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- 2021-11-11 发布
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2013 学年初三年级数学学科质量调研测试
(时间:100 分钟 满分:150 分)
一、选择题:(本大题共 6 题,每题 4 分,满分 24 分)
1、如果△ ABC∽△DEF(其中顶点 A、B、C 依次与顶点 D、E、F 对应),那么下列等式中
不一定成立的是( ▲ )
A、∠A=∠D B、 AD
BE
C、AB=DE D、 AB DE
AC DF
2、如图,地图上 A 地位于 B 地的正北方,C 地位于 B 地的北偏东 50°方向,且 C 地到 A 地、
B 地距离相等,那么 C 地位于 A 地的( ▲ )
A、南偏东 50°方向 B、北偏西 50°方向 C、南偏东 40°方向 D、北偏西 40°方向
3、将抛物线 2yx 向左平移 2 个单位,则所得的抛物线的解析式为( ▲ )
A、 2( 2)yx B、 2( 2)yx C、 2 2yx D、 2 2yx
4、如图,△ PQR 在边长为 1 个单位的方格纸中,它的顶点在小正方形顶点位置,其中点 A、
B、C、D 也是小正方形的顶点,那么与△ PQR 相似的是( ▲ )
A、以点 P、Q、A 为顶点的三角形 B、以点 P、Q、B 为顶点的三角形
C、以点 P、Q、C 为顶点的三角形 D、以点 P、Q、D 为顶点的三角形
5、抛物线 2 32y x x 与坐标轴(含 x 轴、y 轴)的公共点的个数是( ▲ )
A、0 B、1 C、2 D、3
6、如图,在△ ABC 中,∠ACB=90°,CD 为边 AB 上的高,已知 BD=1,则线段 AD 的长
是( ▲ )
A、 2sin A B、 2cos A C、 2tan A D、 2cot A
二、填空题:(本大题共 12 题,每题 4 分,满分 48 分)
C
B
A
(第 2 题)
Q
R P
D C B A
(第 4 题)
A B D
C
(第 6 题)
7、已知 7
4
x
y ,则 xy
xy
的值为 ▲ 。
8、计算: 2( ) 3( )a b a b ▲ 。
9、已知两个相似三角形的周长比为 2:3,且其中一个三角形的面积是 36,那么另一个三角
形的面积是 ▲ 。
10、已知第一象限内一点 A,已知 OA=5,OA 与 x 轴正半轴形成的夹角为 ,且 tan 2 ,
那么点 A 的坐标是 ▲ 。
11、某人沿着一个坡比为1:3 的斜坡(AB)向前行走了 10 米,那么他实际上升的垂直高度
是 ▲ 米。
12、抛物线 2 23y x x 的顶点坐标是 ▲ 。
13、已知二次函数 ()y f x 图像的对称轴是直线 2x ,如果 (3) (4)ff> ,那
么 ( 3)f ▲ ( 4)f 。(填“>”或“<”)
14、正方形 ABCD 的边长为 6,圆 O 过 B、C 两点,
圆 O 的半径为 10 ,联结 AO,则∠BAO 的余切值是 ▲ .
15、如图 1,将矩形 ABCD 的四个角向内折起,恰好拼成一个无缝隙
无重叠的四边形 EFGH,EH = 12,EF = 16,则边 AD 的长是 ▲ .
16、已知点 P 是二次函数 2 24y x x 图像上的点,且它到 y 轴的距离为 2,则点 P 的坐
标是 ▲ 。
17、如图,E 是正方形 ABCD 边 CD 的中点,AE 与 BD 交于点 O,
则 tan AOB ▲ 。
18、在平面直角坐标系中,点 A 的坐标为 3,0 ,点 B 为 y 轴正
半轴上的一点,点C 是第一象限内一点,且 2AC .设 cot BOC m,则 m 的取值范
围是 ▲ 。
三、解答题:(本大题共 7 题,满分 78 分)
19、(本题满分 10 分)计算:
30sin
45cot60sin
60cos30tan
45cos
A
B
C
D
E
A
B
E
D
F C
H
G
图 1
图 2
20、(本题满分 10 分)
“阳光体育活动”促进了学校体育活动的开展,小杰在一次铅球比赛中,铅球出手以后的轨
迹是抛物线的一部分(如图所示),已知铅球出手时离地面 61 米(如图,直角坐标平面中 AB
的长),铅球到达最高点时离地面 2 米(即图中CF 的长),离投掷点3 米(即图中OF 的长),
请求出小杰这次掷铅球的成绩(即图中OD的长,精确到 010 米,参考数据 23625 )
21、(本题满分 10 分)
如图,港口 B 在港口 A 的东北方向,上午 9 时,一艘轮船从港口 A 出发,以 16 海里/时的
速度向正东方向航行,同时一艘快艇从港口 B 出发也向正东方向航行.上午 11 时轮船到达
C 处,同时快艇到达 D 处,测得 D 处在 C 处的北偏东 60°的方向上,且 C、D 两地相距 80
海里,求快艇每小时航行多少海里?
