1）‎ ‎（图2）‎ ‎【解答】‎ ‎194、（2010年山西省）26．在直角梯形OABC中，CB∥OA，∠COA＝90º，CB＝3，OA＝6，BA＝3．分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系．‎ ‎（1）求点B的坐标；‎ ‎（2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD＝5，OE＝2EB，直线DE交x轴于点F．求直线DE的解析式；‎ ‎（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一个点N．使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【解答】‎ ‎195、（2010年陕西省）24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线A（-1,0），B（3,0）C（0，-1）三点。‎ ‎（1）求该抛物线的表达式；‎ ‎（2）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形求所有满足条件点P的坐标。‎ ‎【解答】‎ 解：（1）设该抛物线的表达式为y=ax²+bx+c根据题意，得 a- b+c=‎0 a=‎ ‎9a‎+3b+c=0 解之，得 b=‎ c=‎-1 c=-1‎ ‎ ∴所求抛物线的表达式为y=x²-x-1‎ ‎ （2）①AB为边时，只要PQ∥AB且PQ=AB=4即可。‎ ‎ 又知点Q在y轴上，∴点P的横坐标为4或-4，这时符合条件的点P有两个，分别记为P1,P2 .‎ 而当x=4时，y=；当x=-4时，y=7，‎ 此时P1（4，）P2（-4,7）‎ ‎②当AB为对角线时，只要线段PQ与线段AB互相平分即可 又知点Q在Y轴上，且线段AB中点的横坐标为1‎ ‎∴点P的横坐标为2，这时符合条件的P只有一个记为P3‎ 而且当x=2时y=-1 ，此时P3（2，-1）‎ 综上，满足条件的P为P1（4，）P2（-4,7）P3（2，-1）‎ ‎196、（2010年陕西省） 25.问题探究 ‎ (1) 请你在图①中做一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分；‎ ‎ （2）如图②点M是矩形ABCD内一点，请你在图②中过点M作一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分。‎ ‎ 问题解决 （1） 如图③，在平面直角坐标系中，直角梯形OBCD是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中DC∥OB,OB=6,CD=4开发区综合服务管理委员会（其占地面积不计）设在点P（4,2）处。为了方便驻区单位准备过点P修一条笔直的道路（路宽不计），并且是这条路所在的直线l将直角梯形OBCD分成面积相等的了部分，你认为直线l是否存在？若存在求出直线l的表达式；若不存在，请说明理由 ‎【解答】‎ 解：（1）如图①‎ ‎（2）如图②连结AC 、BC交与P则P为矩形对称中心。作直线MP，直线MP即为所求。‎ （3） 如图③存在直线l 过点D的直线只要作 DA⊥OB与点A ‎ 则点P(4,2)为矩形ABCD的对称中心 ‎∴过点P的直线只要平分△DOA的面积即可 易知，在OD边上必存在点H使得PH将△DOA 面积平分。‎ 从而，直线PH平分梯形OBCD的面积 即直线 PH为所求直线l 设直线PH的表达式为 y=kx+b 且点P(4,2)‎ ‎∴2=4k+b 即b=2-4k ‎∴y=kx+2-4k ‎∵直线OD的表达式为y=2x ‎ y=kx+2-4k ‎ ‎∴ 解之 ‎ y=2x ‎ ‎∴点H的坐标为（，）‎ ‎∴PH与线段AD的交点F（2,2-2k）‎ ‎∴0＜2-2k＜4‎ ‎∴-1＜k＜1‎ ‎∴S△DHF=‎ ‎∴解之，得。（舍去）‎ ‎∴b=8-‎ 图8‎ ‎∴直线l的表达式为y=‎ ‎197、（2010年上海市）24．如图8，已知平面直角坐标系xOy，抛物线y＝－x2＋bx＋c过点A(4,0)、B(1,3) .‎ ‎（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；‎ ‎（2）记该抛物线的对称轴为直线l，设抛物线上的点P(m,n)在第四象限，点P关于直线l的对称点为E，点E关于y轴的对称点为F，若四边形OAPF的面积为20，求m、n的值.