2019九年级数学上册 专题突破讲练 解直角三角形试题 （新版）青岛版 8页

解直角三角形 解直角三角形的基本类型以及解法 图形 已知类型 已知条件 解法步骤 两边 斜边，一直角边 ‎（如c、a）‎ ‎①b＝；‎ ‎②由sinA＝，求∠A；‎ ‎③∠B＝90°－∠A 两直角边 ‎（如a、b）‎ ‎①c＝；‎ ‎②由tanA＝，求∠A；‎ ‎③∠B＝90°－∠A 一边一角 斜边，一锐角 ‎（如c，∠A）‎ ‎①∠B＝90°－∠A；‎ ‎②由sinA＝，求a＝c·sinA；‎ ‎③由cosA＝，求b＝c·cosA 一直角边，一锐角 ‎（如a、∠A）‎ ‎①∠B＝90°－∠A；‎ ‎②由tanA＝，求b＝；‎ ‎③由sinA＝，求c＝ 方法归纳：（1）直角三角形中的五个元素：两条直角边，一条斜边，两个锐角。在没有特殊说明的情况下，“解直角三角形”即求出所有的未知元素。‎ ‎（2）直角三角形的特殊性质：①直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半；②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。‎ ‎（3）直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积。‎ 总结：‎ ‎1. 能够利用勾股定理、三角函数解直角三角形；‎ ‎2. 会添加适当的辅助线构造直角三角形解决斜三角形的问题。‎ 例题 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C＝45°，sinB＝，AD＝1。‎ ‎（1）求BC的长；‎ ‎（2）求tan∠DAE的值。‎ 解析：（1）先由三角形的高的定义得出∠ADB＝∠ADC＝90°，再解 8‎ Rt△ADC，得出DC＝1；解Rt△ADB，得出AB＝3，根据勾股定理求出BD，然后根据BC＝BD＋DC即可求解；（2）先由三角形的中线的定义求出CE的值，则DE＝CE－CD，然后在Rt△ADE中根据正切函数的定义即可求解。‎ 答案：（1）在△ABC中，∵AD是BC边上的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°。‎ 在△ADC中，∵∠ADC＝90°，∠C＝45°，AD＝1，∴DC＝AD＝1。‎ 在△ADB中，∵∠ADB＝90°，sinB＝，AD＝1，∴AB＝＝3，∴BD＝＝2，∴BC＝BD＋DC＝2＋1；‎ ‎（2）∵AE是BC边上的中线，∴CE＝BC＝＋，∴DE＝CE－CD＝－，∴tan∠DAE＝＝－。‎ 点拨：本题考查了三角形的高、中线的定义，勾股定理，解直角三角形等知识点，难度中等，解答这类问题时注意将相关的边和角转化到相应的直角三角形中。‎ 解直角三角形时应注意以下问题：‎ ‎（1）在求解有关解直角三角形的问题时，要画出图形，以利于分析解决问题；‎ ‎（2）选择关系式时要尽量利用原始数据，以防止“累积错误”；‎ ‎（3）遇到不是直角三角形的图形时，要添加适当的辅助线，将其转化为直角三角形后再求解。‎ 总之，解直角三角形时，选择恰当的边角关系式尤为重要，恰当的边角关系不仅能使问题迅速解决，而且还会使计算简便、过程简捷，达到事半功倍的效果。解直角三角形的方法遵循“有斜用弦，无斜用切；宁乘勿除，化斜为直”的原则。‎ 满分训练 如图所示，在△ABC中，AD为∠A的平分线，AB＝3，AC＝5，∠BAC＝120°，求AD的长。‎ 解析：要求AD，需选择适当的三角形使AD为其一边，这样才能方便地运用有关知识处理问题，所以本题应考虑将AD构造成直角三角形的边。‎ 答案：设AD＝x。∵AD是∠BAC的平分线，∠BAC＝120°，∴∠1＝∠2＝60°。‎ ‎∵S△ACD＋S△ADB＝S△ABC，作DH1⊥AB于H1，DH2⊥AC于H2，BH3⊥CA，交CA延长线于H3，则DH1＝DH2＝ADsin60°＝xsin60°，BH3＝3sin60°。‎ ‎∴×5×xsin60°＋×3×xsin60°＝×5×3sin60°。‎ 解得x＝，所以角平分线AD的长为。‎ 8‎ 点拨：求钝角或锐角三角形中的边角时，常常作出垂直，构造直角三角形，得到边角之间的关系。