(结果精确到 0.1 海里/时,参考数据: 414.12 , 732.13 , 236.25 )
东
60°45°北
C
DB
A
B
1.6m
C
C
F
C
(A) O
y
x D
22、(本题满分 10 分,第(1)小题 3 分,第(2)小题 3 分,第(3)小题 4 分)
已知:⊙O 的半径 OA=5,弦 AB=8,C 是弦 AB 的中点,点 P 是射线 AO 上一点(与点
A 不重合),直线 PC 与射线 BO 交于点 D。
(1)当点 P 在⊙O 上,求 OD 的长。
(2)若点 P 在 AO 的延长线上,设 OP=x, yDB
OD ,求 y 与 x 的函数关系式并写出自变量
x 的取值范围。
(3)连接 CO,若△ PCO 与△ PCA 相似,直接写出此时 BD 的长。
23、(本题满分 12 分,每小题 4 分)
在平面直角坐标系 xOy 中,二次函数 21
2y x bx c 的图象经过点 A(-3,6),并与 x 轴
交于点 B(-1,0)和点 C,顶点为 P.
(1)求二次函数的解析式;
(2)设 D 为线段 OC 上的一点,若 DPC BAC ,求点 D 的坐标;
(3)在(2)的条件下,若点 M 在抛物线 上,点 N 在 y 轴上,要使以 M、
N、B、D 为顶点的四边形是平行四边形,这样的点 M、N 是否存在,若存在,直接写出所
有满足条件的点 M 的坐标;若不存在,说明理由.
(第 22 题图)
D
P O
C
B
A
(备用图)
O
C
B
A
(备用图)
O
C
B
A
24、(本题满分 12 分,每小题 4 分)
如图,已知抛物线过点 (0,6)A , (2,0)B , 5(7, )2C 。
(1)求抛物线的解析式;
(2)若 D 是抛物线的顶点, E 是抛物线的对称轴与直线 AC 的交点, F 与 E 关于 D 对称,
求证: CFE AFE ;
(3)在 y 轴上是否存在这样的点 P ,使 AFP 与 FDC 相似,若有,请求出所有符合条件
的点 P 的坐标;若没有,请说明理由。
y
x
A
B
O
D
F
C
E
(第 24 题图)
25、(本题满分 14 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 4 分)
如图,在△ ABC 中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,CD 是 AB 上的中线,点 E 是边 BC 上
一动点(不与 B、C 重合),设 BE=x。直线 DE 交直线 AC 于点 F。
(1)设 AF=y,求 y 与 x 的函数解析式及定义域;
(2)①当△ CEF 是等腰三角形,求 x 的值;
②当以 C、E、F 为顶点的三角形与△ ABC 相似,求 x 的值;
(3)若 S△ BED =
1
4
S△ AFD ,直接写出直线 DE 与 AB 所夹锐角的正切值。
A B
C
D A B
C
D A B
C
D
第 25 题图 备用图 备用图
2013 学年初三年级数学学科质量调研测试
参考答案及评分标准
一、选择题:(本大题共 6 题,每题 4 分,满分 24 分)
1、C 2、A 3、A 4、B 5、D 6、B
二、填空题:(本大题共 12 题,每题 4 分,满分 48 分)
7、11
3
8、5ab 9、16 或 81 10、( 5,2 5) 11、 10 12、( 1,2)
13、> 14、7
3
或 5
3 15、20 16、(2,4) 或( 2,12) 17、3 18、 250 5m
三、解答题:(本大题共 7 题,满分 78 分)
19、(本题满分 10 分)
解:原式
2
1
12
3
2
1
3
3
2
2
………………………………………………6 分
36 ………………………………………………4 分
20、(本题满分 10 分)
解:由题意得 )6.1,0(B 、 )2,3(C ………………………………………2 分
设抛物线解析式 2)3( 2 xay (a ≠0 )………………………1 分