‎ ‎【解答】‎ ‎（1）解：将A(4,0)、B(1,3)两点坐标代入抛物线的方程得：‎ 解之得：b=4，c=0‎ 所以抛物线的表达式为：‎ 将抛物线的表达式配方得：‎ 所以对称轴为x=2，顶点坐标为（2，4）‎ ‎（2）点p（m，n）关于直线x=2的对称点坐标为点E（4-m，n），则点E关于y轴对称点为点F坐标为（4-m,-n），‎ 则四边形OAPF可以分为：三角形OFA与三角形OAP，则 ‎= + = =20‎ 所以=5，因为点P为第四象限的点，所以n<0，所以n= -5‎ 代入抛物线方程得m=5‎ ‎198、（2010年上海市）25．如图9，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连结DE并延长，与线段BC的延长线交于点P.‎ ‎（1）当∠B＝30°时，连结AP，若△AEP与△BDP相似，求CE的长；‎ ‎（2）若CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值；‎ ‎（3）若，设CE=x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式.‎ 图9 图10（备用） 图11（备用）‎ ‎ ‎ ‎【解答】‎ ‎（1）解：∵∠B＝30°∠ACB＝90°∴∠BAC＝60°‎ ‎∵AD=AE ∴∠AED＝60°=∠CEP ‎∴∠EPC＝30°‎ ‎∴三角形BDP为等腰三角形 ‎∵△AEP与△BDP相似 ‎∴∠EAP=∠EPA=∠DBP=∠DPB=30°‎ ‎∴AE=EP=1‎ ‎∴在RT△ECP中，EC=EP=‎ ‎（2）过点D作DQ⊥AC于点Q，且设AQ=a，BD=x ‎∵AE=1,EC=2‎ ‎∴QC=3-a ‎∵∠ACB＝90°‎ ‎∴△ADQ与△ABC相似 ‎∴‎ 即，∴‎ ‎∵在RT△ADQ中 ‎∵‎ ‎∴‎ 解之得x=4，即BC=4‎ 过点C作CF//DP ‎∴△ADE与△AFC相似， ‎ ‎∴，即AF=AC，即DF=EC=2, ‎ ‎∴BF=DF=2‎ ‎∵△BFC与△BDP相似，∴，即：BC=CP=4，∴tan∠BPD=‎ ‎(3)过D点作DQ⊥AC于点Q，则△DQE与△PCE相似,设AQ=a，则QE=1-a ‎∴且，∴‎ ‎∵在Rt△ADQ中，据勾股定理得：‎ 即：，解之得 ‎∵△ADQ与△ABC相似，∴，∴‎ ‎∴三角形ABC的周长，即：，其中x>0‎ ‎199、（2010年天津市）25.（本小题10分） ‎ 在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在轴、轴的正半轴上，，，D为边OB的中点.‎ ‎（Ⅰ）若为边上的一个动点，当△的周长最小时，求点的坐标；‎ ‎（Ⅱ）若、为边上的两个动点，且，当四边形的周长最小时，求点、的坐标.‎ 温馨提示：如图，可以作点D关于轴的对称点，连接与轴交于点E，此时△的周长是最小的.这样，你只需求出的长，就可以确定点的坐标了.‎ 第（25）题 y B O D C A x E y B O D C A x ‎【解答】‎ ‎25.（本小题10分） ‎ 解：（Ⅰ）如图，作点D关于轴的对称点，连接与轴交于点E，连接.‎ 若在边上任取点（与点E不重合），连接、、.‎ y B O D C A x E 由，‎ 可知△的周长最小.‎ ‎∵ 在矩形中，，，为的中点，‎ ‎∴ ，，.‎ ‎∵ OE∥BC，‎ ‎∴ Rt△∽Rt△，有.‎ ‎∴ .‎ ‎∴ 点的坐标为（1，0）. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 y B O D C A x E G F ‎（Ⅱ）如图，作点关于轴的对称点，在边上截取，连接与轴交于点，在上截取.‎ ‎∵ GC∥EF，，‎ ‎∴ 四边形为平行四边形，有.‎ 又 、的长为定值，‎ ‎∴ 此时得到的点、使四边形的周长最小. ‎ ‎∵ OE∥BC，‎ ‎∴ Rt△∽Rt△, 有 .‎ ‎∴ . ∴ .‎ ‎∴ 点的坐标为（，0），点的坐标为（，0）. ．．．．．．．．．．．．．．．10分 ‎200、（2010年天津市）26.（本小题10分） ‎ 在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴的正半轴交于点，顶点为.