人教版中考数学二轮复习专题练习下探究规律-差后等差型 18页

差后等差型 1.如图，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点，作为第一层，第二层每边有两个点，第三 层每边有三个点，依次类推，如果 n 层六边形点阵的总点数为 331，则 n 等于___①___． 答案：11 解析：令第 n 个数的代数表达式为= 2ax bx c  利用待定系数法得， 1n  时，总数为 1a b c   ， 2n  时，总数为 4 2 7a b c   ， 3n  时，总数为9 3 =19a b c  ，解得 3a  ， 3b   ， 1c  故代数式为 23 3 1n n  ， ∴当 23 3 1=331n n  时，解得 1 11n  ， 2 10n   2.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图 1 中的1，3 ，6，10 ，…， 由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图 2 中的1，4 ，9 ，16 ，…，这样的数 为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数 的是（） A.15 B. 25 C.55 D.1225 答案：D 解析：三角形数为： 1 ( 1)2 n n  ，四边形数 2n ， A.选项中15 不满足四边形数 2n ，故舍去， B.选项中 25不满足三角形数为： 1 ( 1)2 n n  ，故舍去， C.选项中55 不满足四边形数 2n ，故舍去， D.选项中1225 既满足三角形数为： 1 ( 1)2 n n  ，又满足四边形数 2n ，故选 D， 3.如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要 7 枚棋子，摆第 2 个图案需要19 枚棋子，摆第3 个图案 需要37 枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第 6 个图案需要____枚棋子，摆第 n 个图案需要____枚棋 子． 答案：127；3；3；1 解析：令总数= 2an bn c  利用待定系数法将， 1n  时，总数为7 ， 2n  时，总数为19 ， 3n  时，总数为37 ，代入总数= 2an bn c  ，解得 3a  ， 3b  ， 1c  ， 故代数式为 23 3 1n n  4.如图，用火柴摆出一列正方形图 案，若按这种方式摆下去，摆出第30 个图案用______根火柴棍． 答案：1860 解析：令总数= 2an bn c  利用待定系数法将， 1n  时，总数为 4 ， 2n  时，总数为12 ， 3n  时，总数为 24 ，代入总数= 2an bn c  ，解得 2a  ， 2b  ， 0c  ， 故代数式为 22 2n n ，当 30n  时，故 22 30 +2 30=1860  5.如图，在一个三角点阵中，从上向下数有无数多行，其中各行点数依次为 2 ， 4 ， 6 ，…， 2n ，…， 请你探究出前 n 行的点数和所满足的规律．若前 n 行点数和为930 ，则 n  （）． A．29 B．30 C．31 D．32 答案：B 解析：设第 n 行的代数是 2an bn c  利用待定系数法，将 (1 2)， 、 (2 6)， 、(3 12)， 代入二次代数式 求 1a  ， 1b  ， 0c  ，故代数式为 2n n ，另 2 930n n  ， 解得 1 30n  ， 2 31n   （舍） 6.下面是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，则第5 行从左向右数第5 个数为_____，第 n （ 3n  ，且 n 是整数）行从左 向右数第 5 个数是 105 ，则 =n _______． 答案：21；11 解析：令第 n 个数的代数表达式为= 2ax bx c  利用待定系数法得， 3n  时，表达式为 9 ， 4n  时，总数为 14 ， 5n  时，总数为 21 ，代入表达式为= 2ax bx c  ，解得 1a  ， 2b   ， 6c  故代数式为 2 2 6n n  ， ∴ 2 2 6 105n n   ， 2 2 6 105n n   ，∴ 1 9n   （舍）， 11n  6.在平面直角坐标系中，我们称边长为 1 且顶点的横纵坐标均为整数的正方形为单位格点正方形，如图， 菱形 ABCD 的四个顶点坐标分别是( 8 0) ， ， (0 4)， ， (8 0)， ， (0 4)， ，则菱形 ABCD 能覆 盖的单位格点正方形的个数是_____个；若菱形 n n n nA B C D 的四个顶点坐标分别为( 2 0)n ， ，(0 )n， ， (2 0)n， ， (0 )n， （ n 为正整数），且菱形 n n n nA B C D 能覆盖的单位格点正方形的个数为 288，则 n  ____． 