镇江市2013届高三上学期期末考试数学试题 15页

镇江市2013届高三上学期期末考试数学试题 ‎2013. 1.25‎ 注意事项：‎ ‎1．本试卷共4页，包括填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）两部分．本试卷满分160分，考试时间120分钟．‎ ‎2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷的指定位置．‎ ‎3．答题时，必须用书写黑色字迹的毫米签字笔写在试卷的指定位置，在其它位置作答一律无效．‎ ‎4．如有作图需要，可用铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．‎ ‎1．已知集合M＝{1 ,2,3, 4,5}，N＝{2,4,6,8,10}，则M∩N＝ ▲ ．‎ ‎2．已知向量，，若，则实数 ▲ ．‎ ‎3.直线与 平行,则实数 ▲ ． ‎ ‎4.方程有 ▲ 个不同的实数根．‎ ‎5. 已知,函数的周期比振幅小1,则 ▲ ．‎ ‎6. 在△ABC中，，则= ▲ ．‎ ‎7. 在等比数列中，为其前项和，已知，，则此数列的公比为 ▲ ．‎ ‎8. 观察下列等式： ×＝1－， ×＋×＝1－， ×＋×＋×＝1－，…，由以上等式推测到一个一般的结论：对于n∈N*，‎ ×＋×＋…＋×＝ ▲ ．‎ ‎9. 圆心在抛物线上,并且和抛物线的准线及轴都相切的圆的标准方程 为 ▲ ．‎ ‎10. 在菱形中，,,,,‎ 则 ▲ ．‎ ‎11.设双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上，‎ 且,则此双曲线离心率的最大值为 ▲ ．‎ ‎12. 从直线上一点向圆引切线,为切点,则四边形的周长最小值为 ▲ ． ‎ ‎13. 每年的‎1月1日是元旦节，‎7月1日是建党节，而2013年的春节是‎2月10日，因为 ▲ ，新年将注定不平凡，请在括号内填写一个由月份和日期构成的正整数，使得等式成立，也正好组成我国另外一个重要节日.‎ ‎14. 已知x，y为正数，则的最大值为 ▲ ．‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15.（本小题满分14分）‎ ‎ 已知；不等式恒成立，‎ ‎　　若是的必要条件，求实数的取值范围.‎ ‎16.（本小题满分14分）‎ 已知△的面积为，且.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，，求△ABC的面积．‎ ‎17.（本小题满分14分）‎ ‎　已知,函数R)图象上相异两点处的切线分别为，‎ 且∥.‎ ‎（1）判断函数的奇偶性；并判断是否关于原点对称；‎ ‎（2）若直线都与垂直，求实数的取值范围.‎ ‎18.（本小题满分16分）‎ ‎　　 一位幼儿园老师给班上个小朋友分糖果.她发现糖果盒中原有糖果数为,就先从别处抓2块糖加入盒中，然后把盒内糖果的分给第一个小朋友;再从别处抓2块糖加入盒中，然后把盒内糖果的分给第二个小朋友;…,以后她总是在分给一个小朋友后,就从别处抓2块糖放入盒中，然后把盒内糖果的分给第个小朋友．如果设分给第个小朋友后（未加入2块糖果前）盒内剩下的糖果数为.‎ （1） 当,时,分别求;‎ （2） 请用表示;令,求数列的通项公式;‎ ‎ （3）是否存在正整数和非负整数,使得数列成等差数列,如果存在,请求出所有的和,如果不存在,请说明理由.‎ ‎19.（本小题满分16分）‎ ‎ 已知椭圆的中心在原点，长轴在x轴上，右顶点到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为. 不过A点的动直线交椭圆于P,Q两点．‎ （1） 求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）证明P,Q两点的横坐标的平方和为定值；‎ ‎（3）过点 A,P,Q的动圆记为圆C，动圆C过不同于A的定点，请求出该定点坐标.‎ 20. ‎（本小题满分16分）‎ ‎ 已知函数，对一切正整数，数列定义如下：，‎ 且，前项和为.‎ ‎（1）求函数的单调区间，并求值域；‎ ‎（2）证明；‎ ‎（3）对一切正整数，证明： ；.