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  • 2021-11-11 发布

2020九年级数学上册 第21章 一元二次方程单元测试卷(含解析)(新版)新人教版

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第21章 一元二次方程 考试时间:120分钟;满分:150分 学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________‎ 题号 一 二 三 总分 得分 评卷人 ‎ ‎ 得 分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 一.选择题(共10小题,满分40分,每小题4分)‎ ‎1.(4分)下列方程中是一元二次方程的是(  )‎ A.xy+2=1 B. C.x2=0 D.ax2+bx+c=0‎ ‎2.(4分)一元二次方程(x+3)(x﹣3)=5x的一次项系数是(  )‎ A.﹣5 B.﹣‎9 ‎C.0 D.5‎ ‎3.(4分)已知一元二次方程x2+kx﹣3=0有一个根为1,则k的值为(  )‎ A.﹣2 B.‎2 ‎C.﹣4 D.4‎ ‎4.(4分)方程x2﹣9=0的解是(  )‎ A.x=3 B.x=﹣‎3 ‎C.x=±9 D.x1=3,x2=﹣3‎ ‎5.(4分)一元二次方程y2﹣y﹣=0配方后可化为(  )‎ A.(y+)2=1 B.(y﹣)2=‎1 ‎C.(y+)2= D.(y﹣)2=‎ ‎6.(4分)设x1为一元二次方程2x2﹣4x=较小的根,则(  )‎ A.0<x1<1 B.﹣1<x1<‎0 ‎C.﹣2<x1<﹣1 D.﹣5<x1<﹣‎ ‎7.(4分)解方程x2+2x+1=4较适宜的方法是(  )‎ A.实验法 B.公式法 C.因式分解法 D.配方法 ‎8.(4分)一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2,则x1x2为(  )‎ A.﹣2 B.‎1 ‎C.2 D.0‎ ‎9.(4分)如图,有一张矩形纸片,长‎10cm,宽‎6cm,在它的四角各剪去一个同样的小正方形,然后折叠成一个无盖的长方体纸盒.若纸盒的底面(图中阴影部分)面积是‎32cm2,求剪去的小正方形的边长.设剪去的小正方形边长是xcm,根据题意可列方程为(  )‎ 15‎ A.10×6﹣4×6x=32 B.(10﹣2x)(6﹣2x)=32 ‎ C.(10﹣x)(6﹣x)=32 D.10×6﹣4x2=32‎ ‎10.(4分)某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业.据统计,该市2017年“竹文化”旅游收入约为2亿元.预计2019“竹文化”旅游收入达到2.88亿元,据此估计该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为(  )‎ A.2% B.4.4% C.20% D.44%‎ ‎ ‎ ‎ 评卷人 ‎ ‎ 得 分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 二.填空题(共4小题,满分20分,每小题5分)‎ ‎11.(5分)若关于x的一元二次方程x2+mx+2n=0有一个根是2,则m+n=   .‎ ‎12.(5分)对于实数p,q,我们用符号min{p,q}表示p,q两数中较小的数,如min{1,2}=1,min{﹣2,﹣3}=﹣3,若min{(x+1)2,x2}=1,则x=   .‎ ‎13.(5分)关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根,则m的值是   .‎ ‎14.(5分)某商品的原价为120元,如果经过两次降价,且每次降价的百分率都是m,那么该商品现在的价格是   元(结果用含m的代数式表示).‎ ‎ ‎ ‎ 评卷人 ‎ ‎ 得 分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 三.解答题(共9小题,满分90分)‎ ‎15.(8分)解方程:2x2﹣4x﹣30=0.‎ ‎16.(8分)已知x=2是关于x的方程x2﹣mx﹣‎4m2‎=0的一个根,求m(‎2m+1)的值.‎ ‎17.(8分)已知:关于x的一元二次方程x2﹣(‎2m+3)x+m2+‎3m+2=0.‎ ‎(1)已知x=2是方程的一个根,求m的值;‎ ‎(2)以这个方程的两个实数根作为△ABC中AB、AC(AB<AC)的边长,当BC=时,△‎ 15‎ ABC是等腰三角形,求此时m的值.‎ ‎18.