初中数学中考复习课件章节考点专题突破：第五章 图形性质1 第19讲线段、角、相交线和平行线 46页

第 19 讲　线段、角、相交线和平行线 要点梳理 1 ． 线段沿着一个方向无限延长就成为 ；线段向两方无限延长就成为 ；线段是直线上两点间的部分 ， 射线是直线上某一点一旁的部分． 2 ． 直线的基本性质 ： ； 线段的基本性质 ： ； 连接两点的 ， 叫做两点之间的距离 射线 直线 两点确定一条直线 两点之间线段最短 线段的长度 要点梳理 3 ． 有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角 ， 也可以把角看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形． (1)1 周角＝ 平角＝ 直角＝ ， 1° ＝ ， 1′ ＝ ． (2) 小于直角的角叫做 ；大于直角而小于平角的角叫做 ；度数是 90° 的角叫做 ． 2 4 360 ° 60′ 60″ 锐角 钝角 直角 要点梳理 4 ． 两个角的和等于 90° 时 ， 称这两个角 ， 同角 ( 或等角 ) 的余角相等． 两个角的和等于 180° 时 ， 称这两个角 ， 同角 ( 或等角 ) 的补角相等． 5 ． 角平分线和线段垂直平分线的性质： 角平分线上的点到 ． 线段垂直平分线上的点到线段 ． 到角两边的距离相等的点在角平分线上． 到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上 互为余角 互为补角 角两边的距离相等 两个端点的距离相等 要点梳理 6 ． 两条直线相交 ， 只有 ．两条直线相交形成四个角 ， 我们把其中相对的每一对角叫做对顶角 ， 对顶角 __ __ ． 7 ． 两条直线相交所组成的四个角中有一个是直角时 ， 我们说这两条直线互相 __ __ ， 其中的一条直线叫做另一条直线的 __ __ ， 它们的交点叫做 ． 从直线外一点到这条直线的 ， 叫做点到直线的距离．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中 ， ． 一个交点 相等 垂直 垂线 垂足 垂线段的长度 垂线段最短 要点梳理 8 ． 垂直于一条线段并且平分这条线段的直线 ， 叫做这条线段的 ． 9 ． 在同一平面内 ， 不相交的两条直线叫做平行 线．经过直线外一点 ， 有且只有一条直线和这条直线平行． 垂直平分线 要点梳理 10 ． 平行线的判定及性质： (1) 判定： ① 在同一平面内 ， 的两条直线叫做平行线； ② 相等 ， 两直线平行； ③ 相等 ， 两直线平行； ④ ， 两直线平行； ⑤ 在同一平面内 ， 垂直于同一直线的两直线平行； ⑥ 平行于同一直线的两直线平行． 不相交 同位角 内错角 同旁内角互补 要点梳理 (2) 性质： ① 两直线平行 ， ； ② 两直线平行 ， ； ③两直线平行 ， ． 同位角相等 内错角相等 同旁内角互补 两条直线的相互位置 在同一平面内 ， 两条直线的位置关系只有两种：相交和平行 ， “ 在同一平面内 ” 是其前提 ， 离开了这个前提 ， 不相交的直线就不一定平行了 ， 因为在空间里存在着既不平行也不相交的两条直线 ， 如正方体的有些棱所在的线既不相交也不平行． 线段、射线、直线 点通常表示一个物体的位置 ， 无大小可言．点动成线 ， 线有弯曲的 ， 也有笔直的 ， 弯曲的线叫做曲线；而笔直的线 ， 若向两边无限延伸 ， 没有端点且无粗细可言就叫做直线；射线是直线的一部分 ， 向一方无限延伸 ， 有一个端点；线段也是直线的一部分 ， 有且只有两个端点． 两个重要公理 (1) 直线公理：经过两点有且只有一条直线．简称：两点确定一条直线． “ 有 ” 表示存在性； “ 只有 ” 体现唯一性 ， 直线公理也称直线性质公理． (2) 线段公理：两点之间 ， 线段最短． 1 ． ( 2014 · 滨州 ) 如图 ， OB 是 ∠ AOC 的角平分线 ， OD 是 ∠ COE 的角平分线 ， 如果 ∠ AOB ＝ 40° ， ∠ COE ＝ 60° ， 则 ∠ BOD 的度数为 ( ) A ． 