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  • 2021-11-11 发布

2013学年上海市初三年级数学学科质量调研测试(含答案)

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2013 学年初三年级数学学科质量调研测试 (时间:100 分钟 满分:150 分) 一、选择题:(本大题共 6 题,每题 4 分,满分 24 分) 1、如果△ ABC∽△DEF(其中顶点 A、B、C 依次与顶点 D、E、F 对应),那么下列等式中 不一定成立的是( ▲ ) A、∠A=∠D B、 AD BE  C、AB=DE D、 AB DE AC DF 2、如图,地图上 A 地位于 B 地的正北方,C 地位于 B 地的北偏东 50°方向,且 C 地到 A 地、 B 地距离相等,那么 C 地位于 A 地的( ▲ ) A、南偏东 50°方向 B、北偏西 50°方向 C、南偏东 40°方向 D、北偏西 40°方向 3、将抛物线 2yx 向左平移 2 个单位,则所得的抛物线的解析式为( ▲ ) A、 2( 2)yx B、 2( 2)yx C、 2 2yx D、 2 2yx 4、如图,△ PQR 在边长为 1 个单位的方格纸中,它的顶点在小正方形顶点位置,其中点 A、 B、C、D 也是小正方形的顶点,那么与△ PQR 相似的是( ▲ ) A、以点 P、Q、A 为顶点的三角形 B、以点 P、Q、B 为顶点的三角形 C、以点 P、Q、C 为顶点的三角形 D、以点 P、Q、D 为顶点的三角形 5、抛物线 2 32y x x   与坐标轴(含 x 轴、y 轴)的公共点的个数是( ▲ ) A、0 B、1 C、2 D、3 6、如图,在△ ABC 中,∠ACB=90°,CD 为边 AB 上的高,已知 BD=1,则线段 AD 的长 是( ▲ ) A、 2sin A B、 2cos A C、 2tan A D、 2cot A 二、填空题:(本大题共 12 题,每题 4 分,满分 48 分) C B A (第 2 题) Q R P D C B A (第 4 题) A B D C (第 6 题) 7、已知 7 4 x y  ,则 xy xy   的值为 ▲ 。 8、计算: 2( ) 3( )a b a b    ▲ 。 9、已知两个相似三角形的周长比为 2:3,且其中一个三角形的面积是 36,那么另一个三角 形的面积是 ▲ 。 10、已知第一象限内一点 A,已知 OA=5,OA 与 x 轴正半轴形成的夹角为 ,且 tan 2  , 那么点 A 的坐标是 ▲ 。 11、某人沿着一个坡比为1:3 的斜坡(AB)向前行走了 10 米,那么他实际上升的垂直高度 是 ▲ 米。 12、抛物线 2 23y x x   的顶点坐标是 ▲ 。 13、已知二次函数 ()y f x 图像的对称轴是直线 2x  ,如果 (3) (4)ff> ,那 么 ( 3)f  ▲ ( 4)f  。(填“>”或“<”) 14、正方形 ABCD 的边长为 6,圆 O 过 B、C 两点, 圆 O 的半径为 10 ,联结 AO,则∠BAO 的余切值是 ▲ . 15、如图 1,将矩形 ABCD 的四个角向内折起,恰好拼成一个无缝隙 无重叠的四边形 EFGH,EH = 12,EF = 16,则边 AD 的长是 ▲ . 16、已知点 P 是二次函数 2 24y x x   图像上的点,且它到 y 轴的距离为 2,则点 P 的坐 标是 ▲ 。 17、如图,E 是正方形 ABCD 边 CD 的中点,AE 与 BD 交于点 O, 则 tan AOB ▲ 。 18、在平面直角坐标系中,点 A 的坐标为 3,0 ,点 B 为 y 轴正 半轴上的一点,点C 是第一象限内一点,且 2AC  .设 cot BOC m,则 m 的取值范 围是 ▲ 。 