(8分)阅读下列材料,解答问题 ‎(2x﹣5)2+(3x+7)2=(5x+2)2‎ 解:设m=2x﹣5,n=3x+7,则m+n=5x+2‎ 则原方程可化为m2+n2=(m+n)2‎ 所以mn=0,即(2x﹣5)(3x+7)=0‎ 解之得,x1=,x2=﹣‎ 请利用上述方法解方程(4x﹣5)2+(3x﹣2)2=(x﹣3)2‎ ‎19.(10分)已知关于x的一元二次方程x2﹣(k+1)x+2k﹣2=0.‎ ‎(1)求证:此方程总有两个实数根;‎ ‎(2)若此方程有一个根大于0且小于1,求k的取值范围.‎ ‎20.(10分)若关于x的一元二次方程x2﹣(‎2a+1)x+a2=0有两个不相等的实数根,求a的取值范围.‎ ‎21.(12分)某公司今年1月份的生产成本是400万元,由于改进技术,生产成本逐月下降,3月份的生产成本是361万元.‎ 假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同.‎ ‎(1)求每个月生产成本的下降率;‎ ‎(2)请你预测4月份该公司的生产成本.‎ ‎22.(12分)一商店销售某种商品,平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利,该店采取了降价措施,在每件盈利不少于25元的前提下,经过一段时间销售,发现销售单价每降低1元,平均每天可多售出2件.‎ ‎(1)若降价3元,则平均每天销售数量为   件;‎ ‎(2)当每件商品降价多少元时,该商店每天销售利润为1200元?‎ ‎23.(14分)某市创建“绿色发展模范城市”,针对境内长江段两种主要污染源:生活污水和沿江工厂污染物排放,分别用“生活污水集中处理”(下称甲方案)和“沿江工厂转型升级”(下称乙方案)进行治理,若江水污染指数记为Q,沿江工厂用乙方案进行一次性治理(当年完工),从当年开始,所治理的每家工厂一年降低的Q值都以平均值n计算.第一年有40家工厂用乙方案治理,共使Q值降低了12.经过三年治理,境内长江水质明显改善.‎ ‎(1)求n的值;‎ 15‎ ‎(2)从第二年起,每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m,三年来用乙方案治理的工厂数量共190家,求m的值,并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量;‎ ‎(3)该市生活污水用甲方案治理,从第二年起,每年因此降低的Q值比上一年都增加个相同的数值a.在(2)的情况下,第二年,用乙方案所治理的工厂合计降低的Q值与当年因甲方案治理降低的Q值相等,第三年,用甲方案使Q值降低了39.5.求第一年用甲方案治理降低的Q值及a的值.‎ ‎ ‎ 15‎ ‎2018年九年级上学期 第21章 一元二次方程 单元测试卷 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一.选择题(共10小题,满分40分,每小题4分)‎ ‎1.‎ ‎【分析】根据一元二次方程的定义:含有一个未知数,并且所含未知数的项的次数是2次的整式方程,即可判断答案.‎ ‎【解答】解:根据一元二次方程的定义:A、是二元二次方程,故本选项错误;‎ B、是分式方程,不是整式方程,故本选项错误;‎ C、是一元二次方程,故本选项正确;‎ D、当a b c是常数,a≠0时,方程才是一元二次方程,故本选项错误;‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查了对一元二次方程和一元一次方程的理解,关键是知道一元二次方程含有3个条件:①整式方程,②含有一个未知数,③所含未知数的项的次数是1次.‎ ‎ ‎ ‎2.‎ ‎【分析】一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)中a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项.‎ ‎【解答】解:化为一般式,得 x2﹣5x﹣9=0,‎ 一次项系数为﹣5,‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式:ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.在一般形式中ax2叫二次项,bx叫一次项,c是常数项.其中a,b,c分别叫二次项系数,一次项系数,常数项.‎ ‎ ‎ ‎3.‎ ‎【分析】根据一元二次方程的解的定义,把把x=1代入方程得关于k的一次方程1﹣3+k=0,然后解一次方程即可.‎ ‎【解答】解:把x=1代入方程得1+k﹣3=0,‎ 15‎ 解得k=2.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查了一元二次方程的解:能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.