2020年中考数学一模试卷 【解析版】 29页

‎2020年南京市中考数学一模试卷 一、选择题 ‎1．“鼓楼e学校一停课不停学在线课堂”在此次疫情期间为全国师生提供鼓楼教育的“云服务”，课程日均访问量达1200000，用科学记数法表示1200000是（　　）‎ A．0.12×106 B．1.2×107 C．1.2×106 D．12×105‎ ‎2．表示4的（　　）‎ A．平方 B．平方根 C．算术平方根 D．立方根 ‎3．数轴上，点A、B分别表示﹣1、7，则线段AB的中点C表示的数是（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎4．已知5≤≤7，4≤≤6，则的整数部分可以是（　　）‎ A．9 B．10 C．11 D．12‎ ‎5．某班37名同学中只有1位同学身高是165cm．若除甲、乙外其余35名同学身高的平均数和中位数都是165cm，则该班37名同学身高的平均数a和中位数b（单位：cm），不可能是（　　）‎ A．a＞165，b＝165 B．a＜165，b＝165 ‎ C．a＜165，b＝164 D．a＝165，b＝166‎ ‎6．如图，A、B两地相距am，它们之间有一半径为r的圆形绿地（r＜），绿地圆心位于AB连线的中点O处，分别过A、B作⊙O的切线相交于C，切点分别为D、E．现规划两条驾车路径：①B→E→C→D→A；②B→E→（沿）→D→A，则下列说法正确的是（　　）‎ A．①较长 B．②较长 ‎ C．①②一样长 D．以上皆有可能 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答趣卡相应位置上）‎ ‎7．写出一个数，使这个数等于它的倒数：　 　．‎ ‎8．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．‎ ‎9．计算的结果是　 　．‎ ‎10．解方程＝得　 　．‎ ‎11．已知方程2x2+4x﹣3＝0的两根分别为x1、x2，则x1+x2＝　 　，x1x2＝　 　．‎ ‎12．一组数据2，3，2，3，5的方差是　 　．‎ ‎13．若正比例函数y＝k1x的图象与反比例函数y＝的图象都经过点（2，3），则k1x＝的解是　 　．‎ ‎14．如图，点O是正五边形ABCDE的中心，连接BD、OD，则∠BDO＝　 　°．‎ ‎15．如图，BC是⊙O的切线，D是切点．连接BO并延长，交⊙O于点E、A，过A作AC⊥BC，垂足为C．若BD＝8，BE＝4，则AC＝　 　．‎ ‎16．用若干个相同的小正方体搭一个几何体，该几何体的主视图、俯视图如图所示．若小正方体的棱长为1，则搭成的几何体的表面积是　 　．‎ 三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．计算．‎ ‎18．（1）解不等式5x+2≥3（x﹣1），并把它的解集在数轴上表示出来．‎ ‎（2）写出一个实数k，使得不等式x＜k和（1）中的不等式组成的不等式组恰有3个整数解．‎ ‎19．如图，已知AB∥CD，直线EF分别交直线AB、CD于点G、H，GI、HI分别平分∠BGH、∠GHD．‎ ‎（1）求证GI⊥HI．‎ ‎（2）请用文字概括（1）所证明的命题：　 　．‎ ‎20．如图是某区1500名小学生和初中生的视力情况和他们每节课课间户外活动平均时长的统计图．‎ ‎（1）根据图1，计算该区1500名学生的近视率；‎ ‎（2）根据图2，从两个不同的角度描述该区1500名学生各年级近视率的变化趋势；‎ ‎（3）根据图1、图2、图3，描述该区1500名学生近视率和所在学段（小学、初中）、每节课课间户外活动平均时长的关系．‎ ‎21．（1）不透明的袋子A中装有红球1个、白球1个，不透明的袋子B中装有红球1个、白球2个，这些球除颜色外无其他差别．分别从两个袋子中随机摸出一个球，求摸出的两个球颜色不同的概率；‎ ‎（2）甲、乙两人解同一道数学题，甲正确的概率为，乙正确的概率为，则甲乙恰有一人正确的概率是　 　．‎ ‎22．点E、F分别是菱形ABCD边BC、CD上的点．‎ ‎（1）如图，若CE＝CF，求证AE＝AF；‎ ‎（2）判断命题“若AE＝AF，则CE＝CF”的真假．若真，请证明；若假，请在备用图上画出反例．‎ ‎23．