2020九年级数学上册 第22章 相似形 22 5页

‎22.3　相似三角形的性质 第1课时　相似三角形的性质 知|识|目|标 ‎1．通过观察、猜想、论证和归纳的过程，探索相似三角形的性质定理1，2，会用定理1，2进行计算；‎ ‎2．通过回顾比例的性质，结合相似三角形的性质定理1，2，探索发现相似三角形的性质定理3，会用定理3进行计算．‎ 目标一　会根据相似三角形的定理1，2计算 例1 ［教材补充例题］已知△ABC∽△A′B′C′，＝，AB边上的中线CD＝4 cm，△ABC的周长为20 cm.根据相似三角形的性质，完成下列问题：‎ ‎(1)根据对应边比例等于相似比，由＝可知△ABC与△A′B′C′的相似比为________；‎ 由相似三角形的对应中线之比等于相似比可知＝＝________，由CD＝4 cm，得C′D′＝________ cm.‎ ‎(2)根据相似三角形的周长之比等于相似比可知＝＝________，由C△ABC＝‎20 cm，得C△A′B′C′＝________ cm.‎ 例2 ［教材例1变式］如图22－3－1，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AD＝BC＝12，点P在AB上，且PQ∥AD交BC于点Q，PM∥BC交AC于点M，若PM＝2PQ，求PM的长．‎ 图22－3－1‎ ‎【归纳总结】根据题意，利用相似三角形对应线段的性质建立比例式，得到已知线段与未知线段的数量关系；再设未知数，列出方程求解．‎ 目标二　会根据相似三角形的定理3计算 例3 [教材例2变式] 如图22－3－2，在△ABC中，DE∥BC，且S△ADE∶S四边形BCED＝1∶2，BC＝2 ，试求DE的长．‎ 5‎ 图22－3－2‎ 例4 [教材补充例题] 如图22－3－3，将△ABC沿BC方向平移得到△A′B′C′.△ABC与△A′B′C′重叠部分(图中阴影部分)的面积是△ABC面积的.已知BC＝ cm，求△ABC平移的距离．‎ 图22－3－3‎ ‎【归纳总结】相似三角形面积的比等于相似比的平方，而不是等于相似比，在解题中，‎ 知识点一　相似三角形对应线段的比等于相似比 相似三角形性质定理1：相似三角形________________、________________和____________________都等于相似比．‎ 相似三角形的相似比、对应高之比、对应中线之比、对应角平分线之比这四个量中已知其中的一个量，就能知道其他三个量．‎ ‎[点拨] 利用相似三角形的性质时，要注意“对应”两字，要找准对应线段．‎ 知识点二　相似三角形周长的比等于相似比 相似三角形性质定理2：相似三角形周长的比等于________．‎ 相似三角形周长的比＝对应高的比＝对应中线的比＝对应角平分线的比＝相似比(对应边的比)．‎ ‎[点拨] (1)相似三角形周长的比等于相似比是利用等比性质得到的．‎ ‎(2)利用相似三角形的周长比与相似比的关系可以进行有关边长、周长或比值的计算．‎ ‎(3)周长的比的顺序要和对应边的比的顺序一致．‎ 知识点三　相似三角形面积的比等于相似比的平方 相似三角形性质定理3：相似三角形面积的比等于______________．‎ 反过来，相似三角形的相似比等于面积比的算术平方根．‎ 5‎ 已知相似比求面积比要平方；已知面积比求相似比要开方．‎ 数学活动课上，田老师布置了一道思考题：如图22－3－4，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分(Ⅰ和Ⅱ)面积相等，则的值是多少？小明同学马上举手回答：Ⅰ和Ⅱ面积相等，它们的面积都是△ABC的一半，所以的值是.‎ 小明同学的回答正确吗？请说明理由，并给出正确答案．‎ 图22－3－4‎ ‎‎ 5‎ ‎ 教师详解详析 ‎【目标突破】‎ 例1　(1)1∶2　　8　(2)　40‎ 例2　解：设PQ＝x，则PM＝2x，设AD交PM于点H.‎ ‎∵PM∥BC，∴△APM∽△ABC，‎ ‎∴＝，即＝，解得x＝4.‎ ‎∴PM＝2x＝8.‎ 例3　[解析] 先证明△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的性质＝，求出DE的长．‎ 解：∵DE∥BC，‎ ‎∴△ADE∽△ABC，∴＝.‎ 又∵＝，可设S△ADE＝k，则S四边形BCED＝2k，∴S△ABC＝3k，∴＝＝，‎ ‎∴DE2＝BC2＝×24＝8，‎ ‎∴DE＝2 .‎ 例4　解：如图，设AC与A′B′相交于点D.‎ 根据平移的性质，知AB∥A′B′，∴△DB′C∽△ABC.∵重叠部分(图中阴影部分)的面积是△ABC面积的，‎ ‎∴()2＝.∵BC＝ cm，‎ ‎∴()2＝，解得B′C＝1 cm.‎ ‎∴BB′＝BC－B′C＝(－1) cm.‎ 即△ABC平移的距离为(－1) cm.‎ ‎【总结反思】‎ 5‎ ‎[小结] 知识点一　对应高的比　对应中线的比　对应角平分线的比 知识点二　相似比 知识点三　相似比的平方 ‎[反思] 小明同学的答案不正确．理由如下：‎ ‎∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.‎ ‎∵△ADE的面积和四边形BDEC的面积相等，‎ ‎∴＝＝()2，∴＝. ‎ 5‎