‎ ‎ ‎ ‎4.‎ ‎【分析】先移项得到x2=9,然后利用直接开平方法解方程.‎ ‎【解答】解:x2=9,‎ x=±3,‎ 所以x1=3,x2=﹣3.‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法:形如x2=p或(nx+m)2=p(p≥0)的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程.‎ ‎ ‎ ‎5.‎ ‎【分析】根据配方法即可求出答案.‎ ‎【解答】解:y2﹣y﹣=0‎ y2﹣y=‎ y2﹣y+=1‎ ‎(y﹣)2=1‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查一元二次方程的配方法,解题的关键是熟练运用配方法,本题属于基础题型.‎ ‎ ‎ ‎6.‎ ‎【分析】求出方程的解,求出方程的最小值,即可求出答案.‎ ‎【解答】解:2x2﹣4x=,‎ ‎8x2﹣16x﹣5=0,‎ 15‎ ‎,‎ ‎∵x1为一元二次方程2x2﹣4x=较小的根,‎ ‎,‎ ‎∵5<<6,‎ ‎∴﹣1<x1<0.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查了求一元二次方程的解和估算无理数的大小的应用,关键是求出方程的解和能估算无理数的大小.‎ ‎ ‎ ‎7.‎ ‎【分析】先移项,再将方程左边进行因式分解,转化成一次方程,求解即可.‎ ‎【解答】解:移项得:x2+2x﹣3=0,‎ 方程左边因式分解得:(x+3)(x﹣1)=0,‎ x+3=0或x﹣1=0,‎ 解得:x1=﹣3,x2=1,‎ 较适宜的方法是因式分解法,‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查解一元二次方程,掌握多种方法解一元二次方程,并针对不同的题目找到最适宜的方法是解决本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎8.‎ ‎【分析】根据根与系数的关系可得出x1x2=0,此题得解.‎ ‎【解答】解:∵一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2,‎ ‎∴x1x2=0.‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题考查了根与系数的关系,牢记两根之积等于是解题的关键.‎ ‎ ‎ 15‎ ‎9.‎ ‎【分析】设剪去的小正方形边长是xcm,则纸盒底面的长为(10﹣2x)cm,宽为(6﹣2x)cm,根据长方形的面积公式结合纸盒的底面(图中阴影部分)面积是‎32cm2,即可得出关于x的一元二次方程,此题得解.‎ ‎【解答】解:设剪去的小正方形边长是xcm,则纸盒底面的长为(10﹣2x)cm,宽为(6﹣2x)cm,‎ 根据题意得:(10﹣2x)(6﹣2x)=32.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎10.‎ ‎【分析】设该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为x,根据2017年及2019年“竹文化”旅游收入总额,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其正值即可得出结论.‎ ‎【解答】解:设该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为x,‎ 根据题意得:2(1+x)2=2.88,‎ 解得:x1=0.2=20%,x2=﹣2.2(不合题意,舍去).‎ 答:该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为20%.‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.‎ ‎ ‎ 二.填空题(共4小题,满分20分,每小题5分)‎ ‎11.‎ ‎【分析】根据一元二次方程的解的定义把x=2代入x2+mx+2n=0得到4+‎2m+2n=0得n+m=﹣2,然后利用整体代入的方法进行计算.‎ ‎【解答】解:∵2(n≠0)是关于x的一元二次方程x2+mx+2n=0的一个根,‎ ‎∴4+‎2m+2n=0,‎ ‎∴n+m=﹣2,‎ 故答案为:﹣2.‎ ‎【点评】‎ 15‎ 本题考查了一元二次方程的解(根):能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根,所以,一元二次方程的解也称为一元二次方程的根.