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- 2021-11-11 发布
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2019年广西贺州市中考数学试卷
一、选择题:(本大题共12小题,每小题3分,共36分;给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,在试卷上作答无效.)
1.(3分)﹣2的绝对值是( )
A.﹣2 B.2 C. D.﹣
2.(3分)如图,已知直线a∥b,∠1=60°,则∠2的度数是( )
A.45° B.55° C.60° D.120°
3.(3分)一组数据2,3,4,x,6的平均数是4,则x是( )
A.2 B.3 C.4 D.5[来源:学+科+网]
4.(3分)如图是某几何体的三视图,则该几何体是( )
A.长方体 B.正方体 C.三棱柱 D.圆柱
5.(3分)某图书馆有图书约985000册,数据985000用科学记数法可表示为( )
A.985×103 B.98.5×104 C.9.85×105 D.0.985×106
6.(3分)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A.正三角形 B.平行四边形 C.正五边形 D.圆
7.(3分)如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC边上的点,DE∥BC,若AD=2,AB=3,DE=4,则BC等于( )
A.5 B.6 C.7 D.8
8.(3分)把多项式4a2﹣1分解因式,结果正确的是( )
A.(4a+1)(4a﹣1) B.(2a+1)(2a﹣1)
C.(2a﹣1)2 D.(2a+1)2
9.(3分)已知方程组,则2x+6y的值是( )
A.﹣2 B.2 C.﹣4 D.4
10.(3分)已知ab<0,一次函数y=ax﹣b与反比例函数y=在同一直角坐标系中的图象可能( )
A. B.
C. D.
11.(3分)如图,在△ABC中,O是AB边上的点,以O为圆心,OB为半径的⊙O与AC相切于点D,BD平分∠ABC,AD=OD,AB=12,CD的长是( )
A.2 B.2 C.3 D.4
12.(3分)计算++++…+的结果是( )
A. B. C. D.
二、填空题:(本大题共6小题,每小题3分,共18分;请把答案填在答题卡对应的位置上,在试卷上作答无效.)
13.(3分)要使分式有意义,则x的取值范围是 .
14.(3分)计算a3•a的结果是 .
15.(3分)调查我市一批药品的质量是否符合国家标准.采用 方式更合适.(填“全面调查”或“抽样调查”)
16.(3分)已知圆锥的底面半径是1,高是,则该圆锥的侧面展开图的圆心角是 度.
17.(3分)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=1,其部分图象如图所示,下列说法中:①abc<0;②a﹣b+c<0;③3a+c=0;④当﹣1<x<3时,y>0,正确的是 (填写序号).
18.(3分)如图,正方形ABCD的边长为4,点E是CD的中点,AF平分∠BAE交BC于点F,将△ADE绕点A顺时针旋转90°得△ABG,则CF的长为 .
三、解答题:(本大题共8题,满分66分.解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤.在试卷上作答无效)
19.(6分)计算:(﹣1)2019+(π﹣3.14)0﹣+2sin30°.
20.(6分)解不等式组:
21.(8分)箱子里有4瓶牛奶,其中有一瓶是过期的.现从这4瓶牛奶中不放回地任意抽取2瓶.
(1)请用树状图或列表法把上述所有等可能的结果表示出来;
(2)求抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的概率.
22.(8分)如图,在A处的正东方向有一港口B.某巡逻艇从A处沿着北偏东60°方向巡逻,到达C处时接到命令,立刻在C处沿东南方向以20海里/小时的速度行驶3小时到达港口B.求A,B间的距离.(≈1.73,≈1.4,结果保留一位小数).
23.(8分)2016年,某贫困户的家庭年人均纯收入为2500元,通过政府产业扶持,发展了养殖业后,到2018年,家庭年人均纯收入达到了3600元.
(1)求该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率;
(2)若年平均增长率保持不变,2019年该贫困户的家庭年人均纯收入是否能达到4200元?
24.(8分)如图,在矩形ABCD中,E,F分别是BC,AD边上的点,且AE=CF.
(1)求证:△ABE≌△CDF;
(2)当AC⊥EF时,四边形AECF是菱形吗?请说明理由.
25.(10分)如图,BD是⊙O的直径,弦BC与OA相交于点E,AF与⊙O相切于点A,交DB的延长线于点F,∠F=30°,∠BAC=120°,BC=8.
(1)求∠ADB的度数;
(2)求AC的长度.
