2019年甘肃兰州中考数学试题（解析版） 20页

‎{来源}2019年甘肃兰州中考数学试卷 ‎{适用范围:3． 九年级}‎ ‎{标题}2019年甘肃省兰州市中考数学试卷 考试时间：分钟 满分：分 ‎{题型:1-选择题}一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，合计48分． ‎ ‎{题目}1．（2019年兰州T1）的相反数是 A． B．2019 C．－2019 D． ‎ ‎{答案}B ‎{解析}本题考查了相反数，a的相反数为－a，－2019的相反数是2019．因此本题选B．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-1-2-3]相反数}‎ ‎{考点:相反数的定义}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}2．（2019年兰州T2）如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1＝80°，则∠2＝‎ A．130° B．120° C．110° D．100°‎ ‎{答案}D ‎{解析}本题考查了平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补，∵a∥b，∴∠2+∠3＝180°，∵∠1＝∠3，∠1＝80°，∴∠2＝100°，因此本题选D．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-5-3]平行线的性质}‎ ‎{考点:两直线平行同旁内角互补}‎ ‎{考点:对顶角、邻补角}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}3．（2019年兰州T3）计算：=‎ A． B．2 C． 3 D．4‎ ‎{答案}A ‎{解析}本题考查了二次根式的化简及二次根式的加减，因此本题选A．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-16-3]二次根式的加减}‎ ‎{考点:同类二次根式}‎ ‎{考点:二次根式的加减法}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}4．（2019年兰州T4）剪纸是中国特有的民间艺术，在如图所示的四个剪纸图案中，既是轴对称又是中心对称图形的是 ‎ ‎ ‎{答案}C ‎{解析}本题考查了中心对称和轴对称的概念，A选项既不是轴对称也不是中心对称图形，B选项既不是中心对称也不是轴对称图形，C选项是中心对称也是轴对称图形，D选项只是轴对称图形，因此本题选C．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-23-2-2]中心对称图形}‎ ‎{考点:中心对称图形}‎ ‎{考点:轴对称图形}‎ ‎{类别:常考题}{类别:易错题} ‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}5．（2019年兰州T5）是关于x的一元二次方程的解，则2a＋4b＝‎ A．－2 B．－3 C．－1 D．－6‎ ‎{答案}A ‎{解析}本题考查了方程的解的概念，把x＝1代入，得到，得到，则2a＋4b＝2(a＋2b)＝－2，因此本题选A．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-21-1]一元二次方程}‎ ‎{考点:一元二次方程的解}‎ ‎{类别:思想方法}{类别:常考题}{类别:易错题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}6．（2019年兰州T6）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝40°，则∠C＝‎ A．110° B．120° C．135° D．140°‎ ‎{答案}D ‎{解析}本题考查了圆内角四边形的性质，圆的内角四边形的对角互补，∵四边形ABCD内接于⊙O，则∠A＋∠C＝180°，∵∠A＝40°，∴∠C＝140°．因此本题选D．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-24-1-4]圆周角}‎ ‎{考点:圆内接四边形的性质}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}7．（2019年兰州T7）化简： ‎ A． B． C． D．‎ ‎{答案}A ‎{解析}本题考查了同分母分式加减法，同分母分式相加，分母不变，分子相加减．‎ 因此本题选A．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-15-2-2]分式的加减}‎ ‎{考点:最简分式}‎ ‎{考点:两个分式的加减}‎ ‎{类别:常考题}{类别:易错题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}8．