初中数学中考复习课件章节考点专题突破：第三章 函数与图象 聚焦中考第三章12讲反比例函数及其图象 39页

人教 数 学 第三章　函数及其图象 第 12 讲　反比例函数及其图象 要点梳理 1 ． 概念： 函数 叫做反比例函数． 2 ． 图象： 反比例函数的图象是双曲线 ， 不与两坐标轴相交的两条双曲线． 要点梳理 3 ． 性质 (1) 当 k ＞ 0 时 ， 其图象位于 ， 在每个象限内 ， y 随 x 的增大而 ； (2) 当 k ＜ 0 时 ， 其图象位于 ， 在每个象限内 ， y 随 x 的增大而 ； (3) 其图象是关于原点对称的中心对称图形 ， 又是轴对称图形． 第一、三象限 减小 第二、四象限 增大 要点梳理 4 ． 应用： 如图 ， 点 A 和点 C 是反比例函数 y ＝ k x ( k ≠ 0 ) 的图 象上任意两点 ， 画 AB ⊥ x 轴于点 B ， CD ⊥ y 轴于点 D ， 则有 S △ AOB ＝ S △ COD ＝ | k | 2 ；注意根据图象所在象限来确 定 k 的符号 ． 一个模型 反比例函数关系在生产、生活、科技等方面广泛应用 ， 解决这类问题的关键是将实际问题数学化 ， 建立反比例函数的模型 ， 然后利用反比例函数的性质、图象解决问题．注意：反比例函数的图象反映的变化规律明显 ， 常利用它的图象找出解决问题的方案． 一个思想 数形结合思想就是把图形与数量关系巧妙、和谐地结合起来 ， 使数学问题更直观、更容易解决．这一思想在这一讲中应用非常广泛．例如借助函数的图象比较大小等． 两个防范 (1) 反比例函数中 ， y 随 x 的大小而变化的情况 ， 应分 x ＞ 0 与 x ＜ 0 两种情况讨论 ， 而不能笼统地说成 “ k ＜ 0 时 ， y 随 x 的增大而增大 ” ．双曲线上的点在每个象限内 ， y 随 x 的变化是一致的 ， 但在不同象限内的两个点比较函数值的大小时 ， 当 k ＞ 0 时 ， 第一象限内的点的纵坐标都为正 ， 而第三象限内的点的纵坐标值都为负；当 k ＜ 0 时，第二象限内的点的纵坐标值都为正，而第四象限内的点的纵坐标值都为负． (2) 在比较大小时 ， 不可以忽略了反比例函数的图象是由两条分支组成的 ( 分别在不同的两个象限 ) ， 在不同的象限是不能用它的性质来判断的 ， 而是要分别讨论．运用反比例函数的性质时 ， 要注意在每一个象限内的要求． 1 ． ( 2014· 株洲 ) 已知反比例函数 y ＝ k x 的图象经过点 ( 2 ， 3 ) ， 那么下列四个点中 ， 也在这个函数图象上的是 ( ) A ． ( － 6 ， 1 ) B ． ( 1 ， 6 ) C ． ( 2 ， － 3 ) D ． ( 3 ， － 2 ) B 2 ． ( 2014· 宁夏 ) 已知两点 P 1 (x 1 ， y 1 ) ， P 2 (x 2 ， y 2 ) 在函数 y ＝ 5 x 的图象上 ， 当 x 1 ＞ x 2 ＞ 0 时 ， 下列结论正确的是 ( ) A ． 0 ＜ y 1 ＜ y 2 B ． 0 ＜ y 2 ＜ y 1 C ． y 1 ＜ y 2 ＜ 0 D ． y 2 ＜ y 1 ＜ 0 A 3 ． ( 2014· 随州 ) 关于反比例函数 y ＝ 2 x 的图象 ， 下列说法正 确 的是 ( ) A ． 图象经过点 ( 1 ， 1 ) B ． 两个分支分布在第二、四象限 C ． 两个分支关于 x 轴成轴对称 D ． 