答案：48;9 解析： 1 14 ( 8 4 4)2S      ，故 14 ( 2 )2nS n n n     = 24 4n n ∴ 24 4 288n n  ，解得， 1 9n  ， 2 = 8n  (舍) ∴菱形 n n n nA B C D 能覆盖的单位格点正方形的个数为 288，则 9n  7.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 AB 与 x 、y 轴分别交于点 A 、B ，且 ( 2 , 0)A  ， (0 ,1)B ， 在直线 AB 上截取 1BB AB ，过点 1B 分别作 x 、y 轴的垂线， 垂足分别为点 1A 、 1C ，得到矩形 1 1 1OA B C ；在直线 AB 上截取 1 2 1B B BB ，过点 2B 分别作 x 、 y 轴的垂线，垂足分别为点 2A 、 2C ， 得 到 矩 形 2 2 2OA B C ； 在 直 线 AB 上 截 取 2 3 1 2B B B B ，过点 3B 分别作 x 、 y 轴的垂线，垂足分别为点 3A 、 3C ，得到矩形 3 3 3OA B C ；… 则第3 个矩形 3 3 3OA B C 的面积是______；第 40 个矩形 n n nOA B C 的面积是______． 答案：24；3280 解析：令面积= 2an bn c  利用待定系数法将， 1n  时，总数为 4 ， 2n  时，总数为12 ， 3n  时，总数为 24 ，代入面积= 2an bn c  ，解得 2a  ， 2b  ， 0c  故代数式为 22 2n n ， 当 40n  时， 22 40 +2 40=3280  8.将全体正整数排成一个三角形数阵： 按照以上排列的规律，第5 行从左到右的第3 个数为_________；第 n 行（ 3n≥ ）从左到右的第3 个 数为_________．（用含 n 的代数式表示） 答案：13；0.5；-0.5；3 解析：令第 n 行（ 3n≥ ）从左到右的第3 个数为= 2an bn c  利用待定系数法将， 3n  时，总数为 6， 4n  时，总数为9 ， 5n  时，总数为13 ，代入总数= 2an bn c  ，解得 1 2a  ， 1 2b   ， 3c  ， 故代数式为 21 1 32 2n n  9.在平面直角坐标系 xOy 中，动点 P 从原点O 出发，每次向上平移1个单位长度或向右平移 2 个单位长 度，在上一次平移的基础上进行下一次平移．例如第1次平移后可能到达的点是 01（ ，）、 2 0（ ，），第 2 次平移后可能到达的点是 0 2（ ，）、 21（ ，）、 4 0（ ，），第3 次平移后可能到达的点是 0 3（ ，）、 2 2（ ，）、 41（ ，）、 6 0（ ，），依此类推……．我们记第1次平移后可能到达的所有点的横、纵坐标之和为 1l ，1 3l  ； 第 2 次平移后可能到达的所有点的横、纵坐标之和为 2l ， 2  9l  ；第3 次平移后可能到达的所有点的 横、纵坐标之和为 3l ， 3 18l  ；按照这样的规律， 4l  ______； 40l  _____． 答案：30；2460 解析：令 nl  2an bn c  利用待定系数法将， 1n  时， 1 3l  ， 2n  时， 2  9l  ， 3n  时， 3 18l  ，代入 nl  2an bn c  ，解得 3 2a  ， 3 2b  ， 0c  ， 故代数式为  3 1 2 n n  ， 当 40n  时，  3 1 3 40 (40 1)= 24602 2 n n      10.在平面直角坐标系 xOy 中，直线 2x  和抛物线 2y ax 在第一象限交于点 A ，过 A 作 AB x 轴 于点 B ．如果 a 取1，2 ，3 ，…，n 时对应的 AOB△ 的面积为 1S ， 2S ， 3S ，…， nS ，那么 1S  _____； 若 1 2 3 ... 1300nS S S S     ，则 n  ______． 答案：4；25 解析：把 1a  代入 2y ax 得 2y x ，则直线 2x  和抛物线 2y x 在第一象限交点 A 的坐标为 (2 , 4) ，易求 1 4S  ；分别把 2a  、 3a  代入 2y ax 中，可求得点 A 的坐标分别是 (2 , 8) 、 (2 ,12) ；可求 2 8S  、 3 12S  ；观察 1S 、 2S 、 3S 可以发现 4nS n ， 所以 1 2 ...... 2 ( 1)nS S S n n     ． ∴ 2 ( 1) 1300n n   ，解得 1 25n  ， 2 26n   （舍） 11.如图，点 1A ， 2A ， 3A ，…，点 1B ， 2B ， 3B ，…，分别在射线OM ，ON 上． 