‎ 数学Ⅱ（附加题）‎ 注意事项：‎ 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 ‎1．本试卷只有解答题，供理工方向考生使用．本试卷第21题有4个小题供选做，每位考生在4个选做题中选答2题，3题或4题均答的按选做题中的前2题计分．第22、23题为必答题．每小题10分，共40分．考试用时30分钟．‎ ‎2．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号填写在试卷及答题卡的规定位置．‎ ‎3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．本卷考试结束后，上交答题卡．‎ ‎4．如需作图，须用铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．‎ ‎5．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔． ‎ ‎21．【选做题】本题包括、、、四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ A．（选修4－1　几何证明选讲）‎ 如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC， DE交AB于点F．求证：△PDF∽△POC．‎ ‎（第21-A题）‎ A B P F O E D C ‎·‎ ‎ ‎ ‎ B．（选修4—2：矩阵与变换）‎ ‎ 求曲线:在矩阵对应的变换下得到的曲线的方程.‎ C．（选修4—4：坐标系与参数方程）‎ ‎ 求圆被直线（是参数截得的弦长.‎ D.（选修4—5：不等式选讲）‎ 设函数．‎ ‎ （1）当时，求函数的定义域；‎ ‎ （2）若函数的定义域为R，试求的取值范围．‎ ‎[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.‎ ‎ ‎ ‎22．（本小题满分10分）‎ 斜率为1的直线与抛物线交于不同两点，求线段中点的轨迹方程．‎ ‎．‎ ‎23．（本小题满分10分）‎ ‎ 已知函数在区间上是增函数.‎ ‎（1）求实数的取值范围；‎ ‎（2）若数列满足，，Ｎ* ，证明．‎ ‎ 高三数学期末检测答案及评分标准 ‎2013.01‎ 一、填空题（每题5分）‎ ‎1.; 2. 0; 3. ; 4. 2;‎ ‎5. 1 ; 6.; 7. 3; 8. ‎ ‎9.; 10.; 11. ; 12.; ‎ ‎13. 101; 14. .‎ ‎【说明】‎ 13. ‎ (‎10月1日国庆节)本题的一般结论是，可以应用课本习题中结论证得.‎ 14. ‎ 本题可以进一步推广为:是否存在实数,使得当 时恒成立?‎ 二、解答题：‎ 15. 解：,即,……3分 是的必要条件,‎ ‎ 是的充分条件,……5分不等式对恒成立,……7分 对恒成立,……10分 ‎,当且仅当时,等号成立.……13分 .……14分 ‎【说明】本题考查简易逻辑、命题真假判断、简单指数不等式的解法、函数的最值、基本不等式应用；考查不等式恒成立问题；考查转化思想.‎ 16. 解：（1）设△的角所对应的边分别为.‎ ‎,,……2分 ‎, .……4分 .……5分 （2） ‎,即,……6分 ,……7分 ‎. ……9分 ‎……11分 由正弦定理知：,……13分 ‎.……14分 ‎【说明】本题主要考查和差三角函数、倍角公式、正弦定理的应用、平面向量的运算；考查运算变形和求解能力.‎ 17. 解：（1），……2分 为奇函数.……3分 设且,又，……5分 在两个相异点处的切线分别为,且∥，‎ ‎，‎ 又，，……6分　　又为奇函数，‎ 点关于原点对称．……7分 （2） 由（1）知，　　，……8分 又在A处的切线的斜率， 直线都与垂直,‎ ‎，……9分 ‎ 令，即方程有非负实根，……10分 ‎，又 ， ．综上．……14分 ‎【说明】本题考查函数性质和导数的运算与应用、一元二次方程根的分布；考查换元法考查推理论证能力.‎ 20. ‎　解：（1）当,时, ,‎ ‎,.……3分 （2） 由题意知： ,……6分 即, ,……7分 累加得,……9分 又,.