北师大版数学九年级上册同步课件-2第二章-2一元二次方程的根与系数的关系 21页

第二章 一元二次方程 *2.5 一元二次方程的根与系数的关系 1.掌握一元二次方程的根与系数的关系.（重点） 2.会利用根与系数的关系解决有关的问题.（难点） 学习目标 1.一元二次方程的求根公式是什么？ 2 24 ( 4 0)2 b b acx b aca      想一想：方程的两根x1和x2与系数a、b、c还有其他关系吗？ 2.如何用判别式 b2 - 4ac 来判断一元二次方程根的情况？ 对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a≠0) b2 - 4ac > 0 时,方程有两个不相等的实数根. b2 - 4ac = 0 时,方程有两个相等的实数根. b2 - 4ac < 0 时,方程无实数根. 算一算 解下列方程并完成填空： 方程 x1 x2 x1 + x2 x1 · x2 x2 - 2x + 1 = 0 2x2 - 3x + 1 = 0 01322  xx 1 1 2 -1 23  23  32 -1 2 1 1 2 3 2 1 探究一元二次方程的根与系数的关系1 猜一猜 （1）若一元二次方程的两根为x1、x2, 则有x - x1=0，且x - x2=0,那么方程（x-x1)(x-x2)=0(x1、x2为已知数）的两根是什 么？将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1、x2与p、q之 间的关系吗？ ★重要发现 如果方程x2+px+q=0的两根是x1、x2,那么x1+x2= -p , x1 ·x2=q. (x-x1)(x-x2)=0. x2-(x1+x2)x+x1·x2=0， x2+px+q=0， x1+x2= -p , x1 ·x2=q. 猜一猜 （2）如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别 是x1、 x2，那么，你可以发现什么结论？ 1 2 bx x a    1 2 cx x a  2 2 1 2 4 4 2 2 b b ac b b acx x a a         2 24 4 2 b b ac b b ac a       2 2 b a  .b a  证一证： 2 2 1 2 4 4 2 2 b b ac b b acx x a a          2 2 2 4 4 b b ac a    2 4 4 ac a  .c a  ★一元二次方程的根与系数的关系 （韦达定理） 如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两 个根分别是x1、 x2，那么 1 2 bx + x = - a 1 2 cx x a  注意：满足上述关系的前提条件 b2-4ac≥0. 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积. （1）x2 + 7x + 6 = 0; 解：这里 a = 1 , b = 7 , c = 6. Δ = b2 - 4ac = 72 – 4 × 1 × 6 = 25 > 0. ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1、 x2, 那么 x1 + x2 = -7 , x1 x2 = 6. 一元二次方程的根与系数的关系的应用2 例1 （2）2x2 - 3x - 2 = 0. 解：这里 a = 2 , b = -3 , c = -2. Δ= b2 - 4ac = （- 3）2 – 4 × 2 × (-2) = 25 > 0, ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1、 x2, 那么 x1 + x2 = , x1 x2 = -1 .2 3 已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k 的值. 解：设方程 5x2+kx-6=0的两个根分别是x1、x2，其中x1=2 . 所以 x1 · x2=2x2= 即 x2= 由于x1+x2=2+ = 所以k=-7. 答：方程的另一个根是 ，k=-7. ,5 k 3.5  3( )5  3 5  6 ,5  例2 不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和. 1 2 1 2 3 1, .2 2x x x x      解：根据根与系数的关系可知，  2 2 2 1 2 1 1 2 22 ,x x x x x x   ∵  22 2 1 2 1 2 1 22x x x x x x     23 1 132 .2 2 4                1 2 1 2 1 2 1 1 3 1 3.2 2 x x x x x x                  例3 设x1、x2是方程 x2 -2(k - 1)x + k2 =0 的两个实数根，且x12 + x22 =4，求k的值. 