（2019年兰州T8）已知△ABC∽△AʹBʹCʹ，AB＝8，AʹBʹ＝6，则＝‎ A．2 B． C． 3 D．‎ ‎{答案}B ‎{解析}本题考查了相似三角形的性质，∵△ABC∽△AʹBʹCʹ，∴ ，因此本题选B．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-27-1-2]相似三角形的性质}‎ ‎{考点:相似三角形的性质}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}9．（2019年兰州T9）《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：五只雀，六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换一只，恰好一样重.问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为x斤，一只燕的重量为y斤，则可列方程组为 A． B． C． D．‎ ‎{答案}C ‎{解析}本题考查了二元一次方程组的应用，五只雀，六只燕共重一斤，得到5x＋6y＝1，互换一只，恰好一样重，得到：4x＋y＝5y＋x，因此本题选C．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-8-3]实际问题与一元一次方程组}‎ ‎{考点:二元一次方程组的应用}‎ ‎{类别:数学文化}{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}10．（2019年兰州T10）如图，在平面直角坐标系xOy中，将四边形ABCD先向下平移，再向右平移得到四边形A1B1C1D1，已知A（－3，5），B（－4，3），A1（3，3），则B1的坐标为 A．（1，2） B．（2，1） C．（1，4） D．（4，1）‎ ‎{答案}B ‎{解析}本题考查了坐标系中的平移，A（－3，5）平移到A1（3，3），说明点A向右平移了6个单位，向下平移了2个单位，故点B（－4，3）向右平移6个单位，向下平移2个单位得到B1的坐标为（2，1），因此本题选B．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-7-4] 用坐标表示平移}‎ ‎{考点:坐标系内图形的平移}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}11．（2019年兰州T11）已知点A（1，y1），B（2，y2）在抛物线上，则下列结论正确的是 A． B． ‎ C． D．‎ ‎{答案}A ‎{解析}本题考查了二次函数的增减性，a＝－1＜0，函数有最大值，对称轴x＝－1，在对称轴的右边，y随x的增大而减小，1＜2，∴2＞y1＞y2，因此本题选A．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-22-1-3]二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质}‎ ‎{考点:求二次函数的函数值}‎ ‎{考点:二次函数y=a(x+h)2的图象}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单} ‎ ‎{题目}12．（2019年兰州T12）如图，边长为的正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，将正方形ABCD沿直线DF折叠，点C落在对角线BD上的点E处，折痕DF交AC于点M，则OM＝‎ A． B． C． D．‎ ‎{答案}D ‎{解析}本题考查了全等三角形、正方形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，在正方形ABCD中国，AC⊥BD，OA＝OB＝OC＝OD，由折叠可知：DC＝DE，∠DFE＝∠DFC，∴∠ODM＝∠OCE，∴△ODM≌△OCE，∴OE＝OM，由DC＝，得到OD＝1，∴OM＝OE＝DE－DO＝ ，因此本题选D．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-18-2-3] 正方形}‎ ‎{考点:全等三角形的判定ASA,AAS}‎ ‎{考点:等角对等边}‎ ‎{考点:勾股定理}‎ ‎{考点:正方形的性质}‎ ‎{考点:正方形有关的综合题}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题型:2-填空题}二、填空题：本大题共4小题，每小题4 分，合计16分．‎ ‎{题目}13．（2019年兰州T13）因式分解： ．‎ ‎{答案} ‎ ‎{解析}本题考查了因式分解，因式分解的步骤：一提公因式；二套用公式，．