人教版中考数学二轮复习专题练习下几何问题-角的旋转 28页

‎2.旋转—角 ‎1.如图1，有一组平行线，正方形的四个顶点分别在，，，上，过点且垂直于于点，分别交，于点，，，．‎ ‎（1）______，正方形的边长=______；‎ ‎（2）如图2，将绕点顺时针旋转得到，旋转角为，点在直线上，以为边在左侧作菱形，使点， 分别在，上．‎ ‎①写出与的数量关系并给出证明；‎ ‎②若，求菱形的边长．‎ 解析：（1）‎ ‎∵四边形是正方形，∴，‎ ‎∵，∴‎ ‎∵，∴‎ 在和中，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∵，，‎ ‎∴‎ ‎（2）①‎ 证明：‎ 过点作于点 由题意，‎ ‎∵四边形为菱形，∴‎ ‎∴，∴‎ ‎∵，∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎②过点作于点，交于点 ‎∵，，∴ ， ,‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎2.在中，，平分交于，于，以为中心旋转，对应边交直线于，对应边交直线于．‎ ‎（1）如图1，当逆时针旋转，且时，求： 的数量关系； ‎ ‎（2）如图2，当顺时针旋转，且 时，直接写出线段、、之间的数量关系；‎ ‎（3）如图3，当顺时针旋转，且 时，设交于，若，，求的面积．‎ 解析：‎ ‎（1）∵，∴‎ 又，∴‎ ‎∴，∴‎ ‎∵平分，，‎ ‎∴‎ ‎∵，∴ ‎ ‎（2） ‎ 理由如下：‎ 有旋转可得，又∵‎ ‎∴，∴，∴，‎ 又∵，∴.‎ ‎（3）‎ 作于，于 ‎∵，∴‎ ‎∵，‎ ‎∴，∴‎ ‎∴‎ 设，则，‎ ‎∵ ，，∴‎ 在中，，‎ 解得（舍去），‎ ‎∴，‎ 易证，∴‎ ‎∴‎ 设，则，‎ ‎∵‎ ‎∴，∴ ‎ ‎∴ ， ‎ ‎∴ ‎ ‎∵，，∴‎ ‎∴‎ ‎∴ ，∴‎ ‎∵，，∴‎ 又，‎ ‎∴，∴‎ ‎∴，∴‎ 设，则 ‎∴，∴，∴‎ ‎∴ ‎ ‎3.如图1，梯形中，，，，，将图1中的绕点按逆时针方向旋转角，边、分别交直线、于、两点．‎ ‎（1）当时，其他条件不变，如图2、如图3所示． ‎ ‎①如图2，判断线段、、的数量关系，并直接写出结论；‎ ‎②如图3，①中的结论是否依然成立？若不成立，新结论是什么？‎ ‎（2）当时，其他条件不变，直接图形中线段、、的数量关系．‎ 解析：‎ ‎（1）①‎ 理由：如图2，‎ 延长至，使，连接．‎ ‎∵，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，，‎ ‎∴．‎ 在和中，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∴，．‎ ‎∵，且，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 即．‎ ‎∴．‎ 在和中，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴；‎ ‎②的结论仍然成立．‎ 理由：如图3，‎ 延长至，使，连接．‎ ‎∵，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，，‎ ‎∴．‎ 在和中，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∴，．‎ ‎∵，且，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 即．‎ ‎∴．‎ 在和中，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴；‎ ‎（2）当时，．‎ 理由：如图4，‎ 延长至，使，连接．‎ ‎∵，，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，，‎ ‎∴．‎ 在和中，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∴，．‎ 作，交于，‎ ‎∴．‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 即．‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 在和中，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎4.如图1，在中，，为边上一点，连接，以、为邻边作，与相交于点，已知 ‎．‎ ‎（1）证明； ‎ ‎（2）是否为矩形？ ‎ ‎（3）如图2，为中点，连接，将绕点顺时针旋转适当的角度，得到（点、分别是的两边与、延长线的交点）．猜想线段与之间的数量关系．‎ 解析：‎ ‎（1）证明：在和中 ‎∵，‎ ‎∴‎ 在中，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎（2）答：是矩形 ‎ ‎∵四边形是平行四边形 ‎∴，‎ ‎∵由（1）知 ‎∴，∴‎ ‎∴是矩形 ‎ ‎（3）答：‎ ‎ ‎ ‎∵，∴‎ ‎∴‎ 由（2）知，是的中点，∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵绕点顺时针旋转适当的角度，得到 ‎∴ ‎ ‎∴，即 ‎∴‎ ‎∴ ‎ ‎5.如图1，在中，，为的平分线，，交的延长线于点．‎ ‎（1）求：； ‎ ‎（2）如图2，将绕点逆时针旋转，使得的一边落在上，在另一边旋转后得到的射线上截取，连接，若，，求点到的距离．‎ 解析：‎ ‎（1）‎ 延长交的延长线于点 ‎∵为的平分线，∴‎ ‎∵，∴‎ 又∵，∴‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴‎ 取中点，连接 则是的中位线 ‎∴， ‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴‎ ‎∴，∴‎ ‎∴‎ ‎（2）‎ 过作于 ‎∵，∴‎ ‎∵，∴‎ ‎∴‎ 设，则 ‎∵‎ ‎∴，解得 ‎∴，∴‎ 过作于，于 ‎∵‎ ‎∴，∴‎ ‎∵，∴‎ 即点到的距离为 ‎6.