当 x ＜ 0 时 ， y 随 x 的增大而减小 D 4 ． ( 2014· 怀化 ) 已知一次函数 y ＝ kx ＋ b 的图象如图 ， 那 么正比例函数 y ＝ kx 和反比例函数 y ＝ b x 在同一坐标系中 的图象大致是 ( ) C 5 ． ( 2014· 聊城 ) 如图 ， 一次函数 y 1 ＝ k 1 x ＋ b 的图象和反比 例函数 y 2 ＝ k 2 x 的图象交于 A ( 1 ， 2 ) ， B ( － 2 ， － 1 ) 两点 ， 若 y 1 ＜ y 2 ， 则 x 的取值范围是 ( ) A ． x ＜ 1 B ． x ＜－ 2 C ． － 2 ＜ x ＜ 0 或 x ＞ 1 D ． x ＜－ 2 或 0 ＜ x ＜ 1 D 反比例函数图象的确定 【 例 1 】 已知图中的曲线是反比例函数 y ＝ m － 5 x ( m 为常 数 ) 图象的一支 ． ( 1 ) 这个反比例函数图象的另一支在第几象限？常数 m 的 取值范围是什么 ？ 解：这个反比例函数图象的另一支在第三象限 ， ∵ m － 5 ＞ 0 ， ∴ m ＞ 5 (2) 若该函数的图象与正比例函数 y ＝ 2 x 的图象在第一象限内的交点为 A ， 过 A 点作 x 轴的垂线 ， 垂足为点 B ， 当 △ OAB 的面积为 4 时 ， 求点 A 的坐标及反比例函数的解析式． 【 点评 】 　一次函数与反比例函数的图象的性质取决于系数的值 ， 反过来由图象的性质 ， 也可以确定系数的符号．要熟记函数的性质并灵活应用这些性质． 1 ． ( 1 ) ( 2013· 荆门 ) 若反比例函数 y ＝ k x 的图象过点 ( － 2 ， 1 ) ， 则一次函数 y ＝ kx － k 的图象过 ( ) A ． 第一、二、四象限 B ． 第一、三、四象限 C ． 第二、三、四象限 D ． 第一、二、三象限 A ( 2 ) ( 2013· 毕节 ) 一次函数 y ＝ kx ＋ b ( k ≠ 0 ) 与反比例函数 y ＝ k x ( k ≠ 0 ) 的图象在同一直角坐标系下的大致图象如 图所示 ， 则 k ， b 的取值范围是 ( ) A ． k ＞ 0 ， b ＞ 0 B ． k ＜ 0 ， b ＞ 0 C ． k ＜ 0 ， b ＜ 0 D ． k ＞ 0 ， b ＜ 0 C 待定系数法确定反比例函数解析式 【 例 2 】 ( 2014· 广安 ) 如图 ， 反比例函数 y ＝ k x ( k 为常数 ， 且 k ≠ 0 ) 经过点 A ( 1 ， 3 ) ． ( 1 ) 求反比例函数的解析式； ( 2 ) 在 x 轴正半轴上有一点 B ， 若 △ AOB 的面积为 6 ， 求直 线 AB 的解析式 ． 解： ( 1 ) ∵ 反比例函数 y ＝ k x ( k 为常数 ， 且 k ≠ 0 ) 经过点 A ( 1 ， 3 ) ， ∴ 3 ＝ k 1 ， 解得 k ＝ 3 ， ∴ 反比例函数的解析式为 y ＝ 3 x ( 2 ) 设 B ( a ， 0 ) ， 则 BO ＝ a ， ∵△ AOB 的面积为 6 ， ∴ 1 2 · a · 3 ＝ 6 ， 解得 a ＝ 4 ， ∴ B ( 4 ， 0 ) ， 设直线 AB 的解析式为 y ＝ kx ＋ b ， ∵ 经过 A ( 1 ， 3 ) 、 B ( 4 ， 0 ) ， ∴ î ï í ï ì 3 ＝ k ＋ b ， 0 ＝ 4k ＋ b ， 解得 î ï í ï ì k ＝－ 1 ， b ＝ 4 ， ∴ 直线 AB 的解析式为 y ＝－ x ＋ 4 【 点评 】 　反比例函数表达式中只有一个待定系数 ， 由一对已知对应值即可确定函数解析式 ， 而一次函数中有两个待定系数 ， 要求出其系数 ， 需要已知两对对应值． 