中考数学总复习圆压轴题专题练习（pdf，含解析） 31页

2020 年中考数学总复习圆压轴题专题练习 1．如图，点 O 为 Rt△ABC 斜边 AB 上的一点，∠C＝90°，以 OA 为半径的 ⊙O 与 BC 交于点 D，与 AC 交于点 E，连接 AD 且 AD 平分∠BAC． （1）求证：BC 是⊙O 的切线； （2）若∠BAC＝60°，OA＝2，求阴影部分的面积（结果保留π） （1）证明：连接 OD， ∵AD 平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠DAC， ∵AO＝DO， ∴∠BAD＝∠ADO， ∴∠CAD＝∠ADO， ∴AC∥OD， ∵∠ACD＝90°， ∴OD⊥BC， ∴BC 与 ⊙O 相切； （2）解：连接 OE，ED， ∵∠BAC＝60°，OE＝OA， ∴△OAE 为等边三角形， ∴∠AOE＝60°， ∴∠ADE＝30°， 又∵∠OAD＝ ∠BAC＝30°， ∴∠ADE＝∠OAD， ∴ED∥AO， ∴四边形 OAED 是菱形， ∴OE⊥AD，且 AM＝DM，EM＝OM， ∴ S△AED＝ S△AOD， ∴阴影部分的面积＝S 扇形 ODE＝ ＝ π． 2．如图，已知 AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，点 E 在⊙O 外，连接 CE， ∠ACB 的平分线交⊙O 于点 D． （1）若∠BCE＝∠BAC，求证：CE 是⊙O 的切线； （2）若 AD＝4，BC＝3，求弦 AC 的长． （1）证明：连接 OC， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ACO+∠BCO＝90°， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA， ∵∠BAC＝∠BCE， ∴∠ACO＝∠BCE， ∴∠BCE+∠BCO＝90°， ∴∠OCE＝90°， ∴CE 是⊙O 的切线； （2）解：连接 BD， ∵∠ACB 的平分线交⊙O 于点 D， ∴∠ACD＝∠BCD， ∴ ＝ ， ∴AD＝BD， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB＝ 90°， ∴△ADB 是等腰直角三角形， ∴AB＝ AD＝4 ， ∵BC＝3， ∴AC＝ ＝ ＝ ． 3．如图，AB 是⊙O 的直径，AE 平分∠BAF，交⊙O 于点 E，过点 E 作直线 ED ⊥AF，交 AF 的延长线于点 D，交 AB 的延长线于点 C． （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）∠C＝45°，⊙O 的半径为 2，求阴影部分面积． （1）证明：连接 OE． ∵OA＝OE， ∴∠OAE＝∠OEA， 又∵∠DAE＝∠OAE， ∴∠OEA＝∠DAE， ∴OE∥AD， ∴∠ADC＝∠OEC， ∵AD⊥CD， ∴∠ADC＝90°， 故∠OEC＝90°． ∴OE⊥CD， ∴CD 是⊙O 的切线； （2）解：∵∠C＝45°， ∴△OCE 是等腰直角三角形， ∴CE＝OE＝2，∠COE＝45°， ∴阴影部分面积＝S△OCE﹣S 扇形 OBE＝ 2×2﹣ ＝2﹣ ． 4．如图①，BC 是⊙O 的直径，点 A 在⊙O 上，AD⊥BC 垂足为 D，弧 AE＝ 弧 AB，BE 分别交 AD、AC 于点 F、G． （1）判断△FAG 的形状，并说明理由； （2）如图②若点 E 与点 A 在直径 BC 的两侧，BE、AC 的延长线交于点 G， AD 的延长线交 BE 于点 F，其余条件不变（1）中的结论还成立吗？