2019年四川省乐山市中考真题数学试题（解析版） 17页

‎2019年四川省乐山市中考数学试卷（解析版）‎ 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本大题共 10小题，每小题 3分，合计30分． ‎ ‎1．（2019年乐山）－3的绝对值是 （　　）‎ A．3 B．-3 C． D．‎ ‎2．（2019年乐山）下列四个图形中，可以由如图通过平移得到的是 （　　）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎3．（2019年乐山）小强同学从，，，，，这六个数中任选一个数，满足不等式的概率是 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．（2019年乐山）一定是 （　　）‎ ‎ A．正数 B．负数 C．0 D．以上选项都不正确 ‎5．（2019年乐山）如图，直线∥，点在上，且.若，那么等于 ‎ ‎ A．45° B．50° C．55° D．60°‎ ‎6．（2019年乐山） 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） ‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎7．（2019年乐山）《九章算术》第七卷“盈不足”中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数、物价各几何？”译为：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱。问人数、物价各多少？”根据所学知识，计算出人数、物价分别是 （　　） ‎ A．1，11 B．7，53 C．7，61 D．6，50‎ ‎8．（2019年乐山）把边长分别为1和2的两个正方形按如图的方式放置.则图中阴影部分的面积 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎9．（2019年乐山）如图，在边长为的菱形中，，过点作于点，现将△沿直线翻折至△的位置，与交于点.则等于 ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎10．（2019年乐山）如图，抛物线与轴交于、两点，是以点（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，是线段的中点，连结.则线段的最大值是 ‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎11．（2019年乐山）的相反数是 .‎ ‎12．（2019年乐山）某地某天早晨的气温是℃，到中午升高了℃，晚上又降低了℃.那么晚上的温度是 .‎ ‎13．（2019年乐山）若.则 . ‎ ‎14．（2019年乐山）如图，在△中，，，.则边的长为 .‎ ‎15．（2019年乐山）如图，点是双曲线：（）上的一点，过点作轴的垂线交直线：于点，连结，.当点在曲线上运动，且点在的上方时，△面积的最大值是 ‎ ‎16．（2019年乐山）如图①，在四边形中，∥，，线.当直线沿射线方向，从点开始向右平移时，直线与四边形的边分别相交于点、.设直线向右平移的距离为，线段的长为，且与的函数关系如图②所示，则四边形的周长是 . ‎ ‎ 图① 图②‎ ‎17．（2019年乐山）计算：.‎ ‎18．（2019年乐山）如图，点、在数轴上，它们对应的数分别为，，且点、到原点的距离相等.求的值. ‎ ‎19．（2019年乐山）如图，线段、相交于点， ，.求证：. ‎ 第20题图 ‎21. （2019年乐山）如图，已知过点的直线与直线：相交于点.‎ ‎ （1）求直线的解析式；（2）求四边形的面积. ‎ 第21题图 ‎22．（2019年乐山）某校组织学生参加“安全知识竞赛”（满分为分），测试结束后，张老师从七年级名学生中随机地抽取部分学生的成绩绘制了条形统计图，如图所示．试根据统计图提供的信息，回答下列问题： ‎ 第22题图 ‎（1）张老师抽取的这部分学生中，共有 名男生， 名女生；‎ ‎（2）张老师抽取的这部分学生中，女生成绩的众数是 ； ‎ ‎（3）若将不低于分的成绩定为优秀，请估计七年级名学生中成绩为优秀的学生人数大约是多少. ‎ ‎23．