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- 2021-11-11 发布
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2019年辽宁省本溪市名山区中考数学一模试卷
一.选择题(共10小题,满分30分,每小题3分)
1.下列计算正确的是( )[来源:Zxxk.Com]
A.y2+y2=2y4 B.y7+y4=y11
C.y2•y2+y4=2y4 D.y2•(y4)2=y18
2.如图,由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形,它的左视图是( )
A. B. C. D.
3.下列事件中,是随机事件的是( )
A.任意画一个三角形,其内角和是360°
B.任意抛一枚图钉,钉尖着地
C.通常加热到100℃时,水沸腾
D.太阳从东方升起
4.若a<b,则下列结论不一定成立的是( )
A.a﹣1<b﹣1 B.2a<2b C.﹣>﹣ D.a2<b2
5.对于反比例函数y=,下列说法正确的是( )
A.图象经过点(2,﹣1)
B.图象位于第二、四象限
C.图象是中心对称图形
D.当x<0时,y随x的增大而增大
6.在一个不透明的袋中装有10个只有颜色不同的球,其中5个红球、3个黄球和2个白球.从袋中任意摸出一个球,是白球的概率为( )
A. B. C. D.
7.已知甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用时间相同,并且乙车每小时比甲车多行驶15千米.若设甲车的速度为x千米/时,依题意列方程正确的是( )
A.= B.= C.= D.=
8.关于x的一元二次方程有实数根,则实数a满足( )
A. B. C.a≤且a≠3 D.
9.二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c为常数且a≠0)中的x与y的部分对应值如下表:
x
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
y
12
5
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
5
12
给出了结论:
(1)二次函数y=ax2+bx+c有最小值,最小值为﹣3;
(2)当﹣<x<2时,y<0;
(3)a﹣b+c=0;
(4)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点,且它们分别在y轴两侧
则其中正确结论的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
10.如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=5,点P是BC边上的一个动点(点P不与点B、C重合),现将△PCD沿直线PD折叠,使点C落到点C′处;作∠BPC′的角平分线交AB于点E.设BP=x,BE=y,则下列图象中,能表示y与x的函数关系的图象大致是( )
A. B.
C. D.
二.填空题(共8小题,满分24分,每小题3分)[来源:学科网ZXXK]
11.可燃冰是一种新型能源,它的密度很小,1cm3可燃冰的质量仅为0.00092kg.数字0.00092用科学记数法表示是 .
12.因式分解:9a3b﹣ab= .
13.有一组数据如下:3,a,4,6,7,它们的平均数是5,那么这组数据的方差是 .
14.如图,将一个长方形纸条折成如图的形状,若已知∠2=55°,则∠1= °.
15.已知一组数据x1,x2,x3,x4的平均数为6,则数据3x1+1,3x2+1,3x3+1,3x4+1的平均数为 .
16.如果a+b=2,那么代数式(a﹣)÷的值是 .
17.矩形纸片ABCD中,AB=3cm,BC=4cm,现将纸片折叠压平,使A与C重合,设折痕为EF,则重叠部分△AEF的面积等于 .
18.如图,在平面直角坐标系中,点A,A1,A2,A3…An都在直线1:y=x+1上,点B,B1,B2,B3…Bn都在x轴上,且AB1⊥1,B1A1⊥x轴,A1B2⊥1,B2A2⊥x轴,则An的横坐标为 (用含有n的代数式表示).
三.解答题(共2小题,满分22分)
19.先化简,再求值(1﹣)÷,其中x=4.
20.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的中线,E是CD的中点,过点C作AB的平行线交AE的延长线于点F,连接BF.
(1)求证:四边形BDCF是菱形;
(2)当Rt△ABC中的边或角满足什么条件时?四边形BDCF是正方形,请说明理由.
四.解答题(共2小题,满分24分,每小题12分)
21.“端午节”是我国的传统佳节,民间历来有吃“粽子”的习俗,我市某食品厂为了解市民对去年销售量较好的肉馅粽、豆沙粽、红枣粽、蛋黄馅粽(以下分别用A、B、C、D表示这四种不同口味粽子的喜爱情况,在节前对某居民区市民进行了抽样调查,并将调查结果绘制成如下两幅统计图.
请根据以上信息回答:
(1)本次参加抽样调查的居民有多少人?
