2020九年级数学上册 第二十四章 圆 小专题14 教材P124复习题T13的变式与应用习题 10页

小专题14　教材P124复习题T13的变式与应用 ‎【教材母题】　如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D.求证：DE＝DB.‎ 证明：连接BE，由点E是△ABC的内心可知∠BAD＝∠CAD.‎ ‎∵∠CAD＝∠CBD，‎ ‎∴∠BAD＝∠CBD.‎ 又∵∠ABE＝∠CBE，‎ ‎∴∠BAD＋∠ABE＝∠CBE＋∠CBD.‎ ‎∴∠BED＝∠EBD.‎ ‎∴DE＝DB.‎ ‎【问题延伸1】　写出∠BED与∠C的关系：∠BED＝90°－∠C．‎ ‎【问题延伸2】　设AD交BC于点F，AD为△ABC外接圆的直径，G为AB上一点，且∠ADG＝∠C.若BG＝3，AG＝5，求DE的长．‎ 10‎ 解：易证AD垂直平分BC，‎ ‎∵∠ADG＝∠C＝∠ADB，‎ ‎∴DG平分∠ADB.‎ 由(1)知BD＝DE，∴DG垂直平分BE.连接GE，∴BG＝GE，∠DEG＝∠DBG＝90°.‎ ‎∵BG＝3，AG＝5，∴GE＝3.∴AE＝4.‎ 设BD＝DE＝x，则x2＋82＝(x＋4)2，解得x＝6.‎ ‎∴DE＝6.‎ ‎1．(临沂中考)如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E.‎ ‎(1)求证：DE＝DB；‎ ‎(2)若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径．‎ 解：(1)解答同教材母题解答．‎ ‎(2)连接DC，∵∠BAC＝90°，‎ ‎∴BC是直径．∴∠BDC＝90°.‎ ‎∵∠BAD＝∠CAD，BD＝4，‎ ‎∴BD＝CD＝4.‎ ‎∴BC＝＝4.‎ ‎∴外接圆的半径为2.‎ ‎2．如图，⊙O为△ABC的外接圆，BC为直径，AD平分∠BAC交⊙O于点D，点M为△‎ 10‎ ABC的内心．‎ ‎(1)求证：BC＝DM；‎ ‎(2)若DM＝5，AB＝8，求OM的长．‎ 解：(1)证明：连接MC，DB，DC.‎ ‎∵点M为△ABC的内心，‎ ‎∴MC平分∠ACB.‎ ‎∴∠ACM＝∠BCM.‎ ‎∵BC为直径，‎ ‎∴∠BAC＝90°.‎ ‎∵AD平分∠BAC，‎ ‎∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝45°.‎ ‎∴∠DBC＝∠BCD＝45°.‎ ‎∴△BDC为等腰直角三角形．‎ ‎∴BC＝DC.‎ 又∵∠DMC＝∠MAC＋∠ACM＝45°＋∠ACM，‎ 而∠DCM＝∠BCD＋∠BCM＝45°＋∠BCM，‎ ‎∴∠DMC＝∠DCM.‎ ‎∴DC＝DM.‎ ‎∴BC＝DM.‎ ‎(2)作MF⊥BC于点F，ME⊥AC于点E，MH⊥AB于点H，连接OM.‎ ‎∵DM＝5，‎ ‎∴BC＝DM＝10.‎ 而AB＝8，‎ ‎∴AC＝＝6.‎ 设△ABC的内切圆半径为r，‎ ‎∵点M为△ABC的内心，‎ 10‎ ‎∴MH＝ME＝MF＝r.‎ ‎∴四边形AHME为正方形．‎ ‎∴AH＝AE＝r，则CE＝CF＝6－r，‎ BH＝BF＝8－r.‎ 而BF＋FC＝BC，‎ ‎∴8－r＋6－r＝10，计算得出r＝2.‎ ‎∴MF＝2，CF＝6－2＝4，‎ ‎∵OC＝5，‎ ‎∴OF＝5－4＝1.‎ 在Rt△OMF中，OM＝＝.‎ 小专题15　与圆的切线有关的计算与证明 ‎1．(怀化中考)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°.