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  • 2021-11-11 发布

扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷

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扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.‎ 请把答案填写在答卷卡的相应位置上 ‎1. 在平面直角坐标系中,已知向量= (2,1),向量= (3,5),则向量的坐标为 ▲ .‎ ‎ 【答案】(1,4)‎ ‎2. 设集合,则 ▲ .‎ ‎ 【答案】‎ ‎3. 设复数z满足| z | = | z-1 | = 1,则复数z的实部为 ▲ .‎ ‎ 【答案】‎ ‎4. 设f (x)是定义在R上的奇函数,当x < 0时,f (x)=x + ex(e为自然对数的底数),则的值为 ▲ .‎ ‎ 【答案】‎ ‎5. 某篮球运动员在7天中进行投篮训练的时间(单位:分钟)用茎叶图表示(如图),图中左列表示训练 时间的十位数,右列表示训练时间的个位数,则该运动员这7天的平均训练时间为 ▲ 分钟.‎ S←0‎ For  I  From 1 to 28 Step 3‎ ‎ S←S +I End For Print S ‎(第6题)‎ ‎6 4 5 7‎ ‎7 2 5 ‎ ‎8 0 1 ‎ ‎(第5题)‎ ‎【答案】72‎ ‎6. 根据如图所示的伪代码,最后输出的S的值为 ▲ .‎ ‎ 【答案】145‎ ‎7. 在平面直角坐标系xOy中,设椭圆与双曲线共焦点,且经过点 ‎,则该椭圆的离心率 为 ▲ .‎ ‎【答案】‎ ‎8. 若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开,其展开图是半径为‎2 cm的半圆,则该圆锥的高为 ▲ cm.‎ ‎【答案】‎ ‎9. 将函数的图象上每一点向右平移1个单位,再将所得图象上每一点的横坐标扩大为原来的 倍(纵坐标保持不变),得函数的图象,则的一个解析式为 ▲ .‎ ‎【答案】 ‎ ‎10.函数的所有零点之和为 ▲ .‎ ‎ 【答案】 4‎ ‎11. 设,且.则的值为 ▲ .‎ ‎ 【答案】‎ ‎12. 设数列{an}满足:,则a1的值大于20的概率为 ▲ .‎ ‎【答案】‎ ‎13.设实数x1,x2,x3,x4,x5均不小于1,且x1·x2·x3·x4·x5=729,则max{x1x2,x2x3,x3x4,x4x5}的最小值是 ‎ ▲ .‎ ‎【答案】9‎ ‎14.在平面直角坐标系xOy中,设,B,C是函数图象上的两点,且△ABC为正三角形,‎ 则△ABC的高为 ▲ .‎ ‎ 【答案】2‎ 二、解答题:本大题共6小题,共90分. 请把答案写在答题卡相应的位置上. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎15.(本小题满分14分)‎ 已知△ABC的内角A的大小为120°,面积为.‎ ‎(1)若AB,求△ABC的另外两条边长;‎ ‎(2)设O为△ABC的外心,当时,求的值.‎ ‎【解】(1)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,于是,所以bc=4. ………………………………………………………………3分 因为,所以.由余弦定理得. ………………………6分 ‎(2)由得,即,解得或4.……………………………8分 设BC的中点为D,则,‎ 因为O为△ABC的外心,所以,于是.…………………………………12分 所以当时,,;当时,,.………………………………………………………14分 ‎16.(本小题满分14分)‎ 如图,在四棱锥中,平面平面,BC//平面PAD,,‎ A B C P ‎(第16题)‎ D ‎.求证:‎ ‎ (1)平面;‎ ‎(2)平面平面.‎ ‎【证】(1)因为BC//平面PAD,‎ 而BC平面ABCD,平面ABCD平面PAD = AD,‎ 所以BC//AD. …………………………………3分 因为AD平面PBC,BC平面PBC,所以平面.