50° 　　 B ． 60° 　　 C ． 65° 　　 D ． 70° D 2 ． ( 2014 · 德州 ) 如图 ， AD 是 ∠ EAC 的平分线 ， AD ∥ BC ， ∠ B ＝ 30° ， 则 ∠ C 为 ( ) A ． 30° B ． 60° C ． 80° D ． 120° A 3 ． ( 2014 · 成都 ) 如图 ， 把三角板的直角顶点放在直尺的一边上 ， 若 ∠ 1 ＝ 30° ， 则 ∠ 2 的度数为 ( ) A ． 60° B ． 50° C ． 40° D ． 30° A 4 ． ( 2014 · 临夏州 ) 将直角三角尺的直角顶点靠在直尺上 ， 且斜边与这根直尺平行 ， 那么 ， 在形成的这个图中与 ∠ α 互余的角共有 ( ) A ． 4 个 B ． 3 个 C ． 2 个 D ． 1 个 C 5 ． ( 2014 · 遵义 ) 如图 ， 直线 l 1 ∥ l 2 ， ∠ A ＝ 125° ， ∠ B ＝ 85° ， 则 ∠ 1 ＋ ∠ 2 ＝ ( ) A ． 30° B ． 35° C ． 36° D ． 40° A 线段的计算 【 例 1】 　如图 ， B ， C 两点把线段 AD 分成 2 ∶ 3 ∶ 4 三部分 ， M 是线段 AD 的中点 ， CD ＝ 16 cm . 求： (1)MC 的长； (2)AB ∶ BM 的值． 解： ( 1 ) 设 AB ＝ 2x ， BC ＝ 3x ， 则 CD ＝ 4x ， 由题意得 4x ＝ 16 ， ∴ x ＝ 4 ， ∴ AD ＝ 2 × 4 ＋ 3 × 4 ＋ 4 × 4 ＝ 36 ( cm ) ， ∵ M 为 AD 的中点 ， ∴ MD ＝ 1 2 AD ＝ 1 2 × 36 ＝ 18 ( cm ) ， ∵ MC ＝ MD － CD ， ∴ MC ＝ 18 － 16 ＝ 2 ( cm ) ( 2 ) AB ∶ BM ＝ ( 2 × 4 ) ∶ ( 3 × 4 － 2 ) ＝ 4 ∶ 5 【 点评 】 　在解答有关线段的计算问题时 ， 一般要注意以下几个方面： ① 按照题中已知条件画出符合题意的图形是正确解题的前提条件； ② 学会观察图形 ， 找出线段之间的关系 ， 列算式或方程来解答． 1 ． (1) ( 2012 · 菏泽 ) 已知线段 AB ＝ 8 cm ， 在直线 AB 上画线段 BC ， 使 BC ＝ 3 cm ， 则线段 AC ＝ ． 11cm 或 5cm (2) 如图 ， 已知 AB ＝ 40 cm ， C 为 AB 的中点 ， D 为 CB 上一点 ， E 为 DB 的中点 ， EB ＝ 6 cm ， 求 CD 的长． 相交线 【 例 2】 　 ( 2014 · 河南 ) 如图 ，直线 AB ， CD 相交于点 O ，射线 OM 平分 ∠ AOC ， ON ⊥ OM ，若 ∠ AOM ＝ 35° ，则 ∠ CON 的度数为 ( ) A ． 35° 　　 B ． 45° 　　 C ． 55° 　　 D ． 65° C 【 点评 】 　当已知中有 “ 相交线 ” 出现的时候 ， 要充分挖掘其中隐含的 “ 邻补角和对顶角 ” ， 以帮助解题． 2 ． (1) ( 2012 · 丽水 ) 如图 ， 小明在操场上从 A 点出发 ， 先沿南偏东 30° 方向走到 B 点 ， 再沿南偏东 60° 方向走到 C 点．这时 ， ∠ ABC 的度数是 ( ) A ． 120° B ． 135° C ． 150° D ． 160° C (2) 如图 ， 直线 AB 与直线 CD 相交于点 O ， E 是 ∠ AOD 内一点 ， 已知 OE ⊥ AB ， ∠ BOD ＝ 45° ， 则 ∠ COE 的度数是 ( ) A ． 125° B ． 135° C ． 145° D ． 