‎ ‎ ‎ ‎12.‎ ‎【分析】利用题中的新定义化简已知等式,求出解即可得到x的值.‎ ‎【解答】解:当(x+1)2<x2,即x<﹣时,方程为(x+1)2=1,‎ 开方得:x+1=1或x+1=﹣1,‎ 解得:x=0(舍去)或x=﹣2;‎ 当(x+1)2>x2,即x>﹣时,方程为x2=1,‎ 开方得:x=1或x=﹣1(舍去),‎ 综上,x=1或﹣2,‎ 故答案为:1或﹣2‎ ‎【点评】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法,熟练掌握运算法则是解本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎13.‎ ‎【分析】由于关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根,可知其判别式为0,据此列出关于m的方程,解答即可.‎ ‎【解答】解:∵关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根,‎ ‎∴△=0,‎ ‎∴22﹣‎4m=0,‎ ‎∴m=1,‎ 故答案为:1.‎ ‎【点评】本题主要考查了根的判别式的知识,解答本题的关键是掌握一元二次方程有两个相等的实数根,则可得△=0,此题难度不大.‎ ‎ ‎ ‎14.‎ ‎【分析】设每次降价的百分率都是m,根据某商品的原价为120元,经过两次降价后的价格可用代数式表示出.‎ ‎【解答】解:设每次降价的百分率都是m,‎ 该商品现在的价格是;120(1﹣m)2.‎ 15‎ 故答案为:120(1﹣m)2.‎ ‎【点评】本题考查理解题意的能力,知道原来的价格,知道降价的百分率,经过两次降价后可求出现在的价格,是个增长率问题.‎ ‎ ‎ 三.解答题(共9小题,满分90分)‎ ‎15.‎ ‎【分析】利用因式分解法解方程即可;‎ ‎【解答】解:∵2x2﹣4x﹣30=0,‎ ‎∴x2﹣2x﹣15=0,‎ ‎∴(x﹣5)(x+3)=0,‎ ‎∴x1=5,x2=﹣3.‎ ‎【点评】本题考查一元二次方程的解法﹣因式分解法,解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的解法,属于中考基础题.‎ ‎ ‎ ‎16.‎ ‎【分析】根据x=2是关于x的方程x2﹣mx﹣‎4m2‎=0的一个根,将x=2代入方程变形即可求得所求式子的值.‎ ‎【解答】解:∵x=2是关于x的方程x2﹣mx﹣‎4m2‎=0的一个根,‎ ‎∴22﹣‎2m﹣‎4m2‎=0,‎ ‎∴4=‎4m2‎+‎2m,‎ ‎∴2=m(‎2m+1),‎ ‎∴m(‎2m+1)=2.‎ ‎【点评】本题考查一元二次方程的解,解答本题的关键是明确题意,利用方程的思想解答.‎ ‎ ‎ ‎17.‎ ‎【分析】(1)把x=2代入方程x2﹣(‎2m+3)x+m2+‎3m+2=0得到关于m的一元二次方程,然后解关于m的方程即可;‎ ‎(2)先计算出判别式,再利用求根公式得到x1=m+2,x2=m+1,则AC=m+2,AB=m+1.然后讨论:当AB=BC时,有m+1=;当AC=BC时,有m+2=,再分别解关于m的一次方程即可.‎ 15‎ ‎【解答】解:(1)∵x=2是方程的一个根,‎ ‎∴4﹣2(‎2m+3)+m2+‎3m+2=0,‎ ‎∴m=0或m=1;‎ ‎(2)∵△=(‎2m+3)2﹣4(m2+‎3m+2)=1,‎ ‎=1;‎ ‎∴x=‎ ‎∴x1=m+2,x2=m+1,‎ ‎∵AB、AC(AB<AC)的长是这个方程的两个实数根,‎ ‎∴AC=m+2,AB=m+1.‎ ‎∵BC=,△ABC是等腰三角形,‎ ‎∴当AB=BC时,有m+1=,‎ ‎∴m=﹣1;‎ 当AC=BC时,有m+2=,‎ ‎∴m=﹣2,‎ 综上所述,当m=﹣1或m=﹣2时,△ABC是等腰三角形.‎ ‎【点评】本题考查了一元二次方程的解:能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.也考查了等腰三角形的判定.‎ ‎ ‎ ‎18.‎ ‎【分析】设m=4x﹣5,n=3x﹣2,则m﹣n=(4x﹣5)﹣(3x﹣2)=x﹣3,代入后求出mn=0,即可得出(4x﹣5)(3x﹣2)=0,求出即可.‎ ‎【解答】解:(4x﹣5)2+(3x﹣2)2=(x﹣3)2,‎ 设m=4x﹣5,n=3x﹣2,则m﹣n=(4x﹣5)﹣(3x﹣2)=x﹣3,‎ 原方程化为:m2+n2=(m﹣n)2,‎ 整理得:mn=0,‎ 即(4x﹣5)(3x﹣2)=0,‎ ‎4x﹣5=0,3x﹣2=0,‎ 15‎ x1=,x2=.‎ ‎【点评】本题考查了解一元二次方程,能把一元二次方程转化成(4x﹣5)(3x﹣2)=0是解此题的关键.‎ ‎ ‎ ‎19.