‎ ‎(1)先作∠ACB的平分线交AB边于点P，再以点P为圆心，PA长为半径作⊙P；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)‎ ‎(2)请你判断(1)中BC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．‎ 解：(1)如图所示，⊙P为所求的圆．‎ ‎(2)BC与⊙P相切，‎ 理由：过P作PD⊥BC，垂足为D，‎ ‎∵CP为∠ACB的平分线，且PA⊥AC，PD⊥CB，‎ ‎∴PD＝PA.‎ ‎∵PA为⊙P的半径，‎ ‎∴BC与⊙P相切．‎ ‎2．(永州中考)如图，已知AB是⊙O的直径，过O点作OP⊥AB，交弦AC于点D，交⊙‎ 10‎ O于点E，且使∠PCA＝∠ABC.‎ ‎(1)求证：PC是⊙O的切线；‎ ‎(2)若∠P＝60°，PC＝2，求PE的长．‎ 解：(1)证明：连接OC，‎ ‎∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACB＝90°，‎ ‎∴∠BCO＋∠ACO＝90°.‎ ‎∵OC＝OB，‎ ‎∴∠B＝∠BCO.‎ ‎∵∠PCA＝∠ABC，‎ ‎∴∠BCO＝∠ACP.‎ ‎∴∠ACP＋∠OCA＝90°.‎ ‎∴∠OCP＝90°，即OC⊥PC.‎ ‎∵OC为⊙O的半径，‎ ‎∴PC是⊙O的切线．‎ ‎(2)∵∠P＝60°，PC＝2，∠PCO＝90°，‎ ‎∴OC＝2，OP＝2PC＝4.‎ ‎∴PE＝OP－OE＝OP－OC＝4－2.‎ ‎3．(黄石中考)如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，连接AE并延长交⊙O于点D，连接BD并延长至点F，使得BD＝DF，连接CF，BE.求证：‎ ‎(1)DB＝DE；‎ ‎(2)直线CF为⊙O的切线．‎ 10‎ 证明：(1)∵E为△ABC的内心，‎ ‎∴∠DAC＝∠DAB，∠CBE＝∠EBA.‎ 又∵∠DBC＝∠DAC，∠DBE＝∠DBC＋∠CBE，∠DEB＝∠EAB＋∠EBA，‎ ‎∴∠DBE＝∠DEB.∴DB＝DE.‎ ‎(2)连接OD.‎ ‎∵BD＝DF，O是BC的中点，‎ ‎∴OD∥CF.‎ 又∵BC为⊙O的直径，OB＝OD，‎ ‎∴∠ODB＝∠DBO＝∠DAC＝45°.‎ ‎∴∠BCF＝∠BOD＝90°.‎ ‎∴OC⊥CF.‎ 又OC为⊙O的半径，∴直线CF为⊙O的切线．‎ ‎4．(北京中考)如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交于点D，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E.‎ ‎(1)求证：AC∥DE；‎ ‎(2)连接CD，若OA＝AE＝a，写出求四边形ACDE面积的思路．‎ 解：(1)证明：∵ED与⊙O相切于点D，‎ ‎∴OD⊥DE.‎ ‎∵F为弦AC的中点，‎ ‎∴OD⊥AC.∴AC∥DE.‎ ‎(2)①连接AD，易知AD＝AO，‎ 10‎ 又∵OA＝OD，∴△AOD是等边三角形，且边长为a.‎ ‎∴可以进一步求出△AOD的面积为a2；‎ ‎②根据点A是EO中点，可知△EOD的面积是△AOD面积的2倍，∴可得△EOD的面积为a2；‎ ‎③等量代换可得四边形ACDE的面积为a2.‎ ‎5．如图所示，MN是⊙O的切线，B为切点，BC是⊙O的弦且∠CBN＝45°，过C的直线与⊙O，MN分别交于A，D两点，过C作CE⊥BD于点E.