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-14-3]因式分解}‎ ‎{考点:因式分解－提公因式法}‎ ‎{考点:因式分解－完全平方式}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}14．（2019年兰州T14）在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，则∠B= ．‎ ‎{答案}70°‎ ‎{解析}本题考查了等腰三角形的性质，等边对等角，三角形的内角和等于180°，∵AB=AC，∴∠B＝∠C，∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，故∠B＝70°．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-13-2-1]等腰三角形}‎ ‎{考点:三角形内角和定理}‎ ‎{考点:等边对等角}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单 ‎{题目}15．（2019年兰州T15）如图，矩形OABC的顶点B在反比例函数的图象上，，则k= ．‎ ‎{答案}6‎ ‎{解析}本题考查了反比例函数k的几何意义，，∴k＝6．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质}‎ ‎{考点:反比例函数的几何意义}‎ ‎{类别:常考题}{类别:易错题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}16．（2019年兰州T16）如图，矩形ABCD，∠BAC=60°，以点A为圆心，以任意长为半径作弧分别交AB，AC于点M，N两点，再分别以点M，N为圆心，以大于MN的长作半径作弧交于点P，作射线AP交BC于点E，若BE=1，则矩形ABCD的面积等于 ．‎ ‎{答案}‎ ‎{解析}本题考查了矩形的性质、勾股定理以及直角三角形30°角所对直角边是斜边的一半，由∠BAC＝60°，AP是∠BAC的平分线，则∠BAP＝∠CAP＝30°，BE＝1，则AE＝2，AB＝，而AE＝CE，∴BC＝3，故S＝ ．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-18-2-1]矩形}‎ ‎{考点:含°角的直角三角形}‎ ‎{考点:勾股定理的应用}‎ ‎{考点:等角对等边}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题型:4-解答题}三、解答题：本大题共 小题，合计分．‎ ‎{题目}17．（2019年兰州T17）计算：‎ ‎{解析}本题考查了绝对值、零指数、特殊值三角函数，负数的绝对值是它的相反数，任何非零数的零次方都等于1，tan45°＝1．‎ ‎{答案}解： 原式＝2－1＋4－1＝4‎ ‎{分值}5‎ ‎{章节:[1-28-2-1]特殊角}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{类别:常考题}{类别:易错题}‎ ‎{考点:绝对值的性质}‎ ‎{考点:零次幂}‎ ‎{考点:乘方运算法则}‎ ‎{考点:特殊角的三角函数值}‎ ‎{题目}18．（2019年兰州T18）化简：‎ ‎{解析}本题考查了单项式乘以多项式、平方差公式以及整式的加减，单项式乘以多项式法则：单项式乘以多项式的每一项，再把所得结果相加，平方差公式即两数之和与两数之差的积等于这两数的平方差．‎ ‎{答案}解： 原式＝‎ ‎ ＝ ‎ ‎{分值}5‎ ‎{章节:[1-14-2]乘法公式}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{类别:常考题}{类别:易错题}‎ ‎{考点:单项式乘以多项式}‎ ‎{考点:平方差公式}‎ ‎{考点:合并同类项}‎ ‎{题目}19．（2019年兰州T19）解不等式组：‎ ‎{解析}本题考查了解不等式组，分别求解两个不等式的解集．‎ ‎{答案}解： 由①得：x＜6；‎ ‎ 由②得：x＞2‎ ‎ ∴2＜x＜6‎ ‎{分值}5‎ ‎{章节:[1-9-3]一元一次不等式组}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{类别:常考题}{类别:易错题}‎ ‎{考点:解一元一次不等式组}‎ ‎{题目}20．（2019年兰州T20）如图，AB=DE，BF=EC，∠B=∠E，求证：AC∥DF．‎ ‎{解析}本题考查了平行线的判定、全等三角形的判定．要证AC∥DF，只需∠ACB＝∠DFE，即证△ABC≌△DEF．‎ ‎{答案}证明：∵ BF=EC ‎ ∴BF＋FC＝EC＋FC ‎ 即BC＝EF 在△ABC和△DEF中 ‎ ‎ ‎∴△ABC≌△DEF ‎∴∠ACB＝∠DFE ‎∴：AC∥DF ‎{分值}6‎ ‎{章节:[1-12-2]三角形全等的判定}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:内错角相等两直线平行}‎ ‎{考点:全等三角形的判定SAS}‎ ‎{考点:全等三角形的性质}‎ ‎{题目}21．