………………………………………………………………………………………6分 A B C P D H ‎(2)自P作PHAB于H,因为平面平面,且平面平面=AB,‎ 所以平面.………………………………………9分 因为BC平面ABCD,所以BCPH.‎ 因为,所以BCPB,‎ 而,于是点H与B不重合,即PBPH = H.‎ 因为PB,PH平面PAB,所以BC平面PAB.…………12分 因为BC平面PBC,故平面PBC平面AB.……………………………………………………… 14分 ‎17.(本小题满分14分)‎ 为稳定房价,某地政府决定建造一批保障房供给社会.计划用1 600万元购得一块土地,在该土地上建造10幢楼房的住宅小区,每幢楼的楼层数相同,且每层建筑面积均为1 000平方米,每平方米的建筑费用与楼层有关,第x层楼房每平方米的建筑费用为(kx+800)元(其中k为常数) .经测算,若每幢楼为5层,则该小区每平方米的平均综合费用为1 270元. ‎ ‎(每平方米平均综合费用=).‎ ‎ (1)求k的值;‎ ‎(2)问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低,应将这10幢楼房建成多少层?此时每平方米的平均综合费用为多少元?‎ ‎【解】(1)如果每幢楼为5层,那么所有建筑面积为10×1 000×5平方米,所有建筑费用为 ‎[(k +800)+(2k +800)+(3 k +800)+(4k+800)+(5k +800)]×1 000×10,所以,…………………………3分 ‎1 270=,解之得:k=50.…………………………………………………………………………………………6分 ‎(2)设小区每幢为n(n∈N*)层时,每平方米平均综合费用为f (n),由题设可知 f (n) = ‎ =+25n+825≥2+825=1225(元).......................10分 ‎ 当且仅当=25n,即n=8时等号成立.……………………………………………………………12分 答:该小区每幢建8层时,每平方米平均综合费用最低,此时每平方米平均综合费用为1 225元.……………………………14分 ‎18. (本小题满分16分)‎ 已知函数f (x)=(m-3)x3 + 9x.‎ ‎(1)若函数f (x)在区间(-∞,+∞)上是单调函数,求m的取值范围;‎ ‎(2)若函数f (x)在区间[1,2]上的最大值为4,求m的值.‎ ‎【解】(1)因为(0)=9 > 0,所以f (x)在区间上只能是单调增函数. ………………3分 由(x)=3(m-3)x2 + 9≥0在区间(-∞,+∞)上恒成立,所以m≥3.‎ 故m的取值范围是[3,∞) . ………………………………………………………6分 ‎(2)当m≥3时,f (x)在[1,2]上是增函数,所以[f (x)] max=f (2)=8(m-3)+18=4,‎ 解得m=<3,不合题意,舍去. ……………………………………………………8分 当m<3时,(x)=3(m-3) x2 + 9=0,得.‎ 所以f (x)的单调区间为:单调减,单调增,单调减.‎ ‎……………………………………10分 ‎①当,即时,,所以f (x)在区间[1,2]上单调增,[f (x)] max =f(2)=8(m-3)+18=4,m=,不满足题设要求.‎ ‎②当,即0<m<时,[f (x)] max舍去.‎ ‎③当,即m≤0时,则,所以f (x)在区间[1,2]上单调减,[f (x)] max =f (1)=m + 6=4,m=-2.‎ 综上所述:m=-2.……………………………………………………………………16分 ‎19.(本小题满分16分)‎ 在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:x2+y2=r2和直线l:x=a(其中r和a均为常数,且0 < r < a),M为l上一动点,A1,A2为圆C与x轴的两个交点,直线MA1,MA2与圆C的另一个交点分别为P、Q.