2 ． ( 2014· 襄阳 ) 如图 ， 一次函数 y 1 ＝－ x ＋ 2 的图象与反比例函数 y 2 ＝ k x 的图象相交于 A ， B 两点 ， 与 x 轴相交于点 C. 已知 tan ∠ BOC ＝ 1 2 ， 点 B 的坐标为 (m ， n ) ． (1) 求反比例函数的解析式； (2) 请直接写出当 x ＜ m 时 ， y 2 的取值范围． 解： ( 1 ) 作 BD ⊥ x 轴于点 D ， 如图 ， 在 R t △ OBD 中 ， tan ∠ BOC ＝ BD OD ＝ 1 2 ， ∴ － n m ＝ 1 2 ， 即 m ＝－ 2n ， 把点 B ( m ， n ) 代入 y 1 ＝－ x ＋ 2 得 n ＝－ m ＋ 2 ， ∴ n ＝ 2n ＋ 2 ， 解得 n ＝－ 2 ， ∴ m ＝ 4 ， ∴ B 点坐标为 ( 4 ， － 2 ) ， 把 B ( 4 ， － 2 ) 代入 y 2 ＝ k x 得 k ＝ 4 × ( － 2 ) ＝－ 8 ， ∴ 反比例函数 解析式为 y 2 ＝－ 8 x ( 2 ) 当 x ＜ 4 ， y 2 的取值范围为 y 2 ＞ 0 或 y 2 ＜－ 2 实际背景下的反比例函数的图象 【 例 3 】 ( 2013· 益阳 ) 我市某蔬菜生产基地在气温较低时 ， 用装有 恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为 18 ℃ 的条件下生长 最快的新品种 ． 如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后 ， 大棚 内温度 y ( ℃ ) 随时间 x ( 小时 ) 变化的函数图象 ， 其中 BC 段是双曲线 y ＝ k x 的一部分 ． 请根据图中信息解答下列问题： (1) 恒温系统在这天保持大棚内温度 18 ℃ 的时间有多少小时？ (2) 求 k 的值； (3) 当 x ＝ 16 时 ， 大棚内的温度约为多少度？ 【 点评 】 　现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量 ， 解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系 ， 然后利用待定系数法求出它们的关系 式．若问题中两个变量不是单一的一次函数或反比例函数关系 ， 而是二者的复合 ， 则应分段讨论 ， 并注意在实际问题中提炼出函数模型 ， 往往要加自变量的取值范围． 3 ． ( 2013 · 玉林 ) 工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序 ， 即需要将材料烧到 800 ℃ ， 然后停止煅烧进行锻造操作 ， 在 8 min 时 ， 材料温度降为 600 ℃ . 煅烧时温度 y( ℃ ) 与时间 x( min ) 成一次函数关系；锻造时 ， 温度 y( ℃ ) 与时间 x( min ) 成反比例函数关系 ( 如图 ) ．已知该材料初始温度是 32 ℃ . (1) 分别求出材料煅烧和锻造时 y 与 x 的函数解析式 ， 并且写出自变量 x 的取值范围； (2) 根据工艺要求 ， 当材料温度低于 480 ℃ 时 ， 须停止操作 ， 那么锻造的操作时间有多长？ 