(2)将不完整的条形图补充完整.
(3)若居民区有8000人,请估计爱吃D粽的人数?
(4)若有外型完全相同的A、B、C、D粽各一个煮熟后,小王吃了俩个,用列表或画树状图的方法,求他第二个吃到的恰好是C粽的概率?
22.已知:过⊙O外一点C作CE⊥直径AF,垂足为E,交弦AB于D,若CD=CB,则
(1)判断直线BC与⊙O的位置关系,并证明;
(2)E为OA中点,∠FAB=30°,AD=4,请直接写出图中阴影部分的面积.
五.解答题(共1小题,满分12分,每小题12分)
23.如图,某天然气公司的主输气管道从A市的北偏东60°方向直线延伸,测绘员在A处测得要安装天然气的M小区在A市的北偏东30°方向,测绘员沿主输气管道步行1000米到达C处,测得小区M位于点C的北偏西75°方向,试在主输气管道AC上寻找支管道连接点N,使其到该小区铺设的管道最短,并求AN的长.(精确到1米,≈1.414,≈1.732)
六.解答题(共1小题,满分12分,每小题12分)
24.某公司生产的某种产品每件成本为40元,经市场调查整理出如下信息:
①该产品90天售量(n件)与时间(第x天)满足一次函数关系,部分数据如下表:
时间(第x天)
1
2
3
10
…
日销售量(n件)
198
196
194
?
…
②该产品90天内每天的销售价格与时间(第x天)的关系如下表:
时间(第x天)
1≤x<50
50≤x≤90
销售价格(元/件)
x+60
100
(1)求出第10天日销售量;
(2)设销售该产品每天利润为y元,请写出y关于x的函数表达式,并求出在90天内该产品的销售利润最大?最大利润是多少?【提示:每天销售利润=日销售量×(每件销售价格﹣每件成本)】
(3)在该产品销售的过程中,共有多少天销售利润不低于5400元,请直接写出结果.
七.解答题(共1小题,满分12分,每小题12分)
25.如图,在Rt△ABO中,∠BAO=90°,AO=AB,BO=8,点A的坐标(﹣8,0),点C在线段AO上以每秒2个单位长度的速度由A向O运动,运动时间为t秒,连接BC,过点A作AD⊥BC,垂足为点E,分别交BO于点F,交y轴于点 D.
(1)用t表示点D的坐标 ;
(2)如图1,连接CF,当t=2时,求证:∠FCO=∠BCA;
(3)如图2,当BC平分∠ABO时,求t的值.
八.解答题(共1小题,满分14分,每小题14分)
26.如图1,平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax2+4x与x轴交于O、A两点.直线y=kx+m经过抛物线的顶点B及另一点D(D与A不重合),交y轴于点C.
(1)当OA=4,OC=3时.
①分别求该抛物线与直线BC相应的函数表达式;
②连结AC,分别求出tan∠CAO、tan∠BAC的值,并说明∠CAO与∠BAC的大小关系;
(2)如图2,过点D作DE⊥x轴于点E,连接CE.当a为任意负数时,试探究AB与CE的位置关系?
2019年辽宁省本溪市名山区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一.选择题(共10小题,满分30分,每小题3分)
1.【分析】根据幂的乘方与积的乘方、合并同类项、整式的混合计算判断即可.
【解答】解:A、y2+y2=2y2,错误;
B、y7与y4不能合并,错误;
C、y2•y2+y4=2y4,正确;
D、y2•(y4)2=y10,错误;
故选:C.
【点评】此题考查幂的乘方与积的乘方、合并同类项、整式的混合计算,关键是根据法则计算.
2.【分析】找到从左面看所得到的图形即可,注意所有的看到的棱都应表现在左视图中.
【解答】解:从左面看易得第一层有2个正方形,第二层最左边有一个正方形.
故选:B.
【点评】本题考查了三视图的知识,左视图是从物体的左面看得到的视图.
3.【分析】根据随机事件、必然事件以及不可能事件的定义即可作出判断.
【解答】解:A、任意画一个三角形,其内角和是360°是不可能事件,故本选项错误;
B、任意抛一枚图钉,钉尖着地是随机事件,故本选项正确;
C、通常加热到100℃时,水沸腾是必然事件,故本选项错误;
D、太阳从东方升起是必然事件,故本选项错误;
故选:B.