将 代入,得 6.12)30( 2 a 解得
45
2a ……2 分
∴抛物线解析式 2)3(45
2 2 xy ……………………………1 分
设 )0,(xD 代入,得 02)3(45
2 2 x
解得 533x (负值舍去) …………………………………2 分
∴ 71.9708.9236.233533 x (米)……………1 分
答:小杰这次掷铅球的成绩是 71.9 米.…………………………………1 分
21、(本题满分 10 分)
解:分别过点 B、D 作 AC 的垂线,交 AC 的延长线于点 E、F,……1 分
在 Rt△DCF 中,∠DFC=90°,∠DCF=90°-60°=30°,………………1 分
∴ 402
1 CDDF
340cos DCFCDCF
∴AF=AC+CF= 34032340216 ……………………………2 分
∵DF⊥AF,BE⊥AF,BE⊥BD,
∴四边形 BEFD 是矩形.
∴BE=DF=40
在 Rt△BAE 中,∠BEA=90°,∠BAE=90°-45°=45°,
∴AE=BE=40 ……………………………1 分
∴ 83404034032 AEAFEF .
∴ 8340 EFBD …………………………………………………………2 分
6.3043202)8340( .………………………………………2 分
答:快艇的速度约为 30.6 海里/时。……………………………1 分
22、(本题满分 10 分,第(1)小题 3 分,第(2)小题 3 分,第(3)小题 4 分)
解:当 P 在⊙O 上时,连接 BP …………………………………………(1 分)
∵ C 是 AB 中点,O 是 AP 中点,
∴ 点 D 为△ ABP 的重心, ∴ 1
3OD OB …………………………………(1 分)
∵ OA=OB=5 ∴ 5
3OD ……………………………………………………(1 分)
(2)过点 O 作 OE//AB,交 PC 于点 E(如图)
∵OE//AB ∴ OE OP
AC AP , OE OD
BC BD
又∵ AC=BC ∴ OP OD
AP BD …………………………………………………(1 分)
即
5
xy x (x>0) …………………………………………………………(1 分+1 分)
(3) 当 P 在 AO 延长线上时,若△ PCO∽△PAC 时,有∠PCO=∠A,
∵∠A=∠B,∴∠PCO=∠B, 易证△ ACO∽△BDC
得 AC AO
BD BC 得 45
4BD ∴ 16
5BD ………………………………(2 分)
当 P 在 AO 上时,若△ PCO∽△PAC 时,可得 CP⊥AO(如图)
作 BH⊥AO,可求得 9
5PO , 7
5OH
由 OP OD
OH OB , 得
9
5
7 5
5
OD ∴ 45
7OD
则 45 80577BD OB OD ……………………………………………(2 分)
45°
E FC
DB
A
P O
D
HA
B
C
D
O PA
B
C
E
综上所述,若△ PCO 与△ PCA 相似,此时 BD 的长为16
5
或 80
7
(其他解法略)
23、(本题满分 12 分,每小题 4 分)
解:(1)将点 A(-3,6), B(-1,0)代入 21
2y x bx c 中,
得
9 3 6,2
1 0.2
bc
bc
……………………………(1 分)
解得
1,
3.2
b
c
……………………………………………(2 分)
∴二次函数的解析式为 213
22y x x .……………………………(1 分)
(2)令 0y ,得 213022xx ,解得 1 1x , 2 3x .
∴点 C 的坐标为(3,0). ……………………………(1 分)
∵ 221 3 1 ( 1) 22 2 2y x x x ,
∴顶点 P 的坐标为(1,-2). ……………………………(1 分)
过点 A 作 AE⊥x 轴,过点 P 作 PF⊥x 轴,垂足分别为 E,F.
