北师大版九年级数学上册第六章 反比例函数 教学课件 169页

6.1 反比例函数 第六章 反比例函数 1. 理解并掌握反比例函数的概念 . ( 重点 ) 2. 从实际问题中抽象出反比例函数的概念， 能根据已知 条件确定反比例函数的解析式 . ( 重点、难点 ) 学习目标 ？ ？ 导入新课 情境引入 新学期伊始，小明想买一些笔记本为以后的学习做准备 . 妈妈给了小明 30 元钱，小明可以如何选择笔记本的价钱和数量呢？ 笔记本单价 x / 元 1.5 2 2.5 3 5 7.5 … 购买的笔记本数量 y / 本 通过填表，你发现 x ， y 之间具有怎样的关系？你还能举出这样的例子吗？ 20 15 12 10 6 4 ？ 讲授新课 反比例函数的概念 一 下列问题中，变量间具有函数关系吗？如果有，请写出它们的解析式 . 合作探究 ( 1 ) 京沪线铁路全程为 1463 km ，某次列车的平均速 度 v ( 单位： km/h) 随此次列车的全程运行时间 t ( 单位： h) 的变化而变化； ( 2 ) 某住宅小区要种植一块面积为 1000 m 2 的矩形草 坪，草坪的长 y ( 单位： m) 随宽 x ( 单位： m) 的 变化而变化； ( 3 ) 已知北京市的总面积为 1.68 × 10 4 km 2 ，人均占 有面积 S (km 2 / 人 ) 随全市总人口 n ( 单位：人 ) 的 变化而变化 . 观察以上三个解析式，你觉得它们有什么共同特点？ 问题： 都具有 的形式，其中 是常数． 分式 分子 ( k 为常数， k ≠ 0) 的函数， 叫做 反比例函数 ，其中 x 是自变量， y 是函数 . 一般地，形如 反比例函数 ( k ≠ 0) 的自变量 x 的 取值范围 是什么？ 思考： 因为 x 作为分母， 不能等于零 ，因此自变量 x 的取值范围是 所有非零实数 . 但实际问题中，应根据具体情况来确定反比例函数自变量 的 取值范围 . 例如，在前面得到的第一个解析式 中， t 的取值范围是 t ＞ 0 ，且当 t 取每一个确定的 值时， v 都有唯一确定的值与其对应 . 反比例函数除了可以用 ( k ≠ 0) 的形式表示，还有没有其他表达方式？ 想一想： 反比例函数的三种表达方式： ( 注意 k ≠ 0 ) 下列函数是不是反比例函数？若是，请指出 k 的值 . 是 ， k = 3 不是 不是 不是 练一练 是 ， 解：因为 是反比例函数 所以 4 － k 2 =0 ， k － 2≠0. 解得 k = － 2. 所以该反比例函数的解析式为 方法总结： 已知某个函数为反比例函数，只需要根据反比例函数的定义列出方程 ( 组 ) 求解即可 . 例 1 若函数 是反比例函数，求 k 的值，并写出该反比例函数的解析式 . 1. 已知函数 是反比例函数，则 k 必须满足 . 2. 当 m= 时， 是反比例函数 . k≠ 2 且 k≠ － 1 ± 1 练一练 确定反比例函数的解析式 二 例 2 已知 y 是 x 的反比例函数，并且当 x =2 时， y =6. ( 1 ) 写出 y 关于 x 的函数解析式； 提示： 因为 y 是 x 的反比例函数，所以设 . 把 x =2 和 y =6 代入上式，就可求出常数 k 的值 . 解：设 . 因为当 x =2 时， y =6 ，所以有 解得 k =12. 因此 ( 2 ) 当 x =4 时，求 y 的值 . 解：把 x =4 代入 ，得 方法总结： 用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤：①设出含有待定系数的反比例函数解析式， ②将已知条件 ( 自变量与函数的对应值 ) 代入解析式，得到关于待定系数的方程；③解方程，求出待定系数； ④写出反比例函数解析式 . 练一练 已知变量 y 与 x 成反比例，且当 x =3 时， y = － 4. ( 1 ) 写出 y 关于 x 的函数解析式； ( 2 ) 当 y =6 时，求 x 的值 . 解： (1) 设 . 因为当 x =3 时， y = － 4 ，所以有 解得 k = － 12. 因此 (2) 把 y =6 代入 ，得 解得 x = － 2. 建立简单的反比例函数模型 三 例 3 人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机在驾驶室内观察前方物体是动态的，车速增加，视野变窄. 当车速为 50 km/h 时，视野为 80 度，如果视野 f ( 度 ) 是车速 v (km/h) 的反比例函数，求 f 关于 v 的函数解析式，并计算当车速为100 km/h 时视野的度数 . 当 v =100 时， f =40. 所以 当车速为100 km/h 时视野为 40 度 . 解：设 . 由题意知，当 v =50 时， f =80 ，所以 解得 k =4000. 因此 如图所示，已知菱形 ABCD 的面积为 180 ，设它的两条对角线 AC ， BD 的长分别为 x ， y . 写出变量 y 与 x 之间的关系式，并指出它是什么函数 . A B C D 练一练 解 : 因为菱形的面积等于两条对角线长 乘积的一半， 所以 所以 变量 y 与 x 之间的关系式为 ， 它是反比例函数 . 当堂练习 1. 生活中有许多反比例函数的例子，在下面的实例中， x 和 y 成反比例函数关系的有 ( ) ① x 人共饮水 10 kg ，平均每人饮水 y kg ；②底面半径为 x m ，高为 y m 的圆柱形水桶的体积为 10 m 3 ；③用铁丝做一个圆，铁丝的长为 x cm ，做成圆的半径为 y cm ；④在水龙头前放满一桶水，出水的速度为 x ，放满一桶水的时间 y A . 1 个 B . 2 个 C . 3 个 D. 4 个 B A. B. C. D. 2. 下列函数中， y 是 x 的反比例函数的是 ( ) A 3. 填空 ( 1 ) 若 是反比例函数，则 m 的取值范围 是 . ( 2 ) 若 是反比例函数，则 m 的取值范 围是 . ( 3 ) 若 是反比例函数，则 m 的取值范围 是 . m ≠ 1 m ≠ 0 且 m ≠ － 2 m = － 1 4. 已知 y 与 x +1 成反比例，并且当 x = 3 时， y = 4. ( 1 ) 写出 y 关于 x 的函数解析式； ( 2 ) 当 x = 7 时，求 y 的值． 解： (1) 设 ，因为当 x = 3 时， y =4 ， 所以有 ，解得 k = 16 ，因此 . (2) 当 x = 7 时， 5. 小明家离学校 1000 m ，每天他往返于两地之间，有 时步行，有时骑车．假设小明每天上学时的平均速 度为 v ( m/min ) ，所用的时间为 t ( min ) ． ( 1 ) 求变量 v 和 t 之间的函数关系式； 解： ( t >0) ． ( 2 ) 小明星期二步行上学用了 25 min ，星期三骑自行 车上学用了 8 min ，那么他星期三上学时的平均 速度比星期二快多少？ 125 － 40 ＝ 85 ( m/min ) ． 