（2019年兰州T21）2019年5月，以“寻根国学，传承文明”为主题的兰州市第三届“国学少年强--国学知识挑战赛”总决赛拉开序幕.小明晋级了总决赛，比赛过程分两个环节，参赛选手须在每个环节中各选一道题目.‎ 第一环节：写字注音、成语故事、国学常识、成语接龙（分别用，，，表示）；‎ 第二环节：成语听写、诗词对句、经典诵读（分别用，，表示）.‎ ‎（1）请用树状图或列表的方法表示小明参加总决赛抽取题目的所有可能结果；‎ ‎（2）求小明参加总决赛抽取题目是成语题目（成语故事、成语接龙、成语听写）的概率.‎ ‎{解析}本题考查了树状图或列表法求概率．‎ ‎{答案}解： （1）小明参加决赛抽取题目的所有可能结果：‎ 共12种．‎ ‎（2）小明参加决赛抽取题目是成语题目的结果有A2B1和A4B1两种结果，故P（小明参加决赛抽取题目是成语题目）＝．‎ ‎{分值}6‎ ‎{章节:[1-25-2]用列举法求概率}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{类别:常考题}{类别:易错题}‎ ‎{考点:两步事件放回}‎ ‎{题目}22．（2019年兰州T22）如图，AC=8，分别以A、C为圆心，以长度5为半径作弧，两条弧分别相交于点B和D，依次连接A、B、C、D，连接BD交AC于点O．‎ ‎（1）判断四边形ABCD的形状并说明理由；‎ ‎（2）求BD的长．‎ ‎{解析}本题考查了菱形的性质与判定，（1）四条边都相等的四边形是菱形，菱形的对角线互相垂直且互相平分，由AB＝BC＝CD＝DA＝5，四边形ABCD是菱形．（2）由菱形的性质可知：OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，在Rt△AOD中，OA＝4，AD＝5，从而OD＝3，故BD＝6．‎ ‎{答案}解：（1）由作图可知： AB＝BC＝CD＝DA＝5，‎ ‎ ∴四边形ANCD是菱形 ‎（2）∵四边形ABCD是菱形 ‎ ∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD 在Rt△AOD中，∠AOD＝90°，OA＝4，AD＝5‎ ‎∴OA＝3，‎ ‎∴BD＝6．‎ ‎{分值}7‎ ‎{章节:[1-18-2-2]菱形}‎ ‎{难度:2-简单} ‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:菱形的性质}‎ ‎{考点:菱形的判定}‎ ‎{考点:勾股定理}‎ ‎{题目}23．（2019年兰州T23）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象经过等边三角形BOC的顶点B，OC=2，点A在反比例函数图象上，连接AC，OA．‎ ‎（1）求反比例函数的表达式；‎ ‎（2）若四边形ACBO的面积是，求点A的坐标．‎ ‎{解析}本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，（1）等边三角形的性质．由等边△OCB，OC＝2，可求得B点坐标（－1，－），从而求得反比例函数解析式；因为△OCB的面积为，四边形ACBO的面积为3，得到△ACO的面积为2，从而求得A点坐标为（）．‎ ‎{答案}解： （1）作BD⊥x轴，在等边△OBC中，‎ OC＝OB＝BC＝2，‎ ‎∴OD＝CD＝1，‎ ‎∴BD＝ ‎ ‎∴B（－1，－）‎ 把B（－1，－）带入中，得 k＝ ‎ ‎∴反比例函数解析式是；‎ ‎（2）在等边△OBC中，OC＝2，‎ ‎∴ ‎ ‎∵‎ ‎∴‎ 即 ‎ ‎∴AE＝2‎ ‎∴A点的纵坐标为2，‎ ‎∴A（）‎ ‎{分值}7‎ ‎{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:常考题}{类别:易错题}‎ ‎{考点:等边三角形的性质}‎ ‎{考点:勾股定理}‎ ‎{考点:反比例函数的解析式}‎ ‎{考点:双曲线与几何图形的综合}‎ ‎{题目}24．（2019年兰州T24）为了解某校八年级学生一门课程的学习情况，小佳和小丽分别对八年级1班和2班本门课程的期末成绩进行了调查分析.‎ 小佳对八年级1班全班学生（25名）的成绩进行分析，过程如下：‎ 收集、整理数据：‎ 表一 ‎ 分数段 班级 ‎60≤x＜70‎ ‎70≤x＜80‎ ‎80≤x＜90‎ ‎90≤x≤100‎ 八年级1班 ‎7‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎3‎ 分析数据：‎ ‎ 表二 统计量 班级 平均数 中位数 众数 极差 方差 八年级1班 ‎78‎ ‎85‎ ‎36‎ ‎108.25‎ 小丽用同样的方法对八年级2班全班学生（25名）的成绩进行分析，数据如下：‎ 表三 统计量 班级 平均数 中位数 众数 极差 方差 八年级2班 ‎75‎ ‎76‎ ‎73‎ ‎44‎ ‎146.80‎ 根据以上信息，解决下列问题：‎ ‎（1）已知八年级1班学生的成绩在80≤x＜90这一组的数据如下：‎ ‎85，87，88，80，82，85，83，85，87，85‎ 根据上述数据，将表二补充完整；‎ ‎（2）你认为哪个班级的成绩更为优异？