易得 45ACB PCD .
2262AC AE CE , 2222PC PF CF .
又 DPC BAC ,
∴△ ACB∽△ PCD.……………………………(1 分)
∴ BC AC
CD PC .
∵ 3 ( 1) 4BC ,
∴ 4
3
BC PCCD AC.
∴ 453 33OD OC CD .
∴点 D 的坐标为 5( , 0)3
.……………………………(1 分)
(3)当 BD 为一边时,由于 8
3BD ,
∴点 M 的坐标为 8 85( , )3 18 或 8 11( , )3 18 . ……………………………(2 分)
当 BD 为对角线时,点 M 的坐标为 2 35( , )3 18 . ……………………………(2 分)
24.(本题满分 12 分,每小题 4 分)
解:(1)设经过 A(0,6), B(2,0), C(7, 5
2
)三点的抛物线的解析式为
cbxaxy 2 ………………………………………1 分
则:
6
4 2 0
549 7 2
c
a b c
a b c
……………………………………………………1 分
解得 1 , 4, 6.2a b c ………………………………………………1 分
∴ 此抛物线的解析式为 21 462y x x ……………………………1 分
(2)过点 A 作 AM∥x 轴,交 FC 于点 M,交对称轴于点 N.
∵抛物线的解析式 可变形为 21 422yx
∴抛物线对称轴是直线 x =4,顶点 D 的坐标为(4,-2),则 AN=4.
设直线 AC 的解析式为 11y k x b,
则有
1
11
6
57 2
b
kb
,解得 11
1 ,62kb .
∴直线 AC 的解析式为 1 6.2yx …………………………………1 分
当 x=4 时, 1 4 6 4.2y
∴点 E 的坐标为(4,4),
∵点 F 与 E 关于点 D 对称,则点 F 的坐标为(4,-8)……………1 分
设直线 FC 的解析式为 22y k x b,
则有
22
22
48
57 2
kb
kb
,解得 22
7 , 222kb .
∴直线 FC 的解析式为 7 22.2yx
∵AM 与 x 轴平行,则点 M 的纵坐标为 6.
当 y=6 时,则有 7 22 6,2 x 解得 x=8.
∴AM=8,MN=AM—MN=4
∴AN=MN
∵FN⊥AM
∴∠ANF=∠MNF
又 NF=NF
∴△ANF≌△MNF…………………………………………………1 分
∴∠CFE=∠AFE……………………………………………………1 分
(3)∵C 的坐标为(7, 5
2
), F 坐标为(4,-8)
∴
2
25 3 538 7 422CF
∵A 的坐标为(0,6), ∴ 2 26 8 4 2 53FA ,
又 DF=6,
∵EF∥AO,则有∠PAF=∠AFE
又由(2)可知∠DFC=∠AFE
∴∠PAF=∠DFC
若△ AFP1∽△FCD
则 1PA AF
DF CF ,即 1 2 53
6 3 53
2
PA ,解得 P1A=8…………………………1 分
∴O P1=8-6=2 ∴P1 的坐标为(0,-2)……………………1 分
若△ AFP2∽△FDC
则 2PA AF
CF DF ,即 2 2 53
63 53
2
PA ,解得 P2A= 53
2 ……………………1 分
∴O P2= -6= 41
2 ∴P2 的坐标为(0,- )…………1 分
所以符合条件的点 P 的坐标有两个,分别是 P1(0,-2), P2(0,- )。
25、(本题满分 14 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 4 分)
(1)①当点 F 在 AC 延长线上时
过 D 作 DG⊥BC 于 G,则△ EDG∽△EFC
∴ DG
CF
=
EG
CE
,∴ 3
CF
=
x-4
8-x
,∴CF=
24-3x
x-4
∴AF=AC+CF=6+
24-3x
x-4
=
3x
x-4
即 y= 3x
x-4
(4<x<8)……………………………2 分
②当点 F 在 CA 延长线上时
