2018年江苏省盐城市中考数学试卷 29页

‎2018年江苏省盐城市中考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）‎ ‎1．（3分）﹣2018的相反数是（　　）‎ A．2018 B．﹣2018 C． D．﹣‎ ‎2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．（3分）下列运算正确的是（　　）‎ A．a2+a2=a4 B．a3÷a=a3 C．a2•a3=a5 D．（a2）4=a6‎ ‎4．（3分）盐通铁路沿线水网密布，河渠纵横，将建设特大桥梁6座，桥梁的总长度约为146000米，将数据146000用科学记数法表示为（　　）‎ A．1.46×105 B．0.146×106 C．1.46×106 D．146×103‎ ‎5．（3分）如图是由5个大小相同的小正方体组成的几何体，则它的左视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．（3分）一组数据2，4，6，4，8的中位数为（　　）‎ A．2 B．4 C．6 D．8‎ ‎7．（3分）如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC=35°，则∠CAB的度数为（　　）‎ A．35° B．45° C．55° D．65°‎ ‎8．（3分）已知一元二次方程x2+kx﹣3=0有一个根为1，则k的值为（　　）‎ A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上)‎ ‎9．（3分）根据如图所示的车票信息，车票的价格为　 　元．‎ ‎10．（3分）要使分式有意义，则x的取值范围是　 　．‎ ‎11．（3分）分解因式：x2﹣2x+1=　 　．‎ ‎12．（3分）一只蚂蚁在如图所示的方格地板上随机爬行，每个小方格形状大小完全相同，当蚂蚁停下时，停在地板中阴影部分的概率为　 　‎ ‎13．（3分）将一个含有45°角的直角三角板摆放在矩形上，如图所示，若∠1=40°，则∠2=　 　．‎ ‎14．（3分）如图，点D为矩形OABC的AB边的中点，反比例函数y=（x＞‎ ‎0）的图象经过点D，交BC边于点E．若△BDE的面积为1，则k=　 　．‎ ‎15．（3分）如图，图1是由若干个相同的图形（图2）组成的美丽图案的一部分，图2中，图形的相关数据：半径OA=2cm，∠AOB=120°．则图2的周长为　 　cm（结果保留π）．‎ ‎16．（3分）如图，在直角△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，P、Q分别为边BC、AB上的两个动点，若要使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形，则AQ=　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共有11小题，共102分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤)‎ ‎17．（6分）计算：π0﹣（）﹣1+．‎ ‎18．（6分）解不等式：3x﹣1≥2（x﹣1），并把它的解集在数轴上表示出来．‎ ‎19．（8分）先化简，再求值：，其中x=+1．‎ ‎20．（8分）端午节是我国传统佳节．小峰同学带了4个粽子（除粽馅不同外，其它均相同），其中有两个肉馅粽子、一个红枣馅粽子和一个豆沙馅粽子，准备从中任意拿出两个送给他的好朋友小悦．‎ ‎（1）用树状图或列表的方法列出小悦拿到两个粽子的所有可能结果；‎ ‎（2）请你计算小悦拿到的两个粽子都是肉馅的概率．‎ ‎21．（8分）在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE=DF，连接AE、AF、CE、CF，如图所示．‎ ‎（1）求证：△ABE≌△ADF；‎ ‎（2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由．‎ ‎22．（10分）“安全教育平台”是中国教育学会为方便家长和学生参与安全知识活动、接受安全提醒的一种应用软件．某校为了了解家长和学生参与“防溺水教育”的情况，在本校学生中随机抽取部分学生作调查，把收集的数据分为以下4类情形：‎ A．仅学生自己参与；‎ B．家长和学生一起参与；‎ C．仅家长自己参与；‎ D．家长和学生都未参与．‎ 请根据图中提供的信息，解答下列问题：‎ ‎（1）在这次抽样调查中，共调查了　 　名学生；‎ ‎（2）补全条形统计图，并在扇形统计图中计算C类所对应扇形的圆心角的度数；‎ ‎（3）根据抽样调查结果，估计该校2000名学生中“家长和学生都未参与”的人数．‎ ‎23．