155° B 平行线 【 例 3】 　 (1)( 2014 · 无锡 ) 如图 ， AB ∥ CD ， 则根据图中标注的角 ， 下列关系中成立的是 ( ) A ． ∠ 1 ＝ ∠ 3 B ． ∠ 2 ＋ ∠ 3 ＝ 180° C ． ∠ 2 ＋ ∠ 4 ＜ 180° D ． ∠ 3 ＋ ∠ 5 ＝ 180° D (2) ( 2013 · 株洲 ) 如图 ， 直线 l 1 ∥l 2 ∥l 3 ， 点 A ， B ， C 分别在直线 l 1 ， l 2 ， l 3 上 ， 若∠ 1 ＝ 70° ， ∠ 2 ＝ 50° ， 则∠ ABC ＝ 度 120 (3) ( 2014 · 赤峰 ) 如图 1 ， E 是直线 AB ， CD 内部一点 ， AB ∥ CD ， 连接 EA ， ED. ㈠ 探究猜想： ① 若 ∠ A ＝ 30° ， ∠ D ＝ 40° ， 则 ∠ AED 等于多少度？ ② 若 ∠ A ＝ 20° ， ∠ D ＝ 60° ， 则 ∠ AED 等于多少度？ ③ 猜想图 1 中 ∠ AED ， ∠ EAB ， ∠ EDC 的关系并证明你的结论． 解： ( 3 )( 一 ) ①∠ AED ＝ 70 ° 　 ②∠ AED ＝ 80 ° 　 ③ 猜想： ∠ AED ＝ ∠ EAB ＋ ∠ EDC ， 证明：延长 AE 交 DC 于点 F ， ∵ AB ∥ DC ， ∴∠ EAB ＝ ∠ EFD ， ∵∠ AED 为 △ EDF 的外角 ， ∴∠ AED ＝ ∠ EDF ＋ ∠ EFD ＝ ∠ EAB ＋ ∠ EDC ㈡拓展应用： 如图 2 ， 射线 FE 与矩形 ABCD 的边 AB 交于点 E ， 与边 CD 交于点 F ， ①②③④ 分别是被射线 FE 隔开的 4 个区域 ( 不含边界 ， 其中区域 ③④ 位于直线 AB 上方 ) ， P 是位于以上四个区域上的点 ， 猜想： ∠ PEB ， ∠ PFC ， ∠ EPF 的关系 ( 不要求证明 ) ． ( 二 ) 根据题意得：点 P 在区域 ① 时 ， ∠ EPF ＝ 360 ° － ( ∠ PEB ＋ ∠ PFC ) ；点 P 在区域 ② 时 ， ∠ EPF ＝ ∠ PEB ＋ ∠ PFC ；点 P 在区域 ③ 时 ， ∠ EPF ＝ ∠ PEB － ∠ PFC ；点 P 在区域 ④ 时 ， ∠ EPF ＝ ∠ PFC － ∠ PEB 3 ． (1) ( 2014 · 聊城 ) 如图 ， 将一块含有 30° 角的直角三角板的两个顶点叠放在矩形的两条对边上 ， 如果 ∠ 1 ＝ 27° ， 那么 ∠ 2 的度数为 ( ) A ． 53° B ． 55° C ． 57° D ． 60° C (2) ( 2014 · 绵阳 ) 如图 ， l ∥ m ， 等边 △ ABC 的顶点 A 在直线 m 上 ， 则 ∠ α ＝ ． 20 ° 与直线交点个数有关的探究问题 (1) 探究：平面上有 n 个点 ( n ≥ 2) 且任意 3 个点不在同一条直线 上 ， 经过每两点画一条直线 ， 一共能画多少条直线？ 我们知道 ， 两点确定一条直线 ， 平面上有 2 个点时 ， 可以画 2 × 1 2 ＝ 1( 条 ) 直线；平面内有 3 个点时 ， 一共可以画 3 × 2 2 ＝ 3( 条 ) 直线；平面 上有 4 个点时 ， 一共可以画 4 × 3 2 ＝ 6 ( 条 ) 直线；平面内有 5 个点时 ， 一共可以画 条直线 …… 平画上有 n 个点时 ， 一共可以 画 条直线． (2) 迁移：某足球比赛中有 n 个球队 ( n ≥ 2) 进行单循环比赛 ( 每两队之间必须比赛一场 ) ， 一共要进行多少 场比赛？ 有 2 个球队时 ， 要进行 2 × 1 2 ＝ 1( 场 ) 比赛 ， 有 3 个球队时 ， 要进行 3 × 2 2 ＝ 3( 场 ) 比赛 ， 有 4 个球队时 ， 要进 行 场比赛． 【 点评 】 　此题给出了几种特殊情况 ， 从分子、分母数字的变化规律也可以得到探究结果 ， 熟记本题的探究结果 ， 对解决一些问题会有所帮助． 4 ． (1) 平面上不重合的两点确定一条直线 ， 不同三点最多可确定 3 条直线 ， 若平面上不同的 n 个点最多可确定 21 条直线 ， 则 n 的值为 ( ) A ． 5 B ． 6 C ． 7 D ． 