【点评】此题考查了随机事件,解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下,一定不发生的事件.不确定事件即随机事件是指在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件.
4.【分析】由不等式的性质进行计算并作出正确的判断.
【解答】解:A、在不等式a<b的两边同时减去1,不等式仍成立,即a﹣1<b﹣1,故本选项错误;
B、在不等式a<b的两边同时乘以2,不等式仍成立,即2a<2b,故本选项错误;
C、在不等式a<b的两边同时乘以﹣,不等号的方向改变,即﹣>﹣,故本选项错误;
D、当a=﹣5,b=1时,不等式a2<b2不成立,故本选项正确;
故选:D.
【点评】考查了不等式的性质.应用不等式的性质应注意的问题:在不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数时,一定要改变不等号的方向;当不等式的两边要乘以(或除以)含有字母的数时,一定要对字母是否大于0进行分类讨论.
5.【分析】根据反比例函数性质逐项判断即可.
【解答】解:
∵当x=2时,可得y=1≠﹣1,
∴图象不经过点(2,﹣1),故A不正确;
∵在y=中,k=2>0,
∴图象位于第一、三象限,且在每个象限内y随x的增大而减小,故B、D不正确;
又双曲线为中心对称图形,故C正确,
故选:C.
【点评】本题主要考查反比例函数的性质,掌握反比例函数的图象形状、位置及增减性是解题的关键.
6.【分析】根据概率的求法,找准两点:①全部情况的总数;②符合条件的情况数目;二者的比值就是其发生的概率.
【解答】解:∵袋子中共有10个小球,其中白球有2个,
∴摸出一个球是白球的概率是=,
故选:D.
【点评】此题主要考查了概率的求法,如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率P(A)=.
7.【分析】设甲车的速度为x千米/时,则乙车的速度为(x+15)千米/时,根据“甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用时间相同”,结合时间=路程÷时间,列出关于x的分式方程,即可得到答案.
【解答】解:设甲车的速度为x千米/时,则乙车的速度为(x+15)千米/时,
甲车行驶30千米所用的时间为:,
乙车行驶40千米所用时间为:,
根据题意得:
=,
故选:C.
【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程,分析题意,找到关键描述语,找到合适的等量关系是解决问题的关键.
8.【分析】讨论:当a﹣3=0,原方程变形为一元一次方程,有一个实数根;当a﹣3≠0,△=(﹣)2﹣4×(a﹣3)×1≥0,然后综合这两种情况即可.
【解答】解:当a﹣3=0,方程变形为﹣x+1=0,此方程为一元一次方程,有一个实数根;
当a﹣3≠0,△=(﹣)2﹣4×(a﹣3)×1≥0,解得a≤且a≠3.
所以a的取值范围为a≤且a≠3.
故选:C.
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2﹣4ac:当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.也考查了一元二次方程的定义.
9.【分析】观察表格,结合二次函数的性质一一判断即可;
【解答】解:(1)二次函数y=ax2+bx+c有最小值,最小值为﹣4,故结论错误;
(2)观察表格可知:﹣1<x<3时,y<0,故结论正确;
(3)∵x=﹣1时,a﹣b+c=0,故结论正确;
(4)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点,且它们分别在y轴两侧,交点分别为(﹣1,0),(3,0),故结论正确,
故选:C.
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数的图象与系数的关系等知识点,能熟记二次函数的图象和性质的内容是解此题的关键.
10.【分析】连接DE,根据折叠的性质可得∠CPD=∠C′PD,再根据角平分线的定义可得∠BPE=∠C′PE,然后证明∠DPE=90°,从而得到△DPE是直角三角形,再分别表示出AE、CP的长度,然后利用勾股定理进行列式整理即可得到y与x的函数关系式,根据函数所对应的图象即可得解.
