中考数学专题复习二次函数简单综合问题专题卷训练（pdf，含解析） 8页

2020 年中考数学二次函数简单综合问题专题卷训练 1.[2019·荆门]抛物线 y=-x2+4x-4 与坐标轴的交点个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 [答案] C [解析]当 x=0 时，y=-x2+4x-4=-4，则抛物线与 y 轴的交点坐标为(0，-4)， 当 y=0 时，-x2+4x-4=0，解得 x1=x2=2，抛物线与 x 轴的交点坐标为(2，0)， 所以抛物线与坐标轴有 2 个交点.故选 C. 2.[2019·泸州]已知二次函数 y=(x-a-1)(x-a+1)-3a+7(其中 x 是自变量)的图象 与 x 轴没有公共点，且当 x<-1 时，y 随 x 的增大而减小，则实数 a 的取值范 围是 ( ) A.a<2 B.a>-1 C.-10，即 m>-3 时，该函数的图象与 y 轴的交点在 x 轴的上方. |类型 2| 二次函数与直线的综合 4.[2018·孝感] 如图，抛物线 y=ax2与直线 y=bx+c 的两个交点坐标分别为A(-2， 4)，B(1，1)，则方程 ax2=bx+c 的解是 x1=-2，x2=1 . [解析]∵抛物线 y=ax2 与直线 y=bx+c 的两个交点坐标分别为 A(-2，4)，B(1， 1)，∴ = 2 ， = + 的解为 1 = - 2 ， 1 = 4 ， 2 = 1 ， 2 = 1 . 即方程 ax2=bx+c 的解是 x1=-2， x2=1. 5.[2019·北京] 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2+bx- 1 与 y 轴交于点 A， 将点 A 向右平移 2 个单位长度，得到点 B，点 B 在抛物线上. (1)求点 B 的坐标(用含 a 的式子表示)； (2)求抛物线的对称轴； (3)已知点 P( 1 2 ，- 1 )，Q(2，2).若抛物线与线段 PQ 恰有一个公共点，结合函 数图象，求 a 的取值范围. 解：(1)∵抛物线与 y 轴交于点 A，∴令 x=0，得 y=- 1 ， ∴点 A 的坐标为(0，- 1 ). ∵点 A 向右平移 2 个单位长度，得到点 B， ∴点 B 的坐标为(2，- 1 . (2)∵抛物线过点 A(0，- 1 )和点 B(2，- 1 )，由对称性可得，抛物线对称轴为直 线 x= 0+2 2 =1. (3)根据题意可知，抛物线 y=ax2+bx- 1 经过点 A(0，- 1 ，B(2，- 1 ). ①当 a>0 时，则- 1 <0， 分析图象可得：点 P( 1 2 ，- 1 )在对称轴左侧，抛物线上方，点 Q(2，2)在对称轴 右侧，抛物线上方，此时线段 PQ 与抛物线没有交点. ②当 a<0 时，则- 1 >0. 分析图象可得：当点 Q 在点 B 上方或与点 B 重合时，抛物线与线段 PQ 恰有 一个公共点，此时- 1 ≤2，即 a≤- 1 2 . 综上所述，当 a≤- 1 2 时，抛物线与线段 PQ 恰有一个公共点. |类型 3| 二次函数的最值问题 6 某服装店购进单价为 15 元的童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为 25 元时平均每天能售出 8 件，而当销售价每降低 2 元时，平均每天能多售出 4 件，当每件的定价为多少元时，该服装店平均每天的销售利润最大. 解：设每件的定价为 x 元，每天的销售利润为 y 元. 根据题意，得 y=(x-15)[8+2(25-x)]=-2x2+88x-870. ∴y=-2x2+88x-870=-2(x-22)2+98. ∵a=-2<0， ∴抛物线开口向下， ∴当 x=22 时，y 最大值=98. 7.[2019·台州] 已知函数 y=x2+bx+c(b，c 为常数)的图象经过点(-2，4). (1)求 b，c 满足的关系式； (2)设该函数图象的顶点坐标是(m，n)，当 b 的值变化时，求 n 关于 m 的函 数解析式； (3)若该函数的图象不经过第三象限，当-5≤x≤1 时，函数的最大值与最小值 之差为 16，求 b 的值. 