‎ ‎（答题时间：）‎ 一、选择题 ‎1. △ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，如果a2＋b2＝c2，那么下列结论正确的是（ ）‎ A. csinA＝a B. bcosB＝c C. atanA＝b D. ctanB＝b ‎*2. 如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝2，CD＝，点P在四边形ABCD上，若P到BD的距离为，则点P的个数为（ ）‎ A. 1 B. ‎2 ‎ C. 3 D. 4‎ ‎**3. 如图，在Rt△ABO中，斜边AB＝1。若OC∥BA，∠AOC＝36°，则（ ）‎ A. 点B到AO的距离为sin54° B. 点B到AO的距离为tan36°‎ C. 点A到OC的距离为sin36°sin54° D. 点A到OC的距离为cos36°sin54°‎ ‎**4. 在矩形ABCD中，有一个菱形BFDE（点E、F分别在线段AB、CD上），记它们的面积分别为SABCD和SBFDE，现给出下列命题：①若＝，则tan∠EDF＝；②若DE2＝BD•EF，则DF＝2AD。则（ ）‎ A. ①是真命题，②是真命题 B. ①是真命题，②是假命题 C. ①是假命题，②是真命题 D. ①是假命题，②是假命题 8‎ 二、填空题 ‎5. 在△ABC中，AB＝AC＝5，sin∠ABC＝0.8，则BC＝__________。‎ ‎*6. 如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，cosA＝，BE＝4，则tan∠DBE的值是__________。‎ ‎**7. 在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE与AC所在的直线相交于点E，垂足为D，连接BE。已知AE＝5，tan∠AED＝，则BE＋CE＝__________。‎ ‎**8. 如图所示，在△ABC中，∠A＝30°，AB＝AC＝2，BD是边AC上的高，利用此图可求得tan15°＝__________，BC＝__________。‎ 三、解答题 ‎9. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，sin∠A＝，求BC的长和tan∠B的值。‎ ‎10. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB＝8，∠ABD＝30°，∠CAD＝45°，求BC的长。‎ ‎*11. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，BE⊥CD，垂足为点E。己知AC＝15，cosA＝。‎ 8‎ ‎（1）求线段CD的长；‎ ‎（2）求sin∠DBE的值。‎ ‎**12. 如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，点P是的中点，连接PA、PB、PC。‎ ‎（1）如图①，若∠BPC＝60°，求证：AC＝AP；‎ ‎（2）如图②，若sin∠BPC＝，求tan∠PAB的值。‎ 8‎ ‎1. A 解析：∵a2＋b2＝c2，∴△ABC是直角三角形，且∠C＝90°。sinA＝，则csinA＝a，故选项A正确；cosB＝，则ccosB＝a，故选项B错误；tanA＝，则＝b，故选项C错误；tanB＝，则atanB＝b，故选项D错误。‎ ‎2. B 解析：过点A作AE⊥BD于E，过点C作CF⊥BD于F，∵∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝2，CD＝，∴∠ABD＝∠ADB＝45°，∴∠CDF＝90°－∠ADB＝45°，∵sin∠ABD＝，∴AE＝AB•sin∠ABD＝2•sin45°＝2•＝2＞，所以在AB和AD边上有符合P到BD的距离为的点2个；∵sin∠CDF＝，∴CF＝CD•sin∠CDF＝•＝1＜，所以在边BC和CD上没有到BD的距离为的点。总之，P到BD的距离为的点有2个。