（10分）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．‎ ‎（1）若降价3元，则平均每天销售数量为　 　件；‎ ‎（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？‎ ‎24．（10分）学校与图书馆在同一条笔直道路上，甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，乙先到达目的地．两人之间的距离y（米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图所示．‎ ‎（1）根据图象信息，当t=　 　分钟时甲乙两人相遇，甲的速度为　 　米/分钟；‎ ‎（2）求出线段AB所表示的函数表达式．‎ ‎25．（10分）如图，在以线段AB为直径的⊙O上取一点C，连接AC、BC．将△ABC沿AB翻折后得到△ABD．‎ ‎（1）试说明点D在⊙O上；‎ ‎（2）在线段AD的延长线上取一点E，使AB2=AC•AE．求证：BE为⊙O的切线；‎ ‎（3）在（2）的条件下，分别延长线段AE、CB相交于点F，若BC=2，AC=4，求线段EF的长．‎ ‎26．（12分）【发现】如图①，已知等边△ABC，将直角三角板的60°角顶点D任意放在BC边上（点D不与点B、C重合），使两边分别交线段AB、AC于点E、F．‎ ‎（1）若AB=6，AE=4，BD=2，则CF=　 　；‎ ‎（2）求证：△EBD∽△DCF．‎ ‎【思考】若将图①中的三角板的顶点D在BC边上移动，保持三角板与边AB、AC的两个交点E、F都存在，连接EF，如图②所示，问：点D是否存在某一位置，使ED平分∠BEF且FD平分∠CFE？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【探索】如图③，在等腰△ABC中，AB=AC，点O为BC边的中点，将三角形透明纸板的一个顶点放在点O处（其中∠MON=∠B），使两条边分别交边AB、AC于点E、F（点E、F均不与△ABC的顶点重合），连接EF．设∠B=α，则△AEF与△ABC的周长之比为　 　（用含α的表达式表示）．‎ ‎27．（14分）如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0）两点，且与y轴交于点C．‎ ‎（1）求抛物线的表达式；‎ ‎（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x轴，并沿x轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P、Q两点（点P在点Q的左侧），连接PQ，在线段PQ上方抛物线上有一动点D，连接DP、DQ．‎ ‎（1）若点P的横坐标为﹣，求△DPQ面积的最大值，并求此时点D的坐标；‎ ‎（Ⅱ）直尺在平移过程中，△DPQ面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2018年江苏省盐城市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）‎ ‎1．（3分）﹣2018的相反数是（　　）‎ A．2018 B．﹣2018 C． D．﹣‎ ‎【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数．‎ ‎【解答】解：﹣2018的相反数是2018．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断．‎ ‎【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形；‎ B、是轴对称图形，不是中心对称图形；‎ C、是轴对称图形，不是中心对称图形；‎ D、是轴对称图形，是中心对称图形．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）下列运算正确的是（　　）‎ A．a2+a2=a4 B．a3÷a=a3 C．a2•a3=a5 D．（a2）4=a6‎ ‎【分析】‎ 根据合并同类项法则，把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；同底数幂相除，底数不变指数相减；同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；对各选项分析判断后利用排除法求解．‎ ‎【解答】解：A、a2+a2=2a2，故A错误；‎ B、a3÷a=a2，故B错误；‎ C、a2•a3=a5，故C正确；‎ D、（a2）3=a8，故D错误．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）盐通铁路沿线水网密布，河渠纵横，将建设特大桥梁6座，桥梁的总长度约为146000米，将数据146000用科学记数法表示为（　　）‎ A．