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  • 2021-11-11 发布

中考数学专题复习二次函数简单综合问题专题卷训练(pdf,含解析)

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2020 年中考数学二次函数简单综合问题专题卷训练 1.[2019·荆门]抛物线 y=-x2+4x-4 与坐标轴的交点个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 [答案] C [解析]当 x=0 时,y=-x2+4x-4=-4,则抛物线与 y 轴的交点坐标为(0,-4), 当 y=0 时,-x2+4x-4=0,解得 x1=x2=2,抛物线与 x 轴的交点坐标为(2,0), 所以抛物线与坐标轴有 2 个交点.故选 C. 2.[2019·泸州]已知二次函数 y=(x-a-1)(x-a+1)-3a+7(其中 x 是自变量)的图象 与 x 轴没有公共点,且当 x<-1 时,y 随 x 的增大而减小,则实数 a 的取值范 围是 ( ) A.a<2 B.a>-1 C.-10,即 m>-3 时,该函数的图象与 y 轴的交点在 x 轴的上方. |类型 2| 二次函数与直线的综合 4.[2018·孝感] 如图,抛物线 y=ax2与直线 y=bx+c 的两个交点坐标分别为A(-2, 4),B(1,1),则方程 ax2=bx+c 的解是 x1=-2,x2=1 . [解析]∵抛物线 y=ax2 与直线 y=bx+c 的两个交点坐标分别为 A(-2,4),B(1, 1),∴ = 2 , = + 的解为 1 = - 2 , 1 = 4 , 2 = 1 , 2 = 1 . 即方程 ax2=bx+c 的解是 x1=-2, x2=1. 5.[2019·北京] 在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y=ax2+bx- 1 与 y 轴交于点 A, 将点 A 向右平移 2 个单位长度,得到点 B,点 B 在抛物线上. (1)求点 B 的坐标(用含 a 的式子表示); (2)求抛物线的对称轴; (3)已知点 P( 1 2 ,- 1 ),Q(2,2).若抛物线与线段 PQ 恰有一个公共点,结合函 数图象,求 a 的取值范围. 解:(1)∵抛物线与 y 轴交于点 A,∴令 x=0,得 y=- 1 , ∴点 A 的坐标为(0,- 1 ). ∵点 A 向右平移 2 个单位长度,得到点 B, ∴点 B 的坐标为(2,- 1 . (2)∵抛物线过点 A(0,- 1 )和点 B(2,- 1 ),由对称性可得,抛物线对称轴为直 线 x= 0+2 2 =1. (3)根据题意可知,抛物线 y=ax2+bx- 1 经过点 A(0,- 1 ,B(2,- 1 ). ①当 a>0 时,则- 1 <0, 分析图象可得:点 P( 1 2 ,- 1 )在对称轴左侧,抛物线上方,点 Q(2,2)在对称轴 右侧,抛物线上方,此时线段 PQ 与抛物线没有交点. ②当 a<0 时,则- 1 >0. 分析图象可得:当点 Q 在点 B 上方或与点 B 重合时,抛物线与线段 PQ 恰有 一个公共点,此时- 1 ≤2,即 a≤- 1 2 . 综上所述,当 a≤- 1 2 时,抛物线与线段 PQ 恰有一个公共点. |类型 3| 二次函数的最值问题 6 某服装店购进单价为 15 元的童装若干件,销售一段时间后发现:当销售价为 25 元时平均每天能售出 8 件,而当销售价每降低 2 元时,平均每天能多售出 4 件,当每件的定价为多少元时,该服装店平均每天的销售利润最大. 解:设每件的定价为 x 元,每天的销售利润为 y 元. 根据题意,得 y=(x-15)[8+2(25-x)]=-2x2+88x-870. ∴y=-2x2+88x-870=-2(x-22)2+98. ∵a=-2<0, ∴抛物线开口向下, ∴当 x=22 时,y 最大值=98. 7.[2019·台州] 已知函数 y=x2+bx+c(b,c 为常数)的图象经过点(-2,4). (1)求 b,c 满足的关系式; (2)设该函数图象的顶点坐标是(m,n),当 b 的值变化时,求 n 关于 m 的函 数解析式; (3)若该函数的图象不经过第三象限,当-5≤x≤1 时,函数的最大值与最小值 之差为 16,求 b 的值. 