已知四边形中，，，，，，绕点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于，．‎ ‎（1）当绕点旋转到时（如图1），线段有怎样的数量关系．‎ ‎（2）当绕点旋转到时，在图2这种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段，，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明．‎ ‎（3）当绕点旋转到图3这种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段，，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．‎ 解析：‎ 证明：（1）∵和中，，，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，‎ ‎∵，，‎ ‎∴，是等边三角形，‎ ‎∴，，‎ ‎∴；‎ ‎（2）如图2，将顺时针旋转，‎ ‎∵，，‎ ‎∴点与点重合，‎ ‎∴，，‎ ‎∵，，，‎ ‎∴，‎ 在和中，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴；‎ ‎（3）不成立，新结论为．‎ 理由：如图3，将顺时针旋转，‎ ‎∵，，‎ ‎∴点与点重合，，‎ ‎∴，，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 在和中，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎7.已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于点、．当绕点旋转到时（如图1），易证．‎ ‎（1）当绕点旋转到时（如图2），线段、和之间有怎样的数量关系？‎ ‎（2）当绕点旋转到如图3的位置时，线段、和之间又有怎样的数量关系？ ‎ 解析：（1）成立．‎ 证明：如图，把绕点顺时针旋转，‎ 得到，则可证得、、三点共线（图形画正确）．‎ ‎∴，‎ 又∵，‎ ‎∴在与中，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴；‎ ‎（2）．‎ 在线段上截取，‎ 在与中，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 在和中，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎8.（1）如图1，已知，平分，是上一点，，且与、分别相交于点、，则的数量关系为____；‎ ‎（2）如图2，在如上的（1）中，当绕点逆时针旋转使得点落在的反向延长线上时，（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，新结论是什么？‎ ‎（3）如图3，已知，求证：①是等边三角形； ②． ‎ 解析：‎ ‎（1）证明：‎ 过作于，于，‎ 则，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵平分，，，‎ ‎∴，‎ 在和中，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴；‎ ‎（2）结论还成立，‎ 证明：‎ 过作于，于，‎ 与（1）证法类似根据证，‎ 则；‎ ‎（3）证明：①如图，，‎ ‎，‎ 即平分，‎ 由（2）知：，‎ ‎∵，‎ ‎∴是等边三角形；‎ ‎②‎ 在上截取，连接，‎ ‎∵，‎ ‎∴是等边三角形，‎ ‎∴，，‎ ‎∵是等边三角形，‎ ‎∴，‎ ‎∴都减去得：，‎ 在和中 ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 即．‎ ‎9.如图1，射线、在的内部，且，，射线、分别平分、，‎ ‎（1）求的大小；‎ ‎（2）如图2，若，将绕点以每秒的速度逆时针旋转秒钟，此时，如图3所示，求的值．‎ 解析：‎ ‎（1）由题意可知，，‎ ‎、分别平分、，‎ ‎，‎ 即可得出．‎ ‎（2）由题意，；；‎ 所以， ‎ 又因为，且、分别平分、，‎ 所以，即；解之得．‎ ‎10.（1）如图1，圆内接中，，、为的半径，于点，于点，则：阴影部分四边形的面积与的面积之比为_____：_____． ‎ ‎（2）如图2，若保持角度不变，‎ 求证：当绕着点旋转时，由两条半径和的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积与的面积之比为_____：___．‎ 答案：1；3；1；3‎ 解析：‎ ‎（1）‎ 如图1，连接，；‎ ‎∵是等边三角形，‎ ‎∴，‎ ‎∵点是等边三角形的外心，‎ ‎∴，，‎ ‎∴在和中，，‎ ‎∴．‎ 同理：．‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∴．即 ‎（2）证法一：‎ 连接，和，则 ‎，；‎ 设交于点，交于点，‎ ‎，，‎ ‎∴；‎ 在和中 ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 即，即；‎ 证法二：‎ 设交于点，交于点；‎ 作，，垂足分别为、；‎ 在四边形中，，，‎ ‎∴，‎ 即；‎ 又∵，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，即；‎ ‎11.已知四边形中，，，，，，将绕点旋转．当旋转到如图的位置，此时的两边分别交、于、，且．延长至点，使，连接．‎ 求证：（1）；‎ 求：（2）； ‎ 求：（3）线段之间的数量关系. ‎ 解析：‎ ‎（1）在和中，‎ ‎，‎ ‎∴．‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴，，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 即，‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ ‎∴；‎ ‎（3）在和中，‎ ‎，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