【解答】解:如图,连接DE,∵△PC′D是△PCD沿PD折叠得到,
∴∠CPD=∠C′PD,
∵PE平分∠BPC′,
∴∠BPE=∠C′PE,
∴∠EPC′+∠DPC′=×180°=90°,
∴△DPE是直角三角形,
∵BP=x,BE=y,AB=3,BC=5,
∴AE=AB﹣BE=3﹣y,CP=BC﹣BP=5﹣x,
在Rt△BEP中,PE2=BP2+BE2=x2+y2,
在Rt△ADE中,DE2=AE2+AD2=(3﹣y)2+52,
在Rt△PCD中,PD2=PC2+CD2=(5﹣x)2+32,
在Rt△PDE中,DE2=PE2+PD2,
则(3﹣y)2+52=x2+y2+(5﹣x)2+32,
整理得,﹣6y=2x2﹣10x,
所以y=﹣x2+x(0<x<5),
纵观各选项,只有D选项符合.
故选:D.
【点评】本题考查了动点问题的函数图象,勾股定理的应用,作出辅助线并证明得到直角三角形,然后在多个直角三角形应用勾股定理是解题的关键.
二.填空题(共8小题,满分24分,每小题3分)
11.【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为a×10﹣n,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
【解答】解:0.00092=9.2×10﹣4,
故答案为:9.2×10﹣4.
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数,一般形式为a×10﹣n,其中1≤|a|<10,n
为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
12.【分析】原式提取公因式后,利用平方差公式分解即可.
【解答】解:原式=ab(9a2﹣1)=ab(3a+1)(3a﹣1).
故答案为:ab(3a+1)(3a﹣1)
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.
13.【分析】先利用平均数的定义求出a,然后根据方差公式计算.
【解答】解:根据题意得(3+a+4+6+7)=5×5,解得a=5,
所以这组数据为3,4,5,6,7,
数据的方差= [(3﹣5)2+(4﹣5)2+(5﹣5)2+(6﹣5)2+(7﹣5)2]=2.
故答案为2.
【点评】本题考查了方差:一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数,叫做这组数据的方差.计算公式是:s2= [(x1﹣x¯)2+(x2﹣x¯)2+…+(xn﹣x¯)2].也考查了算术平均数.
14.【分析】由折叠可得∠3=180°﹣2∠2,进而可得∠3的度数,然后再根据两直线平行,同旁内角互补可得∠1+∠3=180°,进而可得∠1的度数.
【解答】解:由折叠可得∠3=180°﹣2∠2=180°﹣110°=70°,
∵AB∥CD,
∴∠1+∠3=180°,
∴∠1=180°﹣70°=110°,
故答案为:110.
【点评】此题主要考查了翻折变换和平行线的性质,关键是掌握两直线平行,同旁内角互补.
15.【分析】由原数据的平均数得出x1+x2+x3+x4=24,再根据平均数的计算公式可得.
【解答】解:依题意,得=(x1+x2+x3+x4)=6,
∴x1+x2+x3+x4=24,
∴3x1+1,3x2+1,3x3+1,3x4+1的平均数为= [(3x1+1)+(3x2+1)+(3x3+1)+(3x4+1)]=×(3×24+1×4)=19,
故答案为:19.
【点评】此题考查平均数的意义,掌握平均数的计算方法是解决问题的关键.
16.【分析】根据分式的运算法则即可求出答案.
【解答】解:当a+b=2时,
原式=•
=•
=a+b
=2
故答案为:2
【点评】本题考查分式的运算,解题的关键熟练运用分式的运算法则,本题属于基础题型.
17.【分析】要求重叠部分△AEF的面积,选择AF作为底,高就等于AB的长;而由折叠可知∠AEF=∠CEF,由平行得∠CEF=∠AFE,代换后,可知AE=AF,问题转化为在Rt△ABE中求
AE.
【解答】解:设AE=x,由折叠可知,EC=x,BE=4﹣x,
在Rt△ABE中,AB2+BE2=AE2,即32+(4﹣x)2=x2,
解得:x=
由折叠可知∠AEF=∠CEF,
∵AD∥BC,
∴∠CEF=∠AFE,
∴∠AEF=∠AFE,即AE=AF=,
∴S△AEF=×AF×AB=××3=.
故答案为:.
【点评】本题考查的是图形的翻折变换,解题过程中应注意折叠是一种对称变换,它属于轴对称,根据轴对称的性质,折叠前后图形的形状和大小不变,如本题中折叠前后对应角相等.
18.【分析】根据题意:先求出AO,A1B1,A2B2的长度,找出规律,表示出AnBn,再计算OBn,可得An的横坐标.