答：他星期三上学时的平均速度比星期二快 85 m/min. 解：当 t ＝ 25 时， ； 当 t ＝ 8 时， . 能力提升： 6. 已知 y = y 1 + y 2 ， y 1 与 ( x － 1) 成正比例， y 2 与 ( x + 1) 成反比例，当 x = 0 时， y = － 3 ；当 x =1 时， y = － 1 ， 求： ( 1 ) y 关于 x 的关系式； 解：设 y 1 = k 1 ( x － 1) ( k 1 ≠0) ， ( k 2 ≠0) ， 则 . ∵ x = 0 时， y = － 3 ； x =1 时， y = － 1 ， － 3= － k 1 + k 2 ， ∴ k 1 =1 ， k 2 = － 2. ∴ ∴ ( 2 ) 当 x = 时， y 的值 . 解：把 x = 代入 (1) 中函数关系式，得 y = 课堂小结 建立反比例函数模型 用待定系数法求反比例函数解析式 反比例函数：定义 / 三种表达方式 反比例函数 6.2 反比例函数的图象与性质 第六章 反比例函数 第 1 课时　反比例函数的图象 学习目标 1. 会用描点法画出反比例函数的图象 , 并掌握反比例函数图象的特征 . （重点） 2. 会利用反比例函数图象解决相关问题 . （难点） 1 ．什么是反比例函数？ 2 ．反比例函数的定义中需要注意什么？ （ 1 ） k 是非零常数 . （ 2 ） xy = k ． 一般地，形如 y = ( k 是常数 , k ≠0 ) 的函数叫做反比例函数． k x — 3．还记得正比例函数的图像与性质吗？ 导入新课 回顾与思考 函数 正比例函数 表达式 图象形状 k>0 k<0 位置 增减性 位置 增减性 y = kx ( k 是常数， k ≠0 ） 直线（经过原点） 一、三象限 从左到右上升 y 随 x 的增大而增大 二、四象限 从左到右下降 y 随 x 的增大而减小 反比例 函数 ？ 4 . 如何画函数的图象？ 函数图象画法 描点法 列 表 描 点 连 线 想一想： 正比例函数 y=kx (k≠0) 的图像的位置和增减性是由谁决定的？我们是如何探究得到的？ 反比例函数的图像与性质 又 如何呢？ 反比例函数 的图象 一 讲授新课 问题： 如何画反比例函数 的图象？ 列表 描点 连线 解：列表如下 应注意 1 . 自变量x需要取多少值?为什么? 2 . 取值时要注意什么? x -8 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 8 y -1 -2 -4 -8 8 4 2 1 描点、连线： x -8 –7 –6 –5 –4 –3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 6 7 8 y -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 87654321 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 想一想： 你认为作反比例函数图象时应注意哪些问题 ? 1. 列表时， 自变量的值可以选取一些互为相反数的值这样既可简化计算 , 又便于对称性描点 ; 2. 列表描点时 , 要尽量多取一些数值 , 多描一些点 , 这样 既可以方便连线 , 又较准确地表达函数的变化趋势 ; 3. 连线时， 一定要养成按自变量从小到大的顺序， 依次用平滑的曲线连接 , 从中体会函数的增减性； …… 注意要点 列表： 描点、 连线： x -8 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 8 1 2 4 8 -8 -4 -2 -1 请大家用同样的方法作反比例函数 的图象 . y x -8 –7 –6 –5 –4 –3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 87654321 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 议一议 （ 1 ）观察 和 的图象，它们有什么相同点和不同点 ? （ 2 ）函数 的图象在哪两个象限 , 由什么确定？ x y x y 双曲线 轴对称 图形，也是 以原点为对称中心的 中 心对称 图形． O O 相同点： 1. 两支曲线构成； 2. 与坐标轴不相交； 3. 图象自身关于原点成中心对称； 4. 图象自身是轴对称图形。 不同点： 的图象在第一、三象限； 的图象在第二、四象限。 归纳总结 形状: 反比例函数 的图象由两支曲线组成，因此称反比例函数 的图象为 双曲线 . 位置：由 k 决定： 当 k >0时,两支曲线分别位于____ _____ ______内; 当 k <0时,两支曲线分别位于_________ _____ _内. 第一、三象限 第二、四象限 1. 反比例函数 的图象大致是 ( ) C y A. x y o B. x o D. x y o C. x y o 练一练 例 1 ： 若双曲线 y = 的两个分支分别在第二、四象限，则 k 的取值范围是 ( ) A. k ＞ B. k ＜ C. k = D. 不存在 解析：反比例函数图象的两个分支分别在第二、四象限，则必有 2 k -1 ＜ 0 ，解得 k ＜ . 故选 B . B 典例精析 例 2: 如图所示的曲线是函数 ( m 为常数 ) 图象的一支． (1) 求常数 m 的取值范围； 解： 由题意可得， m －5＞0， 解得 m ＞5 . x y O (2) 若该函数的图象与正比例函数 y ＝ 2 x 的图象在第一象限的交点为 A (2 ， n ) ，求点 A 的坐标及反比例函数的解析式． 解： ∵ 两个函数的交点为 A(2 ， n) ， ∴ ， 解得 . ∴ 点 A 的坐标为 (2 ， 4) ；反比例函数的解析式为 . x y O 当堂练习 １． 已知反比例函数 的图象在第一、三象限内，则 m 的取值范围是 ________ 2. 下列函数中，其图象位于第一、三象限的有 _____________; 图象位于二、四象限的有 ___________. (1)(2)(3) (4) 3. 如图，已知直线 y=mx 与双曲线 的一个交点坐标为 (-1,3) ，则它们的另一个交点坐标是 ( ) A. (1,3) B. (3,1) C. (1,-3) D. (-1,3) x y C O 4. 已知反比例函数 ( k 为常数， k ≠0) 的图象经过点 A (2 ， 3) ． (1) 求这个函数的表达式； 解： ∵ 反比例函数 ( k 为常数， k ≠0) 的 图象经过点 A (2 ， 3) ， ∴把点 A 的坐标代入表达式，得 ， 解得 k= 6 ， ∴这个函数的表达式为 ． 解： ∵ 反比例函数的表达式为 　　　 ， 　　∴ 6= xy 分别把点 B ， C 的坐标代入， 得 ( － 1)×6= － 6≠6 ， 则点 B 不在该函数图象上； 3×2=6 ，则点 C 在该函数图象上． (2) 判断点 B (-1 ， 6) ， C (3 ， 2) 是否在这个函数的图象上，并说明理由 . 