26.(12分)如图,在平面直角坐标系中,已知点B的坐标为(﹣1,0),且OA=OC=4OB,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)图象经过A,B,C三点.
(1)求A,C两点的坐标;
(2)求抛物线的解析式;
(3)若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点,作PD⊥AC于点D,当PD的值最大时,求此时点P的坐标及PD的最大值.[来源:Z*xx*k.Com]
2019年广西贺州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题:(本大题共12小题,每小题3分,共36分;给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,在试卷上作答无效.)
1.(3分)﹣2的绝对值是( )
A.﹣2 B.2 C. D.﹣
【考点】15:绝对值.菁优网版权所有
【分析】根据绝对值的定义,可直接得出﹣2的绝对值.
【解答】解:|﹣2|=2,
故选:B.
【点评】本题考查了绝对值的定义,是中考的常见题型,比较简单,熟记绝对值的定义是本题的关键.
2.(3分)如图,已知直线a∥b,∠1=60°,则∠2的度数是( )
A.45° B.55° C.60° D.120°
【考点】JA:平行线的性质.菁优网版权所有
【分析】直接利用平行线的性质得出∠2的度数.
【解答】解:∵直线a∥b,∠1=60°,
∴∠2=60°.
故选:C.
【点评】此题主要考查了平行线的性质,正确把握平行线的性质是解题关键.
3.(3分)一组数据2,3,4,x,6的平均数是4,则x是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【考点】W1:算术平均数.菁优网版权所有
【分析】利用平均数的定义,列出方程=4即可求解.
【解答】解:∵数据2,3,4,x,6的平均数是4,
∴=4,
解得:x=5,
故选:D.
【点评】本题考查了平均数的概念.平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数.
4.(3分)如图是某几何体的三视图,则该几何体是( )
[来源:学科网]
A.长方体 B.正方体 C.三棱柱 D.圆柱
【考点】U3:由三视图判断几何体.菁优网版权所有
【分析】由已知三视图得到几何体是正方体.
【解答】解:由已知三视图得到几何体是一正方体;
故选:B.
【点评】本题考查了几何体的三视图;熟记常见几何体的三视图是解答的关键.
5.(3分)某图书馆有图书约985000册,数据985000用科学记数法可表示为( )
A.985×103 B.98.5×104 C.9.85×105 D.0.985×106
【考点】1I:科学记数法—表示较大的数.菁优网版权所有
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值是易错点,由于985000有6位,所以可以确定n=6﹣1=5.
【解答】解:985000=9.85×105,
故选:C.
【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法,准确确定a与n值是关键.
6.(3分)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A.正三角形 B.平行四边形 C.正五边形 D.圆
【考点】P3:轴对称图形;R5:中心对称图形.菁优网版权所有
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可.
【解答】解:A.正三角形是轴对称图形,但不是中心对称图形;
B.平行四边形是中心对称图形,但不是轴对称图形;
C.正五边形是轴对称图形,但不是中心对称图形;
D.圆既是轴对称图形,又是中心对称图形;
故选:D.
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后两部分重合.
7.(3分)如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC边上的点,DE∥BC,若AD=2,AB=3,DE=4,则BC等于( )
A.5 B.6 C.7 D.8
【考点】S9:相似三角形的判定与性质.菁优网版权所有
【分析】由平行线得出△ADE∽△ABC,得出对应边成比例=,即可得出结果.
【解答】解:∵DE∥BC,
∴△ADE∽△ABC,
∴=,
即=,
解得:BC=6,
故选:B.
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质;证明三角形相似得出对应边成比例是解题的关键.
8.(3分)把多项式4a2﹣1分解因式,结果正确的是( )
A.(4a+1)(4a﹣1) B.(2a+1)(2a﹣1)
C.(2a﹣1)2 D.(2a+1)2
【考点】54:因式分解﹣运用公式法.菁优网版权所有[来源:学+科+网]
【分析】如果把乘法公式反过来,就可以把某些多项式分解因式,这种方法叫公式法.平方差公式:a2﹣b2=(a+b)(a﹣b);完全平方公式:a2±2ab+b2=(a±b)2;
【解答】解:4a2﹣1=(2a+1)(2a﹣1),
故选:B.
【点评】本题考查了分解因式,熟练运用平方差公式是解题的关键
9.(3分)已知方程组,则2x+6y的值是( )
A.﹣2 B.2 C.﹣4 D.4
【考点】98:解二元一次方程组.菁优网版权所有
【分析】两式相减,得x+3y=﹣2,所以2(x+3y)=﹣4,即2x+6y=﹣4.