‎ ‎【分析】(1)根据方程的系数结合根的判别式,求得判别式△≥0恒成立,因此得证,‎ ‎(2)利用求根公式求根,根据有一个跟大于0且小于1,列出关于k的不等式组,解之即可.‎ ‎【解答】(1)证明:△=b2﹣‎4ac=[﹣(k+1)]2﹣4×(2k﹣2)=k2﹣6k+9=(k﹣3)2,‎ ‎∵(k﹣3)2≥0,即△≥0,‎ ‎∴此方程总有两个实数根,‎ ‎(2)解:‎ 解得 x1=k﹣1,x2=2,‎ ‎∵此方程有一个根大于0且小于1,‎ 而x2>1,‎ ‎∴0<x1<1,‎ 即0<k﹣1<1.‎ ‎∴1<k<2,‎ 即k的取值范围为:1<k<2.‎ ‎【点评】本题考查了根的判别式,解题的关键是:(1)牢记“当△≥0时,方程总有两个实数根”,(2)正确找出不等量关系列不等式组.‎ ‎ ‎ ‎20.‎ ‎【分析】根据方程的系数结合根的判别式△>0,即可得出关于a的一元一次不等式,解之即可得出a的取值范围.‎ ‎【解答】解:∵关于x的一元二次方程x2﹣(‎2a+1)x+a2=0有两个不相等的实数根,‎ ‎∴△=[﹣(‎2a+1)]2﹣‎4a2=‎4a+1>0,‎ 解得:a>﹣.‎ ‎【点评】本题考查了根的判别式,牢记“当△>0时,方程有两个不相等的实数根”是解题的关键.‎ ‎ ‎ 15‎ ‎21.‎ ‎【分析】(1)设每个月生产成本的下降率为x,根据2月份、3月份的生产成本,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其较小值即可得出结论;‎ ‎(2)由4月份该公司的生产成本=3月份该公司的生产成本×(1﹣下降率),即可得出结论.‎ ‎【解答】解:(1)设每个月生产成本的下降率为x,‎ 根据题意得:400(1﹣x)2=361,‎ 解得:x1=0.05=5%,x2=1.95(不合题意,舍去).‎ 答:每个月生产成本的下降率为5%.‎ ‎(2)361×(1﹣5%)=342.95(万元).‎ 答:预测4月份该公司的生产成本为342.95万元.‎ ‎【点评】本题考查了一元二次方程的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出一元二次方程;(2)根据数量关系,列式计算.‎ ‎ ‎ ‎22.‎ ‎【分析】(1)根据销售单价每降低1元,平均每天可多售出2件,可得若降价3元,则平均每天可多售出2×3=6件,即平均每天销售数量为20+6=26件;‎ ‎(2)利用商品平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种商品利润列出方程解答即可.‎ ‎【解答】解:(1)若降价3元,则平均每天销售数量为20+2×3=26件.‎ 故答案为26;‎ ‎(2)设每件商品应降价x元时,该商店每天销售利润为1200元.‎ 根据题意,得 (40﹣x)(20+2x)=1200,‎ 整理,得x2﹣30x+200=0,‎ 解得:x1=10,x2=20.‎ ‎∵要求每件盈利不少于25元,‎ ‎∴x2=20应舍去,‎ 解得:x=10.‎ 答:每件商品应降价10元时,该商店每天销售利润为1200元.‎ ‎【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用,利用基本数量关系:平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润是解题关键.‎ 15‎ ‎ ‎ ‎23.‎ ‎【分析】(1)直接利用第一年有40家工厂用乙方案治理,共使Q值降低了12,得出等式求出答案;‎ ‎(2)利用从第二年起,每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m,三年来用乙方案治理的工厂数量共190家得出等式求出答案;‎ ‎(3)利用n的值即可得出关于a的等式求出答案.‎ ‎【解答】解:(1)由题意可得:40n=12,‎ 解得:n=0.3;‎ ‎(2)由题意可得:40+40(1+m)+40(1+m)2=190,‎ 解得:m1=,m2=﹣(舍去),‎ ‎∴第二年用乙方案新治理的工厂数量为:40(1+m)=40(1+50%)=60(家),‎ ‎(3)设第一年用乙方案治理降低了100n=100×0.3=30,‎ 则(30﹣a)+‎2a=39.5,‎ 解得:a=9.5,‎ 则Q=20.5.‎ 设第一年用甲方案整理降低的Q值为x,‎ 第二年Q值因乙方案治理降低了100n=100×0.3=30,‎ 解法一:(30﹣a)+‎2a=39.5‎ a=9.5‎ x=20.5‎ 解法二:‎ 解得:‎ ‎【点评】考查了一元二次方程和一元一次方程的应用.解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系,列出方程,再求解.‎ 15‎ ‎ ‎ 15‎