‎ ‎（Ⅰ）若，，求此时抛物线顶点的坐标；‎ ‎（Ⅱ）将（Ⅰ）中的抛物线向下平移，若平移后，在四边形ABEC中满足S△BCE = S△ABC，求此时直线的解析式；‎ ‎（Ⅲ）将（Ⅰ）中的抛物线作适当的平移，若平移后，在四边形ABEC中满足 S△BCE = 2S△AOC，且顶点恰好落在直线上，求此时抛物线的解析式.‎ ‎【解答】‎ ‎26.（本小题10分）‎ 解：（Ⅰ）当，时，抛物线的解析式为，即.‎ ‎∴ 抛物线顶点的坐标为（1，4）． ．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 ‎（Ⅱ）将（Ⅰ）中的抛物线向下平移，则顶点在对称轴上，有，‎ ‎∴ 抛物线的解析式为（）．‎ ‎∴ 此时，抛物线与轴的交点为，顶点为．‎ ‎∵ 方程的两个根为，，‎ ‎∴ 此时，抛物线与轴的交点为，．‎ E y x F B D A O C 如图，过点作EF∥CB与轴交于点，连接，则S△BCE = S△BCF．‎ ‎∵ S△BCE = S△ABC，‎ ‎∴ S△BCF = S△ABC．‎ ‎∴ ．‎ 设对称轴与轴交于点，‎ 则．‎ 由EF∥CB，得．‎ ‎∴ Rt△EDF∽Rt△COB．有．‎ ‎∴ ．结合题意，解得 ．‎ ‎∴ 点，．‎ 设直线的解析式为，则 ‎ 解得 ‎ ‎∴ 直线的解析式为. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 ‎（Ⅲ）根据题意，设抛物线的顶点为，（，）‎ 则抛物线的解析式为，‎ 此时，抛物线与轴的交点为，‎ 与轴的交点为，.（）‎ 过点作EF∥CB与轴交于点，连接，‎ 则S△BCE = S△BCF.‎ 由S△BCE = 2S△AOC，‎ ‎∴ S△BCF = 2S△AOC. 得.‎ 设该抛物线的对称轴与轴交于点.‎ 则 .‎ 于是，由Rt△EDF∽Rt△COB，有．‎ ‎∴ ，即．‎ 结合题意，解得 ． ① ‎ ‎∵ 点在直线上，有． ② ‎ ‎∴ 由①②，结合题意，解得．‎ 有，．‎ ‎∴ 抛物线的解析式为． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 ‎201、（2010年云南省红河州）22．（本小题满分11分）二次函数的图像如图8所示，请将此图像向右平移1个单位，再向下平移2个单位.‎ ‎ （1）画出经过两次平移后所得到的图像，并写出函数的解析式.‎ ‎ （2）求经过两次平移后的图像与x轴的交点坐标，指出当x满足什么条件时，函数值大于0？‎ ‎【解答】‎ 解：画图如图所示：‎ 依题意得：‎ ‎ =‎ ‎ =‎ ‎∴平移后图像的解析式为：‎ ‎（2）当y=0时，=0‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∴平移后的图像与x轴交与两点，坐标分别为（，0）和（，0）‎ 由图可知，当x<或x>时，二次函数的函数值大于0.‎ ‎202、（2010年云南省红河州）23.（本小题满分14分）如图9，在直角坐标系xoy中，O是坐标原点，点A在x正半轴上，OA=cm，点B在y轴的正半轴上，OB=‎12cm，动点P从点O开始沿OA以cm/s的速度向点A移动，动点Q从点A开始沿AB以‎4cm/s的速度向点B移动，动点R从点B开始沿BO以‎2cm/s的速度向点O移动.如果P、Q、R分别从O、A、B同时移动，移动时间为t（0＜t＜6）s.‎ ‎（1）求∠OAB的度数.‎ ‎（2）以OB为直径的⊙O‘与AB交于点M，当t为何值时，PM与⊙O‘相切？‎ ‎（3）写出△PQR的面积S随动点移动时间t的函数关系式，并求s的最小值及相应的t值.‎ ‎（4）是否存在△APQ为等腰三角形，若存在，求出相应的t值，若不存在请说明理由.‎ ‎ ‎ ‎【解答】‎ 解：（1）在Rt△AOB中：‎ tan∠OAB=‎ ‎∴∠OAB=30°‎ ‎（2）如图10，连接O‘P，O‘M. 当PM与⊙O‘相切时，有∠PM O‘=∠PO O‘=90°，‎ ‎ △PM O‘≌△PO O‘‎ 由（1）知∠OBA=60°‎ ‎∵O‘M= O‘B ‎∴△O‘BM是等边三角形 ‎∴∠B O‘M=60°‎ 可得∠O O‘P=∠M O‘P=60°‎ ‎∴OP= O O‘·tan∠O O‘P =6×tan60°=‎ 又∵OP=t ，∴t=，t=3 ，即：t=3时，PM与⊙O‘相切.‎ ‎（3）如图9，过点Q作QE⊥x于点E ‎ ∵∠BAO=30°，AQ=4t ， ∴QE=AQ=2t ， AE=AQ·cos∠OAB=4t×‎ ‎∴OE=OA-AE=-t ，∴Q点的坐标为（-t，2t）‎ ‎ S△PQR= S△OAB -S△OPR -S△APQ -S△BRQ ‎ =‎ ‎ = = （）‎ ‎ 当t=3时，S△PQR最小=‎ ‎ （4）分三种情况：如图11.