1.46×105 B．0.146×106 C．1.46×106 D．146×103‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ ‎【解答】解：将146000用科学记数法表示为：1.46×105．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）如图是由5个大小相同的小正方体组成的几何体，则它的左视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．‎ ‎【解答】‎ 解：从左面看易得第一层有1个正方形，第二层有2个正方形，如图所示：．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）一组数据2，4，6，4，8的中位数为（　　）‎ A．2 B．4 C．6 D．8‎ ‎【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．‎ ‎【解答】解：一共5个数据，从小到大排列此数据为：2，4，4，6，8，‎ 故这组数据的中位数是4．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC=35°，则∠CAB的度数为（　　）‎ A．35° B．45° C．55° D．65°‎ ‎【分析】根据圆周角定理得到∠ABC=∠ADC=35°，∠ACB=90°，根据三角形内角和定理计算即可．‎ ‎【解答】解：由圆周角定理得，∠ABC=∠ADC=35°，‎ ‎∵AB为⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACB=90°，‎ ‎∴∠CAB=90°﹣∠ABC=55°，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）已知一元二次方程x2+kx﹣3=0有一个根为1，则k的值为（　　）‎ A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4‎ ‎【分析】根据一元二次方程的解的定义，把把x=1代入方程得关于k的一次方程1﹣3+k=0，然后解一次方程即可．‎ ‎【解答】解：把x=1代入方程得1+k﹣3=0，‎ 解得k=2．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上)‎ ‎9．（3分）根据如图所示的车票信息，车票的价格为　77.5　元．‎ ‎【分析】根据图片得出价格即可．‎ ‎【解答】解：根据如图所示的车票信息，车票的价格为77.5元，‎ 故答案为：77.5．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）要使分式有意义，则x的取值范围是　x≠2　．‎ ‎【分析】分式有意义，则分母x﹣2≠0，由此易求x的取值范围．‎ ‎【解答】解：当分母x﹣2≠0，即x≠2时，分式有意义．‎ 故答案为：x≠2．‎ ‎　‎ ‎11．（3分）分解因式：x2﹣2x+1=　（x﹣1）2　．‎ ‎【分析】直接利用完全平方公式分解因式即可．‎ ‎【解答】解：x2﹣2x+1=（x﹣1）2．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）一只蚂蚁在如图所示的方格地板上随机爬行，每个小方格形状大小完全相同，当蚂蚁停下时，停在地板中阴影部分的概率为　　‎ ‎【分析】首先确定在阴影的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出蚂蚁停在阴影部分的概率．‎ ‎【解答】解：∵正方形被等分成9份，其中阴影方格占4份，‎ ‎∴当蚂蚁停下时，停在地板中阴影部分的概率为，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎13．（3分）将一个含有45°角的直角三角板摆放在矩形上，如图所示，若∠1=40°，则∠2=　85°　．‎ ‎【分析】直接利用三角形外角的性质结合平行线的性质得出答案．‎ ‎【解答】解：∵∠1=40°，∠4=45°，‎ ‎∴∠3=∠1+∠4=85°，‎ ‎∵矩形对边平行，‎ ‎∴∠2=∠3=85°．‎ 故答案为：85°．‎ ‎　‎ ‎14．（3分）如图，点D为矩形OABC的AB边的中点，反比例函数y=（x＞0）的图象经过点D，交BC边于点E．若△BDE的面积为1，则k=　4　．‎ ‎【分析】设D（a，），利用点D为矩形OABC的AB边的中点得到B（2a，），则E（2a，），然后利用三角形面积公式得到•a•（﹣）=1，最后解方程即可．‎ ‎【解答】解：设D（a，），‎ ‎∵点D为矩形OABC的AB边的中点，‎ ‎∴B（2a，），‎ ‎∴E（2a，），‎ ‎∵△BDE的面积为1，‎ ‎∴•a•（﹣）=1，解得k=4．