（2019年乐山）已知关于的一元二次方程.（1）求证：无论为任何实数，此方程总有两个实数根（2）若方程的两个实数根为、，满足，求的值；3）若△的斜边为5，另外两条边的长恰好是方程的两个根、，求的内切圆半径.‎ ‎24．（2019年乐山）如图，直线与⊙相离，于点，与⊙相交于点，.是直线上一点，连结并延长交⊙于另一点，且.‎ ‎（1）求证：是⊙的切线；（2）若⊙的半径为，求线段的长.‎ 第24题图 ‎25．（2019年乐山）在△中，已知是边的中点，是△的重心，过 点的直线分别交、于点、. （1）如图①，当∥时，求证：；（2）如图②，当和不平行，且点、分别在线段、上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由. （3）如图③，当点在的延长线上或点在的延长线上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由. ‎ ① ‎ ② ③‎ 第25图 ‎26．（2019年乐山）如图，已知抛物线与轴相交于、两点，与轴交于点，且tan.设抛物线的顶点为，对称轴交轴于点.‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）为抛物线的对称轴上一点，为轴上一点，且.‎ ‎①当点在线段(含端点)上运动时，求的变化范围；‎ ‎②当取最大值时，求点到线段的距离；‎ ‎③当取最大值时，将线段向上平移个单位长度，使得线段与抛物线有两个交点，求的取值范围.‎ 备用图 ‎ ‎ ‎ 第26题图 ‎2019年四川省乐山市中考数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 ‎{题型:1-选择题}一、选择题：本大题共 10小题，每小题 3分，合计30分． ‎ ‎1．（2019年乐山）－3的绝对值是 （　　）‎ A．3 B．-3 C． D．‎ ‎{答案}A ‎{解析}本题考查了有理数的绝对值求法，，因此本题选A．‎ ‎2．（2019年乐山）下列四个图形中，可以由如图通过平移得到的是 （　　）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎{答案}D ‎{解析}本题考查了平移的定义，已知原图到A、B、C三个选项的图形都是旋转，只有原图到D选项的图形是平移，因此本题选D．‎ ‎{分值}3‎ ‎3．（2019年乐山）小强同学从，，，，，这六个数中任选一个数，满足不等式的概率是 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎{答案} C ‎ ‎{解析}本题考查了概率的计算与不等式解法的综合， 的解集为x<1，，，，，，这六个数中有，两个符合，故满足不等式的概率是， 因此本题选C．‎ ‎4．（2019年乐山）一定是 （　　）‎ ‎ A．正数 B．负数 C．0 D．以上选项都不正确 ‎{答案}D ‎{解析}本题考查了有理数相反数的求法，的符号由字母a的符号确定：当a为正数，则一定是负数；当a为0，则一定是0；当a为负数，则一定是正数，因此本题选D．‎ ‎5．（2019年乐山）如图，直线∥，点在上，且.若，那么等于 （　　） ‎ ‎ A．45° B．50° C．55° D．60°‎ ‎{答案} C ‎{解析}本题考查了平行线的性质，∵，∴∠ABC＝90°，∴ ∠3＝180°-∠ABC-∠1＝55°，∵直线∥，∴ ＝∠3＝55°，因此本题选C．‎ ‎6．（2019年乐山） 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） ‎ ‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【知识点】一元一次不等式组的解法；不等式组解集的表示；‎ ‎{答案}B ‎{解析}本题考查了一元一次不等式组的解法与解集的表示，由第1个不等式解得x>-6，由第2个不等式解得x≤13，因此本题选B．‎ ‎7．（2019年乐山）《九章算术》第七卷“盈不足”中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数、物价各几何？”