‎ 当AP=AQ1=4t时，‎ ‎∵OP+AP=‎ ‎∴t+4t=‎ ‎∴t=‎ 或化简为t=-18‎ 当PQ2=AQ2=4t时 ‎ 过Q2点作Q2D⊥x轴于点D，‎ ‎∴PA=2AD=‎2A Q2·cosA=t 即t+t = ，∴t=2‎ 当PA=PQ3时，过点P作PH⊥AB于点H ‎ AH=PA·cos30°=（-t）·=18-3t AQ3=2AH=36-6t ，得36-6t=4t， ∴t=3.6‎ ‎ 综上所述，当t=2，t=3.6，t=-18时，△APQ是等腰三角形.‎ ‎203、（2010年云南省昆明市）24．（9分）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB = 90°，E是AD的中点，点P是BC边上的动点（不与点B重合），EP与BD相交于点O.‎ A B C D E P O ‎（1）当P点在BC边上运动时，求证：△BOP∽△DOE；‎ ‎（2）设（1）中的相似比为，若AD︰BC = 2︰3. 请探究：当k为下列三种情况时，四边形ABPE是什么四边形？①当= 1时，是 ；②当= 2时，是 ；③当= 3时，是 . 并证明= 2时的结论.‎ ‎【解答】‎ ‎24．（9分） （1）证明：∵AD∥BC ‎ ‎∴∠OBP = ∠ODE ……………1分 ‎ 在△BOP和△DOE中 ‎∠OBP = ∠ODE ‎∠BOP = ∠DOE …………………2分 ‎ ‎∴△BOP∽△DOE (有两个角对应相等的两 三角形相似) ……………3分 ‎（2）① 平行四边形 …………………4分 ‎② 直角梯形 …………………5分 ‎ ③ 等腰梯形 …………………6分 证明：∵k = 2时， ‎ ‎ ∴ BP = 2DE = AD 又∵AD︰BC = 2︰3 BC = AD PC = BC - BP =AD - AD =AD = ED ED∥PC , ∴四边形PCDE是平行四边形 ，∵∠DCB = 90°‎ ‎∴四边形PCDE是矩形 …………………7分 ‎∴ ∠EPB = 90° …………………8分 又∵ 在直角梯形ABCD中 ，AD∥BC, AB与DC不平行 ‎∴ AE∥BP, AB与EP不平行 四边形ABPE是直角梯形 …………9分 ‎204、（2010年云南省昆明市）25．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线经过O（0，0）、A（4，0）、B（3，）三点.‎ ‎（1）求此抛物线的解析式；‎ ‎（2）以OA的中点M为圆心，OM长为半径作⊙M，在（1）中的抛物线上是否存在这样的点P，过点P作⊙M的切线l ，且l与x轴的夹角为30°，若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：本题中的结果可保留根号） ‎ ‎【解答】‎ ‎25．(12分) 解：（1）设抛物线的解析式为：‎ ‎ 由题意得： ……………1分 解得： ………………2分 ‎∴抛物线的解析式为： ………………3分 ‎（2）存在 ………………4分 l′‎ 抛物线的顶点坐标是，作抛物线和⊙M（如图），‎ 设满足条件的切线 l 与 x 轴交于点B，与⊙M相切于点C，连接MC，过C作CD⊥ x 轴于D ‎ ‎∵ MC = OM = 2, ∠CBM = 30°, CM⊥BC ‎∴∠BCM = 90° ，∠BMC = 60° ，BM = ‎2CM = 4 , ∴B (-2, 0)， 在Rt△CDM中，∠DCM = ∠CDM - ∠CMD = 30°‎ ‎∴DM = 1, CD = = ∴ C (1, )‎ 设切线 l 的解析式为:，点B、C在 l 上，可得：‎ ‎ 解得： ‎ ‎∴切线BC的解析式为：‎ ‎∵点P为抛物线与切线的交点 由 解得： ‎ ‎∴点P的坐标为：， ………………8分 ‎∵ 抛物线的对称轴是直线 此抛物线、⊙M都与直线成轴对称图形 于是作切线 l 关于直线的对称直线 l′(如图)‎ 得到B、C关于直线的对称点B1、C1‎ l′满足题中要求，由对称性，得到P1、P2关于直线的对称点：‎ ‎ ，即为所求的点.‎ ‎∴这样的点P共有4个：，，， ………12分 ‎205、（2010年云南省曲靖市）23.（10分）如图，有一块等腰梯形的草坪，草坪上底长‎48米，下底长‎108米，上下底相距‎40米，现要在草坪中修建一条横、纵向的“”型甬道，甬道宽度相等，甬道面积是整个梯形面积的.