课堂小结 反比例函数 的图象 形状 双曲线 位置 画法 当 k ＞ 0 时，两支曲线分别位于 第一、三象限内 当 k < 0 时，两支曲线分别位于 第二、四象限内 描点法： 列表、描点、连线 6.2 反比例函数的图象与性质 第六章 反比例函数 第 2 课时　反比例函数的性质 学习目标 1. 会画反比例函数图象，了解和掌握反比例函数的图 象和性质 . ( 重点 ) 2. 能够初步应用反比例函数的图象和性质解题 . ( 重点 ) 3. 理解反比例函数的系数 k 的几何意义，并将其灵活 运用于坐标系中图形的面积计算中 . ( 重点、难点 ) 4. 能够解决反比例函数与一次函数的综合性问题 . ( 重 点、难点) 导入新课 反比例函数的图象是什么？ 反比例函数的性质是什么？能类比前面学习的一次函数得到吗？ 反比例函数的图 象 是双曲线 复习引入 问题 1 问题 2 反比例函数的性质 一 讲授新课 例 1 画反比例函数 与 的图象 . 合作探究 提示： 画函数的图象步骤一般分为：列表 → 描点 → 连线 . 需要注意的是在反比例函数中自变量 x 不能为 0. 解： 列表如下： x … － 6 － 5 － 4 － 3 － 2 － 1 1 2 3 4 5 6 … … … … … － 1 － 1.2 － 1.5 － 2 － 3 － 6 6 3 2 1.5 1.2 1 － 2 － 2.4 － 3 － 4 － 6 6 4 3 2.4 2 O － 2 描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描绘出相应的点． 5 6 x y 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 － 3 － 4 － 1 － 5 － 6 － 1 － 2 － 3 － 4 － 5 － 6 连线：用光滑的曲线顺次连接各点，即可 得 　的图象． 观察这两个函数图象，回答问题： 思考： (1) 每个函数图象分别位于哪些象限？ (2) 在每一个象限内，随着 x 的增大， y 如何变化？ 你能由它们的解析式说明理由吗？ (3) 对于反比例函数 ( k ＞ 0) ，考虑问题 (1)(2) ， 你能得出同样的结论吗？ ●由两条曲线组成，且分别位于第一、三象限 它们与 x 轴、 y 轴都不相交； ●在每个象限内， y 随 x 的增大而减小 . 反比例函数 ( k ＞ 0) 的 图象 和 性质 ： 观察与思考 当 k = － 2 ， － 4 ， － 6 时，反比例函数 的图象，有哪些共同特征？回顾上面我们利用函数图象，从特殊到一般研究反比例函数 (k ＞ 0) 的性质的过程，你能用类似的方法研究反比例函数 (k ＜ 0) 的图象和性质吗？ y x O y x O y x O 反比例函数 ( k ＜ 0) 的 图象 和 性质 ： ●由两条曲线组成， 且分别位于第二、四象限 它们与 x 轴、 y 轴都不相交； ●在每个象限内， y 随 x 的增大而增大 . 归纳： (1) 当 k > 0 时，双曲线的两支分别位于第一、三 象限，在每一象限内， y 随 x 的增大而减小； (2) 当 k < 0 时，双曲线的两支分别位于第二、四 象限，在每一象限内， y 随 x 的增大而增大 . 一般地，反比例函数 的图象是双曲线，它具有以下性质： k 的正负决定反比例函数所在的象限和增减性 点 (2 ， y 1 ) 和 (3 ， y 2 ) 在函数 上，则 y 1 y 2 ( 填“ > ”“ < ” 或“ = ” ) . < 练一练 例 2 已知反比例函数 ， y 随 x 的 增大而增大，求 a 的值 . 解：由题意得 a 2 + a － 7= － 1 ，且 a － 1<0 ． 解得 a= － 3 . 反比例函数的图象和性质的初步运用 二 练一练 已知反比例函数 在每个象限内， y 随着 x 的增大而减小，求 m 的值． 解：由题意得 m 2 － 10= － 1 ，且 3 m － 8 ＞ 0 ． 解得 m= 3 . 例 3 已知反比例函数的图象经过点 A (2 ， 6). ( 1 ) 这个函数的图象位于哪些象限？ y 随 x 的 增大如 何变化？ 解：因为点 A (2 ， 6) 在第一象限，所以这个函数的 图象位于第一、三象限； 在每一个象限内， y 随 x 的 增大而减小 . ( 2 ) 点 B (3 ， 4) ， C ( ， ) ， D (2 ， 5) 是否在这个 函数的图象上？ 解：设这个反比例函数的解析式为 ，因为点 A (2 ， 6) 在其图象上，所以有 ，解得 k =12. 因为点 B ， C 的坐标都满足该解析式，而点 D 的坐标不满足，所以点 B ， C 在这个函数的图象上，点 D 不在这个函数的图象上 . 所以反比例函数的解析式为 . ( 1 ) 图象的另一支位于哪个象限？常数 m 的取值范围 是什么？ O x y 例 4 如图，是反比例函数 图象的一支 . 根据图象，回答下列问题： 解：因为这个反比例函数图象的一 支位于第一象限，所以另一支 必位于第三象限 . 由因为这个函数图象位于第一、 三象限，所以 m － 5 ＞ 0 ， 解得 m ＞ 5. ( 2 ) 在这个函数图象的某一支上任取点 A ( x 1 ， y 1 ) 和 点 B ( x 2 ， y 2 ). 如果 x 1 ＞ x 2 ，那么 y 1 和 y 2 有怎样的 大小关系？ 解：因为 m － 5 ＞ 0 ，所以在这个函数图象的任一支 上， y 都随 x 的增大而减小，因此当 x 1 ＞ x 2 时， y 1 ＜ y 2 . 练一练 已知反比例函数 的图象经过点 A (2 ， 3) ． ( 1 ) 求这个函数的表达式； 解： ∵ 反比例函数 的图象经过点 A (2 ， 3) ， ∴ 把点 A 的坐标代入表达式，得 ， 　　 解得 k = 6. ∴ 这个函数的表达式为 . 　　 ( 2 ) 判断点 B ( － 1 ， 6) ， C (3 ， 2) 是否在这个函数的 图象上，并说明理由； 解： 分别把点 B ， C 的坐标代入反比例函数的解析 式，因为点 B 的坐标不满足该解析式，点 C 的坐标满足该解析式， 所以点 B 不在该函数的图象上，点 C 在该函 数的图象上． ( 3 ) 当 － 3< x < － 1 时，求 y 的取值范围． 解： ∵ 当 x = － 3 时， y = － 2 ； 当 x = － 1 时， y = － 6 ，且 k > 0 ， ∴ 当 x < 0 时， y 随 x 的增大而减小， ∴ 当 － 3 < x < － 1 时，－ 6 < y < － 2. 反比例函数解析式中 k 的几何意义 三 1. 