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- 2021-11-11 发布
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2005 年上海市中考数学试卷
一. 填空题(本大题共 14 题,满分 42 分)
只要求直接填写结果,每个空格填对得 3 分,否则得零分。
1. 计算: ( )x2 2 _____________。
2. 分解因式: a a2 2 ____________。
3. 计算: 2 1 2 1 ____________。
4. 函数 y x 的定义域是_________________。
5. 如果函数 f x x( ) 1,那么 f ( )1 ___________。
6. 点 A( )2 4, 在正比例函数的图像上,这个正比例函数的解析式是______________。
7. 如果将二次函数 y x 2 2 的图像沿 y 轴向上平移 1 个单位,那么所得图像的函数解析
式是___________________。
8. 已知一元二次方程有一个根为 1,那么这个方程可以是_________________(只需写出
一个方程)。
9. 如果关于 x 的方程 x x a2 4 0 有两个相等的实数根,那么 a=__________。
10. 一个梯形的两底长分别为 6 和 8,这个梯形的中位线长为____________。
11. 在△ABC 中,点 D、E 分别在边 AB 和 AC 上,且 DE//BC,如果 AD=2,DB=4,AE=3,
那么 EC=__________________。
12. 如图所示,自动扶梯 AB 段的长度为 20 米,倾斜角 A 为α ,高度 BC 为___________
米(结果用含α 的三角比表示)。
13. 如果半径分别为 2 和 3 的两个圆外切,那么这两个圆的圆心距是______________。
14. 在三角形纸片 ABC 中, C A AC90 30 3°, °, ,折叠该纸片,使点 A
与点 B 重合,折痕与 AB、AC 分别相交于点 D 和点 E(如图所示)。折痕 DE 的长为
____________________。
二. 选择题(本大题共 4 题,满分 12 分)
下列各题的四个结论中,有且只有一个结论是正确的,把正确结论的代号写在题后的
圆括号内,选对得 3 分;不选、错选或者多选得零分。
15. 在下列实数中,是无理数的为( )
A. 0 B. 35.
C. 2 D. 9
16. 六个学生进行投篮比赛,投进的个数分别为 2,3,3,5,10,13,这六个数的中位
数是( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
17. 已知 Rt ABC 中, C AC BC90 2 3°, , ,那么下列各式中,正确的是
( )
A. sin B 2
3 B. cosB 2
3
C. tgB 2
3 D. ctgB 2
3
18. 在下列命题中,真命题是( )
A. 两个钝角三角形一定相似
B. 两个等腰三角形一定相似
C. 两个直角三角形一定相似
D. 两个等边三角形一定相似
三. 解答题(本大题共 3 题,满分 24 分)
19. (本题满分 8 分)
解不等式组: 3 1 5
2 1 6
x x
x x
( )
,并把解集在数轴上表示出来。
20. (本题满分 8 分)
解方程: x
x
x
x x
2
2
2
8
42
21. (本题满分 8 分,每小题满分各为 4 分)
(1)在图 1 所示编号为①、②、③、④的四个三角形中,关于 y 轴对称的两个三角形
的编号为________________;关于坐标原点 O 对称的两个三角形的编号为__________;
(2)在图 2 所示中,画出与△ABC 关于 x 轴对称的 A B C1 1 1 。
图 1
图 2
四. 证明题(本大题共 4 题,满分 42 分)
22. (本题满分 10 分,每小题满分各为 5 分)
在直角坐标平面中,O 为坐标原点。二次函数 y x bx c 2 的图像与 x 轴的负半轴
相交于点 A,与 x 轴的正半轴相交于点 B,与 y 轴相交于点 C(如图所示)。点 C 的坐标
为(0,-3),且 BO=CO。
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)设这个二次函数图像的顶点为 M,求 AM 的长。
23. (本题满分 10 分)
已知:如图所示,圆 O 是△ABC 的外接圆,圆心 O 在这个三角形的高 CD 上,E、F
分别是边 AC 和 BC 的中点。
求证:四边形 CEDF 是菱形。
24. (本题满分 10 分,第(1)、(2)、(3)小题满分各为 2 分,第(4)小题满分 4
分)
小明家使用的是分时电表,按平时段(6:00~22:00)和谷时段(22:00~次日 6:00)
分别计费。平时段每度电价为 0.61 元,谷时段每度电价为 0.30 元。小明将家里 2005 年 1
月至 5 月的平时段和谷时段的月用电量分别用折线图表示(如图所示),同时将前 4 个月
的月用电量和相应电费制成表格(如表 1)。
表 1
项目
月份
月用电量
(度)
电费(元)
1 月 90 51.80
2 月 92 50.85
3 月 98 49.24
4 月 105 48.55
5 月
根据上述信息,解答下列问题:
(1)计算 5 月份的月用电量及相应电费,将所得结果填入表 1 中;
(2)小明家这 5 个月的月平均用电量为____________度;