1 1OA  ， 1 1 12A B OA ， 1 2 12A A OA ， 2 3 13A A OA ， 3 4 14A A OA ，…． 1 1 2 2 3 3 4 4A B A B A B A B∥ ∥ ∥ ∥…．则 2 2A B  ____， n nA B  ____．（ n 为正整数）． 答案：6；1；1；0 解析：∵ 1 1OA  ， ∴ 1 2 2 1 2A A    ， 2 3 3 1 3A A    ， 3 4 4A A  ，…， 2 1 1n nA A n    ， 1n nA A n  ， ∵ 1 1 2 2 3 3 4 4A B A B A B A B∥ ∥ ∥ ∥…， ∴ 1 1 1 2 2 2 OA A B OA A B  ， ∴ 2 2 1 2 1 1 2 A B  ， ∴ 2 2 6 2 (2 1)A B     ， 3 3 12 3 (3 1)A B     ， 4 4 20 4 (4 1)A B     ，…， ∴ ( 1)n nA B n n  ，故答案为： 6 ； ( 1)n n  ． ∴ 1a  ， 1b  ， 0c  12.古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3 ， 6，10 ，…这样的数称为“三角形数”（如图①），而把1， 4 ， 9 ，16 ，…这样的数称为“正方形数”（如图②）．如果规定 1 1a  ， 2 3a  ， 3 6a  ， 4 10a  ，…； 1 1b  ， 2 4b  ， 3 9b  ， 4 16b  ，…； 1 1 12y a b  ， 2 2 22y a b  ， 3 3 32y a b  ， 4 4 42y a b  ，…，那么，按此规定， 6y  ____， 50y  ____．（用含 n 的式子 表示， n 为正整数）． 答案：78，5050 解析：根据题中给出的数据可得 6 1 2 3 ...... 6a      ， 2 6 6b  ，∴ 6 6 62 2 21 36 78y a b      ； 2 2 2( 1)2 2 (1 2 3 ...... ) 2 22n n n n ny a b n n n n n              ． 当 50n  时， 2 50 2 50 50 5050y     ． 13.观察下面一列数的规律并填空：0 3 8 15 24 ， ， ， ， ， ，则第 n 个数是5183 ，则 n  ______． 答案：72 解析：观察不难发现，每一个数都是比完全平方数小1的数，则第 n 个数的表达式为 2 1n  ， 故 2 1 5183n   ，解得 1 72n  ， 2 72n   （舍） 14.将自然数按以下规律排列： 表中数 2在第二行第一列，与有序数对 21（ ，）对应，数5 与 13（，）对应，数14 与 3 4（ ，）对应，根据这一 规律，数 2014对应的有序数对为______． 本题答案为 ( )a b， ，则 a ___①___；b  ___②___． 答案：45；12 解析：由已知可得：根据第一列的奇数行的数的规律是第几行就是那个数平方， 第一行的偶数列的数的规律，与奇数行规律相同； ∵ 45 45 2025  ， 2014在第 45行，向右依次减小， ∴ 2014所在的位置是第 45行，第12 列，其坐标为 4512（ ，）． 故答案为： 4512（ ，）． 15.凸 n 边形的对角线的条数记作  4≥na n 例如： 4 =2a ，那么：① 5 =a _____； ② 6 5 =a a ______；③ 1 =n na a  ______．（ 4≥n ，用含 n 的代数式表示）. 答案：5;4;n-1. 解析：凸5 边形每个点的对角线有5 3 条，计 5 3 5=52   条； 凸 6 边形每个点的对角线有 6 3 条，计 6 3 6=92   条； 凸 n 边形每个点的对角线有 3n  条，计  3 2 n n  条； 凸 1＋n 边形每个点的对角线有 2n  条，计   1 2 2 n n  条. 因此 5 5=a ； 6 5 =9 5 4a a   ； 1 =n na a      1 2 3 2 2 n n n n   2 22 3 12 2 n n n n n      . 16.如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去， 则第60 个图形需要黑色棋子的个数是______． 答案：3720 解析：从图中观察，第1个图形需要3个黑色棋子，第 2个图形需要8 2 2 2（ ）   个黑色棋子，第3 个图形需要15 3 3 2（ ）   个黑色棋子，第 4个图形需要 24 4 4 2（ ）   个黑色棋子，……则 第 n（ n 是大于 0的整数）个图形需要黑色棋子的个数是 2（ ）n n  ，则第 60 个为 60 62=3720 . 