解：由方程有两个实数根，得 Δ= 4（k - 1）2 - 4k2 ≥ 0 ，即 -8k + 4 ≥ 0. 由根与系数的关系，得 x1 + x2 = 2(k -1) , x1 x2 =k 2. ∴ x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(k -1)2 -2k2 = 2k2 -8k + 4. 由 x12 + x22 = 4，得 2k2 - 8k + 4 = 4, 解得 k1= 0 , k2 = 4 . 经检验， k2 = 4 不合题意，舍去. 1 .2k  例4 ★总结常见的求值: 1 2 1 11. x x   1 2 1 2 ;x x x x  1 24 .( 1)( 1)x x   1 2 1 2( ) 1;x x x x   1 2 2 1 3. x x x x  2 2 1 2 1 2 x x x x  2 1 2 1 2 1 2 ( ) 2 ;x x x x x x   1 25. x x  2 1 2( )x x 2 1 2 1 2( ) 4 .x x x x   2 2 2 1 2 1 2 1 22. ( ) 2 ;x x x x x x    归纳：求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求 的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入. 1.不解方程，求方程两根的和与两根的积： （1）x2 + 3x -1= 0; （2）2x2 - 4x + 1 = 0. 解：(1) 这里 a = 1 , b = 3 , c = -1. Δ = b2 - 4ac = 32 - 4 × 1 × (-1) = 13 > 0，∴有实数根. 设方程的两个实数根是 x1、 x2, 那么 x1 + x2 = -3 , x1 x2 = -1 . (2) 这里 a = 2 , b = -4 , c = 1. Δ = b2 - 4ac = ( -4 )2 - 4 × 1× 2 = 8 > 0 ∴有实数根. 设方程的两个实数根是 x1、x2, 那么 x1 + x2 = 2 , x1 x2 = . 2 1 2.已知方程 3x2 -19x + m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值. 解：将x = 1代入方程中，得 3 -19 + m = 0. 解得 m = 16. 设另一个根为x1，则 1 × x1 = ∴x1 = 16 .3 c a  16 .3 3.设x1、x2是方程3x2 + 4x – 3 = 0的两个根.利用根系数之间的关系, 求下列各式的值. (1) (x1 + 1)(x2 + 1); (2) . 2 1 1 2 x x x x  解:根据根与系数的关系，得 （1）(x1 + 1)(x2 + 1) = x1 x2 + x1 + x2 + 1= （2） 1 2 1 2 4 , 1.3 b cx x x xa a          4 4-1 ( ) 1 .3 3      .)( 9 342 21 21 2 21 21 2 2 2 1 2 1 1 2  xx xxxx xx xx x x x x 4. 当k为何值时，方程2x2-kx+1=0的两根差为1. 解：设方程两根分别为x1, x2(x1>x2)，则x1-x2=1. ∵ (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1， 由根与系数的关系，得 1 2 ,2 kx x  1 2 1 .2x x  2 14 1,2 2 k       2 3,2 k     2 3.k   5.已知关于x的一元二次方程mx2-2mx+ m -2=0. （1）若方程有实数根, 求实数m的取值范围； （2）若方程两根x1、x2满足∣ x1-x2∣ = 1 ,求m的值. 解：(1)∵方程有实数根     2 2 2 2 4 2 4 2 4 4 8 8 0 b ac m m m m m m m               ∴ ， ∴m的取值范围为m＞0. (2)∵方程有实数根x1、x2， 1 2 1 2 22, .mx x x x m      ∵ (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1， 2 22 4 1.m m     解得m=8. 经检验m=8是原 方程的解． 根与系数的关 系（韦达定理） 内 容 如果方程x2+px+q=0的两根是x1、x2,那么 x1+x2= -p , x1 ·x2=q 如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两 个根分别是x1、 x2，那么 应 用 常见变形 2 2 2 1 2 1 2 1 2( ) 2x x x x x x    2 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) 4x x x x x x    1 2 1 2 1 2 1 1 x x x x x x   1 2 bx x a    1 2 cx x a 