‎ ‎(1)若r=2,M点的坐标为(4,2),求直线PQ方程;‎ ‎(2)求证:直线PQ过定点,并求定点的坐标.‎ ‎【解】(1)当r=2,M(4,2),则A1(-2,0),A2(2,0).‎ 直线MA1的方程:x-3y+2=0,解得.……………………2分 直线MA2的方程:x-y-2=0,解得. ……………………4分 由两点式,得直线PQ方程为:2x-y-2=0. ………………………………………6分 ‎(2)证法一:由题设得A1(-r,0),A2(r,0) .设M(a,t),‎ 直线MA1的方程是:y = (x+r),直线MA1的方程是:y = (x-r) .………8分 解得.……………………10分 解得. ………………12分 于是直线PQ的斜率kPQ=,直线PQ的方程为. ………………………………14分 上式中令y = 0,得x=,是一个与t无关的常数.故直线PQ过定点. …………………16分 证法二:由题设得A1(-r,0),A2(r,0) .设M(a,t),‎ 直线MA1的方程是:y=(x+r),与圆C的交点P设为P(x1,y1) .‎ 直线MA2的方程是:y=(x-r);与圆C的交点Q设为Q(x2,y2) .‎ 则点P(x1,y1) ,Q(x2,y2)在曲线[(a+r)y-t(x+r)][(a-r)y-t(x-r)]=0上, …………………10分 化简得 (a2-r2)y2-2ty(ax-r2)+t2(x2-r2)=0. ①‎ 又有P(x1,y1) ,Q(x2,y2)在圆C上,圆C:x2+y2-r2=0.②‎ ‎-t2×②得 (a2-r2)y2-2ty(ax-r2)-t2(x2-r2) -t2( x2+y2-r2)=0,‎ 化简得:(a2-r2)y-2t(ax-r2) -t2 y=0.‎ 所以直线PQ的方程为(a2-r2)y-2t(ax-r2)-t2 y=0. ③ ………………14分 在③中令y = 0得 x = ,故直线PQ过定点.………………………16分 ‎20.(本小题满分16分)‎ 设无穷数列满足:,,.记.‎ ‎(1)若,求证:=2,并求的值;‎ ‎(2)若是公差为1的等差数列,问是否为等差数列,证明你的结论.‎ ‎【解】(1)因为,所以若,则矛盾,‎ 若,可得矛盾,所以. …………………4分 于是,从而. …………………………7分 ‎(2)是公差为1的等差数列,证明如下: ………………………9分 时,,所以, ‎ ‎,……………………………13分 即,由题设,,又,‎ 所以,即是等差数列.………………………16分 数学II(附加题)‎ ‎21. (选做题)本大题包括A,B,C,D共4小题,请从这4题中选做2小题. 每小题10分,共20分.请在答题卡上准确填涂题目标记. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ O A E B D F C A. 选修4-1:几何证明选讲 如图,是⊙的直径,是⊙上的两点,⊥,‎ 过点作⊙的切线FD交的延长线于点.连结交 于点.‎ ‎ 求证:.‎ ‎【证明】连结OF.‎ 因为DF切⊙O于F,所以∠OFD=90°.‎ 所以∠OFC+∠CFD=90°.‎ 因为OC=OF,所以∠OCF=∠OFC. ‎ 因为CO⊥AB于O,所以∠OCF+∠CEO=90°. ………………………5分 所以∠CFD=∠CEO=∠DEF,所以DF=DE.‎ 因为DF是⊙O的切线,所以DF2=DB·DA.所以DE2=DB·DA. ………………10分 B. 选修4-2:矩阵与变换 设曲线在矩阵对应的变换作用下得到的曲线为,求矩阵M的逆矩阵.‎ ‎【解】设曲线上任一点在矩阵对应的变换下的像是,‎ 由,得 因为在圆上,所以,化简可得.…………………………3分 依题意可得,或而由可得.………6分 故,.………………………………………………10分 C. 选修4-4:坐标系与参数方程 ‎ 在平面直角坐标中,已知圆,圆.‎ ‎(1)在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别求圆的极坐标方程及这两个圆的交点的极坐标;‎ ‎(2)求圆的公共弦的参数方程.‎ ‎【解】(1)圆的极坐标方程为, 圆的极坐标方程为,‎ 由得,故圆交点坐标为圆.