17.已知：如图，互相全等的平行四边形按一定的规律排列．其中，第①个图形中有1个平行四边形，第② 个图形中一共有5 个平行四边形，第③个图形中一共有11个平行四边形，第④个图形中一共有___个 平行四边形，……，第 n 个图形中一共有平行四边形的个数为599 个，则 n  ______． 答案：19，24 解 析 ： 图 ① 有 1 个 ， 图 ② 有 5 个 ， 图 ③ 有 11 个 平 行 四 边 形 ． 设 第 n 个 图 平 行 四 边 形 个 数 2y an bn c   ．代入前三个数据解得 1 1 1 a b c       ．∴第④个图形有19 个平行四边形， ∴第 n 个图形中一共有平行四边形的个数为 2 1n n  ． 故 2 1=599n n  ，解得 1 24n  ， 2 25n   ． 18.下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有 1 颗棋子，第②个图形一共有 6 颗棋子，第③个图形一共有16 颗棋子，…，则第⑥个图形中棋子的颗数为____ 答案：76 解析：第①个图形有1个棋子， 第②个图形有1 5 个棋子， 第③个图形有1 5 10  个棋子， 由此可以推知：第④个图形有1 5 10 15   个棋子， 第⑤个图形有1 5 10 15 20    个棋子， 第⑥个图形有1 5 10 15 20 25     个棋子． 故选C ． 19 .如图，古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．例如：称图中的数1，5 ，12 ， 22… 为五边形数，则第 6个五边形数是______． 答案：51 解析：∵5 1 4  ， 12 5 7- ， 22 12 10- ， ∴相邻两个图形的小石子数的差值依次增加3， ∴第 4个五边形数是 22 13 35  ， 第5 个五边形数是35 16 51  ． 故答案为：51． 20.观察下列图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第 n 个图形中所有的个数为_____．（用含 n 的代数式表示）． 答案：1；2；1 解析：找出点数的变化规律，先用具体的数字等式表示，再用含字母的式子表示． ①1 3 4+ = ②1 3 5 9+ + = ③1 3 5 7 16+ + + = ④1 3 5 7 9 25+ + + + = 2 21 3 5 7 (2 1) ( 1) 2 1n n n n        = 21.用同样大小的圆按下列方式组成图案，第 10 个图案中圆的个数为_____ 答案：331 解析：第一个图形中圆的个数为：6×1+1=7 个； 第二个图形中圆的个数为：6×（1+2）+1=19 个； 第三个图形中圆的个数为：6×（1+2+3）+1=37 个； 第四个图形中圆的个数为：6×（1+2+3+4）+1=61 个； … 第 10 个图案中圆的个数为：6×（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）+1=331． 22.小东玩一种“挪珠子”游戏，根据挪动珠子的难度不同而得分不同，规定每次挪动珠子的颗数与所得 分数的对应关系如下表所示： 按表中规律，当所得分数为71分时，则挪动的珠子数为 ______颗；当挪动 60颗珠子时（ n 为大于1 的整数），所得分数为______（用含 n 的代数式表示）． 答案：8；3659 解析:由题中数据可知：5+6=11，11+8=19 ，19+10=29 ，19+12=41，41+14=55 ，55+16=71． 这是一个二次等差数列，可知结 果一定是二次三项式的形式，可通过待定系数法求出结果为 2 1n n  ． 当 60n  时， 2 21 60 60 1 3659n n      23.下列图形都是由同样大小的矩形按一定的规律组成，其中第（1）个图形的面积为 2，第（2）个图形 的面积为8，第（3）个图形的面积为18，……，第（10）个图形的面积为____ 答案：200 解析：观察图形， 第 1（）个图形中有 21(1 ) 个矩形，面积为 2cm2，即 21 2 2  cm ； 第 2（ ）个图形中有 24(2 ) 个矩形，面积为 28cm ，即 2 24 2 2 2 8    cm ；第 3（ ）个图形有 29(3 ) 个矩形，面积为 218cm ， 即 2 29 2 3 2 18cm    ；……， 所以第 10（ ）个图形有 2100(10 ) 个矩形，面积为： 2100 2 200  cm ． 故选 B． 24.如下图，每一幅图中均含有若干个正方形，第1幅图中含有1个正方形；第 2 幅图中含有5 个正方形；…… 按这样的规律下去，则第（6）幅图中含有______个正方形； 答案：91 解析：第①幅图中含有1个正方形， 第②幅图中含有5 个正方形； 第③幅图中含有14 个正方形……， 21=1 ； 2 25=1 +2 ； 2 2 214=1 +2 +3 ……， 则第⑥幅图中含有： 2 2 2 2 2 21 +2 +3 +4 +5 +6 =91个正方形． 