‎ 故答案为4．‎ ‎　‎ ‎15．（3分）如图，图1是由若干个相同的图形（图2）组成的美丽图案的一部分，图2中，图形的相关数据：半径OA=2cm，∠AOB=120°．则图2的周长为　　cm（结果保留π）．‎ ‎【分析】先根据图1确定：图2的周长=2个的长，根据弧长公式可得结论．‎ ‎【解答】解：由图1得：的长+的长=的长 ‎∵半径OA=2cm，∠AOB=120°‎ 则图2的周长为：=‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎16．（3分）如图，在直角△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，P、Q分别为边BC、AB上的两个动点，若要使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形，则AQ=　或　．‎ ‎【分析】分两种情形分别求解：①如图1中，当AQ=PQ，∠QPB=90°时，②当AQ=PQ，∠PQB=90°时；‎ ‎【解答】解：①如图1中，当AQ=PQ，∠QPB=90°时，设AQ=PQ=x，‎ ‎∵PQ∥AC，‎ ‎∴△BPQ∽△BCA，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴x=，‎ ‎∴AQ=．‎ ‎②当AQ=PQ，∠PQB=90°时，设AQ=PQ=y．‎ ‎∵△BQP∽△BCA，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴y=．‎ 综上所述，满足条件的AQ的值为或．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共有11小题，共102分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤)‎ ‎17．（6分）计算：π0﹣（）﹣1+．‎ ‎【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、三次根式化简3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．‎ ‎【解答】解：π0﹣（）﹣1+‎ ‎=1﹣2+2‎ ‎=1．‎ ‎　‎ ‎18．（6分）解不等式：3x﹣1≥2（x﹣1），并把它的解集在数轴上表示出来．‎ ‎【分析】不等式去括号，移项合并，将x系数化为1，求出解集，表示在数轴上即可．‎ ‎【解答】解：3x﹣1≥2（x﹣1），‎ ‎3x﹣1≥2x﹣2，‎ ‎3x﹣2x≥﹣2+1，‎ x≥﹣1；‎ 将不等式的解集表示在数轴上如下：‎ ‎　‎ ‎19．（8分）先化简，再求值：，其中x=+1．‎ ‎【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．‎ ‎【解答】解：当x=+1时 原式=•‎ ‎=x﹣1‎ ‎=‎ ‎　‎ ‎20．（8分）端午节是我国传统佳节．小峰同学带了4个粽子（除粽馅不同外，其它均相同），其中有两个肉馅粽子、一个红枣馅粽子和一个豆沙馅粽子，准备从中任意拿出两个送给他的好朋友小悦．‎ ‎（1）用树状图或列表的方法列出小悦拿到两个粽子的所有可能结果；‎ ‎（2）请你计算小悦拿到的两个粽子都是肉馅的概率．‎ ‎【分析】（1）根据题意可以用树状图表示出所有的可能结果；‎ ‎（2）根据（1）中的树状图可以得到小悦拿到的两个粽子都是肉馅的概率．‎ ‎【解答】解：（1）肉粽记为A、红枣粽子记为B、豆沙粽子记为C，由题意可得，‎ ‎（2）由（1）可得，‎ 小悦拿到的两个粽子都是肉馅的概率是：=，‎ 即小悦拿到的两个粽子都是肉馅的概率是．‎ ‎　‎ ‎21．（8分）在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE=DF，连接AE、AF、CE、CF，如图所示．‎ ‎（1）求证：△ABE≌△ADF；‎ ‎（2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由．‎ ‎【分析】（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定证明即可；‎ ‎（2）四边形AECF是菱形，根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可判断；‎ ‎【解答】证明：（1）∵正方形ABCD，‎ ‎∴AB=AD，‎ ‎∴∠ABD=∠ADB，‎ ‎∴∠ABE=∠ADF，‎ 在△ABE与△ADF中 ‎，‎ ‎∴△ABE≌△ADF（SAS）；‎ ‎（2）连接AC，‎ 四边形AECF是菱形．