请说明理由.‎ ‎{解析}本题考查了统计量，平均数、中位数、方差、极差各个统计量所描述数据的特征．‎ ‎{答案}解：（1）根据中位数的定义，首先将数据进行排序：80， 82，83，85，85，85，85，87，87，88，25个数据中帝13个数据是中位数，所以中位数是80；‎ ‎（2）八年级1班成绩要好，理由：平均数：1班高于2班，众数：1班高于2班，中位数：1班高于2班，极差：1班小于2班，方差：1班小于2班．‎ ‎{分值}7‎ ‎{章节:[1-20-2-1]方差}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:常考题}{类别:易错题}‎ ‎{考点:中位数}‎ ‎{考点:众数}‎ ‎{考点:极差}‎ ‎{考点:方差}‎ ‎{考点:数据分析综合题}‎ ‎{题目}25．（2019年兰州T25）某数学课题研究小组针对兰州市住房窗户“如何设计遮阳蓬”这一课题进行了探究，过程如下：‎ 问题提出：‎ 如图1是某住户窗户上方安装的遮阳蓬，要求设计的遮阳蓬能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．‎ 方案设计：‎ 如图2，该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直于墙面AC的遮阳蓬CD．‎ 数据收集：‎ 通过查阅相关资料和实际测量：兰州市一年中，夏至日这一天的正午时刻，太阳光线DA与遮阳蓬CD的夹角∠ADC最大（∠ADC=77.44°）；冬至日这一天的正午时刻，太阳光线DB与遮阳蓬CD的夹角∠BDC最小（∠BDC=30.56°）.窗户的高度AB=2m．‎ 问题解决：‎ 根据上述方案及数据，求遮阳蓬CD的长.‎ ‎（结果精确到0.1m，参考数据：sin30.56°≈0.51，cos30.56°≈0.86，tan30.56°≈0.59，sin77.44°≈0.98，cos77.44°≈0.22，tan77.44°≈4.49）‎ ‎{解析}本题考查了从实际问题建立模型，解直角三角形．在Rt△ACD中，tan∠ADC＝＝4.49，得到AC＝4.49x，在Rt△BCD中，tan∠BDC＝＝0.59，得到BC＝0.59x，由AB＝AC－BC＝2，即可求得．‎ ‎{答案}解：设CD＝x米，‎ 在Rt△ACD中，tan∠ADC＝＝tan77.44°＝4.49，‎ ‎ ∴AC＝4.49x，‎ 在Rt△BCD中，tan∠BDC＝＝tan30.56°＝0.59‎ ‎∴BC＝0.59x ‎∴AB＝AC－BC＝4.49x－0.59x＝2‎ 解得：x≈0.5‎ 答：遮阳棚CD的长为0.5米．‎ ‎{分值}7‎ ‎{章节:[1-28-1-2]解直角三角形}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:解直角三角形}‎ ‎{题目}26．（2019年兰州T26）如图，在△ABC中，AB=AC=6cm，BC=8cm，点D为BC的中点，BE=DE，将∠BDE绕点D顺时针旋转度（），角的两边分别交直线AB于M、N两点，设B、M两点间的距离为xcm，M，N两点间的距离为ycm．‎ 小涛根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．‎ 下面是小涛的探究过程，请补充完整．‎ ‎（1）列表：下表的已知数据是B，M两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了y与x的几组对应值：‎ x/cm ‎0‎ ‎0.30‎ ‎0.50‎ ‎1.00‎ ‎1.50‎ ‎2.00‎ ‎2.58‎ ‎3.00‎ ‎3.50‎ ‎3.68‎ ‎3.81‎ ‎3.90‎ ‎3.93‎ ‎4.10‎ y/cm ‎2.88‎ ‎2.81‎ ‎2.69‎ ‎2.67‎ ‎2.80‎ ‎3.15‎ ‎3.85‎ ‎5.24‎ ‎6.01‎ ‎6.71‎ ‎7.27‎ ‎7.44‎ ‎8.87‎ 请你通过计算，补全表格；‎ ‎（2）描点、连线，在平面直角坐标系xOy中，描出表格中各组数值所对应的点（x，y），并画出函数y关于x的图象．‎ ‎（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势： ．‎ ‎（4）解决问题：当MN=2BM时，BM的长度大约是 cm.（保留两位小数）．‎ ‎{解析}本题考查了利用函数图像解决几何问题，考查学生的动手操作能力、考查学生学习经验．‎ ‎{答案}解：（1）3.00； ‎ ‎（2）‎ ‎（3）y的趋势在增大 ‎（4）结合图象：图象与y＝2x的交点 BM的值为1.33或4.00‎ ‎{分值}9‎ ‎{章节:[1-19-1-2] 函数的图象}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:思想方法} {类别:易错题}{类别:发现探究}‎ ‎{考点:函数的图象}‎ ‎{考点:动点问题的函数图象}‎ 学习园地 ‎{题目}27．