25.如图，观察每一个图中黑色正六边形的排列规律，则第10 个图中黑色正六边形有______个. 答案：100 解析：观察每一个图中黑色正六边形的排列规律， 第1个图中黑色正六边形有 21 1 个， 第 2 个图中黑色正六边形有 24 2 个， 第3个图中黑色正六边形有 29 3 个， 则第10 个图中黑色正六边形有 210 100 个. 26.已知：如图，在 Rt ABC△ 中，点 1D 是斜边 AB 的中点，过点 1D 作 1 1D E AC 于点 1E ，连结 1BE 交 1CD 于点 2D ；过点 2D 作 2 2D E AC 于点 2E ，连结 2BE 交 1CD 于点 3D ；过点 3D 作 3 3D E AC 于点 3E ，如此继续，可以依次得到点 4D 、 5D 、…、 nD ，分别记 1 1BD E△ 、 2 2BD E△ 、 3 3BD E△ …、 n nBD E△ 的面积为 1S 、 2S 、 3S 、…、 nS ．设 ABC△ 的面积是1， 1S  ______， 若 1= 2401nS ，则 n  ______．（若答案不为整数，请填分数） 答案：0.25；48 解析： 1 1AD BD ， 1 1D E BC∥ ， 1 1 1 2 D E BC  ， 1 1 1 11 1 1= 4 4BD E CD E ACBS S S S  △ △ △ ； 1 1 2 2 3 3 n nCD E CD E CD E CD E∽ ∽△ △ △ △ 1 1 1 2 2 1= 2 D E D D BC CD  ， 2 1 2 3 CD CD  ， 2 2 2 2 1 1 2 2 2 1= =( )3 9BD E CD E CD ES S S S △ △ △ ， 2 2 1 1 2= 3 D E D E ， 2 2 2 3 3 1 3 D E D D BC CD   ， 3 2 3 4 CD CD  ， 3 3 3 3 2 2 2 3 3 1= =( )4 16BD E CD E CD ES S S S △ △ △ ， 3 3 2 2 3= 4 D E D E ， 3 3 3 4 4 1 4 D E D D BC CD   ， 4 3 4 5 CD CD  ， 4 4 4 4 3 3 2 4 4 1= =( ) =5 25BD E CD E CD ES S S S△ △ △ ， 1 1 2 2 1=n n n n D E n D E n      ， 1 1 1 1n n n n n D E D D BC CD n     ， 1 1 n n CD n CD n   ， 1 1 2 2 1= =( )1 ( 1)n n n n n nn BD E CD E CD E nS S S Sn n    △ △ △ ． ∴ 2 1 1 ( 1) 2401n  ，解得 1 48n  ， 2 50n   （舍） 27.如图，在平 面直角坐标系中， 1 2 3 40 1 0 3 0( ) ( ) ( ) (6 )0 10 ， ， ， ， ， ， ， ， ，B B B B 以 1 2B B 为 对角线作第一个正方形 1 1 1 2A B C B ，以 2 3B B 为对角线作第一个正方形 2 2 2 3A B C B ，以 3 4B B 为对角 线作第一个正方形 3 3 3 4 ， ，A B C B 如果所作正方形的对角线 1n nB B 都在 y 轴上，且 1n nB B 的长度 依次增加 1 个单位，顶点 nA 都在第一象限内（ 1≥n ，且 n 为整数），那么 1A 的纵坐标为______，表 示 31A 的纵坐标______． 答案：2；512 解析：作 1 A D y 轴于点 D ，则 1 1 2 2 3 1 2 1B D B B     （ ） ， ∴ 1A 的纵坐标 1 1 1 1 2    B D B O 同理可得 2A 的纵坐标= 2 2 3 2 3 6 3 2 4.5      （ ） （ ）OB B B ， ∴ nA 的纵坐标为 2( 1) 2 n 当 32n  时， 2( 1) 32 32= =5122 2 n   28.按一定规律排列的一列数依次为： 1 1 1 1 1 1 2 3 10 15 26 35 ，， ， ， ， ……，按此规律排列下去，这列数中 的第 9 个数是______． 答案：82 解析：观察可得这列数依次可化为： 2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 3 1   ， ， 当 n 为奇数时，第 n 个数为 2 1 1n 当 n 为偶数时，第 n 个数为 2 1 1n 所以第 9 个数是 2 1 1 9 1 82 