‎ 理由：∵正方形ABCD，‎ ‎∴OA=OC，OB=OD，AC⊥EF，‎ ‎∴OB+BE=OD+DF，‎ 即OE=OF，‎ ‎∵OA=OC，OE=OF，‎ ‎∴四边形AECF是平行四边形，‎ ‎∵AC⊥EF，‎ ‎∴四边形AECF是菱形．‎ ‎　‎ ‎22．（10分）“安全教育平台”是中国教育学会为方便家长和学生参与安全知识活动、接受安全提醒的一种应用软件．某校为了了解家长和学生参与“防溺水教育”的情况，在本校学生中随机抽取部分学生作调查，把收集的数据分为以下4类情形：‎ A．仅学生自己参与；‎ B．家长和学生一起参与；‎ C．仅家长自己参与；‎ D．家长和学生都未参与．‎ 请根据图中提供的信息，解答下列问题：‎ ‎（1）在这次抽样调查中，共调查了　400　名学生；‎ ‎（2）补全条形统计图，并在扇形统计图中计算C类所对应扇形的圆心角的度数；‎ ‎（3）根据抽样调查结果，估计该校2000名学生中“家长和学生都未参与”的人数．‎ ‎【分析】（1）根据A类别人数及其所占百分比可得总人数；‎ ‎（2）总人数减去A、C、D三个类别人数求得B的人数即可补全条形图，再用360°乘以C类别人数占被调查人数的比例可得；‎ ‎（3）用总人数乘以样本中D类别人数所占比例可得．‎ ‎【解答】解：（1）本次调查的总人数为80÷20%=400人，‎ 故答案为：400；‎ ‎（2）B类别人数为400﹣（80+60+20）=240，‎ 补全条形图如下：‎ C类所对应扇形的圆心角的度数为360°×=54°；‎ ‎（3）估计该校2000名学生中“家长和学生都未参与”的人数为2000×=100人．‎ ‎　‎ ‎23．（10分）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．‎ ‎（1）若降价3元，则平均每天销售数量为　26　件；‎ ‎（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？‎ ‎【分析】（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价3元，则平均每天可多售出2×3=6件，即平均每天销售数量为20+6=26件；‎ ‎（2）利用商品平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种商品利润列出方程解答即可．‎ ‎【解答】解：（1）若降价3元，则平均每天销售数量为20+2×3=26件．‎ 故答案为26；‎ ‎（2）设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元．‎ 根据题意，得 （40﹣x）（20+2x）=1200，‎ 整理，得x2﹣30x+200=0，‎ 解得：x1=10，x2=20．‎ ‎∵要求每件盈利不少于25元，‎ ‎∴x2=20应舍去，‎ 解得：x=10．‎ 答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．‎ ‎　‎ ‎24．（10分）学校与图书馆在同一条笔直道路上，甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，乙先到达目的地．两人之间的距离y（米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图所示．‎ ‎（1）根据图象信息，当t=　24　分钟时甲乙两人相遇，甲的速度为　40　米/分钟；‎ ‎（2）求出线段AB所表示的函数表达式．‎ ‎【分析】（1）根据图象信息，当t=24分钟时甲乙两人相遇，甲60分钟行驶2400米，根据速度=路程÷时间可得甲的速度；‎ ‎（2）由t=24分钟时甲乙两人相遇，可得甲、乙两人的速度和为2400÷24=100米/分钟，减去甲的速度得出乙的速度，再求出乙从图书馆回学校的时间即A点的横坐标，用A点的横坐标乘以甲的速度得出A点的纵坐标，再将A、B两点的坐标代入，利用待定系数法即可求出线段AB所表示的函数表达式．‎ ‎【解答】解：（1）根据图象信息，当t=24分钟时甲乙两人相遇，甲的速度为2400÷60=40米/分钟．‎ 故答案为24，40；‎ ‎（2）∵甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，t=24分钟时甲乙两人相遇，‎ ‎∴甲、乙两人的速度和为2400÷24=100米/分钟，‎ ‎∴乙的速度为100﹣40=60米/分钟．‎ 乙从图书馆回学校的时间为2400÷60=40分钟，‎ ‎40×40=1600，‎ ‎∴A点的坐标为（40，1600）．‎ 设线段AB所表示的函数表达式为y=kx+b，‎ ‎∵A（40，1600），B（60，2400），‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴线段AB所表示的函数表达式为y=40x．‎ ‎　‎ ‎25．