8 C (2) 在某次商业聚会中 ， 聚会结束后同桌的六个客人都互相握了手 ， 聚会开始时这六个客人也都互相问了好 ， 那么 ， 他们一共有多少次握手 ， 多少次问好？ 试题　线段 AB 上有两点 M ， N ， AM ∶ MB ＝ 5 ∶ 11 ， AN ∶ NB ＝ 5 ∶ 7 ， MN ＝ 1.5 ， 求 AB 的长度． 审题视角 　几何计算题未给出图形的 ， 在分析解题之前须先作出图形 ， 其主要数量关系应作正确标注． 这个问题涉及较复杂的比例计算 ， 能应用比例性质求得已知线段和未知线段的关系 ， 进而求得未知线段长度．一般运算较繁杂 ， 这时若适当设未知元然后列方程 ( 组 ) ， 解方程 ( 组 ) 可使计算清晰、简洁．这是我们学习几何的重要工具 ， 也能锻炼我们对知识的综合应用能力． 规范答题 解法一：由题意设 AM ＝ 5 x ， 则 MB ＝ 11 x ， AB ＝ 16 x . ∵ AN ∶ NB ＝ 5 ∶ 7 ， ∴ AN ＝ 5 12 AB ＝ 5 12 ·16 x ＝ 20 3 x . 由题意得 20 3 x － 5 x ＝ 1.5 ， 解得 x ＝ 0.9 ， ∴ AB ＝ 16 x ＝ 14.4. 解法二：设 AM ＝ 5 x ， MB ＝ 11 x ， AN ＝ 5 y ， NB ＝ 7 y ， 则由题意得 î í ì 5 x ＋ 11 x ＝ 5 y ＋ 7 y ， 5 y － 5 x ＝ 1.5 ， 整理得 î í ì 4 x ＝ 3 y ， y － x ＝ 0.3 ， 解得 î í ì x ＝ 0.9 ， y ＝ 1.2. ∴ AB ＝ 16 x ＝ 14.4. 答题思路 第一步：几何计算题未给出图形的 ， 在分析解题之前须先作出图形； 第二步：数形结合 ， 理解图形的数量关系与位置关系； 第三步：用一个 ( 或两个 ) 未知数来表示问题中的比值； 第四步：根据图形中的等量关系 ， 列方程 ( 组 ) ， 解方程 ( 组 ) 即可； 第五步：反思回顾 ， 查看关键点、易错点 ， 完善解题步骤． 试题 如图 ， ∠ AOB 与 ∠ BOC 互为邻补角 ， OD 是 ∠ AOB 的平分线 ， OE 在 ∠ BOC 内 ， ∠ BOE ＝ 1 2 ∠ EOC ， ∠ DOE ＝ 72 ° ， 求 ∠ EOC 的度数 ． 错解 解： ∵ OD 是 ∠ AOB 的平分线 ， ∴∠ BOD ＝ 1 2 ∠ AOB . ∵∠ BOE ＝ 1 2 ∠ EOC ， ∴∠ BOE ＝ 1 3 ∠ BOC ， ∠ EOC ＝ 2 3 ∠ BOC ， ∵∠ AOB ＋ ∠ BOC ＝ 180 ° ， ∴∠ EOC ＝ 2 3 × 180 ° ＝ 120 ° . 答： ∠ EOC 的度数是 120 ° . 剖析 　若不用方程的思想方法来考虑本题 ， 可能无法下手 ， 或以错误告终．本题已知角度的数量关系及某一个角的度数 ， 要求其他角的度数 ， 因为给出度数的角 ∠ DOE 不能运用角平分线 ， 也不知 ∠ DOE 与其他角的任何关系 ， 因此 ∠ DOE ＝ 72° ， 这个条件用不上 ， 那么此时可以考虑在应用题中学习的一种方法 ， 当某个量不知道或不好表示时 ， 我们常用未知数把这个量设出来 ， 其他的量也都可以用这个未知数表示出来 ， 再列出方程解出这个未知数．当然 ， 未知数的设法有多种． 正解 解：设 ∠ AOD ＝ x ， ∵ OD 是 ∠ AOB 的角平分线 ， ∴∠ BOD ＝ ∠ AOD ＝ x . 又 ∵∠ DOE ＝ 72 ° ， ∴∠ BOE ＝ 72 ° － x . ∵∠ BOE ＝ 1 2 ∠ EOC ， ∴∠ EOC ＝ 2 × ( 72 ° － x ) ． ∵∠ AOD ＋ ∠ DOB ＋ ∠ BOE ＋ ∠ EOC ＝ 180 ° ， ∴ x ＋ x ＋ ( 72 ° － x ) ＋ 2 × ( 72 ° － x ) ＝ 180 ° . ∴ x ＝ 36 ° ， 即 ∠ AOD ＝ 36 ° . ∴∠ EOC ＝ 2 × ( 72 ° － 36 ° ) ＝ 72 °