在反比例函数 的图象上分别取点 P ， Q 向 x 轴、 y 轴作垂线，围成面积 分别 为 S 1 ， S 2 的矩形， 填写下页表格： 合作探究 5 1 2 3 4 － 1 5 x y O P S 1 S 2 P (2 ， 2) Q (4 ， 1) S 1 的值 S 2 的值 S 1 与 S 2 的关系 猜想 S 1 ， S 2 与 k 的关系 4 4 S 1 = S 2 S 1 = S 2 = k － 5 － 4 － 3 － 2 1 4 3 2 － 3 － 2 － 4 － 5 － 1 Q S 1 的值 S 2 的值 S 1 与 S 2 的关系 猜想与 k 的关系 P ( － 1 ， 4) Q ( － 2 ， 2) 2. 若在反比例函数 中也 用同样的方法分别取 P ， Q 两点，填写表格： 4 4 S 1 = S 2 S 1 = S 2 = － k y x O P Q S 1 S 2 由前面的探究过程，可以猜想： 若点 P 是 图象上的任意一点 ，作 P A 垂直于 x 轴，作 P B 垂直于 y 轴，矩形 AOB P 的面积与 k 的关系是 S 矩形 AOB P = | k | . y x O P S 我们就 k < 0 的情况给出证明： 设点 P 的坐标为 ( a ， b ) A B ∵ 点 P ( a ， b ) 在函数 的图 象上， ∴ ，即 ab=k . ∴ S 矩形 AOB P = PB · PA= － a · b= － ab= － k ； 若点 P 在第二象限，则 a <0 ， b >0 ， 若点 P 在第四象限，则 a >0 ， b <0 ， ∴ S 矩形 AOB P = PB · PA =a · ( － b ) = － ab= － k . B P A 综上， S 矩形 AOB P = | k |. 自己尝试证明 k > 0 的情况 . 点 Q 是其图象上的任意一 点，作 QA 垂直于 y 轴，作 QB 垂直于 x 轴，矩形 AOBQ 的面积与 k 的关系是 S 矩形 AOBQ = . 推理：△ QAO 与△ QBO 的 面积和 k 的关系是 S △ QAO = S △QBO = . Q 对于反比例函数 ， A B | k | y x O 归纳： 反比例函数的 面积不变性 A. SA > SB > SC B. SA < SB < SC C. SA = SB = SC D. SA < SC < SB 1. 如图，在函数 ( x ＞0)的图像上有三点 A ， B ， C ，过这三点分别向 x 轴、 y 轴作垂线，过每一点 所作的两条垂线与 x 轴、 y 轴围成的矩形的面积分 别为 SA ， SB ， SC ， 则 ( ) y x O A B C C 练一练 2 . 如图，过反比例函数 图象上的一点 P ，作 PA ⊥ x 轴于 A . 若△ POA 的面积为 6，则 k = . －12 提示： 当反比例函数图象在第二、四象限时，注意 k ＜ 0. y x O P A 3 . 若点 P 是反比例函数图象上的一点，过点 P 分别向 x 轴、 y 轴作垂线，垂足分别为点 M ， N ，若四边形 PMON 的面积为 3，则这个反比例函数的关系式是 . 或 例 5 如图， P ， C 是函数 ( x >0 ) 图像上的任意两点，过点 P 作 x 轴的垂线 PA ，垂足为 A ，过点 C 作 x 轴的 垂线 CD ，垂足为 D ，连接 OC 交 PA 于点 E . 设 △ POA 的面积 为 S 1 ，则 S 1 = ；梯形 CEAD 的面积为 S 2 ，则 S 1 与 S 2 的大小 关系是 S 1 S 2 ；△ POE 的面 积 S 3 和 S 2 的大小关系是S 2 S 3 . 典例精析 2 S 1 S 2 ＞ ＝ S 3 如图所示，直线与双曲线交于 A ， B 两点， P 是 AB 上的点，△ AOC 的面积 S 1 、 △ BOD 的面积 S 2 、 △ POE 的面积 S 3 的大小关系为 . S 1 = S 2 < S 3 练一练 解析：由 反比例函数面积的不变 性易知 S 1 = S 2 . PE 与双曲线的一 支交于点 F ，连接 OF ，易知， S △ OFE = S 1 = S 2 ，而 S 3 ＞ S △ OFE ， 所以 S 1 ， S 2 ， S 3 的大小关系为 S 1 = S 2 < S 3 F S 1 S 2 S 3 y D B A C x 例 6 如图，点 A 是反比例函数 ( x ＞0)的图象上 任意一点， AB // x 轴交反比例函数 ( x ＜ 0) 的图象于点 B ，以 AB 为边作平行四边形 ABCD ，其中 点 C ， D 在 x 轴上，则 S 平行四边形 ABCD = ___ . 3 2 5 如图所示，在平面直角坐标系中，过点 的直线与 x 轴平行，且直线分别与反比例函数 ( x ＞0) 和 ( x ＜0) 的图象交于点 P ， Q ，若△ POQ 的面积为 8，则 k =______ . Q P O x M y － 10 练一练 例 7 如图所示，点 A ( x 1 ， y 1 )， B ( x 2 ， y 2 )都在双曲线 上，且 x 2 － x 1 = 4， y 1 － y 2 =2 . 分别过点 A ， B 向 x 轴、 y 轴作垂线，垂足分别为 C ， D ， E ， F ， AC 与 BF 相交于 G 点，四边形 FOCG 的面积为 2，五边形 AEODB 的面积为 14，那么双曲线的解析式 为 . 解得 k = 6. ∴ 双曲线的解析式为 . 解析： ∵ x 2 － x 1 = 4， y 1 － y 2 =2， ∴ BG = 4 ， AG =5 ， ∴ S △ ABG =4 × 5 ÷ 2=10. 由 反比例函数面积的不变 性可知， S 长方形 ACOE = S 长方形 BDOF = k . ∴ S 五边形 AEODB = S 四边形 ACOE + S 四边形 BDOF － S 四边形 F O CG + S △ABG = k + k － 2+4=14. 如图，已知点 A ， B 在双曲线 上， AC ⊥ x 轴于 点 C ， BD ⊥ y 轴于点 D ， AC 与 BD 交于点 P ， P 是 AC 的中点，若△ ABP 的面积为6，则 k = . 24 练一练 E F 解析：作 AE ⊥ y 轴于点 E ， BF ⊥ x 轴于点 F . ∵ P 是 AC 的中点， ∴ S 四边形 OCPD = S 四边形 ACOE = S 四边形 BDOF = k ， S △ ABP = S 四边形 BFCP ， = ( S 四边形 BDOF － S 四边形 OCPD ) = ( k － k )= k = 6. ∴ k =24. 1 . 已知反比例函数 的图象在第一、三象 限内，则 m 的取值范围是 ________. 2. 下列关于反比例函数 的图象的三个结论： (1) 经过点 ( － 1 ， 12) 和点 ( 10 ，－ 1.2) ； (2) 在每一个象限内， y 随 x 的增大而减小； (3) 双曲线位于 二、四象限 . 其中正确的是 ( 填序号 ). (1)(3) m ＞ 2 当堂练习 A. 4 B. 2 C. － 2 D. 不确定 3. 