（10分）如图，在以线段AB为直径的⊙O上取一点C，连接AC、BC．将△ABC沿AB翻折后得到△ABD．‎ ‎（1）试说明点D在⊙O上；‎ ‎（2）在线段AD的延长线上取一点E，使AB2=AC•AE．求证：BE为⊙O的切线；‎ ‎（3）在（2）的条件下，分别延长线段AE、CB相交于点F，若BC=2，AC=4，求线段EF的长．‎ ‎【分析】（1）由翻折知△ABC≌△ABD，得∠ADB=∠C=90°，据此即可得；‎ ‎（2）由AC=AD知AB2=AD•AE，即=，据此可得△ABD∽△AEB，即可得出∠ABE=∠ADB=90°，从而得证；‎ ‎（3）由=知DE=1、BE=，证△FBE∽△FAB得=，据此知FB=2FE，在Rt△ACF中根据AF2=AC2+CF2可得关于EF的一元二次方程，解之可得．‎ ‎【解答】解：（1）∵AB为⊙O的直径，‎ ‎∴∠C=90°，‎ ‎∵将△ABC沿AB翻折后得到△ABD，‎ ‎∴△ABC≌△ABD，‎ ‎∴∠ADB=∠C=90°，‎ ‎∴点D在以AB为直径的⊙O上；‎ ‎（2）∵△ABC≌△ABD，‎ ‎∴AC=AD，‎ ‎∵AB2=AC•AE，‎ ‎∴AB2=AD•AE，即=，‎ ‎∵∠BAD=∠EAB，‎ ‎∴△ABD∽△AEB，‎ ‎∴∠ABE=∠ADB=90°，‎ ‎∵AB为⊙O的直径，‎ ‎∴BE是⊙O的切线；‎ ‎（3）∵AD=AC=4、BD=BC=2，∠ADB=90°，‎ ‎∴AB===2，‎ ‎∵=，‎ ‎∴=，‎ 解得：DE=1，‎ ‎∴BE==，‎ ‎∵四边形ACBD内接于⊙O，‎ ‎∴∠FBD=∠FAC，即∠FBE+∠DBE=∠BAE+∠BAC，‎ 又∵∠DBE+∠ABD=∠BAE+∠ABD=90°，‎ ‎∴∠DBE=∠BAE，‎ ‎∴∠FBE=∠BAC，‎ 又∠BAC=∠BAD，‎ ‎∴∠FBE=∠BAD，‎ ‎∴△FBE∽△FAB，‎ ‎∴=，即==，‎ ‎∴FB=2FE，‎ 在Rt△ACF中，∵AF2=AC2+CF2，‎ ‎∴（5+EF）2=42+（2+2EF）2，‎ 整理，得：3EF2﹣2EF﹣5=0，‎ 解得：EF=﹣1（舍）或EF=，‎ ‎∴EF=．‎ ‎　‎ ‎26．（12分）【发现】如图①，已知等边△ABC，将直角三角板的60°角顶点D任意放在BC边上（点D不与点B、C重合），使两边分别交线段AB、AC于点E、F．‎ ‎（1）若AB=6，AE=4，BD=2，则CF=　4　；‎ ‎（2）求证：△EBD∽△DCF．‎ ‎【思考】若将图①中的三角板的顶点D在BC边上移动，保持三角板与边AB、AC的两个交点E、F都存在，连接EF，如图②所示，问：点D是否存在某一位置，使ED平分∠BEF且FD平分∠CFE？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【探索】如图③，在等腰△ABC中，AB=AC，点O为BC边的中点，将三角形透明纸板的一个顶点放在点O处（其中∠MON=∠B），使两条边分别交边AB、AC于点E、F（点E、F均不与△ABC的顶点重合），连接EF．设∠B=α，则△AEF与△ABC的周长之比为　1﹣cosα　（用含α的表达式表示）．‎ ‎【分析】（1）先求出BE的长度后发现BE=BD的，又∠B=60°，可知△BDE是等边三角形，可得∠BDE=60°，另外∠DEF=60°，可证得△CDF是等边三角形，从而CF=CD=BC﹣BD；‎ ‎（2）证明△EBD∽△DCF，这个模型可称为“一线三等角•相似模型”，根据“AA”判定相似；‎ ‎【思考】由角平分可联系到角平分线的性质“角平分线上点到角两边的距离相等”，可过D作DM⊥BE，DG⊥EF，DN⊥CF，则DM=DG=DN，从而证明△BDM≌△CDN可得BD=CD；‎ ‎【探索】由已知不能求得C△ABC=AB+BC+AC=2AB+2OB=2（m+mcosα），则需要用m和α是三角函数表示出C△AEF，C△AEF=AE+EF+AF=AG+AH=2AG；题中直接已知点O是BC的中点，应用（2）题的方法和结论，作OG⊥BE，OD⊥EF，OH⊥CF，可得EG=ED，FH=DF，则C△AEF=AE+EF+AF=AG+AH=2AG，而AG=AB﹣BO，从而可求得．‎ ‎【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形，‎ ‎∴AB=BC=AC=6，∠B=∠C=60°．‎ ‎∵AE=4，‎ ‎∴BE=2，‎ 则BE=BD，‎ ‎∴△BDE是等边三角形，‎ ‎∴∠BED=60°，‎ 又∵∠EDF=60°，‎ ‎∴∠CDF=180°﹣∠EDF﹣∠B=60°，‎ 则∠CDF=∠C=60°，‎ ‎∴△CDF是等边三角形，‎ ‎∴CF=CD=BC=BD=6﹣2=4．‎ 故答案是：4；‎ ‎（2）证明：如图①，∵∠EDF=60°，∠B=60°，‎ ‎∴∠CDF+BDE=120°，∠BED+∠BDE=120°，‎ ‎∴∠BED=∠CDF．