【解答】解:∵直线1:y=x+1交x轴,y轴于B,A两点
∴A(0,1),B(﹣,0)
∵AB1⊥1,B1A1⊥x轴,A1B2⊥1,B2A2⊥x轴
∴A1B1∥AO∥A2B2∥A3B3,AB1∥A1B2∥A2B3.
∴∠B=∠OAB1=∠B1A1B2=∠B2A2B3.
∴tan∠B=tan∠OAB1===
∴OB1=
∵OA∥A1B1
∴
∴A1B1=
同理可得A2B2=
…AnBn=
∵OB1=AO×tan∠OAB1=1×=
∴B1B2=A1B1×tan∠OAB1=
…An﹣1Bn=An﹣1Bn﹣1×tan∠OAB1=×
∴OBn=OB1+B1B2+B2B3+…+An﹣1Bn﹣1=++×+…+×①
∴OBn=+×+…+×+×②
∴②﹣①得OBn=×﹣
∴OBn=(﹣1)
故答案为(﹣1)
【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征,锐角三角函数,点的规律,解题的关键是从特殊到一般,探究规律,利用规律解决问题,属于中考常考题型.
三.解答题(共2小题,满分22分)
19.【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简,再把x的值代入进行计算即可.
【解答】解:原式=(﹣)÷
=•
=,
当x=4时,原式==.
【点评】本题考查分式的运算法则,解题的关键是熟练运用分式的运算法则,本题属于基础题型.
20.【分析】(1)由“AAS”可证△CEF≌△DEA,可得CF=AD,由直角三角形的性质可得CD=AD=BD=CF,由菱形的判定可证四边形BDCF是菱形;
(2)由等腰三角形的性质可得CD⊥AB,即可证四边形BDCF是正方形.
【解答】证明:(1)∵CF∥AB
∴∠CFA=∠BAF,∠ADC=∠FCD,且CE=DE
∴△CEF≌△DEA(AAS)
∴CF=AD,
∵CD是Rt△ABC的中线
∴CD=AD=BD
∴CF=BD,且CF∥AB
∴四边形BDCF是平行四边形,且CD=BD
∴四边形BDCF是菱形
(2)当AC=BC时,四边形BDCF是正方形,
理由如下:∵AC=BC,CD是中线
∴CD⊥AB,且四边形BDCF是菱形
∴四边形BDCF是正方形.
【点评】
本题考查了正方形的判定,全等三角形的判定和性质,菱形的判定,直角三角形的性质和等腰三角形的性质,灵活运用这些性质进行推理是本题的关键.
四.解答题(共2小题,满分24分,每小题12分)
21.【分析】(1)根据D类型的人数是240人,所占的比例是40%,据此即可求得总人数;
(2)利用总人数,减去其它各组的人数,即可求得C类的人数,据此即可完成直方图;
(3)利用总人数8000乘以对应的百分比即可求解;
(4)利用列举法可以列举出所有的结果,然后利用概率公式即可求解.
【解答】解:(1)调查的居民数有:240÷40%=600(人);
(2)C类的人数是:600﹣180﹣60﹣240=120(人).
(3)爱吃D粽的人数是:8000×40%=3200(人);
(4)
.
则P=.
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用,读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.
22.【分析】(1)相切,根据等腰三角形的性质及对顶角相等可得:∠ADE=∠CDB=∠CBD,由直角三角形的两锐角互余可得结论;
(2)先根据直角三角形30度角的性质和勾股定理得:ED==2,AE=2,则半径OA=OB=4,作辅助线,证明OM⊥AB和△CDB是等边三角形,根据S阴影=S四边形OECB﹣S△OEM﹣S扇形OMB,代入可得结论.