设甬道的宽为米.‎ ‎（1）求梯形的周长； ‎ ‎（2）用含的式子表示甬道的总长；‎ ‎（3）求甬道的宽是多少米？‎ ‎【解答】‎ 解：（1）在等腰梯形中，，‎ 梯形的周长=(米). 2分 ‎（2）甬道的总长：米. 4分 ‎（3）根据题意，得. 7分 整理，得，，解之得.因，不符合题意，舍去.‎ 答：甬道的宽为‎4米. 10分 ‎206、（2010年云南省曲靖市）24.（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线.所得抛物线与轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，顶点为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）判断的形状，并说明理由；‎ ‎（3）在线段上是否存在点，使与相似.若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.‎ ‎【解答】‎ 解：（1）的顶点坐标为（0，0），‎ 的顶点坐标，‎ ‎. 3分 ‎（2）由（1）得. 当时，. .‎ ‎. 4分 当时，，‎ 点坐标为 ，又顶点坐标， 5分 作出抛物线的对称轴交轴于点.‎ 作轴于点.‎ 在中，；‎ 在中，；‎ 在中，；‎ ‎，‎ 是直角三角形. ………7分 ‎（3）存在.‎ 由（2）知，为等腰直角三角形，，‎ 连接，过点作于点，.‎ ‎①若，则，即.‎ ‎，.，‎ ‎.点在第三象限，. 10分 ‎②若，则 ‎，即. ，‎ ‎. 点在第三象限，.‎ 综上①、②所述，存在点使与相似，且这样的点有两个，其坐标分别为. 12分 ‎207、（2010年云南省玉溪市）22. 平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系.‎ ‎（1）如图a，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B=∠BOD，又因∠BOD是 ‎△POD的外角，故∠BOD=∠BPD +∠D，得∠BPD=∠B－∠D．将点P移到AB、CD内部，如图b，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；‎ 图a O 图b ‎（2）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）；‎ ‎（3）根据（2）的结论求图d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．‎ 图c 图d ‎【解答】‎ 解：（1）不成立，结论是∠BPD=∠B+∠D.‎ 延长BP交CD于点E,‎ ‎ ∵AB∥CD. ∴∠B=∠BED. 又∠BPD=∠BED+∠D，‎ ‎∴∠BPD=∠B+∠D. …………4分 ‎（2）结论： ∠BPD=∠BQD+∠B+∠D. …………7分 ‎（3）由（2）的结论得：∠AGB=∠A+∠B+∠E.‎ ‎ 又∵∠AGB=∠CGF.‎ ‎ ∠CGF+∠C+∠D+∠F=360°‎ ‎∴∠A+∠B+∠C+∠D∠E+∠F=360°. …………11分 ‎208、（2010年云南省玉溪市）23．如图10，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，） ，‎ ‎△AOB的面积是.‎ ‎（1）求点B的坐标；‎ ‎（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；‎ y A ‎0‎ B 图10‎ ‎（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由； ‎ ‎ （4）在（2）中轴下方的抛物线上是否存在一点P，过点P作轴的垂线，交直线AB于点D，线段OD把△AOB分成两个三角形．使其中一个三角形面积与四边形BPOD面积比为2：3 ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【解答】‎ 解：（1）由题意得: ‎ ‎∴B（－2，0） …………3分 ‎ （2）设抛物线的解析式为y=ax(x+2)，代入点A（1, ），得，‎ ‎∴ …………6分 C A B O y x ‎（3）存在点C.过点A作AF垂直于x轴于点F，抛物线 的对称轴x= - 1交x轴于点E.