(3)小明家这 5 个月每月用电量呈________________趋势(选择“上升”或“下降”);
这 5 个月每月电费呈______________趋势(选择“上升”或“下降”);
(4)小明预计 7 月份家中用电量很大,估计 7 月份用电量可达 500 度,相应电费将达
243 元。请你根据小明的估计,计算出 7 月份小明家平时段用电量和谷时段用电量。
25. (本题满分 12 分,每小题满分各为 4 分)
在△ABC 中, ABC AB BC90 4 3°, , 。O 是边 AC 上的一个动点,以点 O
为圆心作半圆,与边 AB 相切于点 D,交线段 OC 于点 E,作 EP ED ,交射线 AB 于点 P,
交射线 CB 于点 F。
(1)如图 1 所示,求证: ADE AEP ;
(2)设 OA=x,AP=y,求 y 关于 x 的函数解析式,并写出它的定义域;
(3)当 BF=1 时,求线段 AP 的长。
图 1 图 2
参考答案
一. 填空题
1. x 4 2. a a( ) 2
3. 1 4. x 0
5. 2 6. y x 2
7. y x 2 12 8. x x2 0 等
9. 4 10. 7
11. 6 12. 20sin
13. 5 14. 1
二. 选择题
15. C 16. B 17. C 18. D
三. 解答题
19. 由 3 1 5 1x x x ,得
由 2 1 6( )x x ,得 x 4
∴不等式组的解集为1 4 x
解集在数轴上表示正确。
20. 解:去分母,得 x x x( ) ( ) 2 2 82
x x x x2 22 4 4 8
整理,得: x x2 2 0
解得: x x1 22 1 ,
经检验, x1 1 为原方程的根, x2 2 是增根
∴原方程的根是 x 1
21. (1)①和② ①和③
(2)所画三角形正确。
四. 解答题
22. 解:(1)∵BO=CO,点 C 的坐标为(0,-3),点 B 在 x 轴的正半轴上
∴点 B 的坐标为(3,0)
∵点 C、点 B 在二次函数 y x bx c 2 的图像上
c
b c
3
3 3 02
解得: c
b
3
2
∴二次函数的解析式为 y x x 2 2 3
(2) y x x x 2 22 3 1 4( )
∴点 M 的坐标为(1,-4)
又∵二次函数 的图像与 x 轴的负半轴相交于点 A
∴点 A 的坐标为(1,-4)
又∵二次函数 y x x 2 2 3的图像与 x 轴的负半轴相交于点 A
∴点 A 的坐标为(-1,0)
AM ( ) ( )1 1 4 0 2 52 2
23. 证法一:∵O 为圆心,AB 为圆 O 的弦, OD AB
AD BD
又CD AB AC BC ,
CDA E AC
DE AC EC
DF BC CF
DE EC CF FD
CEDF
90
1
2
1
2
°, 是 的中点
同理
四边形 是菱形
证法二:∵O 为圆心,AB 为圆 O 的弦,
∵D、F 分别为 AB、BC 的中点
FD AC FD AC/ / ,且 1
2
E AC
EC AC FD
CEDF
CDA E AC
DE AC EC
CEDF
是 的中点
四边形 是平行四边形
°, 是 的中点
四边形 是菱形
1
2
90
1
2
证法三:连结 EF,交 CD 于点 G
E F AC BC、 分别为 、 的中点
EF AB
CG DG EG
AD
CG
CD
GF
DB
O AB O OD AB
AD BD
EG GF
CG DG EG GF
/ /
,
为圆心, 为圆 的弦,
,
∴四边形 CEDF 是平行四边形
EF AB CD AB
CD EF
/ / ,
∴四边形 CEDF 是菱形
24. (1)110 46.95
(2)99
(3)上升 下降
(4)解:设小明家 7 月份平时段用电量为 x 度,谷时段用电量为 y 度
根据题意,得 x y
x y
500
061 030 243. .
解得: x
y
300
200
答:小明家 7 月份平时段用电量为 300 度,谷时段用电量为 200 度。
25. (1)证明:如图 1 所示,连结 OD
根据题意,得 OD AB ,即 ODA 90°
OE OD
ODE OED
DEP
ADE AEP
A A
ADE AEP
90°
又
(2)解: ABC AB BC90 4 3°, ,
AC 5
OA x OE OD x AD x
AE x x x
, ,3
5
4
5
3
5
8
5
当点 O 在边 AC 上移动时,总有 ADE AEP
AP
AE
AE
AD
y x x16
5 0 25
8
(3)解法一: ADE AEP
AE
AD
PE
ED
AE x AD x
PE
ED
AE
AD
BPF EPD BP
BF
PE
ED
8
5
4
5
2
2
,
易证 ,
当 时,BF BP1 2
①若 EP 交线段 CB 的延长线于点 F(如图 1 所示),则
AP BP 4 2
图 1
②若 EP 交线段 CB 于点 F(如图 2 所示),则
AP BP 4 6
图 2
解法二:当 BF=1 时
①若 EP 交线段 CB 的延长线于点 F(如图 1 所示),则 CF=4
ADE AEP
PDE PEC
FBP DEP FPB DPE
F PDE
CFE FEC
CF CE
CE AE x
x x x
y AP
90
5 5 8
5
8
5 4 5
8
2 2
°,
,得
,即
②若 EP 交线段 CB 于点 F(如图 2 所示),则 CF=2
类似①,易得 CF CE
CE AE x
x x
y AP
5 5 8
5
5 8
5 2 15
8
6 6
,得
,即
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