译为：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱。问人数、物价各多少？”根据所学知识，计算出人数、物价分别是 （　　） ‎ A．1，11 B．7，53 C．7，61 D．6，50‎ ‎{答案} B ‎{解析}本题考查了二元一次方程组的应用，设合伙人数为x人，物价为y钱，根据题意得：，解得，因此本题选B．‎ ‎8．（2019年乐山）把边长分别为1和2的两个正方形按如图的方式放置.则图中阴影部分的面积为 （　　） ‎ A． B． C． D．‎ ‎ ‎ ‎{答案}A ‎{解析}本题考查了正方形性质与相似三角形的判定与性质的综合，∵四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形，∴AD＝DC＝1，CE＝2，AD∥CE，∴△ADH∽△ECF，∴，∴，解得DH＝，∴阴影部分面积为××1＝，因此本题A． ‎ ‎9．（2019年乐山）如图，在边长为的菱形中，，过点作于 点，现将△沿直线翻折至△的位置，与交于点.则等于 （　　） ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎{答案} A ‎{解析}本题考查了相似三角形的判定与性质的综合应用，∵ ， ∴∠AEB＝90°，菱形的边长为，， ∴AE＝AB＝， BE＝CF＝＝1.5，BF＝3，CF＝BF-BC＝3-，∵AD∥CF，∴△AGD∽△FGC，‎ ‎∴，∴，解得CG＝，因此本题选A．‎ ‎10．（2019年乐山）如图，抛物线与轴交于、两点，是以点（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，是线段的中点，连结.则线段的最大值是 （ ）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎{答案}C ‎{解析}本题考查了点与圆的关系与二次函数的综合应用.接PB，令＝0，得x＝，故A（－4，0），（4，0），∴O是AB的中点，又是线段的中点，∴OQ＝PB，点B是圆C外一点，当PB过圆心C时，PB最大，OQ也最大，此时OC＝3，OB＝4，由勾股定理可得BC＝5， PB＝BC＋PC＝5＋2＝7，OQ＝PB＝，因此本题选C.‎ ‎ ‎ ‎11．（2019年乐山）的相反数是 .‎ ‎{答案}‎ ‎{解析}本题考查了有理数的相反数，的相反数是－（）＝，因此本题答案为. ‎ ‎12．（2019年乐山）某地某天早晨的气温是℃，到中午升高了℃，晚上又降低了℃.那么晚上的温度是 .‎ ‎{答案}-3‎ ‎{解析}本题考查了有理数的加减法应用，，因此本题答案为-3．‎ ‎13．（2019年乐山）若.则 . ‎ ‎{答案}4‎ ‎{解析}本题考查了幂的性质，3m＋2n＝3m×32n＝3m×（32）n＝3m×9n＝2×2＝4.，本题答案为4．‎ ‎14．（2019年乐山）如图，在△中，，，.则边的长为 . ‎ ‎{答案}‎ ‎{解析}本题考查了解直角三角形问题，过点A作AD⊥BC于点D，∴∠ADB＝∠ADC＝90°在Rt△ADC中，∵∠ADC＝90°，，AC＝2，∴DC＝×2＝，，在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，∠B＝30°．∵sin B＝，＝2AD＝．‎ ‎，因此答案为．‎ ‎15．（2019年乐山）如图，点是双曲线：（）上的一点，过点作轴的垂线交直线：于点，连结，.当点在曲线上运动，且点在的上方时，△面积的最大值是 . ‎ ‎{答案}3‎ ‎{解析}本题考查了二次函数最值问题， ∵点是双曲线：（）上的一点，∴可设点P坐标为（m，），∵⊥轴，在图像上，∴Q坐标为（m，），PQ＝－()，∴△面积＝×m×[－(]＝，当m＝2时，△面积的最大值为3． ‎ ‎16．（2019年乐山）如图①，在四边形中，∥，，线.当直线沿射线方向，从点开始向右平移时，直线与四边形的边分别相交于点、.