‎ 又∠B=∠C=60°，‎ ‎∴△EBD∽△DCF；‎ ‎【思考】存在，如图②，过D作DM⊥BE，DG⊥EF，DN⊥CF，垂足分别是M、G、N，‎ ‎∵ED平分∠BEF且FD平分∠CFE．‎ ‎∴DM=DG=DN．‎ 又∠B=∠C=60°，∠BMD=∠CND=90°，‎ ‎∴△BDM≌△CDN，‎ ‎∴BD=CD，即点D是BC的中点，‎ ‎∴=；‎ ‎【探索】如图③，连接AO，作OG⊥BE，OD⊥EF，OH⊥CF，垂足分别是G、D、H．‎ 则∠BGO=∠CHO=90°，‎ ‎∵AB=AC，O是BC的中点，‎ ‎∴∠B=∠C，OB=OC，‎ ‎∴△OBG≌△OCH，‎ ‎∴OG=OH，GB=CH，∠BOG=∠COH=90°﹣α，‎ 则∠GOH=180°﹣（∠BOG+∠COH）=2α，‎ ‎∴∠EOF=∠B=α 则∠GOH=2∠EOF=2α．‎ 由（2）题可猜想应用EF=ED+DF=GE+FH（可通过半角旋转证明），‎ 则C△AEF=AE+EF+AF=AE+EG+FH+AF=AG+AH=2AG，‎ 设AB=m，则OB=mcosα，GB=mcos2α．‎ ‎====1﹣cosα．‎ 故答案是：1﹣cosα．‎ ‎　‎ ‎27．（14分）如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0）两点，且与y轴交于点C．‎ ‎（1）求抛物线的表达式；‎ ‎（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x轴，并沿x轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P、Q两点（点P在点Q的左侧），连接PQ，在线段PQ上方抛物线上有一动点D，连接DP、DQ．‎ ‎（1）若点P的横坐标为﹣，求△DPQ面积的最大值，并求此时点D的坐标；‎ ‎（Ⅱ）直尺在平移过程中，△DPQ面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；‎ ‎（2）（I）由点P的横坐标可得出点P、Q的坐标，利用待定系数法可求出直线PQ的表达式，过点D作DE∥y轴交直线PQ于点E，设点D的坐标为（x，﹣x2+2x+3），则点E的坐标为（x，﹣x+），进而即可得出DE的长度，利用三角形的面积公式可得出S△DPQ=﹣2x2+6x+，再利用二次函数的性质即可解决最值问题；‎ ‎（II）假设存在，设点P的横坐标为t，则点Q的横坐标为4+t，进而可得出点P、Q的坐标，利用待定系数法可求出直线PQ的表达式，设点D的坐标为（x，﹣x2+2x+3），则点E的坐标为（x，﹣2（t+1）x+t2+4t+3），进而即可得出DE的长度，利用三角形的面积公式可得出S△DPQ=﹣2x2+4（t+2）x﹣2t2﹣8t，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．‎ ‎【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=ax2+bx+3，得：‎ ‎，解得：，‎ ‎∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3．‎ ‎（2）（I）当点P的横坐标为﹣时，点Q的横坐标为，‎ ‎∴此时点P的坐标为（﹣，），点Q的坐标为（，﹣）．‎ 设直线PQ的表达式为y=mx+n，‎ 将P（﹣，）、Q（，﹣）代入y=mx+n，得：‎ ‎，解得：，‎ ‎∴直线PQ的表达式为y=﹣x+．‎ 如图②，过点D作DE∥y轴交直线PQ于点E，‎ 设点D的坐标为（x，﹣x2+2x+3），则点E的坐标为（x，﹣x+），‎ ‎∴DE=﹣x2+2x+3﹣（﹣x+）=﹣x2+3x+，‎ ‎∴S△DPQ=DE•（xQ﹣xP）=﹣2x2+6x+=﹣2（x﹣）2+8．‎ ‎∵﹣2＜0，‎ ‎∴当x=时，△DPQ的面积取最大值，最大值为8，此时点D的坐标为（，）．‎ ‎（II）假设存在，设点P的横坐标为t，则点Q的横坐标为4+t，‎ ‎∴点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），点Q的坐标为（4+t，﹣（4+t）2+2（4+t）+3），‎ 利用待定系数法易知，直线PQ的表达式为y=﹣2（t+1）x+t2+4t+3．‎ 设点D的坐标为（x，﹣x2+2x+3），则点E的坐标为（x，﹣2（t+1）x+t2+4t+3），‎ ‎∴DE=﹣x2+2x+3﹣[﹣2（t+1）x+t2+4t+3]=﹣x2+2（t+2）x﹣t2﹣4t，‎ ‎∴S△DPQ=DE•（xQ﹣xP）=﹣2x2+4（t+2）x﹣2t2﹣8t=﹣2[x﹣（t+2）]2+8．‎ ‎∵﹣2＜0，‎ ‎∴当x=t+2时，△DPQ的面积取最大值，最大值为8．‎ ‎∴假设成立，即直尺在平移过程中，△DPQ面积有最大值，面积的最大值为8．‎ ‎　‎