…………………5分 ‎(2)由(1)得,圆交点直角坐标为,‎ 故圆的公共弦的参数方程为 ……………………10分 注:第(1)小题中交点的极坐标表示不唯一;第(2)小题的结果中,若未注明参数范围,扣2分.‎ D.选修4-5:不等式选讲 ‎ 设正数a,b,c满足,求的最小值.‎ ‎【解】因为a,b,c均为正数,且,所以.‎ 于是 ‎ ‎ ,‎ 当且仅当时,等号成立. ………………………………8分 即,故的最小值为1.…………10分 ‎22. 必做题, 本小题10分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ 如图,在三棱柱中,,,且.‎ ‎(1)求棱与BC所成的角的大小;‎ ‎(第22题)‎ B A C A1‎ B1‎ C1‎ ‎(2)在棱上确定一点P,使二面角的平面角的余弦值为.‎ ‎【解】(1)如图,以A为原点建立空间直角坐标系,‎ 则 ,‎ ‎,.‎ ‎,‎ 故与棱BC所成的角是. ………………………4分 B A C A1‎ B1‎ C1‎ z x y P ‎(2)P为棱中点,‎ 设,则.‎ 设平面的法向量为n1,,‎ 则 故n1……………………………………………8分 而平面的法向量是n2=(1,0,0),则,‎ 解得,即P为棱中点,其坐标为…………………10分 ‎23.必做题, 本小题10分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ 设b>0,函数,记(是函数的导函数),且当x = 1时,取得极小值2.‎ ‎(1)求函数的单调增区间;‎ ‎(2)证明.‎ ‎【解】(1)由题.‎ 于是,若,则,与有极小值矛盾,所以.‎ 令,并考虑到,知仅当时,取得极小值.‎ 所以解得.………………………………………………4分 故,由,得,所以的单调增区间为.‎ ‎(2)因为,所以记 因为, ‎ 所以,故.………10分 数学Ⅰ讲评建议 第1题 考查向量的坐标运算及向量减法的几何意义. =-=(1,4).‎ 第2题 考查集合的运算,一元二次不等式及不等式组的解法.本题评讲时着重运算的精准与快速.‎ x y O 第3题 考查复数的概念,数形结合等数学思想.评讲时对复数的有关概念进行适当地疏理,防止学生出现知识盲点.‎ ‎ 法一:设z=a+bi,由|z|=|z-1|=1得,两式相减得.2 a=1,.‎ 第3题 ‎ 法二:如图,圆x2+y2=1与圆(x-1)2+y2=1交点的横坐标为.‎ ‎ 法三:由z=1,(z-1) (-1)=1得z+=1,即‎2 a=1,.‎ ‎ 法四:|z|=1则令z=cosα+isinα,再有|z-1|=1得,(cosα-1)2+sin2α=1,cosα=.‎ 第,4题 本题考查函数的奇函数的性质评讲时重点构造奇偶函数,考虑奇偶函数对称,由部分区间的函数求出相应对称区间的函数. ‎ 法一:=-=-(-ln6) -e-ln6=ln6-.‎ 法二:当x>0时,f(x)=-f (- x)=x –e-x.所以,=ln6-e-ln6=ln6-.‎ 第5题 本题考查茎叶图的概念,重在看懂所给的茎叶图.评讲时对统计的有关知识适当归纳总结一下,统计重在操作,记住解题的步骤,按照课本的要求步骤解题.计算本题时,适当讲一些算平均值的方法与技巧.‎ 第6题 本题考查算法的概念,算法主要考查流程图与伪代码,复习时要求能看懂流程图与伪代码就行,不宜过难过深.‎ 第7题 本题考查圆锥曲线的几何性质.研究圆锥曲线的性质常用二种方法,一是由方程研究曲线的几何性质,二是由曲线的几何性质求曲线的方程.另外,在解题时,适当利用圆锥曲线的定义可以取到“时半功倍”之效.‎ ‎ 法一:由题可得,椭圆两焦点F1(0,2),F1(0,-2),c=2,‎2a==4,‎ ‎ 即a=2.所以,离心率e=.‎ ‎ 法二:设椭圆方程为:,由题意得:,解之得,,c=2,‎ 离心率e=.‎ 第8题 本题是由课本上的习题改编,主要圆锥的底面半径、高与母线之间关系,旋转体的侧面展开等知识.‎ ‎ 由题设,圆锥的母线l=2,底面半径r=1,故其高h==.‎ 第9题 本题考查三角函数图象变换. 