【解答】解:两式相减,得x+3y=﹣2,
∴2(x+3y)=﹣4,
即2x+6y=﹣4,
故选:C.
【点评】本题考查了二元一次方程组,对原方程组进行变形是解题的关键.
10.(3分)已知ab<0,一次函数y=ax﹣b与反比例函数y=在同一直角坐标系中的图象可能( )
A. B.
C. D.
【考点】F3:一次函数的图象;G2:反比例函数的图象.菁优网版权所有
【分析】根据反比例函数图象确定b的符号,结合已知条件求得a的符号,由a、b
的符号确定一次函数图象所经过的象限.
【解答】解:若反比例函数y=经过第一、三象限,则a>0.所以b<0.则一次函数y=ax﹣b的图象应该经过第一、二、三象限;
若反比例函数y=经过第二、四象限,则a<0.所以b>0.则一次函数y=ax﹣b的图象应该经过第二、三、四象限.
故选项A正确;
故选:A.
【点评】本题考查了反比例函数的图象性质和一次函数函数的图象性质,要掌握它们的性质才能灵活解题.
11.(3分)如图,在△ABC中,O是AB边上的点,以O为圆心,OB为半径的⊙O与AC相切于点D,BD平分∠ABC,AD=OD,AB=12,CD的长是( )
A.2 B.2 C.3 D.4
【考点】MC:切线的性质.菁优网版权所有
【分析】由切线的性质得出AC⊥OD,求出∠A=30°,证出∠ODB=∠CBD,得出OD∥BC,得出∠C=∠ADO=90°,由直角三角形的性质得出∠ABC=60°,BC=AB=6,AC=BC=6,得出∠CBD=30°,再由直角三角形的性质即可得出结果.
【解答】解:∵⊙O与AC相切于点D,
∴AC⊥OD,
∴∠ADO=90°,
∵AD=OD,
∴tanA==,
∴∠A=30°,
∵BD平分∠ABC,
∴∠OBD=∠CBD,
∵OB=OD,
∴∠OBD=∠ODB,
∴∠ODB=∠CBD,
∴OD∥BC,
∴∠C=∠ADO=90°,
∴∠ABC=60°,BC=AB=6,AC=BC=6,
∴∠CBD=30°,
∴CD=BC=×6=2;
故选:A.
【点评】本题考查的是切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、锐角三角函数的定义等知识,熟练掌握圆的切线和直角三角形的性质,证出OD∥BC是解题的关键.
12.(3分)计算++++…+的结果是( )
A. B. C. D.
【考点】37:规律型:数字的变化类.菁优网版权所有
【分析】把每个分数写成两个分数之差的一半,然后再进行简便运算.
【解答】解:原式=
=
=.
故选:B.
【点评】本题是一个规律计算题,主要考查了有理数的混合运算,关键是把分数乘法转化成分数减法来计算.
二、填空题:(本大题共6小题,每小题3分,共18分;请把答案填在答题卡对应的位置上,在试卷上作答无效.)
13.(3分)要使分式有意义,则x的取值范围是 x≠﹣1 .
【考点】62:分式有意义的条件.菁优网版权所有
【分析】根据分式有意义的条件列出关于x的不等式,求出x的取值范围即可.
【解答】解:∵分式有意义,
∴x+1≠0,即x≠﹣﹣1
故答案为:x≠﹣1.
【点评】本题考查的是分式有意义的条件,熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键.
14.(3分)计算a3•a的结果是 a4 .
【考点】46:同底数幂的乘法.菁优网版权所有
【分析】同底数幂的乘法法则:同底数幂相乘,底数不变,指数相加
【解答】解:a3•a=a4,
故答案为a4.
【点评】本题考查了幂的运算,熟练掌握同底数幂乘法的运算是解题的关键.
15.(3分)调查我市一批药品的质量是否符合国家标准.采用 抽样调查 方式更合适.(填“全面调查”或“抽样调查”)
【考点】V2:全面调查与抽样调查.菁优网版权所有
【分析】由普查得到的调查结果比较准确,但所费人力、物力和时间较多,而抽样调查得到的调查结果比较近似.
【解答】解:调查我市一批药品的质量是否符合国家标准.采用抽样调查方式更合适,
故答案为:抽样调查.
【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别,选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用,一般来说,对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大,应选择抽样调查,对于精确度要求高的调查,事关重大的调查往往选用普查.