三、解答题:(本大题共 7 题,满分 78 分) 19、(本题满分 10 分)计算:    30sin 45cot60sin 60cos30tan 45cos A B C D E A B E D F C H G 图 1 图 2 20、(本题满分 10 分) “阳光体育活动”促进了学校体育活动的开展,小杰在一次铅球比赛中,铅球出手以后的轨 迹是抛物线的一部分(如图所示),已知铅球出手时离地面 61 米(如图,直角坐标平面中 AB 的长),铅球到达最高点时离地面 2 米(即图中CF 的长),离投掷点3 米(即图中OF 的长), 请求出小杰这次掷铅球的成绩(即图中OD的长,精确到 010 米,参考数据 23625  ) 21、(本题满分 10 分) 如图,港口 B 在港口 A 的东北方向,上午 9 时,一艘轮船从港口 A 出发,以 16 海里/时的 速度向正东方向航行,同时一艘快艇从港口 B 出发也向正东方向航行.上午 11 时轮船到达 C 处,同时快艇到达 D 处,测得 D 处在 C 处的北偏东 60°的方向上,且 C、D 两地相距 80 海里,求快艇每小时航行多少海里? (结果精确到 0.1 海里/时,参考数据: 414.12  , 732.13  , 236.25  ) 东 60°45°北 C DB A B 1.6m C C F C (A) O y x D 22、(本题满分 10 分,第(1)小题 3 分,第(2)小题 3 分,第(3)小题 4 分) 已知:⊙O 的半径 OA=5,弦 AB=8,C 是弦 AB 的中点,点 P 是射线 AO 上一点(与点 A 不重合),直线 PC 与射线 BO 交于点 D。 (1)当点 P 在⊙O 上,求 OD 的长。 (2)若点 P 在 AO 的延长线上,设 OP=x, yDB OD  ,求 y 与 x 的函数关系式并写出自变量 x 的取值范围。 (3)连接 CO,若△ PCO 与△ PCA 相似,直接写出此时 BD 的长。 23、(本题满分 12 分,每小题 4 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,二次函数 21 2y x bx c   的图象经过点 A(-3,6),并与 x 轴 交于点 B(-1,0)和点 C,顶点为 P. (1)求二次函数的解析式; (2)设 D 为线段 OC 上的一点,若 DPC BAC   ,求点 D 的坐标; (3)在(2)的条件下,若点 M 在抛物线 上,点 N 在 y 轴上,要使以 M、 N、B、D 为顶点的四边形是平行四边形,这样的点 M、N 是否存在,若存在,直接写出所 有满足条件的点 M 的坐标;若不存在,说明理由. (第 22 题图) D P O C B A (备用图) O C B A (备用图) O C B A 24、(本题满分 12 分,每小题 4 分) 如图,已知抛物线过点 (0,6)A , (2,0)B , 5(7, )2C 。 (1)求抛物线的解析式; (2)若 D 是抛物线的顶点, E 是抛物线的对称轴与直线 AC 的交点, F 与 E 关于 D 对称, 求证: CFE AFE   ; (3)在 y 轴上是否存在这样的点 P ,使 AFP 与 FDC 相似,若有,请求出所有符合条件 的点 P 的坐标;若没有,请说明理由。 y x A B O D F C E (第 24 题图) 25、(本题满分 14 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 4 分) 如图,在△ ABC 中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,CD 是 AB 上的中线,点 E 是边 BC 上 一动点(不与 B、C 重合),设 BE=x。直线 DE 交直线 AC 于点 F。 (1)设 AF=y,求 y 与 x 的函数解析式及定义域; (2)①当△ CEF 是等腰三角形,求 x 的值; ②当以 C、E、F 为顶点的三角形与△ ABC 相似,求 x 的值; (3)若 S△ BED = 1 4 S△ AFD ,直接写出直线 DE 与 AB 所夹锐角的正切值。 