解：(1)将(-2，4)代入 y=x2+bx+c， 得 4=(-2)2-2b+c，∴c=2b， ∴b，c 满足的关系式是 c=2b. (2)把 c=2b 代入 y=x2+bx+c， 得 y=x2+bx+2b， ∵顶点坐标是(m，n)， ∴n=m2+bm+2b， 且 m=- 2 ，即 b=-2m， ∴n=-m2-4m. ∴n 关于 m 的函数解析式为 n=-m2-4m. (3)由(2)的结论，画出函数 y=x2+bx+c 和函数 y=-x2-4x 的图象. ∵函数 y=x2+bx+c 的图象不经过第三象限，∴-4≤- 2 ≤0. ①当-4≤- 2 ≤-2，即 4≤b≤8 时，如图①所示， 当 x=1 时，函数取到最大值 y=1+3b，当 x=- 2 时，函数取到最小值 y= 8 - 2 4 ， ∴(1+3b)- 8 - 2 4 =16，即 b2+4b-60=0，∴b1=6，b2=-10(舍去)； ②当-2<- 2 ≤0，即 0≤b<4 时，如图②所示， 当 x=-5 时，函数取到最大值 y=25-3b，当 x=- 2 时，函数取到最小值 y= 8 - 2 4 ， ∴(25-3b)- 8 - 2 4 =16，即 b2-20b+36=0， ∴b1=2，b2=18(舍去). 综上所述，b 的值为 2 或 6. |类型 4| 二次函数与平行四边形的综合 8.[2019· 孝 感 节 选 ] 如 图 ① ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 已 知 抛 物 线 y=ax2-2ax-8a 与 x 轴相交于 A，B 两点(点 A 在点 B 的左侧)，与 y 轴交于点 C(0，-4). (1)点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，线段AC的长为 ， 抛物线的解析式为 . (2)点 P 是线段 BC 下方抛物线上的一个动点.如果在 x 轴上存在点 Q，使得以 点 B，C，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点 Q 的坐标. 解：(1)点 A 的坐标为(-2，0)，点 B 的坐标为(4，0)； 线段 AC 的长为 2 5 ， 抛物线的解析式为：y= 1 2 x2-x-4. (2)过点 C 作 x 轴的平行线交抛物线于点 P. ∵点 C(0，-4)，∴-4= 1 2 x2-x-4，解得 x1=2，x2=0，∴P(2，-4). ∴PC=2，若四边形 BCPQ 为平行四边形，则 BQ=CP=2， ∴OQ=OB+BQ=6，∴Q(6，0). 若四边形 BPCQ 为平行四边形，则 BQ=CP=2， ∴OQ=OB-BQ=2，∴Q(2，0). 故以点 B，C，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形时，Q 点的坐标为(6，0)， (2，0) |类型 5| 二次函数与相似三角形的综合 9.[2019·镇江] 如图，二次函数 y=-x2+4x+5 的图象的顶点为 D，对称轴是直线 l，一次函数 y= 2 5 x+1 的图象与 x 轴交于点 A，且与直线 DA 关于 l 的对称直线 交于点 B. (1)点 D 的坐标是 . (2)直线 l 与直线 AB 交于点 C，N 是线段 DC 上一点(不与点 D，C 重合)，点 N 的纵坐标为 n.过点 N 作直线与线段 DA，DB 分别交于点 P，Q，使得△DPQ 与△DAB 相似. ①当 n= 27 5 时，求 DP 的长； ②若对于每一个确定的 n 的值，有且只有一个△DPQ 与△DAB 相似，请直接 写出 n 的取值范围 . 解：(1)(2，9) (2)∵对称轴为直线 x=2， ∴y= 2 5 ×2+1= 9 5 ， ∴C(2， 9 5 ). 由已知可求得 A(- 5 2 ，0)， 点 A 关于直线 x=2 对称的点的坐标为( 13 2 ，0)， 则直线 AD 关于直线 x=2 对称的直线的解析式为 y=-2x+13， 令-2x+13= 2 5 x+1，得 x=5， 2 5 ×5+1=3， ∴B(5，3). ①当 n= 27 5 时，N(2， 27 5 )， 由 D(2，9)，A(- 5 2 ，0)，B(5，3)，C(2， 9 5 )，可得 DA= 9 5 2 ，DB=3 5 ，DN= 18 5 ， CD= 36 5 . 当 PQ∥AB 时，△DPQ∽△DAB， ∵PQ∥AB，∴△DAC∽△DPN， ∴ t = t ，∴DP= 9 5 4 ； 当 PQ 与 AB 不平行时，△DPQ∽△DBA， 易得△DNP∽△DCB， ∴ t t = t ，∴DP= 3 5 2 . 综上所述，DP= 9 5 4 或 3 5 2 . ② 9 5