请说明理 由． （3）在（2）的条件下，若 BG＝26，DF＝5，求⊙O 的直径 BC． 解：（1）△FAG 等腰三角形； 理由：∵BC 为直径， ∴∠BAC＝90°， ∴∠ABE+∠AGB＝90°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴∠ACD+∠DAC＝90°， ∵弧 AE＝弧 AB， ∴∠ABE＝∠ACD， ∴∠DAC＝∠AGB， ∴FA＝FG， ∴△FAG 是等腰三角形； （2）成立； ∵BC 为直径， ∴∠BAC＝90° ∴∠ABE+∠AGB＝90° ∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴∠ACD+∠DAC＝90°， ∵弧 AE＝弧 AB， ∴∠ABE＝∠ACD， ∴∠DAC＝∠AGB， ∴FA＝FG， ∴△FAG 是等腰三角形； （3）由（2）知∠DAC＝∠AGB， 且∠BAD+∠DAC＝90°，∠ABG+∠AGB＝90°， ∴∠BAD＝∠ABG， ∴AF＝BF， 又∵AF＝FG， ∴F 为 BG 的中点 ∵△BAG 为直角三角形， ∴AF＝BF＝ BG＝13， ∵DF＝5， ∴AD＝AF﹣DF＝13﹣5＝8， ∴在 Rt△BDF 中，BD＝ ＝12， ∴在 Rt△BDA 中，AB＝ ＝4 ， ∵∠ABC＝∠DBA，∠BAC＝∠ADB＝90° ∴△ABC∽△DBA， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ， ∴BC＝ ， ∴⊙O 的直径 BC＝ ． 5．如图，已知矩形 ABCD 的边 AB＝6，BC＝4，点 P、Q 分别是 AB、BC 边 上的动点． （1）连接 AQ、PQ，以 PQ 为直径的⊙O 交 AQ 于点 E． ①若点 E 恰好是 AQ 的中点，则∠QPB 与∠AQP 的数量关系是 ∠QPB＝2 ∠AQP ； ②若 BE＝BQ＝3，求 BP 的长； （2）已知 AP＝3，BQ＝1，⊙O 是以 PQ 为弦的圆． ①若圆心 O 恰好在 CB 边的延长线上，求⊙O 的半径； ②若⊙O 与矩形 ABCD 的一边相切，求⊙O 的半径． 解：（1）①∵点 E 恰好是 AQ 的中点，∠ABQ＝90°， ∴BE＝AE＝EQ， ∴∠EAB＝∠EBA， ∴∠QEB＝2∠EBP， ∵以 PQ 为直径的⊙O 交 AQ 于点 E， ∴∠QPB＝∠QEB，∠PBE＝∠PQA， ∴∠QPB＝2∠AQP， 故答案为：∠QPB＝2∠AQP； ②∵BE＝BQ， ∴∠BEQ＝∠BQE，且∠BPQ＝∠BEQ， ∴∠BPQ＝∠BQE， ∴tan∠BPQ＝tan∠BPQ， ∴ ， ∴ ， ∴BP＝ （2）①如图 1，过点 O 作 OE⊥PQ， ∵AP＝3，AB＝6， ∴BP＝3， ∴PQ＝ ＝ ＝ ， ∵OE⊥PQ， ∴QE＝PE＝ ， ∵cos∠PQB＝ ＝ ， ∴ ＝ ∴OQ＝5， ∴⊙O 的半径为 5； ②如图 2，若⊙O 与 BC 相切于点 Q，连接 OQ，过点 O 作 OE⊥PQ 于 E， ∴EQ＝PE＝ ， ∵BC 是⊙O 切线， ∴OQ⊥BC，且 AB⊥BC， ∴OQ∥AB， ∴∠OQP＝∠BPQ， ∴cos∠OQP＝cos∠BPQ， ∴ ， ∴ ∴OQ＝ ； 如图 3，若⊙O 与 AB 相切于点 P，连接 OP，过点 O 作 OE⊥PQ 于 E， ∴EQ＝PE＝ ， ∵AB 是⊙O 切线， ∴OP⊥AB，且 AB⊥BC， ∴OP∥BC， ∴∠OPQ＝∠PQB， ∴cos∠OPQ＝cos∠PQB， ∴ ∴ ， ∴OP＝5； 如图 4，若⊙O 与 AD 相切于点 M，连接 OM，OQ，OP，延长 MO 交 BC 于 F，作 OH⊥AB 