过 D 作 DH⊥AC 于 H,则△ DFH∽△EFC
∴ HF
CF
=
DH
CE
,∴ 3+AF
6+AF
=
4
8-x
,∴AF=
3x
4-x
即 y= 3x
4-x
(0<x<4)……………………………2 分
注:定义域写错最多扣一分。
(2)①1°当点 F 在 AC 延长线上时
∵∠ACB=90°,∴DG∥AC
∵CD 是 AB 上的中线,∴AD=BD
∴DG 是△ ABC 的中位线,∴DG=
1
2
AC=3,BG=
1
2
BC=4
∵∠ACB=90°,∴∠ECF=90°
∵△CEF 是等腰三角形,∴∠CEF=45°
∴∠DEG=45°,∴△CEF 是等腰直角三角形
∴EG=DG=3
∴BE=BG+EG=4+3=7 ……………………………1 分
2°当点 F 在 CA 延长线上时
∵∠ACB=90°,△ CEF 是等腰三角形,∴∠CEF=45°
∴EG=DG=3
∴BE=BG-EG=4-3=1 ……………………………1 分
∴BE 的长为 1 或 7
注:若学生做出一解即可得 2 分,两解全做出可得 3 分。
②1°∵∠ACB=90°,AC=6,BC=8,∴AB=10
∵CD 是 AB 上的中线,∴AD=BD=5
当点 F 在 AC 延长线上时
若∠CEF=∠B,则∠BED=∠CEF=∠B,
∵CD 是斜边 AB 上的中线,∴∠BCD=∠B
∴点 E 与点 C 重合,此时△ CEF 不存在
若∠F=∠B,∵∠ECF=∠ACB=90°
∴△EFC∽△ABC
在△ AFD 和△ ABC 中,∵∠F=∠B,∠A=∠A
∴∠ADF=∠ACB=90°
∴BE=
BD
cosB
=
5
8
10
=
25
4
A B
C
D
E
F
A B
C
D
E
F
G
A B
C
D
E
F
G
A B
C
D
E
F
H
2°当点 F 在 CA 延长线上时
∵∠CAB>∠F,∴当∠F=∠B 时,△ EFC∽△ABC
过 D 作 DH⊥AC 于 H
则 AH=CH=
1
2
AC=3,DH=
1
2
BC=4
∴HF=DH·cotF=DH·cotB=4×
8
6
=
16
3
∴CF=CH+HF=3+
16
3
=
25
3
∴CE=CF·tanF=CF·tanB=
25
3
×
6
8
=
25
4
∴BE=BC-CE=8-
25
4
=
7
4
注:若学生做出一解即可得 2 分,两解全做出可得 3 分。
若学生第(2)小题都只做出一解,并都正确,最多得 3 分
(3)分别过 E、F 作 AB 的垂线,垂足为 M、N
①当点 F 在 AC 延长线上时
∵AD=BD,∴ S△ BED
S△ AFD
=
EM
FN
∵S△ BED =
1
4
S△ AFD ,∴ EM
FN
=
1
4
,∴ DE
DF
=
1
4
,∴ DE
EF
=
1
3
过 D 作 DG⊥BC 于 G,则△ EDG∽△EFC
∴ EG
CE
=
DE
EF
=
1
3
,∴EG=
1
3
CE=
1
4
CG=
1
4
×4=1
∴BE=BG+EG=4+1=5,∴EM=BE·sinB=5× 6
10
=3
BM=BE·cosB=5× 8
10
=4,DM=BD-BM=5-4=1
∴tan∠EDB=
EM
DM
=3……………………………2 分
②当点 F 在 CA 延长线上时
∵AD=BD,∴ S△ BED
S△ AFD
=
EM
FN
=
1
4
,∴ DE
DF
=
1
4
,∴ DF
EF
=
4
5
过 D 作 DH⊥AC 于 H,则△ DFH∽△EFC
∴ DH
CE
=
DF
EF
=
4
5
,∴CE=
5
4
DH=
5
4
×4=5
∴BE=BC-CE=8-5=3 ,∴EM=BE·sinB=3× 6
10
=
9
5
BM=BE·cosB=3× 8
10
=
12
5
,DM=BD-BM=5-
12
5
=
13
5
∴tan∠EDB=
EM
DM
=
9
13
……………………………2 分
A
B
C
D
E
F
H
M
N
A B
C
D
E
F
G
M N
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