A B C D A B C D A B C D 第 25 题图 备用图 备用图 2013 学年初三年级数学学科质量调研测试 参考答案及评分标准 一、选择题:(本大题共 6 题,每题 4 分,满分 24 分) 1、C 2、A 3、A 4、B 5、D 6、B 二、填空题:(本大题共 12 题,每题 4 分,满分 48 分) 7、11 3 8、5ab 9、16 或 81 10、( 5,2 5) 11、 10 12、( 1,2) 13、> 14、7 3 或 5 3 15、20 16、(2,4) 或( 2,12) 17、3 18、 250 5m 三、解答题:(本大题共 7 题,满分 78 分) 19、(本题满分 10 分) 解:原式 2 1 12 3 2 1 3 3 2 2     ………………………………………………6 分 36  ………………………………………………4 分 20、(本题满分 10 分) 解:由题意得 )6.1,0(B 、 )2,3(C ………………………………………2 分 设抛物线解析式 2)3( 2  xay (a ≠0 )………………………1 分 将 代入,得 6.12)30( 2 a 解得 45 2a ……2 分 ∴抛物线解析式 2)3(45 2 2  xy ……………………………1 分 设 )0,(xD 代入,得 02)3(45 2 2  x 解得 533x (负值舍去) …………………………………2 分 ∴ 71.9708.9236.233533 x (米)……………1 分 答:小杰这次掷铅球的成绩是 71.9 米.…………………………………1 分 21、(本题满分 10 分) 解:分别过点 B、D 作 AC 的垂线,交 AC 的延长线于点 E、F,……1 分 在 Rt△DCF 中,∠DFC=90°,∠DCF=90°-60°=30°,………………1 分 ∴ 402 1  CDDF 340cos  DCFCDCF ∴AF=AC+CF= 34032340216  ……………………………2 分 ∵DF⊥AF,BE⊥AF,BE⊥BD, ∴四边形 BEFD 是矩形. ∴BE=DF=40 在 Rt△BAE 中,∠BEA=90°,∠BAE=90°-45°=45°, ∴AE=BE=40 ……………………………1 分 ∴ 83404034032  AEAFEF . ∴ 8340  EFBD …………………………………………………………2 分 6.3043202)8340(  .………………………………………2 分 答:快艇的速度约为 30.6 海里/时。……………………………1 分 22、(本题满分 10 分,第(1)小题 3 分,第(2)小题 3 分,第(3)小题 4 分) 解:当 P 在⊙O 上时,连接 BP …………………………………………(1 分) ∵ C 是 AB 中点,O 是 AP 中点, ∴ 点 D 为△ ABP 的重心, ∴ 1 3OD OB …………………………………(1 分) ∵ OA=OB=5 ∴ 5 3OD  ……………………………………………………(1 分) (2)过点 O 作 OE//AB,交 PC 于点 E(如图) ∵OE//AB ∴ OE OP AC AP , OE OD BC BD 又∵ AC=BC ∴ OP OD AP BD …………………………………………………(1 分) 即 5 xy x  (x>0) …………………………………………………………(1 分+1 分) (3) 当 P 在 AO 延长线上时,若△ PCO∽△PAC 时,有∠PCO=∠A, ∵∠A=∠B,∴∠PCO=∠B, 易证△ ACO∽△BDC 得 AC AO BD BC 得 45 4BD  ∴ 16 5BD  ………………………………(2 分) 当 P 在 AO 上时,若△ PCO∽△PAC 时,可得 CP⊥AO(如图) 作 BH⊥AO,可求得 9 5PO  , 7 5OH  由 OP OD OH OB , 得 9 5 7 5 5 OD ∴ 45 7OD  则 45 80577BD OB OD     ……………………………………………(2 分) 45° E FC DB A P O D HA B C D O PA B C E 综上所述,若△ PCO 与△ PCA 相似,此时 BD 的长为16 5 或 80 7 (其他解法略) 23、(本题满分 12 分,每小题 4 分) 解:(1)将点 A(-3,6), B(-1,0)代入 21 2y x bx c   中, 得 9 3 6,2 1 0.2 bc bc         ……………………………(1 分) 解得 1, 3.2 b c   ……………………………………………(2 分) ∴二次函数的解析式为 213 22y x x   .