于 H 点， ∴ OM⊥AD，且 BC∥AD， ∴OF⊥BC， ∵∠A＝∠B＝∠AMO＝∠OFB＝∠OHB＝90°， ∴四边形 AHOM，OHBF 是矩形， ∴OM＝AH，OH＝BF， ∵OQ2＝OF2+FQ2，OP2＝OH2+PH2， ∴OQ2＝（6﹣OQ）2+（BF﹣1）2，OQ2＝BF2+（OQ﹣3）2， ∴OQ＝5﹣ 若图 5，若⊙O 与 CD 相切于点 N，连接 ON，OQ，OP，延长 NO 交 BC 于 E，作 OH⊥BC 于 H 点， 同理可得：OP2＝PE2+OE2，OQ2＝OH2+QH2， ∴OQ2＝（3﹣OH）2+（4﹣OQ）2，OQ2＝OH2+（4﹣OQ﹣1）2， ∴OQ＝35﹣6 ． 6．如图，在矩形 ABCD 中，E 是 BC 上一点，连接 AE，将矩形沿 AE 翻折，使 点 B 落在 CD 边 F 处，连接 AF，在 AF 上取一点 O，以点 O 为圆心，OF 为 半径作⊙O 与 AD 相切于点 P．AB＝6，BC＝ ， （1）求证：F 是 DC 的中点． （2）求证：AE＝4CE． （3）求图中阴影部分的面积． （1）证明：由折叠的性质可知，AF＝AB＝6， 在 Rt△ADF 中，DF＝ ＝ ＝3， ∴CF＝DC﹣DF＝3， ∴DF＝FC，即 F 是 CD 的中点； （2）证明：在 Rt△ADF 中，DF＝3，AF＝6， ∴∠DAF＝30◦， ∴∠BAF＝60◦， 由折叠的性质可知，∠EAF＝∠EAB，∠AFE＝∠B＝90°， ∴∠EAF＝∠EAB＝30°， ∴AE＝2EF， ∠EFC＝180°﹣∠AFD﹣∠AFE＝30◦， ∴EF＝2CE， ∴AE＝4CE； （3）解：连接 OP、OH、PH， ∵⊙O 与 AD 相切于点 P， ∴OP⊥AD， ∴OP∥DF， ∵∠DAF＝30°， ∴∠AOP＝90°﹣∠DAF＝60°，OF＝OP＝ OA， ∴∠OFH＝∠AOP＝60°，OP＝OF＝2， ∴AP＝ ＝2 ， ∴DP＝AD﹣AP＝ ， ∵∠OFH＝60°，OH＝OF， ∴△OHF 为等边三角形， ∴∠FOH＝∠OHF＝60°，HF＝OF＝2， ∴DH＝DF﹣HF＝1， ∵OP∥DF， ∴∠POH＝∠OHF＝60°， ∴∠POH＝∠HOF， ∴ ＝ ， ∴阴影部分的面积＝△PDH 的面积＝ ×DH×DP＝ ． 7．如图，Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，以 AB 为直径作⊙O 交 AC 于点 D，连 接 BD． （1）求证：∠A＝∠CBD． （2）若 AB＝10，AD＝6，M 为线段 BC 上一点，请写出一个 BM 的值，使 得直线 DM 与⊙O 相切，并说明理由． （1）证明：∵AB 为⊙O 直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠A+∠ABD＝90°． ∵∠ABC＝90°， ∴∠CBD+∠ABD＝90°， ∴∠A＝∠CBD； （2）BM＝ ． 理由如下： 如图，连接 OD，DM， ∵∠ADB＝90°，AB＝10，AD＝6， ∴BD＝ ＝8，OA＝5， ∵∠A＝∠CBD， ∵Rt△CBD∽Rt△BAD， ∴ ＝ ，即 ＝ ，解得 BC＝ 取 BC 的中点 M，连接 DM、OD，如图， ∵DM 为 Rt△BCD 斜边 BC 的中线， ∴DM＝BM， ∵∠2＝∠4， ∵OB＝OD， ∴∠1＝∠3， ∴∠1+∠2＝∠3+∠4＝90°，即∠ODM＝90°， ∴OD⊥DM， ∴DM 为⊙O 的切线， 此时 BM＝ BC＝ ． 8．如图，AB 是⊙O 的直径，直线 MC 与⊙O 相切于点 C．