16.(3分)已知圆锥的底面半径是1,高是,则该圆锥的侧面展开图的圆心角是 90 度.
【考点】MP:圆锥的计算.菁优网版权所有
【分析】先根据勾股定理求出圆锥的母线为4,进而求得展开图的弧长,然后根据弧长公式即可求解.
【解答】解:设圆锥的母线为a,根据勾股定理得,a=4,
设圆锥的侧面展开图的圆心角度数为n°,
根据题意得2π•1=,解得n=90,
即圆锥的侧面展开图的圆心角度数为90°.
故答案为:90.
【点评】本题考查了圆锥的计算:圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长.
17.(3分)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=1,其部分图象如图所示,下列说法中:①abc<0;②a﹣b+c<0;③3a+c=0;④当﹣1<x<3时,y>0,正确的是 ①③④ (填写序号).
【考点】H4:二次函数图象与系数的关系;HA:抛物线与x轴的交点.菁优网版权所有
【分析】首先根据二次函数图象开口方向可得a<0,根据图象与y轴交点可得c>0,再根据二次函数的对称轴x=﹣=1,结合a的取值可判定出b>0,根据a、b、c的正负即可判断出①的正误;把x=﹣1代入函数关系式y=ax2+bx+c中得y=a﹣b+c,再根据对称性判断出②的正误;把b=﹣2a代入a﹣b+c中即可判断出③的正误;利用图象可以直接看出④的正误.
【解答】解:根据图象可得:a<0,c>0,
对称轴:x=﹣=1,
∴b=﹣2a,
∵a<0,
∴b>0,
∴abc<0,故①正确;
把x=﹣1代入函数关系式y=ax2+bx+c中得:y=a﹣b+c,
由抛物线的对称轴是直线x=1,且过点(3,0),可得当x=﹣1时,y=0,
∴a﹣b+c=0,故②错误;
∵b=﹣2a,
∴a﹣(﹣2a)+c=0,
即:3a+c=0,故③正确;
由图形可以直接看出④正确.
故答案为:①③④.
【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系,关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向,当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口;②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置:当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左侧; 当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右侧.(简称:左同右异);③常数项c决定抛物线与y轴交点,抛物线与y轴交于(0,c).
18.(3分)如图,正方形ABCD的边长为4,点E是CD的中点,AF平分∠BAE交BC于点F,将△ADE绕点A顺时针旋转90°得△ABG,则CF的长为 6﹣2 .
【考点】LE:正方形的性质;R2:旋转的性质.菁优网版权所有
【分析】作FM⊥AD于M,FN⊥AG于N,如图,易得四边形CFMD为矩形,则FM=4,利用勾股定理计算出AE═2,再根据旋转的性质得到AG=AE=2,BG=DE=2,∠3=∠4,∠GAE=90°,∠ABG=∠D=90°,于是可判断点G在CB的延长线上,接着证明FA平分∠GAD得到FN=FM=4,然后利用面积法计算出GF,从而计算CG﹣GF就可得到CF的长.
【解答】解:作FM⊥AD于M,FN⊥AG于N,如图,易得四边形CFMD为矩形,则FM=4,
∵正方形ABCD的边长为4,点E是CD的中点,
∴DE=2,
∴AE==2,
∵△ADE绕点A顺时针旋转90°得△ABG,
∴AG=AE=2,BG=DE=2,∠3=∠4,∠GAE=90°,∠ABG=∠D=90°,
而∠ABC=90°,
∴点G在CB的延长线上,
∵AF平分∠BAE交BC于点F,
∴∠1=∠2,
∴∠2+∠4=∠1+∠3,即FA平分∠GAD,
∴FN=FM=4,
∵AB•GF=FN•AG,
∴GF==2,
∴CF=CG﹣GF=4+2﹣2=6﹣2.
故答案为6﹣2.
【点评】本题考查了旋转的性质:对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;旋转前、后的图形全等.也考查了正方形的性质.
三、解答题:(本大题共8题,满分66分.解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤.在试卷上作答无效)
19.(6分)计算:(﹣1)2019+(π﹣3.14)0﹣+2sin30°.
【考点】2C:实数的运算;6E:零指数幂;T5:特殊角的三角函数值.菁优网版权所有
【分析】先分别计算幂、三角函数值、二次根式,然后算加减法.
【解答】解:原式=﹣1+1﹣4+2×
=﹣4+1
=﹣3.