……………………………(1 分) (2)令 0y  ,得 213022xx   ,解得 1 1x  , 2 3x  . ∴点 C 的坐标为(3,0). ……………………………(1 分) ∵ 221 3 1 ( 1) 22 2 2y x x x      , ∴顶点 P 的坐标为(1,-2). ……………………………(1 分) 过点 A 作 AE⊥x 轴,过点 P 作 PF⊥x 轴,垂足分别为 E,F. 易得 45ACB PCD     . 2262AC AE CE   , 2222PC PF CF   . 又 DPC BAC   , ∴△ ACB∽△ PCD.……………………………(1 分) ∴ BC AC CD PC . ∵ 3 ( 1) 4BC     , ∴ 4 3 BC PCCD AC. ∴ 453 33OD OC CD     . ∴点 D 的坐标为 5( , 0)3 .……………………………(1 分) (3)当 BD 为一边时,由于 8 3BD  , ∴点 M 的坐标为 8 85( , )3 18 或 8 11( , )3 18 . ……………………………(2 分) 当 BD 为对角线时,点 M 的坐标为 2 35( , )3 18 . ……………………………(2 分) 24.(本题满分 12 分,每小题 4 分) 解:(1)设经过 A(0,6), B(2,0), C(7, 5 2 )三点的抛物线的解析式为 cbxaxy  2 ………………………………………1 分 则: 6 4 2 0 549 7 2 c a b c a b c             ……………………………………………………1 分 解得 1 , 4, 6.2a b c    ………………………………………………1 分 ∴ 此抛物线的解析式为 21 462y x x   ……………………………1 分 (2)过点 A 作 AM∥x 轴,交 FC 于点 M,交对称轴于点 N. ∵抛物线的解析式 可变形为  21 422yx   ∴抛物线对称轴是直线 x =4,顶点 D 的坐标为(4,-2),则 AN=4. 设直线 AC 的解析式为 11y k x b, 则有 1 11 6 57 2 b kb   ,解得 11 1 ,62kb   . ∴直线 AC 的解析式为 1 6.2yx   …………………………………1 分 当 x=4 时, 1 4 6 4.2y      ∴点 E 的坐标为(4,4), ∵点 F 与 E 关于点 D 对称,则点 F 的坐标为(4,-8)……………1 分 设直线 FC 的解析式为 22y k x b, 则有 22 22 48 57 2 kb kb     ,解得 22 7 , 222kb   . ∴直线 FC 的解析式为 7 22.2yx ∵AM 与 x 轴平行,则点 M 的纵坐标为 6. 当 y=6 时,则有 7 22 6,2 x 解得 x=8. ∴AM=8,MN=AM—MN=4 ∴AN=MN ∵FN⊥AM ∴∠ANF=∠MNF 又 NF=NF ∴△ANF≌△MNF…………………………………………………1 分 ∴∠CFE=∠AFE……………………………………………………1 分 (3)∵C 的坐标为(7, 5 2 ), F 坐标为(4,-8) ∴   2 25 3 538 7 422CF      ∵A 的坐标为(0,6), ∴  2 26 8 4 2 53FA     , 又 DF=6, ∵EF∥AO,则有∠PAF=∠AFE 又由(2)可知∠DFC=∠AFE ∴∠PAF=∠DFC 若△ AFP1∽△FCD 则 1PA AF DF CF ,即 1 2 53 6 3 53 2 PA ,解得 P1A=8…………………………1 分 ∴O P1=8-6=2 ∴P1 的坐标为(0,-2)……………………1 分 若△ AFP2∽△FDC 则 2PA AF CF DF ,即 2 2 53 63 53 2 PA  ,解得 P2A= 53 2 ……………………1 分 ∴O P2= -6= 41 2 ∴P2 的坐标为(0,- )…………1 分 所以符合条件的点 P 的坐标有两个,分别是 P1(0,-2), P2(0,- )。 