设直线向右平移的距离为，线段的长为，且与的函数关系如图②所示，则四边形的周长是 . ‎ ‎ 图① 图②‎ ‎{答案}10＋ ‎ ‎{解析}本题考查了一次函数图像、解直角三角形、数形结合思想等知识的综合应用，过A作AG∥l交BC于G， 过C作CH∥l交AD于H，由图像可知，BG＝4，CG＝AH＝1，DH ＝7-5＝2，∵，，‎ ‎∴AG ＝BG＝2，cosB＝，AB＝2，∵AG∥l，CH∥l ， ∴CH∥AG，又∠AGB＝90°－∠B＝60°，∴∠HCG＝∠AGB＝60°，又∥，∴∠DHC＝∠HCB＝60°，又CH＝DH＝2，所以△CHD是等边三角形，∴CD＝DH＝2，‎ 四边形的周长＝AB＋BG＋GC＋AH＋DH＋DC＝2＋4＋1＋1＋2＋2＝10＋2．‎ ‎17．（2019年乐山）计算：.‎ ‎{解析}本题考查了有关特殊角的三角函数值的综合计算，根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，非零的零次幂等于1，特殊角三角函数值，可得答案． ‎ ‎{答案}解：原式. ‎ ‎18．（2019年乐山）如图，点、在数轴上，它们对应的数分别为，，且点、到原点的距离相等.求的值. ‎ ‎{解析}本题考查了分式方程的应用．A到原点的距离为|-2|＝2，那么B到原点的距离为2，根据“B到原点的距离为2”列方程求解． ‎ ‎{答案}解：根据题意得： ， ‎ 去分母，得，‎ 去括号，得， ‎ 解得 ‎ ‎ 经检验，是原方程的解. ‎ ‎19．（2019年乐山）如图，线段、相交于点， ，.求证：. ‎ 第20题图 ‎{解析}本题考查了三角形全等的性质与判定，要证，只要证明△ABE≌△DCE即可. ‎ ‎{答案}证明：在和中，‎ ‎，， ‎ ‎ ≌，故. ‎ ‎20．（2019年乐山）化简：.‎ ‎{答案}解：原式÷×.‎ ‎{解析}本题考查了分式的除法运算，直接利用分式的除法运算法则计算得出答案．‎ ‎21. （2019年乐山）如图，已知过点的直线与直线：相交于点.‎ ‎ （1）求直线的解析式；（2）求四边形的面积. ‎ 第21题图 ‎{解析}本题考查了待定系数法求一次函数解析式的综合应用，先用待定系数法求a的值，再设l1解析式为y＝kx＋b，把两点坐标代入函数解析式进行计算求出k、b的值，即可得解；（2）求出C、A的坐标，然后根据三角形的面积公式列式进行计算即可得解． ‎ ‎{答案}解：（1），即， 则的坐标为，设直线的解析式为：，那么， 解得： .的解析式为：. ‎ ‎（2）直线与轴相交于点，‎ ‎ 的坐标为， 又直线与轴相交于点，‎ ‎ 点的坐标为，则， 而，‎ ‎ . ‎ ‎22．（2019年乐山）某校组织学生参加“安全知识竞赛”（满分为分），测试结束后，张老师从七年级名学生中随机地抽取部分学生的成绩绘制了条形统计图，如图所示．试根据统计图提供的信息，回答下列问题： ‎ 第22题图 ‎（1）张老师抽取的这部分学生中，共有 名男生， 名女生；‎ ‎（2）张老师抽取的这部分学生中，女生成绩的众数是 ； ‎ ‎（3）若将不低于分的成绩定为优秀，请估计七年级名学生中成绩为优秀的学生人数大约是多少. ‎ ‎{解析}本题考查了条形统计图．（1）将所有的人数加起来即可； （2）计算出这部分学生中男生体育的总成绩再除以男生的人数，根据众数的定义即可得出答案； ‎ ‎（3）先计算出被抽查的这部分学生体育成绩不低于27分的比例，再乘以720即可．‎ ‎{答案}解： （1）男生人数＝1＋2＋2＋4＋9＋14 ＋5＋2|＋1＝；女生人数＝1＋1＋2＋3＋11＋13＋7＋1＋1＝；‎ ‎ （2）出现次数最多的是27分，则众数为 ； ‎ ‎（3）所抽查的学生中，不低于27分的有44人，所占的百分比为100%，‎ ‎∴720100%＝396（人），答：这720名考生中，成绩为优秀的学生大约是396人．‎ ‎23．（2019年乐山）已知关于的一元二次方程.‎ ‎（1）求证：无论为任何实数，此方程总有两个实数根；‎ ‎（2）若方程的两个实数根为、，满足，求的值；‎ ‎（3）若△的斜边为5，另外两条边的长恰好是方程的两个根、，求的内切圆半径.‎ ‎{解析}本题考查了根的判别式与根与系数关系的综合，（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△＞0，进而即可证出结论； （2）根据根与系数的关系可得出、，将其代入＝x12＋x22＋4x1x2＝(x1＋x2)2＋2x1x2中求出的值； （3）解方程求两边长，利用勾股定理求k，结合切线长定理求内切圆半径．