【解答】解:(1)直线BC与⊙O相切,[来源:Z*xx*k.Com]
证明:连接OB,
∵CD=CB,
∴∠CBD=∠CDB,
∵CE⊥AF,
∴∠A+∠ADE=90°,
∵∠ADE=∠CDB=∠CBD,
∴∠A+∠CBD=90°,
∵OA=OB,
∴∠OBA=∠A,
∴∠OBA+∠CBD=90°,
∴OB⊥CB,
∵OB是半径,
∴直线BC与⊙O相切;
(2)Rt△AED中,∠A=30°,AD=4,
∴ED==2,
由勾股定理得:AE=2,
∵E为OA中点,
∴OA=OB=4,
设EC交⊙O于M,连接OM,交AB于G,
Rt△OEM中,∵OE=2,OM=4,
∴∠EMO=30°,∠EOM=60°,
∴EM==6,
∵∠A=∠OBA=30°,
∴∠AOB=180°﹣30°﹣30°=120°,
∴∠BOM=60°,
∵∠A=30°,∠AOM=60°,
∴∠AGO=90°,
∴OG=OA=2,AG=6,
∴AB=2AG=12,
∴BD=AB﹣AD=12﹣4=8,
∵∠CDB=∠ADE=60°,CD=CB,
∴△CDB是等边三角形,
∴S阴影=S四边形OECB﹣S△OEM﹣S扇形OMB,
=S四边形OEDB+S△CDB﹣S△OEM﹣S扇形OMB,
=﹣AE•ED+﹣OE•EM﹣,
=﹣+16﹣﹣8π,
=12﹣2+16﹣6﹣8π,
=.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
【点评】本题考查了切线的性质和判定,直角三角形30度角的判定和性质,等边三角形的判定,扇形的面积,三角形的面积等知识点的综合应用,第二问有难度,确定阴影部分面积的求法是关键.
五.解答题(共1小题,满分12分,每小题12分)
23.【分析】首先过点M作MN⊥AC于点N,由题意可求得∠MAN=30°,∠MCN=45°,然后设MN=x,由三角函数的性质,可表示出AN与CN,继而可得方程: x+x=1000,解此方程即可求得答案.
【解答】解:如图:过点M作MN⊥AC于点N,
根据题意得:∠MAN=60°﹣30°=30°,∠BCM=75°,∠DCA=60°,
∴∠MCN=180°﹣75°﹣60°=45°,设MN=x米,
在Rt△AMN中,AN==x(米),
在Rt△CMN中,CN==x(米),
∵AC=1000米,
∴x+x=1000,
解得:x=500(﹣1),
∴AN=x≈634(米).
答:AN的长为634米.
【点评】此题考查了方向角问题.此题难度适中,注意能构造直角三角形,并能借助于解直角三角形的知识求解是关键,注意数形结合思想与方程思想的应用.
六.解答题(共1小题,满分12分,每小题12分)
24.【分析】(1)根据待定系数法解出一次函数解析式即可,进而得出第10天日销售量;
(2)设利润为y元,则当1≤x<50时,y=﹣2x2+160x+4000;当50≤x≤90时,y=﹣120x+12000,分别求出各段上的最大值,比较即可得到结论;
(3)根据1≤x<50和50≤x≤90时,由y≥5400求得x的范围,据此可得销售利润不低于5400元的天数.
【解答】解:(1)∵n与x成一次函数,
∴设n=kx+b,将x=1,n=198,x=3,n=194代入,得:[来源:Zxxk.Com]
,
解得:.
所以n关于x的一次函数表达式为n=﹣2x+200,
故第10天日销售量:n=﹣20+200=180(件);
(2)设销售该产品每天利润为y元,y关于x的函数表达式为:
y=,
当1≤x<50时,y=﹣2x2+160x+4000=﹣2(x﹣40)2+7200,
∵﹣2<0,
∴当x=40时,y有最大值,最大值是7200;
当50≤x≤90时,y=﹣120x+12000,
∵﹣120<0,
∴y随x增大而减小,即当x=50时,y的值最大,最大值是6000;
综上所述,当x=40时,y的值最大,最大值是7200,即在90天内该产品第40天的销售利润最大,最大利润是7200元;
(3)当1≤x<50时,由y≥5400可得﹣2x2+160x+4000≥5400,
解得:10≤x≤70,
∵1≤x<50,
∴10≤x<50;
当50≤x≤90时,由y≥5400可得﹣120x+12000≥5400,
解得:x≤55,
∵50≤x≤90,
∴50≤x≤55,
综上,10≤x≤55,
故在该产品销售的过程中,共有46天销售利润不低于5400元.
【点评】本题主要考查二次函数的应用,解题的关键是理解题意根据销售问题中总利润的相等关系,结合x的取值范围列出分段函数解析式及二次函数和一次函数的性质.