‎ ‎(1)求证：CE是⊙O的切线；‎ ‎(2)若∠D＝30°，BD＝2＋2，求⊙O的半径r.‎ 解：(1)证明：连接OB，OC.‎ ‎∵MN是⊙O的切线，‎ ‎∴OB⊥MN.‎ ‎∵∠CBN＝45°，‎ ‎∴∠OBC＝45°，∠BCE＝45°.‎ ‎∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝45°.‎ ‎∴∠OCE＝90°.‎ 又∵点C在⊙O上，‎ ‎∴CE是⊙O的切线．‎ ‎(2)∵OB⊥BE，CE⊥BE，OC⊥CE，‎ ‎∴四边形BOCE是矩形．‎ 又∵OB＝OC，∴四边形BOCE是正方形．‎ ‎∴BE＝CE＝OB＝OC＝r.‎ 在Rt△CDE中，∵∠D＝30°，CE＝r，∴DE＝r.‎ ‎∵BD＝2＋2，∴r＋r＝2＋2.解得r＝2.‎ 即⊙O的半径为2.‎ 10‎ ‎6．已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D.‎ ‎(1)如图1，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC＝30°，求∠BAC的大小；‎ ‎(2)如图2，当直线l与⊙O相交于点E，F时，若∠DAE＝18°，求∠BAF的大小．‎ ‎　　　‎ 解：(1)连接OC.‎ ‎∵直线l与⊙O相切于点C，‎ ‎∴OC⊥l.‎ 又∵AD⊥l，‎ ‎∴AD∥OC.‎ ‎∴∠ACO＝∠DAC＝30°.‎ ‎∵OA＝OC，‎ ‎∴∠BAC＝∠ACO.‎ ‎∴∠BAC＝∠DAC＝30°.‎ ‎(2)连接BF.‎ ‎∵∠AEF为Rt△ADE的一个外角，∠DAE＝18°，∴∠AEF＝∠ADE＋∠DAE＝90°＋18°＝108°.‎ ‎∵四边形ABFE是圆内接四边形，‎ ‎∴∠AEF＋∠B＝180°.‎ ‎∴∠B＝180°－108°＝72°.‎ ‎∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°.‎ ‎∴∠BAF＝90°－∠B＝18°.‎ ‎7．(教材P102习题T12变式)如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过C点的切线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E，DE＝2，CD＝4.‎ ‎(1)求证：AC平分∠BAD；‎ ‎(2)求⊙O的半径R；‎ ‎(3)延长AB，DC交于点F，OH⊥AC于点H.若∠F＝2∠ABH，则BH的长为2 10‎ ‎(直接写出)．‎ 解：(1)证明：连接OC，‎ ‎∵FD切⊙O于点C.‎ ‎∴OC⊥FD.‎ ‎∵AD⊥FD.∴OC∥AD.‎ ‎∴∠ACO＝∠DAC.‎ ‎∵OC＝OA，‎ ‎∴∠ACO＝∠CAO.‎ ‎∴∠DAC＝∠CAO，‎ 即AC平分∠DAB.‎ ‎(2)作OG⊥AE于点G，则AG＝EG.‎ ‎∴OG＝CD＝4，OC＝DG＝R.‎ ‎∴EG＝R－2＝AG.‎ 在Rt△AGO中，(R－2)2＋42＝R2，‎ ‎∴R＝5.‎ ‎(3)提示：连接BE，∵∠AEB＝90°.‎ ‎∴BE∥DF.‎ ‎∴∠F＝∠ABE＝2∠ABH.‎ ‎∴BH平分∠ABE.‎ 又∵AC平分∠BAD.‎ ‎∴∠AHB＝135°.‎ ‎∴△CHB是等腰三角形．‎ ‎∴BC＝CH＝AH.‎ 设BC＝x，AC＝2x，‎ 在Rt△ABC中，x2＋(2x)2＝102，‎ ‎∴x＝2，‎ 10‎ ‎∴BH＝CH＝2.‎ 10‎