如图所示， P 是反比例函数 的图象上一点， 过点 P 作 PB ⊥ x 轴于点 B ，点 A 在 y 轴上， △ ABP 的面积为 2，则 k 的值为 ( ) O B A P x y A 4. 已知反比例函数 y = mx m ² － 5 ，它的两个分支分别在 第一、第三象限，求 m 的值 . 解：因为反比例函数 y = mx m ² － 5 的两个分支分别在第 一、第三象限， 所以有 m 2 － 5= － 1 ， m ＞ 0 ， 解得 m =2. 5. 已知反比例函数 的图象经过点 A (2 ，－ 4). ( 1 ) 求 k 的值； 解： ∵ 反比例函数 的图象经过点 A (2 ，－ 4 ) ， ∴ 把点 A 的坐标代入表达式，得 ， 　　 解得 k = － 8. ( 2 ) 这个函数的图象分布在哪些象限？ y 随 x 的增大 如何变化 ? 解： 这个函数的图象位于第二、四象限，在每一个 象限内， y 随 x 的 增大而增大 . ( 3 ) 画出该函数的图象； O x y 解：如图所示： ( 4 ) 点 B (1 ，－ 8) ， C ( － 3 ， 5) 是否在该函数的图象上？ 因为点 B 的坐标满足该解析式，而点 C 的坐标 不满足该解析式， 所以点 B 在该函数的图象上，点 C 不在该函数 的图象上 . 解：该反比例函数的解析式为 . 6 . 如图，反比例函数 与一次函数 y =－ x + 2 的图象交于 A ， B 两点 . ( 1 ) 求 A ， B 两点的坐标； A y O B x 解： y = － x + 2 ， 解得 x = 4 ， y = － 2 所以 A ( － 2 ， 4) ， B (4 ，－ 2) . 或 x = － 2 ， y = 4. 作 AC ⊥ x 轴于 C ， BD ⊥ x 轴于 D ， 则 AC =4 ， BD =2. ( 2 ) 求△ AOB 的面积 . 解：一次函数与 x 轴的交点为 M (2 ， 0) ， ∴ OM =2. O A y B x M C D ∴ S △ OMB = OM · BD ÷ 2=2 × 2 ÷ 2=2 ， ∴ S △ OMA = OM · AC ÷ 2=2 × 4 ÷ 2=4 ， ∴ S △ AOB = S △ OMB + S △ OMA =2+4=6. 课堂小结 反比例函数 的性质 性质 反比例函数图象中比例系数 k 的几何意义 当 k ＞ 0 时，在每一象限内， y 的值随 x 的增大而减小 . 当 k <0 时，在每一象限内， y 的值随 x 的增大而增大 . 6.3 反比例函数的应用 第六章 反比例函数 学习目标 1. 体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识， 提高运用代数方法解决问题的能力. 2. 能够通过分析实际问题中变量之间的关系，建立反 比例函数模型解决问题，进一步提高运用函数的图 象、性质的综合能力. ( 重点、难点 ) 3. 能够根据实际问题确定自变量的取值范围． 导入新课 对于一个矩形，当它面积一定时，长 a 是宽 b 的反比例函数，其函数解析式可以写为 ( S ＞ 0). 请你仿照上例另举一个在日常生活、生产或学习中具有 反比例函数关系的量的实例，并写出它的函数解析式． 实例： 函数解析式： ． 三角形的面积 S 一定时，三角形底边长 y 是高 x 复习引入 ( S ＞ 0) 的反比例函数 ； 讲授新课 反比例函数在实际生活中的应用 一 引例： 某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过一片烂泥湿地，你能解释他们这样做的道理吗？当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积 S (m 2 ) 的变化，人和木板对地面的压强 p (Pa) 将如何变化？ 如果人和木板对湿地地面的压力合 计 600N ，那么 (1) 用含 S 的代数式表示 p ， p 是 S 的反比 例函数吗？为什么？ 由 p ＝ 得 p ＝ p 是 S 的反比例函数，因为给定一个 S 的值，对应的就有唯一的一个 p 值和它对应，根据函数定义，则 p 是 S 的反比例函数． (2) 当木板面积为 0.2m 2 时，压强是多少？ 当 S ＝ 0.2m 2 时， p ＝ ＝ 3000(Pa) ． 答：当木板面积为 0.2m 2 时压强是 3000Pa ． (3) 如果要求压强不超过 6000Pa ，木板面积至少要多大？ (4) 在直角坐标系中，作出相应的函数图象． 图象如下 当 p ≤6000 Pa 时， S ≥0.1m 2 ． 0.1 0.5 O 0.6 0.3 0.2 0.4 1000 3000 4000 2000 5000 6000 p /Pa S/ 例 1 市煤气公司要在地下修建一个容积为 10 4 m 3 的圆柱形煤气储存室 . ( 1 ) 储存室的底面积 S ( 单位： m 2 ) 与其深度 d ( 单位： m) 有怎样的函数关系 ? 解：根据圆柱体的体积公式，得 Sd = 10 4 ， ∴ S 关于 d 的函数解析式为 典例精析 ( 2 ) 公司决定把储存室的底面积 S 定为 500 m 2 ， 施工队 施工时应该向下掘进多深? 解得 d = 20 . 如果把储存室的底面积定为 500 m²，施工时应 向地下掘进 20 m 深. 解：把 S = 500 代入 ，得 ( 3 ) 当施工队按 (2) 中的计划掘进到地下 15 m 时 ，公 司临时改变计划，把储存室的深度改为 15 m. 相 应地， 储存室的底面积应改为多少 ( 结果 保留 小 数点后 两位)? 解得 S≈666.67 . 当储存室的深度为15 m 时，底面积应改为 666.67 m². 解：根据题意，把 d =15 代入 ，得 第 (2) 问和第 (3) 问与过去所学的解分式方 程和求代数式的值的问题有何联系？ 第 ( 2 ) 问实际上是已知函数 S 的值，求自变量 d 的取值，第 ( 3 ) 问则是与第 ( 2 ) 问相反． 想一想： 1. 矩形面积为 6，它的长 y 与宽 x 之间的函数关系用 图象可表示为 ( ) B 练一练 A. B. C. D. x y x y x y x y 2. 如图，某玻璃器皿制造公司要制造一种容积为1升 (1升＝1立方分米)的圆锥形漏斗． ( 1 ) 漏斗口的面积 S ( 单位： dm 2 )与漏斗的深 d ( 单位： dm) 有怎样的函数关系? d 解： ( 2 ) 如果漏斗的深为10 cm，那么漏斗口 的面积为多少 dm 2 ？ 解： 10cm=1dm ，把 d =1 代入解析式，得 S =3. 所以漏斗口的面积为 3 dm 2 . ( 3 ) 如果漏斗口的面积为 60 cm 2 ，则漏斗的深为多少? 解： 60 cm 2 = 0.6 dm 2 ，把 S =0.6 代入解析式，得 d =5. 所以漏斗的深为 5 dm. 