‎ ‎3. C 解析：点B到AO的距离是指BO的长，∵AB∥OC，∴∠BAO＝∠AOC＝36°，∵在Rt△BOA中，∠BOA＝90°，AB＝1，∴sin36°＝，∴BO＝ABsin36°＝sin36°，故选项A错误；由以上可知，选项B错误；过A作AD⊥OC于D，则AD的长是点A到OC的距离，∵∠BAO＝36°，∠AOB＝90°，∴∠ABO＝54°，∵sin36°＝，∴AD＝AO•sin36°，∵sin54°＝，∴AO＝AB•sin54°，又∵AB＝1，∴AD＝AB•sin54°•sin36°＝1×sin54°•sin36°＝sin54°•sin36°，故选项C正确；由以上可知，选项D错误，故选C。‎ ‎4. A 解析：①设CF＝x，DF＝y，BC＝h，则由已知菱形BFDE得，BF＝DF＝y，由已知得：＝，化简得：＝，即在△BFC中，cos∠BFC＝＝＝，∴∠BFC＝30°。由已知得∠EDF＝30°，∴tan∠EDF＝，所以①是真命题。②已知菱形BFDE，∴DF＝DE，S△DEF＝DF•AD＝BD•EF，又DE2＝BD•EF（已知），∴S△DEF＝DE2＝DF2，∴DF•AD＝DF2，∴DF＝2AD，所以②是真命题。故选：A。‎ ‎5. 6 解析：过点A作AD⊥BC于D，∵AB＝AC，∴BD＝CD，在Rt△ABD中，∵sin∠ABC＝＝0.8，∴AD＝5×0.8＝4，则BD＝＝3，∴BC＝BD＋CD＝3＋3＝6。‎ 8‎ ‎6. 2 解析：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB，∵cosA＝，BE＝4，DE⊥AB，∴设AD＝AB＝5x，AE＝3x，则5x－3x＝4，x＝2，即AD＝10，AE＝6，在Rt△ADE中，由勾股定理得：DE＝＝8，在Rt△BDE中，tan∠DBE＝＝＝2。‎ ‎7. 6或16 解析：①若∠BAC为锐角，如答图1所示：‎ ‎∵AB的垂直平分线是DE，∴AE＝BE，ED⊥AB，AD＝AB，∵AE＝5，tan∠AED＝，∴sin∠AED＝，∴AD＝AE•sin∠AED＝3，∴AB＝6，∴BE＋CE＝AE＋CE＝AC＝AB＝6；②若∠BAC为钝角，如答图2所示：‎ 同理可求得：BE＋CE＝16。故答案为：6或16。‎ ‎8. ； 解析：在△ABD中，BD＝ABsin∠A＝2sin30°＝1，AD＝ABcos∠A＝2cos30°＝。所以CD＝AC－AD＝AB－AD＝2－，所以tan∠CBD＝＝2－，∠CBD＝∠ABC－∠ABD＝75°－60°＝15°，即tan15°＝2－。BC2＝BD2＋CD2＝8－4＝（－）2，所以BC＝－。‎ ‎9. 解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，sinA＝＝＝，∴BC＝4，根据勾股定理得：AC＝＝2，则tanB＝＝＝。‎ ‎10. 解：∵AD⊥BC于点D，∴∠ADB＝∠ADC＝90°。在Rt△ABD中，∵AB＝8，∠ABD＝30°，∴AD＝ABsin∠ABD＝AB＝4，BD＝ABcos∠ABD＝AB＝4。在Rt△ADC中，∵∠CAD＝45°，∠ADC＝90°，∴DC＝AD＝4，∴BC＝BD＋DC＝4＋4。‎ ‎11. 解：（1）在Rt△ABC中，cosA＝，∵AC＝15，∴AB＝＝15× 8‎ ‎＝25。又∵点D是Rt△ABC斜边AB的中点，∴CD＝AB＝；（2）∵点D是AB的中点，∴△ACD、△BCD都是等腰三角形，∴∠ADC＝∠ACD，∠BCD＝∠CBD。∵∠ADC＝∠BDE＝90°－∠DBE，∠ACD＝90°－∠BCD＝90°－∠CBD，∴∠DBE＝∠CBD。∴sin∠DBE＝sin∠CBD＝=＝。‎ ‎12. 解：（1）∵∠BPC＝60°，∴∠BAC＝60°，∵AB＝AC，∴△ABC为等边三角形，∴∠ACB＝∠ABC＝60°，∴∠APC＝∠ABC＝60°，而点P是的中点，∴∠ACP＝∠ACB＝30°，∴∠PAC＝90°，∴tan∠PCA＝＝tan30°＝，∴AC＝PA；（2）过A点作AD⊥BC交BC于D，连接OP交AB于E，如图，∵AB＝AC，∴AD平分BC，∴点O在AD上，连接OB，则∠BOD＝∠BAC，∵∠BPC＝∠BAC，∴sin∠BOD＝sin∠BPC＝＝，设OB＝25x，则BD＝24x，∴OD＝＝7x，在Rt△ABD中，AD＝25x＋7x＝32x，BD＝24x，∴AB＝＝40x，∵点P是的中点，∴OP垂直平分AB，∴AE＝AB＝20x，∠AEP＝∠AEO＝90°，在Rt△AEO中，OE＝＝15x，∴PE＝OP－OE＝25x－15x＝10x，在Rt△APE中，tan∠PAE＝＝＝，即tan∠PAB的值为。‎ 8‎