当点C位于对称轴 与线段AB的交点时，△AOC的周长最小.‎ ‎∵ △BCE∽△BAF,‎ ‎ …………9分 ‎ ‎（4）存在. 如图，设p(x,y)，直线AB为y=kx+b,则 ‎ ，‎ ‎ ∴直线AB为，‎ ‎ = |OB||YP|+|OB||YD|=|YP|+|YD|‎ ‎ =.‎ ‎∵S△AOD= S△AOB-S△BOD =-×2×∣x+∣=-x+. ‎ y x A O D B P ‎∴==. ‎ ‎ ∴x1=- , x2=1(舍去).‎ ‎∴p(-,-) .‎ 又∵S△BOD =x+, ‎ ‎∴ == .‎ ‎∴x1=- , x2=-2.‎ P(-2,0)，不符合题意.‎ ‎∴ 存在，点P坐标是（-，-）. …………12分 ‎209、（2010年云南省昭通市）22．（11分）在如图8所示的方格图中，每个小正方形的顶点称为“格点”，且每个小正方形的边长均为1个长度单位，以格点为顶点的图形叫做“格点图形”，根据图形解决下列问题：‎ （1） 图中格点是由格点通过怎样变换得到的？‎ （2） 如果建立直角坐标系后，点的坐标为（，），点的坐标为，请求出过点的正比例函数的解析式，并写出图中格点各顶点的坐标．‎ ‎【解答】‎ ‎22．解：（1）格点是由格点先绕点逆时针旋转，然后向右平移个长度单位（或格）得到的． 4分 ‎（注：先平移后旋转也行）‎ ‎（2）设过点的正比例函数解析式为，‎ 将代入上式得，，．‎ 过点的正比例函数的解析式为． 8分 各顶点的坐标为：‎ ‎． 11分 ‎210、（2010年云南省昭通市）23．（14分）如图9，已知直线的解析式为，它与轴、轴分别相交于、两点，平行于直线的直线从原点出发，沿轴正方向以每秒个单位长度的速度运动，运动时间为秒，运动过程中始终保持，直线与轴，轴分别相交于、两点，线段的中点为，以为圆心，以为直径在上方作半圆，半圆面积为，当直线与直线重合时，运动结束．‎ （1） 求、两点的坐标；‎ （2） 求与的函数关系式及自变量的取值范围；‎ （3） 直线在运动过程中，‎ 当为何值时，半圆与直线相切？‎ 是否存在这样的值，使得半圆面积？若存在，求出值，若不存在，说明理由． ‎ 图9（1）‎ 图9（2）备用图 ‎【解答】‎ ‎23．解：（1），‎ 令，得，，．‎ 令，得，． 2分 ‎（2），‎ 是等腰直角三角形．‎ ‎，‎ ‎，‎ 为等腰直角三角形，‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎． 8分 ‎（3）分别过、作于、于F．‎ ‎，‎ 在中，，，‎ ‎．‎ 当时，半圆与相切．‎ 即，．‎ 当时，半圆与直线相切． 11分 存在．．‎ ‎．‎ 若，则，，‎ ‎， ．‎ 存在，使得． 14分 ‎211、（2010年重庆市）25．今年我国多个省市遭受严重干旱，受旱灾的影响，4月份，我市某蔬菜价格呈上升趋势，其前四周每周的平均销售价格变化如下表：‎ 周数x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 价格y（元/千克）‎ ‎2‎ ‎2.2‎ ‎2.4‎ ‎2.6‎ 进入5月，由于本地蔬菜的上市，此种蔬菜的平均销售价格y（元/千克）从5月第1周的2.8元/千克下降至第2周的2.4元/千克，且y与周数x的变化情况满足二次函数y＝－ x2＋bx＋c.‎ ‎（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识直接写出4月份y与x 的函数关系式，并求出5月份y与x的函数关系式；‎ ‎（2）若4月份此种蔬菜的进价m（元/千克）与周数x所满足的函数关系为m＝x＋1.2，5月份此种蔬菜的进价m（元/千克）与周数x所满足的函数关系为m＝x＋2．试问4月份与5月份分别在哪一周销售此种蔬菜一千克的利润最大？且最大利润分别是多少？‎ ‎（3）若5月份的第2周共销售100吨此种蔬菜．从5月份的第3周起，由于受暴雨的影响，此种蔬菜的可供销量将在第2周销量的基础上每周减少a %，政府为稳定蔬菜价格，从外地调运2吨此种蔬菜，刚好满足本地市民的需要，且使此种蔬菜的销售价格比第2周仅上涨‎0.8 a %．若在这一举措下，此种蔬菜在第3周的总销售额与第2周刚好持平，请你参考以下数据，通过计算估算出a的整数值．‎ ‎（参考数据：372＝1369，382＝1444，392＝1521，402＝1600，412＝1681）‎ ‎【解答】‎ ‎212、（2010年重庆市）26．已知：如图（1），在平面直角坐标xOy中，边长为2的等边△OAB的顶点B在第一象限，顶点A在x轴的正半轴上．