过点 A 作 MC 的 垂线，垂足为 D，线段 AD 与⊙O 相交于点 E． （1）求证：AC 是∠DAB 的平分线； （2）若 AB＝10，AC＝4 ，求 AE 的长． （1）证明：连接 OC， ∵直线 MC 与⊙O 相切于点 C， ∴∠OCM＝90°， ∵AD⊥CD， ∴∠ADM＝90°， ∴∠OCM＝∠ADM， ∴OC∥AD， ∴∠DAC＝∠ACO， ∵OA＝OC， ∴∠ACO＝∠CAO， ∴∠DAC＝∠CAB，即 AC 是∠DAB 的平分线； （2）解：连接 BC，连接 BE 交 OC 于点 F， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB＝∠AEB＝90°， ∵AB＝10，AC＝4 ， ∴BC＝ ＝ ＝2 ， ∵OC∥AD， ∴∠BFO＝∠AEB＝90°， ∴∠CFB＝90°，F 为线段 BE 中点， ∵∠CBE＝∠EAC＝∠CAB，∠CFB＝∠ACB， ∴△CFB∽△BCA． ∴ ＝ ，即 ＝ ， 解得，CF＝2， ∴OF＝OC﹣CF＝3． ∵O 为直径 AB 中点，F 为线段 BE 中点， ∴AE＝2OF＝6． 9．如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 是圆上一点，点 D 是半圆的中点，连接 CD 交 OB 于点 E，点 F 是 AB 延长线上一点，CF＝EF． （1）求证：FC 是⊙O 的切线； （2）若 CF＝5，tanA＝ ，求⊙O 半径的长． （1）证明：如图，连接 OD． ∵点 D 是半圆的中点， ∴∠AOD＝∠BOD＝90°， ∴∠ODC+∠OED＝90°， ∵OD＝OC， ∴∠ODC＝∠OCD． 又∵CF＝EF， ∴∠FCE＝∠FEC． ∵∠FEC＝∠OED， ∴∠FCE＝∠OED． ∴∠FCE+∠OCD＝∠OED+∠ODC＝90°， 即 FC⊥OC， ∴FC 是⊙O 的切线； （2）解：∵tanA＝ ， ∴在 Rt△ABC 中， ＝ ， ∵∠ACB＝∠OCF＝90°， ∴∠ACO＝∠BCF＝∠A， ∵△ACF∽△CBF， ∴ ＝ ＝ ＝ ． ∴AF＝10， ∴CF2＝BF•AF． ∴BF＝ ． ∴AO＝ ＝ ． 10．如图，AB 是⊙O 的直径，弦 DE 垂直半径 OA，C 为垂足，DE＝6，连接 DB，∠B＝30°，过点 E 作 EM∥BD，交 BA 的延长线于点 M． （1）求的半径； （2）求证：EM 是⊙O 的切线； （3）若弦 DF 与直径 AB 相交于点 P，当∠APD＝45°时，求图中阴影部分 的面积． 解：（1）连结 OE， ∵DE 垂直 OA，∠B＝30°， ∴CE＝ DE＝3， ， ∴∠AOE＝2∠B＝60°， ∴∠CEO＝30°，OC＝ OE， 由勾股定理得 OE＝2 ； （2）∵EM∥BD， ∴∠M＝∠B＝30°，∠M+∠AOE＝90°， ∴∠OEM＝90°，即 OE⊥ME， ∴EM 是⊙O 的切线； （3）再连结 OF， 当∠APD＝45°时，∠EDF＝45°， ∴∠EOF＝90°， S 阴影＝ π（2 ）2﹣ （2 ）2＝3π﹣6． 11．如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°．BE 平分∠ABC 交 AC 于点 D，交△ABC 的外接圆于点 E，过点 E 作 EF⊥BC 交 BC 的延长线于点 F．请补全图形后完 成下面的问题： （1）求证：EF 是△ABC 外接圆的切线； （2）若 BC＝5，sin∠ABC＝ ，求 EF 的长． （1）证明：补全图形如图所示， ∵△ABC 是直角三角形， ∴△ABC 的外接圆圆心 O 是斜边 AB 的中点． 