解:(1)将(-2,4)代入 y=x2+bx+c, 得 4=(-2)2-2b+c,∴c=2b, ∴b,c 满足的关系式是 c=2b. (2)把 c=2b 代入 y=x2+bx+c, 得 y=x2+bx+2b, ∵顶点坐标是(m,n), ∴n=m2+bm+2b, 且 m=- 2 ,即 b=-2m, ∴n=-m2-4m. ∴n 关于 m 的函数解析式为 n=-m2-4m. (3)由(2)的结论,画出函数 y=x2+bx+c 和函数 y=-x2-4x 的图象. ∵函数 y=x2+bx+c 的图象不经过第三象限,∴-4≤- 2 ≤0. ①当-4≤- 2 ≤-2,即 4≤b≤8 时,如图①所示, 当 x=1 时,函数取到最大值 y=1+3b,当 x=- 2 时,函数取到最小值 y= 8 - 2 4 , ∴(1+3b)- 8 - 2 4 =16,即 b2+4b-60=0,∴b1=6,b2=-10(舍去); ②当-2<- 2 ≤0,即 0≤b<4 时,如图②所示, 当 x=-5 时,函数取到最大值 y=25-3b,当 x=- 2 时,函数取到最小值 y= 8 - 2 4 , ∴(25-3b)- 8 - 2 4 =16,即 b2-20b+36=0, ∴b1=2,b2=18(舍去). 综上所述,b 的值为 2 或 6. |类型 4| 二次函数与平行四边形的综合 8.[2019· 孝 感 节 选 ] 如 图 ① , 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 已 知 抛 物 线 y=ax2-2ax-8a 与 x 轴相交于 A,B 两点(点 A 在点 B 的左侧),与 y 轴交于点 C(0,-4). (1)点A的坐标为 ,点B的坐标为 ,线段AC的长为 , 抛物线的解析式为 . (2)点 P 是线段 BC 下方抛物线上的一个动点.如果在 x 轴上存在点 Q,使得以 点 B,C,P,Q 为顶点的四边形是平行四边形,求点 Q 的坐标. 解:(1)点 A 的坐标为(-2,0),点 B 的坐标为(4,0); 线段 AC 的长为 2 5 , 抛物线的解析式为:y= 1 2 x2-x-4. (2)过点 C 作 x 轴的平行线交抛物线于点 P. ∵点 C(0,-4),∴-4= 1 2 x2-x-4,解得 x1=2,x2=0,∴P(2,-4). ∴PC=2,若四边形 BCPQ 为平行四边形,则 BQ=CP=2, ∴OQ=OB+BQ=6,∴Q(6,0). 若四边形 BPCQ 为平行四边形,则 BQ=CP=2, ∴OQ=OB-BQ=2,∴Q(2,0). 故以点 B,C,P,Q 为顶点的四边形是平行四边形时,Q 点的坐标为(6,0), (2,0) |类型 5| 二次函数与相似三角形的综合 9.[2019·镇江] 如图,二次函数 y=-x2+4x+5 的图象的顶点为 D,对称轴是直线 l,一次函数 y= 2 5 x+1 的图象与 x 轴交于点 A,且与直线 DA 关于 l 的对称直线 交于点 B. (1)点 D 的坐标是 . (2)直线 l 与直线 AB 交于点 C,N 是线段 DC 上一点(不与点 D,C 重合),点 N 的纵坐标为 n.过点 N 作直线与线段 DA,DB 分别交于点 P,Q,使得△DPQ 与△DAB 相似. ①当 n= 27 5 时,求 DP 的长; ②若对于每一个确定的 n 的值,有且只有一个△DPQ 与△DAB 相似,请直接 写出 n 的取值范围 . 解:(1)(2,9) (2)∵对称轴为直线 x=2, ∴y= 2 5 ×2+1= 9 5 , ∴C(2, 9 5 ). 由已知可求得 A(- 5 2 ,0), 点 A 关于直线 x=2 对称的点的坐标为( 13 2 ,0), 则直线 AD 关于直线 x=2 对称的直线的解析式为 y=-2x+13, 令-2x+13= 2 5 x+1,得 x=5, 2 5 ×5+1=3, ∴B(5,3). ①当 n= 27 5 时,N(2, 27 5 ), 由 D(2,9),A(- 5 2 ,0),B(5,3),C(2, 9 5 ),可得 DA= 9 5 2 ,DB=3 5 ,DN= 18 5 , CD= 36 5 . 当 PQ∥AB 时,△DPQ∽△DAB, ∵PQ∥AB,∴△DAC∽△DPN, ∴ t = t ,∴DP= 9 5 4 ; 当 PQ 与 AB 不平行时,△DPQ∽△DBA, 易得△DNP∽△DCB, ∴ t t = t ,∴DP= 3 5 2 . 综上所述,DP= 9 5 4 或 3 5 2 . ② 9 5