反比例函数与几何图形的结合 【 例 4 】 ( 2014· 德州 ) 如图 ， 双曲线 y ＝ k x ( x ＞ 0 ) 经过 △ OAB 的顶点 A 和 OB 的中点 C ， AB ∥ x 轴 ， 点 A 的坐 标为 ( 2 ， 3 ) ． (1) 确定 k 的值； (2) 若点 D(3 ， m) 在双曲线上 ， 求直线 AD 的解析式； (3) 计算 △ OAB 的面积． 【 点评 】 　本题主要考查反比例函数知识的综合运用 ， 关键是利用待定系数法 ， 数形结合的思想来解决此类题目 ， 当然要熟练掌握反比例函数的性质及图象特征． 4 ． ( 1 ) ( 2014· 深圳 ) 如图 ， 双曲线 y ＝ k x 经过 Rt △ BOC 斜边 上的点 A ， 且满足 AO AB ＝ 2 3 ， 与 BC 交于点 D ， S △ BOD ＝ 21 ， 求 k ＝ __ __ ． 8 (2) ( 2014· 玉林 ) 如图 ， OABC 是平行四边形 ， 对角线 OB 在 y 轴正半 轴上 ， 位于第一象限的点 A 和第二象限的点 C 分别在双曲线 y ＝ k 1 x 和 y ＝ k 2 x 的一支上 ， 分别过点 A ， C 作 x 轴的垂线 ， 垂足分别为点 M 和 N ， 则有以下的结论： ① AM CN ＝ |k 1 | |k 2 | ； ② 阴影部分面积是 1 2 (k 1 ＋ k 2 ) ； ③ 当 ∠ AOC ＝ 90 ° 时 ， |k 1 | ＝ |k 2 | ； ④ 若 OABC 是菱形 ， 则两双曲线既关于 x 轴对称 ， 也关于 y 轴对称． 其中正确的是 ． ( 把所有正确的结论的序号都填上 ) ①④ 试题 已知 y ＝ y 1 ＋ y 2 ， y 1 与 x 2 成正比例 ， y 2 与 x 成反比例 ， 且 x ＝ 1 时 ， y ＝ 3 ； x ＝－ 1 时 ， y ＝ 1. 求 x ＝－ 1 2 时 ， y 的值． 错解 解：设 y 1 ＝ kx 2 ， y 2 ＝ k x . ∵ y ＝ y 1 ＋ y 2 ， ∴ y ＝ kx 2 ＋ k x . ∴ 把 x ＝ 1 ， y ＝ 3 代入上式 ， 得 3 ＝ k ＋ k ， ∴ k ＝ 3 2 . ∴ y ＝ 3 2 x 2 ＋ 3 2 x . 当 x ＝－ 1 2 时 ， y ＝ 3 2 × ( － 1 2 ) 2 ＋ 3 2 × （－ 1 2 ） ＝ 3 8 － 3 ＝－ 21 8 . 答：当 x ＝－ 1 2 时 ， y 的值是－ 21 8 . 剖析 ( 1 ) 错解错在设 y 1 ＝ kx ， y 2 ＝ k x 时取了相同的比例系数 k ， 由于这是两种不同的比 例 ， 其比例系数未必相 同 ， 应分 别设 y 1 ＝ k 1 x ， y 2 ＝ k 2 x ， 用两个不同字母 k 1 ， k 2 来表示两个 不同的比例系数 ． ( 2 ) 在同一问题中 ， 相同的字母只能表示同一个未知量 ． 两 个或多个不同的未知量需要用两个或多个不同的字母来 表示 ， 以免混淆 ， 从而导致错误 ． 正解 解：设 y 1 ＝ k 1 x 2 ， y 2 ＝ k 2 x ， ∵ y ＝ y 1 ＋ y 2 ， ∴ y ＝ k 1 x 2 ＋ k 2 x . 把 x ＝ 1 ， y ＝ 3 ； x ＝－ 1 ， y ＝ 1 分别代入上 式 ， 得 î í ì 3 ＝ k 1 ＋ k 2 ， 1 ＝ k 1 － k 2 ， 解得 î í ì k 1 ＝ 2 ， k 2 ＝ 1 ， ∴ y ＝ 2 x 2 ＋ 1 x . 当 x ＝－ 1 2 时 ， y ＝ 2 × ( － 1 2 ) 2 ＋ 1 － 1 2 ＝ 1 2 － 2 ＝－ 3 2 . 答：当 x ＝－ 1 2 时 ， y 的值是－ 3 2 .