连接 OE， ∴OE＝OB． ∴∠2＝∠3， ∵BE 平分∠ABC， ∴∠1＝∠2， ∴∠1＝∠3． ∴OE∥BF． ∵EF⊥BF， ∴EF⊥OE， ∴EF 是△ABC 外接圆的切线； （2）解：在 Rt△ABC 中，BC＝5，sin∠ABC＝ ， ∴ ＝ ． ∵AC2+BC2＝AB2， ∴AC＝12． ∵∠ACF＝∠CFE＝∠FEH＝90°， ∴四边形 C FEH 是矩形． ∴EF＝HC，∠EHC＝90°． ∴EF＝HC＝ AC＝6． 12．我们定义：如果圆的两条弦互相垂直，那么这两条弦互为“十字弦”，也把 其中的一条弦叫做另一条弦的“十字弦”．如：如图，已知⊙O 的两条弦 AB ⊥CD，则 AB、CD 互为“十字弦”，AB 是 CD 的“十字弦”，CD 也是 AB 的“十字弦”． （1）若⊙O 的半径为 5，一条弦 AB＝8，则弦 AB 的“十字弦”CD 的最大 值为 10 ，最小值为 6 ． （2）如图 1，若⊙O 的弦 CD 恰好是⊙O 的直径，弦 AB 与 CD 相交于 H， 连接 AC，若 AC＝12，DH＝7，CH＝9，求证：AB、CD 互为“十字弦”； （3）如图 2，若⊙O 的半径为 5，一条弦 AB＝8，弦 CD 是 AB 的“十字弦”， 连接 AD，若∠ADC＝60°，求弦 CD 的长． 解：（1）如图 a，当 CD 是直径时，CD 的长最大，则 CD 的最大值为 10； 如图 b，当点 D 与点 A 重合时，CD 有最小值， 过点 O 作 OE⊥CD 于 E，OF⊥AB 于 F， ∴AF＝BF＝4，DE＝CE， ∴OF＝ ＝ ＝3， ∵OE⊥CD，OF⊥AB，∠CDB＝90°， ∴四边形 CEOF 是矩形， ∴CE＝OF＝3， ∴CD＝6， ∴CD 最小值为 6， 故答案为：10，6； （2）如图 1，连接 AD， ∵DH＝7，CH＝9， ∴CD＝16， ∵CD 是直径， ∴∠CAD＝90°， ∴AD＝ ＝ ＝4 ， ∵ ， ＝ ， ∴ ，∠ADH＝∠ADC， ∴△ADH∽△CDA， ∴∠AHD＝∠CAD＝90°， ∴AB⊥CD， ∴AB、CD 互为“十 字弦”； （3）如图 2，过点 O 作 OE⊥CD 于 E，过点 O 作 OF⊥AB 于点 F，连接 AO， CO，过点 O 作 ON⊥AC 于 N， ∵∠ADC＝60°，AB⊥CD， ∴AF＝ DF， ∵OE⊥CD，OF⊥AB，AB⊥CD， ∴四边形 OEHF 是矩形，AF＝BF＝4，CE＝ED， ∴OF＝EH， ∵OF＝ ＝ ＝3， ∴EH＝3， ∴ED＝CE＝3+DH， ∴CF＝3+2DH， ∵∠AOC＝2∠ADC＝120°，且 AO＝CO＝5，ON⊥AC， ∴∠CAO＝30°，AN＝CN， ∴NO＝ ，AN＝ ， ∴AC＝5 ， ∵AH2+CH2＝AC2， ∴75＝3DH2+（3+2DH）2， ∴DH＝2 ﹣ ， ∴CD＝2CE＝2（3+2 ﹣ ）＝ ． 13．如图，AB 是⊙O 的弦，AB＝4，点 P 在 上运动（点 P 不与点 A、B 重 合），且∠APB＝30°，设图中阴影部分的面积为 y． （1）⊙O 的半径为 4 ； （2）若点 P 到直线 AB 的距离为 x，求 y 关于 x 的函数表达式，并直接写出 自变量 x 的取值范围． 解：（1）∵∠AOB＝2∠APB＝2×30°＝60°， 而 OA＝OB， ∴△OAB 为等边三角形， ∴OA＝AB＝4， 即⊙O 的半径为 4； 故答案为 4； （2）过点 O 作 OH⊥AB，垂足为 H，如图， 则∠OHA＝∠OHB＝90° ∵∠APB＝30° ∴∠AOB＝2∠APB＝60°， ∵OA＝OB，OH⊥AB， ∴AH＝BH＝ AB＝2， 在 Rt△AHO 中，∠AHO＝90°，AO＝4，AH＝2， ∴OH＝ ＝2 ， ∴y＝ ﹣ ×4×2 + ×4×x ＝2x+ π﹣4 （0＜x≤2 +4）． 