25、(本题满分 14 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 4 分) (1)①当点 F 在 AC 延长线上时 过 D 作 DG⊥BC 于 G,则△ EDG∽△EFC ∴ DG CF = EG CE ,∴ 3 CF = x-4 8-x ,∴CF= 24-3x x-4 ∴AF=AC+CF=6+ 24-3x x-4 = 3x x-4 即 y= 3x x-4 (4<x<8)……………………………2 分 ②当点 F 在 CA 延长线上时 过 D 作 DH⊥AC 于 H,则△ DFH∽△EFC ∴ HF CF = DH CE ,∴ 3+AF 6+AF = 4 8-x ,∴AF= 3x 4-x 即 y= 3x 4-x (0<x<4)……………………………2 分 注:定义域写错最多扣一分。 (2)①1°当点 F 在 AC 延长线上时 ∵∠ACB=90°,∴DG∥AC ∵CD 是 AB 上的中线,∴AD=BD ∴DG 是△ ABC 的中位线,∴DG= 1 2 AC=3,BG= 1 2 BC=4 ∵∠ACB=90°,∴∠ECF=90° ∵△CEF 是等腰三角形,∴∠CEF=45° ∴∠DEG=45°,∴△CEF 是等腰直角三角形 ∴EG=DG=3 ∴BE=BG+EG=4+3=7 ……………………………1 分 2°当点 F 在 CA 延长线上时 ∵∠ACB=90°,△ CEF 是等腰三角形,∴∠CEF=45° ∴EG=DG=3 ∴BE=BG-EG=4-3=1 ……………………………1 分 ∴BE 的长为 1 或 7 注:若学生做出一解即可得 2 分,两解全做出可得 3 分。 ②1°∵∠ACB=90°,AC=6,BC=8,∴AB=10 ∵CD 是 AB 上的中线,∴AD=BD=5 当点 F 在 AC 延长线上时 若∠CEF=∠B,则∠BED=∠CEF=∠B, ∵CD 是斜边 AB 上的中线,∴∠BCD=∠B ∴点 E 与点 C 重合,此时△ CEF 不存在 若∠F=∠B,∵∠ECF=∠ACB=90° ∴△EFC∽△ABC 在△ AFD 和△ ABC 中,∵∠F=∠B,∠A=∠A ∴∠ADF=∠ACB=90° ∴BE= BD cosB = 5 8 10 = 25 4 A B C D E F A B C D E F G A B C D E F G A B C D E F H 2°当点 F 在 CA 延长线上时 ∵∠CAB>∠F,∴当∠F=∠B 时,△ EFC∽△ABC 过 D 作 DH⊥AC 于 H 则 AH=CH= 1 2 AC=3,DH= 1 2 BC=4 ∴HF=DH·cotF=DH·cotB=4× 8 6 = 16 3 ∴CF=CH+HF=3+ 16 3 = 25 3 ∴CE=CF·tanF=CF·tanB= 25 3 × 6 8 = 25 4 ∴BE=BC-CE=8- 25 4 = 7 4 注:若学生做出一解即可得 2 分,两解全做出可得 3 分。 若学生第(2)小题都只做出一解,并都正确,最多得 3 分 (3)分别过 E、F 作 AB 的垂线,垂足为 M、N ①当点 F 在 AC 延长线上时 ∵AD=BD,∴ S△ BED S△ AFD = EM FN ∵S△ BED = 1 4 S△ AFD ,∴ EM FN = 1 4 ,∴ DE DF = 1 4 ,∴ DE EF = 1 3 过 D 作 DG⊥BC 于 G,则△ EDG∽△EFC ∴ EG CE = DE EF = 1 3 ,∴EG= 1 3 CE= 1 4 CG= 1 4 ×4=1 ∴BE=BG+EG=4+1=5,∴EM=BE·sinB=5× 6 10 =3 BM=BE·cosB=5× 8 10 =4,DM=BD-BM=5-4=1 ∴tan∠EDB= EM DM =3……………………………2 分 ②当点 F 在 CA 延长线上时 ∵AD=BD,∴ S△ BED S△ AFD = EM FN = 1 4 ,∴ DE DF = 1 4 ,∴ DF EF = 4 5 过 D 作 DH⊥AC 于 H,则△ DFH∽△EFC ∴ DH CE = DF EF = 4 5 ,∴CE= 5 4 DH= 5 4 ×4=5 ∴BE=BC-CE=8-5=3 ,∴EM=BE·sinB=3× 6 10 = 9 5 BM=BE·cosB=3× 8 10 = 12 5 ,DM=BD-BM=5- 12 5 = 13 5 ∴tan∠EDB= EM DM = 9 13 ……………………………2 分 A B C D E F H M N A B C D E F G M N