【点评】本题考查了实数的运算,熟练掌握三角函数值、零指数幂的运算是解题的关键.
20.(6分)解不等式组:
【考点】CB:解一元一次不等式组.菁优网版权所有
【分析】分别解两个不等式得到x>2和x>﹣3,然后根据同大取大确定不等式组的解集.
【解答】解:解①得x>2,
解②得x>﹣3,
所以不等式组的解集为x>2.
【点评】本题考查了一元一次不等式组:解一元一次不等式组时,一般先求出其中各不等式的解集,再求出这些解集的公共部分,利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.解集的规律:同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到.
21.(8分)箱子里有4瓶牛奶,其中有一瓶是过期的.现从这4瓶牛奶中不放回地任意抽取2瓶.
(1)请用树状图或列表法把上述所有等可能的结果表示出来;
(2)求抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的概率.
【考点】X6:列表法与树状图法.菁优网版权所有
【分析】(1)设这四瓶牛奶分别记为A、B、C、D,其中过期牛奶为A,画树状图可得所有等可能结果;
(2)从所有等可能结果中找到抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的结果数,再根据概率公式计算可得.
【解答】解:(1)设这四瓶牛奶分别记为A、B、C、D,其中过期牛奶为A,
画树状图如图所示,
由图可知,共有12种等可能结果;
(2)由树状图知,所抽取的12种等可能结果中,抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的有6种结果,
所以抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的概率为=.
【点评】此题考查了列表法与树状图法,以及概率公式,用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
22.(8分)如图,在A处的正东方向有一港口B.某巡逻艇从A处沿着北偏东60°方向巡逻,到达C处时接到命令,立刻在C处沿东南方向以20海里/小时的速度行驶3小时到达港口B.求A,B间的距离.(≈1.73,≈1.4,结果保留一位小数).
【考点】TB:解直角三角形的应用﹣方向角问题.菁优网版权所有
【分析】过点C作CD⊥AB,垂足为点D,则∠ACD=60°,∠BCD=45°,通过解直角三角形可求出BD,AD的长,将其相加即可求出AB的长.
【解答】解:过点C作CD⊥AB,垂足为点D,则∠ACD=60°,∠BCD=45°,如图所示.
在Rt△BCD中,sin∠BCD=,cos∠BCD=,
∴BD=BC•sin∠BCD=20×3×≈42,CD=BC•cos∠BCD=20×3×≈42;
在Rt△ACD中,tan∠ACD=,
∴AD=CD•tan∠ACD=42×≈72.7.
∴AB=AD+BD=72.7+42=114.7.
∴A,B间的距离约为114.7海里.
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题,通过解直角三角形,求出BD,AD的长是解题的关键.
23.(8分)2016年,某贫困户的家庭年人均纯收入为2500元,通过政府产业扶持,发展了养殖业后,到2018年,家庭年人均纯收入达到了3600元.
(1)求该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率;
(2)若年平均增长率保持不变,2019年该贫困户的家庭年人均纯收入是否能达到4200元?
【考点】AD:一元二次方程的应用.菁优网版权所有
【分析】(1)设该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为x,根据该该贫困户2016年及2018年家庭年人均纯收入,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其中正值即可得出结论;
(2)根据2019年该贫困户的家庭年人均纯收入=2018年该贫困户的家庭年人均纯收入×(1+增长率),可求出2019年该贫困户的家庭年人均纯收入,再与4200比较后即可得出结论.
【解答】解:(1)设该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为x,
依题意,得:2500(1+x)2=3600,
解得:x1=0.2=20%,x2=﹣2.2(舍去).
答:该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为20%.
(2)3600×(1+20%)=4320(元),
4320>4200.
答:2019年该贫困户的家庭年人均纯收入能达到4200元.
【点评】本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.
24.(8分)如图,在矩形ABCD中,E,F分别是BC,AD边上的点,且AE=CF.
(1)求证:△ABE≌△CDF;
(2)当AC⊥EF时,四边形AECF是菱形吗?请说明理由.
【考点】KD:全等三角形的判定与性质;L9:菱形的判定;LB:矩形的性质.菁优网版权所有
【分析】(1)由矩形的性质得出∠B=∠D=90°,AB=CD,AD=BC,AD∥BC,由HL证明Rt△ABE≌Rt△CDF即可;
(2)由全等三角形的性质得出BE=DF,得出CE=AF,由CE∥AF,证出四边形AECF是平行四边形,再由AC⊥EF,即可得出四边形AECF是菱形.