例 2 码头工人每天 往一艘轮船上装载 30吨货物 ， 装载完毕恰好用了8天时间. ( 1 ) 轮船到达目的地后开始卸货 ，平均 卸货速度 v (单位 ： 吨/天)与卸货 天数 t 之间有怎样的函数关系? 提示： 根据 平均 装货速度×装货 天数 =货物的总量，可以求出轮船装载货物的总量；再根据 平均 卸货速度=货物的总量÷卸货 天数 ，得到 v 关于 t 的函数解析式. 解：设轮船上的货物总量为 k 吨，根据已知条件得 k =30×8=240， 所以 v 关于 t 的函数解析式为 ( 2 ) 由于遇到紧急情况 ，要求 船上的货物不超过 5 天 卸 载完毕 ， 那么平均每天至少要卸 载 多少吨? 从结果可以看出，如果全部货物恰好用 5 天卸载 完，则平均每天卸载 48 吨. 而观察求得的反比例 函数的解析式可知， t 越小， v 越大 . 这样若货物 不超过 5 天卸载完，则平均每天至少要卸载 48 吨. 解：把 t =5 代入 ，得 练一练 某乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心，这样必须把 1200 立方米的生活垃圾运走． ( 1 ) 假如每天能运 x 立方米，所需时间为 y 天，写出 y 与 x 之间的函数关系式； 解： ( 2 ) 若每辆拖拉机一天能运 12 立方米，则 5 辆这样的 拖拉机要用多少天才能运完？ 解： x =12 × 5=60 ，代入函数解析式得 答：若每辆拖拉机一天能运 12 立方米，则 5 辆这样的拖拉机要用 20 天才能运完 . ( 3 ) 在 ( 2 ) 的情况下，运了 8 天后，剩下的任务要在不 超过 6 天的时间内完成，那么至少需要增加多少 辆这样的拖拉机才能按时完成任务？ 解：运了8天后剩余的垃圾有 1200－8×60=720 ( 立方米 ) ， 剩下的任务要在不超过6天的时间完成，则每天 至少运 720÷6=120 ( 立方米 ) ， 所以需要的拖拉机数量是：120÷12=10 ( 辆 ) ， 即至少需要增加拖拉机10－5=5 ( 辆 ). 例 3 一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以 80千米/时 的平均速度用 6 小时达到乙地. ( 1 ) 甲、乙两地相距多少千米？ 解：80 × 6 =480 ( 千米 ) 答：甲、乙两地相距 480 千米 . ( 2 ) 当他按原路匀速返回时，汽车的速度 v 与时间 t 有怎样的函数关系？ 解：由题意得 vt =480 ， 整理得 ( t ＞ 0). 例 4 小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为 1200 N 和 0.5 m. ( 1 ) 动力 F 与动力臂 l 有怎样的函数关系 ? 当动力臂为 1.5 m 时，撬动石头至少需要多大的力 ? 反比例函数在其他学科中的应用 一 解：根据 “ 杠杆原理 ” ，得 Fl = 1200 × 0.5 ， ∴ F 关于 l 的函数解析式为 当 l =1.5m 时， 对于函数 ，当 l =1.5 m 时， F =400 N ，此 时杠杆平衡 . 因此撬动石头至少需要 400N 的力 . ( 2 ) 若想使动力 F 不超过题 (1) 中所用力的一半，则 动力臂 l 至少要加长多少? 提示： 对于函数 ， F 随 l 的增大而减小 . 因此，只要求出 F =200 N 时对应的 l 的值，就能 确定动力臂 l 至少应加长的量 . 解：当 F=400 × =200 时，由 200 = 得 300 － 1.5 =1.5 (m). 对于函数 ，当 l ＞ 0 时， l 越大， F 越 小 . 因此，若想用力不超过 400 N 的一半，则 动力臂至少要加长 1.5 m. 在物理中，我们知道，在阻力和阻力臂一定的情况下，动力臂越长就越省力，你能用反比例函数的知识对其进行解释吗？ 想一想： 假定地球重量的近似值为 6 × 1025 牛顿 ( 即阻力 ) ，阿基米德有 500 牛顿的力量，阻力臂为 2000 千米，请你帮助阿基米德设计，该用多长动力臂的杠杆才能把地球撬动？ 由已知得 F × l ＝6×1025×2×106 =1.2×10 32 米， 当 F =500时， l =2.4×10 29 米， 解： 2000 千米 = 2×10 6 米， 练一练 变形得： 故用2.4×10 29 米动力臂的杠杆才能把地球撬动 . 例 5 一个用电器的电阻是可调节的 ， 其范围为 110～220 Ω. 已知电压为 220 V ， 这个用电器的电路图如图所示. ( 1 ) 功率 P 与电阻 R 有怎样的函数关系? U ~ 解：根据电学知识， 当 U = 220 时，得 ( 2 ) 这个 用电器功率的范围 是 多 少 ? 解：根据反比例函数的性质可知，电阻越大，功率 越小 . 把电阻的最小值 R = 110 代入求得的解析式， 得到功率的最大值 把电阻的最大值 R = 220 代入求得的解析式， 得到功率的最小值 因此 用电器功率的范围为220~440 W. 1. 在公式 中，当电压 U 一定时，电流 I 与电 阻 R 之间的函数关系可用图象大致表示为 ( ) D 练一练 A. B. C. D. I R I R I R I R 2. 在某一电路中，保持电压不变，电流 I (安培) 和电阻 R (欧姆) 成反比例，当电阻 R ＝5 欧姆时，电流 I ＝2 安培． ( 1 ) 求 I 与 R 之间的函数关系式； ( 2 ) 当电流 I ＝0.5 时，求电阻 R 的值． 解： ( 1 ) 设 ∵ 当电阻 R = 5 欧姆时，电流 I = 2 安培， ∴ U =10． ∴ I 与 R 之间的函数关系式为 (2) 当 I = 0.5 安培时， ，解得 R = 20 ( 欧姆 ) ． 当堂练习 1. 面积为 2 的直角三角形一直角边为 x ，另一直角边 长 为 y ，则 y 与 x 的变化规律用 图象可 大致 表示为 ( ) A. x y 1 O 2 x y 4 O 4 B. x y 1 O 4 C. x y 1 O 4 1 4 D. C 2. ( 1 ) 体积为 20 cm 3 的面团做成拉面，面条的总长度 y ( 单位： cm) 与面条粗细 (横截面积) S ( 单位： cm 2 ) 的函数关系 为 . ( 2 ) 某家面馆的师傅手艺精湛，他拉的面条粗 1 mm 2 ， 则 面条 的 总长 度 是 cm. 2000 3. A 、 B 两城市相距720千米，一列火车从 A 城去 B 城. ( 1 ) 火车的速度 v (千米/时) 和行驶的时间 t (时) 之间的函数关系是___ __ ___． ( 2) 若到达目的地后，按原路匀速返回，并要求 在 3 小时内回到 A 城，则返回的速度不能低 于____________． 240 千米 / 时 4. 学校锅炉旁建有一个储煤库，开学时购进一批煤， 现在知道：按每天用煤 0.6 吨计算，一学期 (按150 天计算) 刚好用完. 若每天的耗煤量为 x 吨，那么 这批煤能维持 y 天. ( 1 ) 则 y 与 x 之间有怎样的函数关系？ 