另一等腰△OCA的顶点C在第四象限，OC＝AC，∠C＝120°．现有两动点P、Q分别从A、O两点同时出发，点Q以每秒1个单位的速度沿OC向点C运动，点P以每秒3个单位的速度沿A→O→B运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止.‎ ‎（1）求在运动过程中形成的△OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系，并写出自变量t的取值范围；‎ ‎（2）在等边△OAB的边上（点A除外）存在点D，使得△OCD为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标；‎ ‎（3）如图（2），现有∠MCN＝60°，其两边分别与OB、AB交于点M、 N，连接MN．将∠MCN绕着C点旋转（0°＜旋转角＜60°），使得M、N始终在边OB和边AB上．试判断在这一过程中，△BMN的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．‎ ‎【解答】‎ ‎213、（2010年重庆市潼南县）26.（12分）如图, 已知抛物线与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，-1）.‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）点E是线段AC上一动点，过点E作DE⊥x轴于点D，连结DC，当△DCE的面积最大时，求点D的坐标；‎ ‎（3）在直线BC上是否存在一点P，使△ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由.‎ ‎【解答】‎ ‎26. 解：（1）∵二次函数的图像经过点A（2，0）C(0,－1)‎ ‎∴‎ ‎ 解得： b=－ c=－1-------------------2分 ‎∴二次函数的解析式为 --------3分 ‎（2）设点D的坐标为（m，0） （0＜m＜2）‎ ‎∴ OD=m ∴AD=2-m 由△ADE∽△AOC得， --------------4分 ‎∴‎ ‎∴DE=-----------------------------------5分 ‎∴△CDE的面积=××m ‎==‎ 当m=1时，△CDE的面积最大 ‎∴点D的坐标为（1，0）--------------------------8分 ‎（3）存在 由(1)知：二次函数的解析式为 设y=0则 解得：x1=2 x2=－1‎ ‎∴点B的坐标为（－1，0） C（0，－1）‎ 设直线BC的解析式为：y=kx＋b ‎∴ 解得：k=-1 b=-1‎ ‎∴直线BC的解析式为: y=－x－1‎ 在Rt△AOC中，∠AOC=900 OA=2 OC=1‎ 由勾股定理得：AC=‎ ‎∵点B(－1,0) 点C（0，－1）‎ ‎∴OB=OC ∠BCO=450‎ ‎①当以点C为顶点且PC=AC=时，‎ 设P(k, －k－1)‎ 过点P作PH⊥y轴于H ‎∴∠HCP=∠BCO=450‎ CH=PH=∣k∣ 在Rt△PCH中 k2+k2= 解得k1=， k2=－‎ ‎∴P1（，－） P2（－，）---10分 ‎②以A为顶点，即AC=AP=‎ 设P(k, －k－1)‎ 过点P作PG⊥x轴于G AG=∣2－k∣ GP=∣－k－1∣‎ 在Rt△APG中 AG2＋PG2=AP2‎ ‎（2－k)2+(－k－1)2=5‎ 解得：k1=1,k2=0(舍)‎ ‎∴P3(1, －2) ----------------------------------11分 ‎③以P为顶点，PC=AP设P(k, －k－1)‎ 过点P作PQ⊥y轴于点Q PL⊥x轴于点L ‎∴L(k,0)‎ ‎∴△QPC为等腰直角三角形 ‎ PQ=CQ=k，由勾股定理知，CP=PA=k ，∴AL=∣k-2∣, PL=｜－k－1｜‎ 在Rt△PLA中 ，(k)2=(k－2)2＋(k＋1)2‎ 解得：k=∴P4(,－) ------------------------12分 综上所述： 存在四个点：P1（，－） ‎ P2（-，） P3(1, －2) P4(,－)‎ ‎214、（2010年重庆市綦江县）26．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)经过点B(12，0)和C(0，－6)，对称轴为x＝2．