七.解答题(共1小题,满分12分,每小题12分)
25.【分析】(1)根据ASA证明△ABC≌△OAD即可解决问题;
(2)由△FOD≌△FOC(SAS),推出∠FCO=∠FDC,由△ABC≌△OAD,推出∠ACB=∠ADO,可得∠FCO=∠ACB;
(3)如图2中,在AB上取一点K,使得AK=AC,连接CK.设AK=KC=m,则CK=m.构建方程求出m的值即可解决问题;
【解答】解:(1)∵AD⊥BC,
∴∠AEB=90°=∠BAC=∠AOD,
∴∠ABC+∠BAE=90°,∠BAE+∠OAD=90°,
∴∠ABC=∠OAD,
∴∠ABC=∠OAD,
∵AB=OA,
∴△ABC≌△OAD(ASA),
∴OD=AC=2t,
∴D(0,2t).
故答案为(0,2t)
(2)如图1中,
∵AB=AO,∠BAO=90°,OB=8,
∴AB=AO=8,
∵t=2,
∴AC=OD=4,
∴OC=OD=4,
∵OF=OF,∠FOD=∠FOC,
∴△FOD≌△FOC(SAS),
∴∠FCO=∠FDC,
∵△ABC≌△OAD,[来源:学|科|网Z|X|X|K]
∴∠ACB=∠ADO,
∴∠FCO=∠ACB.
(3)如图2中,在AB上取一点K,使得AK=AC,连接CK.设AK=AC=m,则CK=m.
∵CB平分∠ABO,
∴∠ABC=22.5°,
∵∠AKC=45°=∠ABC+∠KCB,
∴∠KBC=∠KCB=22.5°,
∴KB=KC=m,
∴m+m=8,
∴m=8(﹣1),
∴t==4(﹣1).
【点评】本题属于三角形综合题,考查了等腰直角三角形的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,学会添加常用辅助线,构造特殊三角形解决问题,属于中考压轴题.
八.解答题(共1小题,满分14分,每小题14分)
26.【分析】(1)①根据题意得出A、C的坐标,由A的坐标可求出抛物线解析式及其顶点B坐标,根据B、C坐标可得直线解析式;
②tan∠CAO==,先根据勾股定理逆定理判定△ABC是直角三角形,再根据tan∠BAC=可得答案;
(2)根据y=ax2+4x求得A(﹣,0)、B(﹣,﹣),先求得tan∠BAO=2,再将B(﹣
,﹣)代入y=kx+m得m=,据此知点C(0,),由可求得E(,0),根据tan∠CEO==2知∠BAO=∠CEO,从而得出答案.
【解答】解:(1)①∵OA=4,OC=3,
∴A(4,0),C(0,3),
将A(4,0)代入y=ax2+4x,得:16a+16=0,
解得a=﹣1,
则y=﹣x2+4x=﹣(x﹣2)2+4,
∴B(2,4),
将B(2,4),C(0,3)代入y=kx+m,得:,
解得,
∴y=x+3;
②tan∠CAO==,
∵AC2=(0﹣4)2+(3﹣0)2=25,BC2=(2﹣0)2+(4﹣3)2=5,AB2=(2﹣4)2+(4﹣0)2=20,
∴AC2=BC2+AB2,且BC=,AB=2,
∴△ABC是直角三角形,其中∠ABC=90°,
则tan∠BAC===,
∵tan∠CAO>tan∠BAC,
∴∠CAO>∠BAC.
(2)AB∥CE,理由如下:
由y=ax2+4x=0得x1=0,x2=﹣,则A(﹣,0),
又y=ax2+4x=a(x+)2﹣,
∴顶点B的坐标为(﹣,﹣),
则tan∠BAO==2,
将B(﹣,﹣)代入y=kx+m,得:﹣ +m=﹣,
解得m=,
∴点C(0,),即OC=,
由得x=﹣或x=,
∴E(,0),
∴OE=,
∴tan∠CEO===2,
∴tan∠BAO=tan∠CEO,
∴∠BAO=∠CEO,
∴AB∥CE.
【点评】本题是二次函数的综合问题,解题的关键是熟练掌握二次函数和一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式、配方法求二次函数的顶点坐标及三角函数的应用等知识点.
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