【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B=∠D=90°,AB=CD,AD=BC,AD∥BC,
在Rt△ABE和Rt△CDF中,,
∴Rt△ABE≌Rt△CDF(HL);
(2)解:当AC⊥EF时,四边形AECF是菱形,理由如下:
∵△ABE≌△CDF,
∴BE=DF,
∵BC=AD,
∴CE=AF,
∵CE∥AF,
∴四边形AECF是平行四边形,
又∵AC⊥EF,
∴四边形AECF是菱形.
【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定、平行四边形的判定;熟练掌握矩形的性质和菱形的判定,证明三角形全等是解题的关键.
25.(10分)如图,BD是⊙O的直径,弦BC与OA相交于点E,AF与⊙O相切于点A,交DB的延长线于点F,∠F=30°,∠BAC=120°,BC=8.
(1)求∠ADB的度数;
(2)求AC的长度.
[来源:Zxxk.Com]
【考点】M5:圆周角定理;MC:切线的性质.菁优网版权所有
【分析】(1)由切线的性质得出AF⊥OA,由圆周角定理好已知条件得出∠F=∠DBC,证出AF∥BC,得出OA⊥BC,求出∠BOA=90°﹣30°=60°,由圆周角定理即可得出结果;
(2)由垂径定理得出BE=CE=BC=4,得出AB=AC,证明△AOB是等边三角形,得出AB=OB,由直角三角形的性质得出OE=OB,BE=OE=4,求出OE=,即可得出AC=AB=OB=2OE=.
【解答】解:(1)∵AF与⊙O相切于点A,
∴AF⊥OA,
∵BD是⊙O的直径,
∴∠BAD=90°,
∵∠BAC=120°,
∴∠DAC=30°,
∴∠DBC=∠DAC=30°,
∵∠F=30°,
∴∠F=∠DBC,
∴AF∥BC,
∴OA⊥BC,
∴∠BOA=90°﹣30°=60°,
∴∠ADB=∠AOB=30°;
(2)∵OA⊥BC,
∴BE=CE=BC=4,
∴AB=AC,
∵∠AOB=60°,OA=OB,
∴△AOB是等边三角形,
∴AB=OB,
∵∠OBE=30°,
∴OE=OB,BE=OE=4,
∴OE=,
∴AC=AB=OB=2OE=.
【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、垂径定理、直角三角形的性质等知识;熟练掌握切线的性质和圆周角定理,证出OA⊥BC是解题的关键.
26.(12分)如图,在平面直角坐标系中,已知点B的坐标为(﹣1,0),且OA=OC=4OB,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)图象经过A,B,C三点.
(1)求A,C两点的坐标;
(2)求抛物线的解析式;
(3)若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点,作PD⊥AC于点D,当PD的值最大时,求此时点P的坐标及PD的最大值.
【考点】HF:二次函数综合题.菁优网版权所有
【分析】(1)OA=OC=4OB=4,即可求解;
(2)抛物线的表达式为:y=a(x+1)(x﹣4)=a(x2﹣3x﹣4),即可求解;
(3)PD=HPsin∠PFD=(x﹣4﹣x2+3x+4,即可求解.
【解答】解:(1)OA=OC=4OB=4,
故点A、C的坐标分别为(4,0)、(0,﹣4);
(2)抛物线的表达式为:y=a(x+1)(x﹣4)=a(x2﹣3x﹣4),
即﹣4a=﹣4,解得:a=1,
故抛物线的表达式为:y=x2﹣3x﹣4;
(3)直线CA过点C,设其函数表达式为:y=kx﹣4,
将点A坐标代入上式并解得:k=1,
故直线CA的表达式为:y=x﹣4,
过点P作y轴的平行线交AC于点H,
∵OA=OC=4,∴∠OAC=∠OCA=45°,
∵PH∥y轴,∴∠PHD=∠OCA=45°,
设点P(x,x2﹣3x﹣4),则点H(x,x﹣4),
PD=HPsin∠PFD=(x﹣4﹣x2+3x+4)=﹣x2+2x,
∵<0,∴PD有最大值,当x=2时,其最大值为2,
此时点P(2,﹣6).
【点评】本题考查的是二次函数综合运用,涉及到一次函数、解直角三角形、图象的面积计算等,其中(3),用函数关系表示PD,是本题解题的关键.
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日期:2019/8/5 10:23:39;用户:学无止境;邮箱:419793282@qq.com;学号:7910509
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