……10分 （3） 由，得,……12分 若存在正整数和非负整数,使得数列成等差数列,‎ 则,……14分 即,……15分 当时， ，对任意正整数,有成等差数列. ……16分 ‎[注:如果验证不能成等差数列,不扣分]‎ ‎【说明】本题主要考查数列的定义、通项求法；考查反证法；考查递推思想；考查推理论证能力；考查阅读理解能力、建模能力、应用数学解决问题能力．本题还可以设计：如果班上有5名小朋友，每个小朋友都分到糖果，求的最小值.‎ 19. 解：（1）设椭圆的标准方程为.由题意得.……2分 ‎, , ……2分 椭圆的标准方程为.……4分 ‎（2）证明：设点 将带入椭圆，化简得： ‎,……6分 , ‎ P,Q两点的横坐标的平方和为定值4.……7分 ‎（3）(法一)设圆的一般方程为:,则圆心为（）,‎ PQ中点M(), PQ的垂直平分线的方程为:, ……8分 圆心（）满足，所以,……9分 圆过定点(2,0)，所以,……10分 圆过, 则 两式相加得：‎ ‎ ,……11分 ‎, .……12分 因为动直线与椭圆C交与P,Q（均不与A点重合）所以，‎ 由解得: ……13分 代入圆的方程为：,‎ 整理得：,……14分 所以：……15分 解得：或(舍). ‎ ‎ 所以圆过定点(0,1).……16分 ‎(法二) 设圆的一般方程为:,将代入的圆的方程:‎ .……8分 方程与方程为同解方程., ……11分 圆过定点(2,0)，所以 , ……12分 ‎ 因为动直线与椭圆C交与P,Q（均不与A点重合）所以.‎ 解得: ,……13分 (以下相同)‎ ‎【说明】本题考查圆锥曲线的基本量间关系、直线与圆锥曲线的位置关系；考查定点定值问题；考查运算求解能力和推理论证能力.‎ 19. 解：（1）定义域R，‎ ‎，……1分 ‎，．……2分 函数的单调增区间为，单调减区间为 ．……3分 ‎（法一），，当时， ，……4分 时，为减函数，；‎ 当时， ；函数的值域为．……5分 ‎（法二）当时，,当时，,且,,函数的值域为.……5分 ‎（法三）判别式法（略）‎ ‎（2）设,‎ ‎　　设，则，则，.……6分 ‎ 当时， 恒成立．‎ 当且仅当时，……7分 令，当且仅当时，‎ 当时，由（１）, 当时，无解……8分 当时， ，‎ 当时，在无解．……9分 ‎　　综上，除外，方程无解， ‎ ‎．……10分 ‎（3） 显然,又,，‎ ‎，……11分 ‎ 所以， 若，则 矛盾.所以 .……12分 ‎ (法一)‎ ‎……14分 ‎ ……15分 ‎ ……16分 ‎(法二)……13分 ‎ ……14分 ‎ ……15分 ‎， .……16分 ‎【说明】‎ 本题以高等数学中不动点、函数迭代等理论为背景，考查函数的图象与性质、导数的运算与应用；考查函数思想；考查推理论证能力、运算能力. 其中第2问证法较多. 本题可以进一步设计证明. 如令,可证明对任意正整数有互素.‎ 理 科 附 加 题 答 案 ‎21．【选做题】‎ A．证明：∵AE=AC，∠CDE＝∠AOC，……2分 ‎ 又∠CDE＝∠P+∠PFD，∠AOC＝∠P+∠OCP，……6分 ‎ 从而∠PFD＝∠OCP．……7分 在△PDF与△POC中， ∠P＝∠P，∠PFD＝∠OCP，‎ ‎ 故△PDF∽△POC．……10分 B．解：设为曲线上的任意一点，在矩阵A变换下得到另一点，‎ ‎ 则有，……4分 即 ……6分 所以……8分 又因为点P在曲线上，所以，‎ 故有 即所得曲线方程.…… 10分 C． 解:将极坐标方程转化成直角坐标方程：‎ 即：，即；……4分 ‎ 即： ,…… 6分 ，…… 8分 即直线经过圆心,所以直线截得的弦长为.…… 10分 D. 解：（1）由题设知：，‎ 如图，在同一坐标系中作出函数 和的图象（如图所示）,‎ 知定义域为.……5分 ‎（2）由题设知，当时，恒有，‎ 即 由（1），∴ .……10分 ‎[必做题] ‎ 22． 解：设直线方程：，‎ 将代入,得,……2分 所以……6分 ‎，,……9分 线段中点的轨迹方程为：.……10分 ‎23．解：（1）函数在区间上是增函数.‎ 在区间上恒成立,……2分 ‎,又在区间上是增函数 即实数的取值范围为.……3分 ‎ （2）先用数学归纳法证明. 当时，成立, ……4分 假设时，成立,……5分 当时，由（1）知时，函数在区间上是增函数 ‎ ,……7分 即成立, 当时,成立.……8分 ‎ 下证. ……9分 ‎. 综上.……10分