将函数的图象上每一点向右平移1个单位得 ‎ ,将所得图象上每一点的横坐标扩大为原来的倍(纵坐标保持不变),则,即.‎ 第10题 本题考查函数的零点,对称性质及数形结合等.原函数的零点可看作函数f(x)=sinπx,g(x) =的交点的横坐标,因为f(x) 与g(x)均关于点(1,0)对称,故f(x)与g(x)在(-1,3)上的四个交点的横坐标之和为4. 第11题 本题考查两角和与差的三角函数,三角函数的恒等变换等.‎ ‎ 法一:由得,,,‎ 由,,所以.‎ ‎ =.‎ ‎ 法二:由得,,由法一可知,,.‎ ‎ .‎ ‎ 法三:由,得,,=‎ ‎ .‎ 第12题 本题考查数列、递推数列,概率及分类讨论. ‎ 法一:由得a2=16,或a2=6‎ 再由a2=16,或a2=6及,得a1=32,14,12,4‎ ‎.故概率为.‎ ‎ 法二:由,得a2=a1+2,或a2=a1,a3=a2+2,或a3=a2,‎ ‎ a3=a1+4,或a3=a1+4,或a3=a2,或a3=(a1+2) .由a3=8,得a1=32,14,12,4.(下略)‎ 第13题 本题考查不等式的有关知识与方法.‎ ‎ max{x1x2,x2x3,x3x4,x4x5}≥max{x1x2,x3x4,x4x5}≥≥≥9.‎ ‎ 当x1= x3= x5=9,x2= x4=1. ‎ 第14题 本题考查学生综合应用数学知识解决问题的能力.本题解法较多,但有些解法计算繁琐,下面介绍三个常规的简单的解法:‎ 法一:设正三角形ABC的边长为a,B(-1+acos(θ+30º),1+ asin(θ+30º)),‎ C(-1+acos(θ-30º),1+ asin(θ-30º)) ,由B、C在y=上,所以 ‎,‎ 两式相减得:a2cos2-asim-acos=0,得a=, ①‎ ‎ 两式相加得:,a2sin2θ=4 ②‎ ‎ 由①、② a=.所以三角形的高为2.‎ ‎ 法二:将直角坐标系旋转45º,则A(0,),双曲线方程为:.‎ 设BC的方程为:y=kx+b,联立,消去得:(1-k2)x2-2kbx-b2-2=0.‎ ‎,BC中点D(,),而直线AD的方程是:.‎ ‎ 所以,=,,AD=,BC=|x1-x2|‎ ‎ =,由△ABC为正三角形,所以AD=BC.k2=7.‎ ‎ 故AD===2.‎ ‎ 法三:提示,直接设BC直线方程为y=kx+b,与双曲线联立,仿照解法二可求得.‎ 第15题 第(1)问考查正弦定理、余弦定理的简单应用,第(2)问综合考查数量积,关键是将 转化,利用外心的性质,化为求,结合解三角题当时,,;当时,,,注意本题有两解。‎ 第16题 主要考查线面平行和面面垂直的处理,本题中当时结论不成立,为锐角,钝角均可。本题的辅助性的添加是解决立体几何的常用手段。‎ 第17题 考查实际问题建立数学模型的能力,理清综合费用的表示,求出平均费用后,由待定系数法求出常数。列式时注意单位要统一。本题还可以只计算一幢楼的平均成本。第(2)由数列知识求得每平方米平均综合费用为f (n),再由利用基本不等式可得最低费用,提醒学生注意均值不等式求最值注意检验等号成立的条件一正、二定、三相等。最后作答。‎ 第18题 (1)函数f (x)单调,则(x)=3(m-3)x2+9=0无解或有重根,m≥3 ,可总结推广函数在上不单调(或单调)的充要条件;(2)数形结合,问题转化为在闭区间的分类讨论,当m<3时,(x)=3(m-3) x2 + 9=0,得,然后对极值点的位置情形讨论,本题属于常规题,难度中等。‎ 第19题 本题主要考查直线方程、直线与圆的位置关系,考察运算能力和推理论证能力.在解析几何运算中,为了化简运算,常采用“设而不求”,“虚算”等. ‎ ‎ (1) 当r=2,M(4,2),则A1(-2,0),A2(2,0).直线MA1的方程:x-3y+2=0,‎ 直线MA2的方程:x+y-2=0,所以P、Q在曲线(x-3y+2)( x-y-2)+t(x2+y2-4)=0上,当t=-1时,‎ ‎2x-2y-2=0为直线PQ的方程. ‎ ‎(2)可利用平面几何知识,求直线PQ与x轴的交点N到原点的距离ON为定值.‎ 第20题 本题考查等差数列的基本性质,考查分析探究及逻辑推理的能力.第(2)小题也可用反证法证明.‎