14．如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，AC 为⊙O 的直径，D 为 的中点，过 点 D 作 DE∥AC，交 BC 的延长线于点 E． （1）判断 DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若 CE＝ ，AB＝6，求⊙O 的半径． （1）解：结论：DE 与⊙O 相切 证：连接 OD 在⊙O 中，∵D 为 的中点， ∴ ＝ ， ∴AD＝DC， ∵AD＝DC，点 O 是 AC 的中点， ∴OD⊥AC， ∴∠DOA＝∠DOC＝90°， ∵DE∥AC， ∴∠DOA＝∠ODE＝90°， ∵∠ODE＝90°， ∴OD⊥DE， ∵OD⊥DE，DE 经过半径 OD 的外端点 D， ∴DE 与⊙O 相切． （2）解：连接 BD． ∵四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形， ∴∠DAB+∠DCB＝180°， 又∵∠DCE+∠DCB＝180°， ∴∠DAB＝∠DCE， ∵AC 为⊙O 的直径，点 D、B 在⊙O 上， ∴∠ADC＝∠ABC＝90°， ∵ ＝ ， ∴∠ABD＝∠CBD＝45°， ∵AD＝DC，∠ADC＝90°， ∴∠DAC＝∠DCA＝45°， ∵DE∥AC， ∴∠DCA＝∠CDE＝45°， 在△ABD 和△CDE 中， ∵∠DAB＝∠DCE，∠ABD＝∠CDE＝45°， ∴△ABD∽△CDE， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ， ∴AD＝DC＝4 ， 在 Rt△ADC 中，∠ADC＝90°，AD＝DC＝4 ， ∴AC＝ ＝ ＝8， ∴⊙O 的半径为 4． 15．（1）如图①，点 A，B，C 在⊙O 上，点 D 在⊙O 外，比较∠A 与∠BDC 的大小，并说明理由； （2）如图②，点 A，B，C 在⊙O 上，点 D 在⊙O 内，比较∠A 与∠BDC 的大小，并说明理由； （3）利用上述两题解答获得的经验，解决如下问题： 在平面直角坐标系中，如图③，已知点 M（1，0），N（4，0），点 P 在 y 轴 上，试求当∠MPN 度数最大时点 P 的坐标． 解：（1）∠A＞∠BDC，理由如下： 设 CD 交⊙O 于 E，连接 BE，如图 1 所示： ∠BEC＝∠BDC+∠DBE， ∴∠BEC＞∠BDC， ∵∠A＝∠BEC， ∴∠A＞∠BDC； （2）∠A＜∠BDC，理由如下： 延长 CD 交⊙O 于点 F，连接 BF，如图 2 所示： ∵∠BDC＝∠BFC+∠FBD， ∴∠BDC＞∠BFC， 又∵∠A＝∠BFC， ∴∠A＜∠BDC； （3）由（1）、（2）可得：当点 P 是经过 M、N 两点的圆和 y 轴相切的切点时， ∠MPN 度数最大， ①当点 P 在 y 轴的正半轴上时，如图 3 所示： 设⊙O′为点 P 是经过 M、N 两点的圆和 y 轴相切的切点的圆， 连接 O′P、O′M、O′N，作 O′H⊥MN 于 H，则四边形 OPO′H 是矩 形，MH＝HN， ∴OP＝O′H，O′P＝OH＝O′M， ∵M（1，0），N（4，0）， ∴OM＝1，MN＝3， ∴MH＝HN＝ MN＝ ， 设 O′P＝OH＝O′M＝x， MH＝OH﹣OM＝x﹣1， ∴x﹣1＝ ， ∴x＝ ， ∴O′H＝ ＝ ＝2， ∴OP＝2， ∴点 P 的坐标为（0，2）； ②当点 P 在 y 轴的负半轴上时，如图 4 所示： 同理可得 O′H＝OP＝2， ∴点 P 的坐标为（0，﹣2）； 综上所述， 当∠MPN 度数最大时点 P 的坐标为（0，2）或（0，﹣2）．