‎ ‎{答案}（1）证明： ， 无论为任何实数时，此方程总有两个实数根. ‎ ‎（2）由题意得：，， ，，即， 解得：； ‎ ‎（3）解方程得：，， 根据题意得：，即， 设直角三角形的内切圆半径为，如图， 由切线长定理可得：，直角三角形的内切圆半径＝； ‎ 第23题答图 ‎24．（2019年乐山）如图，直线与⊙相离，于点，与⊙相交于点，.是直线上一点，连结并延长交⊙于另一点，且.‎ ‎（1）求证：是⊙的切线；‎ ‎（2）若⊙的半径为，求线段的长.‎ 第24题图 ‎{解析}本题考查了切线的判定与相似三角形的综合应用．（1）连结OB，如图，由等腰三角形的性质得，，由得∠2＋∠3＝90°，加上∠3＝∠4，易得∠5＋∠1＝90°，即∠OBA＝90°，于是根据切线的判定定理可得，从而得到∠OBA＝90°得出结论； （2）过作于，先据垂径定理得到PD＝DB，再据△ODP∽△CAP求PD，从而求得BP的长. ‎ ‎{答案}证明：(1)如图，连结，则，， ‎ ‎，，而，即，‎ ‎，即，， ‎ ‎，故是⊙的切线； ‎ ‎(2)由(1)知：，而，，由勾股定理，得：， ‎ 过作于，则， 在和中，，，∽， ， 又，，，，. ‎ 第24题答图 ‎25．（2019年乐山）在△中，已知是边的中点，是△的重心，过点的直线分别交、于点、. （1）如图①，当∥时，求证：；（2）如图②，当和不平行，且点、分别在线段、上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由. （3）如图③，当点在的延长线上或点在的延长线上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由. ‎ ① ‎ ② ③‎ 第25图 ‎{答案}解：（1）是△重心，， ‎ 又∥，，， 则.‎ ‎ （2）（1）中结论成立，理由如下：如图，过点作∥交的延长线于点，‎ ‎、的延长线相交于点，则，， ‎ ‎， ‎ 又， 而是的中点，即，‎ ‎ ， ‎ ‎ ， 又，，故结论成立；‎ ‎ ‎ 第25题答图 ‎（3）（1）中结论不成立，理由如下：当点与点重合时，为中点，，‎ ‎ 点在的延长线上时，，，则， 同理：当点在的延长线上时，， ∴结论不成立. ‎ ‎26．（2019年乐山）如图，已知抛物线与轴相交于、两点，与轴交于点，且tan.设抛物线的顶点为，对称轴交轴于点.‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）为抛物线的对称轴上一点，为轴上一点，且.‎ ‎①当点在线段(含端点)上运动时，求的变化范围；‎ ‎②当取最大值时，求点到线段的距离；‎ ‎③当取最大值时，将线段向上平移个单位长度，使得线段与抛物线有两个交点，求的取值范围.‎ 备用图 ‎ ‎ ‎ 第26题图 ‎{解析}本题考查了二次函数的综合运用.‎ ‎（1）令y＝0解方程求得AB坐标，再利用三角函数求C的坐标从而求得a的值；‎ ‎（2）①先求抛物线的对称轴与顶点，再设点坐标为（其中）利用勾股定理列方程求m、n的关系式，并配方求最值得出n的范围； ‎ ‎②由△PCQ面积的不同列式列方程求点到线段距离；‎ ① 出界点点求t的值从而得到t的范围.‎ ‎{答案}解：（1）根据题意得： ，，‎ ‎ 在中，，且，得，‎ ‎，将点坐标代入得：，‎ ‎ 故抛物线解析式为：；‎ ‎（2）①由（1）知，抛物线的对称轴为：，顶点，‎ ‎ 设点坐标为（其中），‎ 则，，，‎ ‎，在中，由勾股定理得：，‎ 即，整理得：‎ ‎（），‎ ‎ 当时，取得最小值为；当时，取得最大值为，所以，；‎ ‎ ②由①知：当取最大值4时，，‎ ‎ ，，则，，，‎ ‎ 设点到线段距离为，由，‎ ‎ 得：，故点到线段距离为；‎ ‎ ③由②可知：当取最大值4时，，‎ ‎ 线段的解析式为：，‎ ‎ 设线段向上平移个单位长度后的解析式为：，‎ ‎ 当线段向上平移，使点恰好在抛物线上时，线段与抛物线有两个交点， 此时对应的点的纵坐标为：，‎ ‎ 将代入得：， ‎ ‎① ② ③‎ 第26题答图 ‎ 当线段继续向上平移，线段与抛物线只有一个交点时，‎ ‎ 联解 ，得：，化简得：‎ ‎ ， 由，得，当线段与抛物线有两个交点时，.‎