‎ ‎(1)求该抛物线的解析式．‎ A B C O P Q D y x ‎(2)点D在线段AB上且AD＝AC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一个动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t(秒)和点Q的运动速度；若存在，请说明理由．‎ ‎(3)在(2)的结论下，直线x＝1上是否存在点M，使△MPQ为等腰三角形？若存在，请求出所有点M的坐标；若存在，请说明理由．‎ ‎【解答】‎ ‎215、（2010年新疆乌鲁木齐市）23.（本题满分10分）已知二次函数的图象经过和N(n，0)（n≠0）三点.‎ ‎（1）若该函数图象顶点恰为点，写出此时的值及的最大值；‎ ‎（2）当时，确定这个二次函数的解析式，并判断此时是否有最大值；‎ ‎（3）由（1）、（2）可知，的取值变化，会影响该函数图象的开口方向.请你求出满足 什么条件时，有最小值？‎ ‎【解答】‎ ‎23.解：（1）由二次函数图象的对称性可知；的最大值为 2′‎ ‎（2）由题意得：，解这个方程组得：‎ 故这个二次函数的解析式为 5′‎ ‎∵ ∴没有最大值. 6′‎ ‎（3）由题意，得，整理得： 8′‎ ‎∵ ∴‎ 故而 若有最小值，则需 ∴ 即 ‎∴时，有最小值. 10′‎ ‎216、（2010年新疆乌鲁木齐市）24.（本题满分12分）如图9，边长为5的正方形的顶点在坐标原点处，点分别在轴、轴的正半轴上，点是边上的点（不与点重合），，且与正方形外角平分线交于点.‎ ‎（1）当点坐标为时，试证明；‎ ‎（2）如果将上述条件“点坐标为（3，0）”改为“点坐标为（，0）（）”，结论 是否仍然成立，请说明理由；‎ ‎（3）在轴上是否存在点，使得四边形是平行四边形？若存在，用表示点 的坐标；若不存在，说明理由.‎ 图9‎ ‎【解答】‎ A R H O M C y B G P F x ‎24.解：（1）过点作轴，垂足为 ‎∴ ∵ ∴‎ ‎∴‎ ‎∴ 2′‎ 由题意知: ‎ ‎∴ 得 ‎∴ 3′‎ 在和中 ‎∴ ‎ 故 5′‎ ‎（2）仍成立.‎ 同理 ∴ 6′‎ 由题意知: ‎ ‎∴ 整理得 ‎∵点不与点重合 ∴ ∴ ‎ ‎∴在和中 ‎ ∴ 5′‎ ‎（3）轴上存在点，使得四边形是平行四边形. 9′‎ 过点作交轴于点 ‎∴ ∴‎ 在和中 ‎ ∴ ∴‎ 而 ∴‎ 由于 ∴四边形是平行四边形. 11′‎ 故可得 ∴‎ 故点的坐标为 12′‎ ‎ ‎ ‎217、（2010年新疆建设兵团）24.（12分）张师傅在铺地板时发现，用8块大小一样的长方形瓷砖恰好可以拼成一个大的长方形，如图（1）.然后，他用这8块瓷砖又拼出一个正方形，如图（2），中间恰好空出一个边长为1的小正方形（阴影部分），假设长方形的长为，宽为，且 图（1）‎ 图（2）‎ 图（3）‎ ‎（1）请你求出图（1）中与的函数关系式；‎ ‎（2）求出图（2）中与的函数关系式；‎ ‎（3）在图（3）中作出两个函数的图象，写出交点坐标，并解释交点坐标的实际意义；‎ ‎（4）根据以上讨论完成下表，观察与的关系，回答：如果给你任意8个相同的长方形，你能否拼出类似图（1）和图（2）的图形？说出你的理由.‎ 图（2）中小正方形边长 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎…‎ ‎6‎ ‎10‎ ‎…‎ ‎24.（12分）解法不唯一 解：（1）由图（1）得：　　 2′‎ ‎（2）由图（2）得 3′‎ 整理得：‎ ‎ ‎ 不成立…………4′‎ 即 …………5′‎ ‎（3）‎ ‎ 7′‎ 交点坐标（3，5） 8′‎ 实际意义解答不唯一 例①：瓷砖的长为5，宽为3时，能围成图（1），图（2）的图形 9′‎ 例②：当瓷砖长为5，宽为3时，围成图（2）的正方形中的小正方形边长为1.‎ ‎（4）‎ 图（2）中小正方形边长 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎…‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎12‎ ‎…‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎20‎ ‎…‎ ‎ 11′‎ 情况①：不能，长方形的长与宽若不能满足，则不能 情况②：能，长方形的长与宽只要满足即可 情况③：综合上述两种说法 只要符合其中一种情况均给分 12′‎