解：煤的总量为：0.6×150=90 (吨)， 根据题意有 ( x ＞ 0). ( 2 ) 画出函数的图象； 解： 如图所示 . 30 90 1 x y O ( 3 ) 若每天节约 0.1 吨，则这批煤能维持多少天？ 解：∵ 每天节约 0.1 吨煤， ∴ 每天的用煤量为 0.6 － 0.1=0.5 (吨)， ∴ 这批煤能维持 180 天． 5. 王强家离工作单位的距离为3600 米，他每天骑自行 车上班时的速度为 v 米/分，所需时间为 t 分钟． ( 1 ) 速度 v 与时间 t 之间有怎样的函数关系？ 解： ( 2 ) 若王强到单位用 15 分钟，那么他骑车的平均速 度是多少？ 解：把 t =15代入函数的解析式，得： 答：他骑车的平均速度是 240 米/分 . ( 3 ) 如果王强骑车的速度最快为 300 米/分，那他至少 需要几分钟到达单位 ? 解：把 v =300 代入函数解析式得： 解得： t =12． 答：他至少需要 12 分钟到达单位． 6. 蓄电池的电压为定值．使用此电源时，电流 I (A) 是电 阻 R (Ω) 的反比例函数，其图象如图所示． ( 1 ) 求这个反比例函数的表达式； 解：设 ，把 M (4，9) 代入得 k =4×9=36. ∴ 这个反比例函数的 表达式 为 . O 9 I (A) 4 R (Ω) M (4 ， 9) ( 2 ) 当 R =10Ω 时，电流能是 4 A 吗？为什么？ 解： 当 R =10Ω 时，I = 3.6 ≠ 4， ∴电流不可能是4A． 7. 某汽车的功率 P 为一定值，汽车行驶时的速度 v (m/s) 与它所受的牵引力 F (N)之间的函数关系如 下图所示： ( 1 ) 这辆汽车的功率是多少？请写出这一函数的表 达式； O 20 v (m/s) 3000 F (N) 解： ( 3 ) 如果限定汽车的速度不超过 30 m/s，则 F 在什 么范围内？ ( 2 ) 当它所受牵引力为1200牛时，汽车的速度为多 少 km/h？ 解： 把 F = 1200 N 代入 求得的解析式得 v = 50 ， ∴ 汽车 的速度是3600×50÷1000 = 180 km/m. 答案： F ≥ 2000 N. 8. 在某村河治理工程施工过程中，某工程队接受一项 开挖水渠的工程，所需天数 y ( 天 ) 与每天完成的工 程量 x ( m/天 ) 的函数关系图象如图所示 . (1 ) 请根据题意，求 y 与 x 之间的函数表达式； 50 24 x (m/ 天 ) y ( 天 ) O 解： ( 2 ) 若该工程队有 2 台挖掘机，每台挖掘机每天能够 开挖水渠 15 m ，问该工程队需用多少天才能完 成此项任务？ 解：由图象可知共需开挖水渠 24×50=1200 ( m ) ； 2 台挖掘机需要 1200÷ ( 2×15 ) =40 ( 天 ). ( 3 ) 如果为了防汛工作的紧急需要，必须在一个月内 ( 按 30 天计算 ) 完成任务，那么每天至少要完成多 少 m ？ 解：1200÷30=40 ( m ) ， 故每天至少要完成40 m． 课堂小结 实际问题中的反比例函数 过程： 分析实际情境→建立函数模型→明确数学问题 注意： 实际问题中的两个变量往往都只能取非负值； 作实际问题中的函数图像时，横、纵坐标的单 位长度不一定相同 小结与复习 第六章 反比例函数 1. 反比例函数的概念 要点梳理 定义：形如________ ( k 为常数， k ≠0) 的函数称为 反 比例函数 ，其中 x 是自变量， y 是 x 的函数， k 是比例 系数． 三种表达式方法： 或 x y ＝ kx 或y＝ kx －1 ( k ≠0)． 防错提醒：(1) k ≠0；(2)自变量 x ≠0；(3)函数 y ≠0. 2. 反比例函数的图象和性质 ( 1 ) 反比例函数的图象：反比例函数 (k≠0)的 图象是 ， 它既 是轴对称图形又是中心 对称图形. 反比例函数的 两条对称轴 为 直线 和 ； 对称中心是： . 双曲线 原点 y = x y= － x ( 2 ) 反比例函数的性质 图象 所在象限 性质 ( k ≠0) k ＞ 0 一、三象限 ( x ， y 同号 ) 在每个象限内， y 随 x 的增大而减小 k ＜ 0 二、四象限 ( x ， y 异号 ) 在每个象限内， y 随 x 的增大而增大 x y o x y o ( 3 ) 反比例函数比例系数 k 的几何意义 k 的几何意义：反比例函数图象上的点 ( x ， y ) 具有 两坐标之积 ( xy ＝ k ) 为常数这一特点，即过双曲线 上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐 标轴所围成的矩形的面积为常数 | k | . 规律：过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线， 一条垂线与坐标轴、原点所围成的三角形的面积 为常数 ． 3. 反比例函数的应用 ◑利用待定系数法确定反比例函数 ： ① 根据两变量之间的反比例关系，设 ； ② 代入图象上一个点的坐标，即 x 、 y 的一对 对应值，求出 k 的值； ③ 写出解析式. ◑ 反比例函数与一次函数的图象的交点的求法 求直线 y ＝ k 1 x ＋ b ( k 1 ≠0) 和双曲线 ( k 2 ≠0)的交点坐标就是解这两个函数解析式组成的方 程组. ◑ 利用反比例函数相关知识解决实际问题 过程：分析实际情境→建立函数模型→明确 数学问题 注意：实际问题中的两个变量往往都只能取 非负值 . 考点讲练 考点一 反比例函数的概念 针对训练 1 . 下列函数中哪些是正比例函数？哪些是反比例函数 ? ① y = 3 x －1 ② y = 2 x 2 ⑤ y = 3 x ③ ④ ⑥ ⑦ ⑧ 2 . 已知点 P (1，－3) 在反比例函数 的图象上， 则 k 的值是 ( ) A . 3　　　　　　　　B . －3 C. D . B 3 . 若 是反比例函数，则 a 的值为 ( ) A . 1 B . －1 C . ±1 D . 任意实数 A 例 1 已知点 A(1， y 1 )，B(2， y 2 )，C(－3， y 3 ) 都在反比 例函数 的图象上，则 y 1 ， y 2 ， y 3 的大小关系是 ( ) A . y 3 ＜ y 1 ＜ y 2 B . y 1 ＜ y 2 ＜ y 3 C . y 2 ＜ y 1 ＜ y 3 D . y 3 ＜ y 2 ＜ y 1 解析：方法①分别把各点代入反比例函数求出 y 1 ， y 2 ， y 3 的值，再比较出其大小即可． 方法②：根据反比例函数的图象和性质比较． 考点二 反比例函数的图象和性质 D 　 方法总结： 比较反比例函数值的大小，在同一个象限内根据反比例函数的性质比较，在不同象限内，不能按其性质比较，函数值的大小只能根据特征确定． 