（2019年兰州T27）通过对下面数学模型的研究学习，解决第27题、第28题.‎ ‎【模型呈现】‎ 如右图，在Rt△ABC，∠ACB=90°，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°得到AD，过点B作DE⊥AC于点E，可以推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC=DE，BC=AE，我们把这个数学模型成为“K型”．‎ 推理过程如下：‎ ‎【模型应用】‎ 如图，在Rt△ABC内接于⊙O，∠ACB=90°，BC=2，将斜边AB绕点A顺时针旋转一定的角度得到AD，过AD作DE⊥AC于点E，∠DAE=∠ABC，DE=1，连接DO交⊙O于点F．‎ ‎（1）求证：AD是⊙O的切线；‎ ‎（2）连接FC交AB于点G，连接FB．求证：．‎ ‎{解析}本题考查了圆的切线的判定，直角三角形的两锐角互余．（1）要证AD是⊙O的切线，只需要证明∠DAB＝90°即可．（2）要证，只需证明△FGO∽△BGF即可．‎ ‎{答案}解： （1）∵∠ACB＝90°‎ ‎∴∠B＋∠BAC＝90°‎ ‎∵∠B＝∠DAE ‎∴∠DAE＋∠BAC＝90°‎ ‎∴∠DAB＝90°‎ ‎∴OA⊥AD ‎∴AD是⊙O的切线；‎ ‎（2）作OH⊥AC于点H，O为AB中点，‎ ‎∴OH是三角形ABC的中位线，‎ ‎∴OH＝1，‎ ‎∴DE∥OH，且DE＝OH ‎∴四边形OHED为平行四边形 ‎∵∠OHE＝90°‎ ‎∴四边形OHED为矩形．‎ ‎∴EC∥OD ‎∴∠ACF＝∠CFO ‎∵∠ACF＝∠ABF ‎∴∠GFO＝∠GBF ‎∴△GFO∽△GBF ‎∴ ‎ 即：‎ ‎{分值}10‎ ‎{章节:[1-27-1-1]相似三角形的判定}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎{类别:思想方法}{‎ ‎{考点:直角三角形两锐角互余}‎ ‎{考点:切线的判定}‎ ‎{考点:圆与相似的综合}‎ ‎{考点:几何综合}‎ ‎{题目}28．（2019年兰州T28）二次函数的图象交x轴于点A（－1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．‎ ‎（1）求二次函数的表达式；‎ ‎（2）连接BD，当t=时，求△DNB的面积；‎ ‎（3）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标；‎ ‎（4）当t=时，在直线MN上存在一点Q，使得∠AQC+∠OAC=90°，求点Q的坐标．‎ ‎{解析}本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数中的面积、直角三角形的存在性问题．（1）根据待定系数法，由A、B两点坐标即可求解析式；（2）当t＝时，求得M的坐标，进而进一步求得N、D的坐标；（3）由PB＝PC，且PB⊥PC构造“K型”，求得P点坐标，进而求得D点坐标；（4）由题意知，三角形ABC为直角三角形，∠CAO＋∠ABC＝90°，要求∠AQC＋∠CAO＝90°，所以只要∠AQC＝∠ABC即可，根据同弧所对的圆周角相等，Q点为以AB为直径的圆与MN的交点．‎ ‎{答案}解：（1）将 A（－1，0），B（4，0）代入中，得到 ‎ ‎ ‎ 解得： ‎ ‎∴二次函数的表达式为；‎ ‎（2）当t＝时，AM＝3，‎ ‎∴M（2,0）‎ 求D：当x＝2时，y＝3，∴D（2,3）‎ 求BC：设BC的解析式为y＝kx＋b，‎ 直线过B、C两点，‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ 求N：当x＝2时，y＝1，N（2，1）‎ ‎∴DN＝2，BM＝2，‎ ‎∴S△DNB＝2‎ ‎（3）如图，作PF⊥OC于点F，作BE⊥PF交PF延长线于点E，显然四边形OBEF是矩形，根据模型显然△PFC≌△BEP，从而FC＝PE，PF＝BE，‎ ‎∴BE＝2＋CF，而EF＝4＝2＋FC＋FC，得FC＝1，∴P（3,3）‎ 当x＝3时，y＝2，∴D（3,2）‎ 同理求得P（1，－1），∴D（1,3）‎ ‎∴D点坐标为（1,3）或（3,2）‎ ‎（4）当t＝时，M坐标为（），AB为直径作圆交直线MN于点Q，根据题意显然△ABC 为直角三角形，∴∠CAB＋∠ABC＝90°，∵∠AQC＝∠ABC，∴∠AQC+∠OAC=90°，∴Q（）‎ 同理可求Q（ ）‎ ‎{分值}12‎ ‎{章节:[1-24-1-1]圆}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎{类别:发现探究}‎ ‎{考点:二次函数与圆的综合}‎ ‎{考点:二次函数中讨论直角三角形}‎ ‎{考点:二次函数中讨论等腰三角形}‎ ‎{考点:代数综合}‎ ‎{考点:等腰直角三角形}‎ ‎{考点:全等三角形的判定ASA,AAS}‎