已知点 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ( x 1 ＜ 0 ＜ x 2 ) 都在反比例函数 (k<0) 的图象上，则 y 1 与 y 2 的大小关系 (从大到小) 为 . y 1 ＞0＞ y 2 针对训练 例 2 如图，两个反比例函数 和 在第一象 限内的图象分别是 C 1 和 C 2 ，设点 P 在 C 1 上， PA ⊥ x 轴于点 A ，交 C 2 于点 B ，则△ POB 的面积为 . 1 考点三 与反比例函数 k 有关的问题 针对训练 如图，在平面直角坐标系中，点 M 为 x 轴正半轴上一点，过点 M 的直线 l∥ y 轴，且直线 l 分别与 反比例函数 ( x ＞0)和 ( x ＞0) 的图象交于 P ， Q 两点，若 S △ POQ =14， 则 k 的值为 . 20 考点四 反比例函数的应用 例 3 如图，已知 A ( －4， ) ， B ( － 1 ，2 ) 是一次函数 y = kx + b 与反比例函数 ( m ＜0 ) 图象的两个交点， AC ⊥ x 轴于点 C ， BD ⊥ y 轴于点 D ． ( 1 ) 根据图象直接回答：在第二象限内，当 x 取何值 时，一次函数的值大于反比例函数的值； O B A x y C D 解：当－4＜ x ＜－1时，一 次函数的值大于反比例 函数的值. ( 2 ) 求一次函数解析式及 m 的值； 解：把 A ( － 4 ， ) ， B ( － 1 ， 2) 代入 y = kx + b 中，得 － 4 k + b = ， － k + b =2 ， 解得 k = ， b = ， 所以一次函数的解析式为 y = x + . 把 B ( － 1 ， 2) 代入 中，得 m = － 1 × 2= － 2. ( 3 ) P 是线段 AB 上的一点，连接 PC ， PD ，若△ PCA 和 △ PDB 面积相等，求点 P 坐标 . O B A x y C D P ∵ △ PCA 面积和△ PDB 面积相等， ∴ AC ·[ t － ( －4 ) ] = BD ·[ 2－ [ 2－ ( t + )] ， 解得： t = . ∴ 点 P 的坐标为 ( ， ) ． 解：设点 P 的坐标为 ( t ， t + ) ， P 点到直线 AC 的 距离为 t － ( －4 ) ， P 点到直线 BD 的距离为2－ ( t + ) ． 方法总结： 此类一次函数，反比例函数，二元一次方程组，三角形面积等知识的综合运用，其关键是理清解题思路. 在直角坐标系中，求三角形或四边形面积时，是要选取合适的底边和高，正确利用坐标算出线段长度. 针对训练 如图，设反比例函数的解析式为 ( k ＞0 ) ． ( 1 ) 若该反比例函数与正比例函数 y =2 x 的图象有一个 交点 P 的纵坐标为 2，求 k 的值； O y x 解：由题意知点 P 在正比例函数 y =2 x 上， 把 P 的纵坐标 2 带入该解析 式，得 P ( 1，2 ) ， 把 P ( 1，2 ) 代入 ， 得到 P 2 ( 2 ) 若该反比例函数与过点 M ( －2，0 ) 的直线 l ： y = kx + b 的图象交于 A ， B 两点，如图所示，当 △ ABO 的面积为 时，求直线 l 的解析式； 解：把 M ( －2，0 ) 代入 y = kx + b ， 得 b = 2 k ，∴ y = kx +2k， O A y B x M l N 解得 x =－3 或 1 . y ＝ kx +2 k ， ∴ ∴ B ( －3，－ k ) ， A ( 1，3 k ). ∵ △ ABO 的面积为 ∴ 2 · 3 k · + 2 · k · = 解得 ∴ 直线 l 的解析式为 y = x + ． O y x M l N A ( 1，3 k ) B ( －3，－ k ) ( 3 ) 在 第 (2) 题的条件下， 当 x 取何值时，一次函数的 值小于反比例函数的值？ O y x M l N A ( 1，3 k ) B ( －3，－ k ) 解：当 x ＜－ 3 或 0 ＜ x ＜ 1 时，一次函数的值小于反 比例函数的值. 例 4 病人按规定的剂量服用某种药物，测得服药后 2 小时，每毫升血液中的含药量达到最大值为 4 毫克 . 已知服药后，2 小时前每毫升血液中的含药量 y (单位：毫克)与时间 x (单位：小时) 成正比例；2 小时后 y 与 x 成反比例 (如图) . 根据以上信息解答下列问题： ( 1 ) 求当 0 ≤ x ≤2 时， y 与 x 的函数解析式； 解：当 0 ≤ x ≤2 时， y 与 x 成正比 例函数关系． 设 y ＝ kx ，由于点 (2，4) 在 线段上， 所以 4＝2 k ， k ＝2，即 y ＝2 x . O y / 毫克 x / 小时 2 4 ( 2 ) 求当 x > 2 时， y 与 x 的函数解析式； 解：当 x > 2时， y 与 x 成反比例函数关系， 设 解得 k ＝8. 由于点 (2，4) 在反比例函数的图象上， 所以 即 O y / 毫克 x / 小时 2 4 ( 3 ) 若每毫升血液中的含药量不低于 2 毫克时治疗有 效，则 服药一次，治疗疾病的有效时间是多长？ 解：当 0≤ x ≤2 时，含药量不低于 2 毫克，即 2 x ≥2， 解得 x ≥1， ∴1≤ x ≤2 ； 当 x >2 时，含药量不低于 2 毫克， 即 ≥ 2，解得 x ≤ 4. ∴ 2< x ≤4. 所以服药一次，治疗疾病的有 效时间是 1 ＋ 2 ＝ 3 ( 小时 ) ． O y / 毫克 x / 小时 2 4 如图所示，制作某种食品的同时需将原材料加热，设该材料温度为 y ℃，从加热开始计算的时间为 x 分钟．据了解，该材料在加热过程中温度 y 与时间 x 成一次函数关系．已知该材料在加热前的温度为4℃，加热一段时间使材料温度达到 28℃时停止加热，停止加热 后，材料温度逐渐下降，这 时温度 y 与时间 x 成反比例 函数关系，已知第 12 分钟 时，材料温度是14℃． 针对训练 O y (℃) x (min) 12 4 14 28 ( 1 ) 分别求出该材料加热和停止加热过程中 y 与 x 的函 数关系式（写出 x 的取值范围）； O y (℃) x (min) 12 4 14 28 答案： y = 4 x + 4 (0 ≤ x ≤ 6) ， ( x ＞ 6 ). ( 2 ) 根据该食品制作要求，在材料温度不低于 12℃ 的 这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么 对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟 ? 解：当 y =12时， y =4 x +4，解得 x =2． 由 ，解得 x =14 . 所以对该材料进行特殊 处理所用的时间为 14－2=12 ( 分钟 ) ． O y (℃) x (min) 12 4 14 28 课堂小结 反比例函数 定义 图象 性质 x ， y 的取值范围 增减性 对称性 k 的几何意义 应用 在实际生活中的应用 在物理学科中的应用