某工厂生产A、B、C三种产品，这三种产品的生产数量均为x件．它们的单件成本和固定成本如表：‎ 产品 单件成本（元/件）‎ 固定成本（元）‎ A ‎0.1‎ ‎1100‎ B ‎0.8‎ a C b（b＞0）‎ ‎200‎ ‎（注：总成本＝单件成本×生产数量+固定成本）‎ ‎（1）若产品A的总成本为yA，则yA关于x的函数表达式为　 　．‎ ‎（2）当x＝1000时，产品A、B的总成本相同．‎ ‎①求a；‎ ‎②当x≤2000时，产品C的总成本最低，求b的取值范围．‎ ‎24．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝45°，AD⊥BC，垂足为D，BD＝6，DC＝4．‎ ‎（1）求⊙O的半径；‎ ‎（2）求AD的长．‎ ‎25．如图，用一个平面去截正方体ABCDEFGH，得到了三棱锥S﹣DPQ．若∠SPD＝45°，∠SQD＝37°，PQ＝1，求SD的长．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75．）‎ ‎26．已知y是x的二次函数，该函数的图象经过点A（0，5）、B（1，2）、C（3，2）．‎ ‎（1）求该二次函数的表达式，画出它的大致图象并标注顶点及其坐标；‎ ‎（2）结合图象，回答下列问题：‎ ‎①当1≤x≤4时，y的取值范围是　 　；‎ ‎②当m≤x≤m+3时，求y的最大值（用含m的代数式表示）；‎ ‎③是否存在实数m、n（m≠n），使得当m≤x≤n时，m≤y≤n？若存在，请求出m、‎ n；若不存在，请说明理由．‎ ‎27．如图，已知矩形纸片ABCD，怎样折叠，能使边AB被三等分？‎ 以下是小红的研究过程．‎ 思考过程 要使边AB被三等分，若从边DC上考虑，就是要折出DM＝DC，‎ 也就是要折出DM＝AB，‎ 当DB、AM相交于F时，即要折出对角线上的DF＝DB．那么…‎ 折叠方法和示意图 ‎①折出DB；对折纸片，使D、B重合，得到的折痕与DB相交于点E；继续折叠纸片，使D、B与E重合，得到的折痕与DB分别相交于点F、G；‎ ‎②折出AF、CG，分别交边CD、AB于M、Q；‎ ‎③过M折纸片，使D落在MC上，得到折痕MN，则边AB被N、Q三等分．‎ ‎（1）整理小红的研究过程，说明AN＝NQ＝QB；‎ ‎（2）用一种与小红不同的方法折叠，使边AB被三等分．（需简述折叠方法并画出示意图）‎ 参考答案及解析 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）‎ ‎1．“鼓楼e学校一停课不停学在线课堂”在此次疫情期间为全国师生提供鼓楼教育的“云服务”，课程日均访问量达1200000，用科学记数法表示1200000是（　　）‎ A．0.12×106 B．1.2×107 C．1.2×106 D．12×105‎ ‎【分析】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．‎ 解：1200000＝1.2×106．‎ 故选：C．‎ ‎2．表示4的（　　）‎ A．平方 B．平方根 C．算术平方根 D．立方根 ‎【分析】根据算术平方根的定义计算可得．‎ 解：表示4的的算术平方根，‎ 故选：C．‎ ‎3．数轴上，点A、B分别表示﹣1、7，则线段AB的中点C表示的数是（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【分析】数轴上点A所表示的数为a，点B所表示的数为b，则AB的中点所表示的数为．‎ 解：线段AB的中点C表示的数为：＝3，‎ 故选：B．‎ ‎4．已知5≤≤7，4≤≤6，则的整数部分可以是（　　）‎ A．9 B．10 C．11 D．12‎ ‎【分析】根据估算无理数的大小的方法即可得的整数部分．‎ 解：∵5≤≤7，4≤≤6，‎ ‎∴25≤a≤49，16≤b≤36，‎ ‎∴41≤a+b≤85，‎ 则的整数部分可以是6，7，8，9．‎ 故选：A．‎ ‎5．某班37名同学中只有1位同学身高是165cm．若除甲、乙外其余35名同学身高的平均数和中位数都是165cm，则该班37名同学身高的平均数a和中位数b（单位：cm），不可能是（　　）‎ A．a＞165，b＝165 B．a＜165，b＝165 ‎ C．a＜165，b＝164 D．a＝165，b＝166‎ ‎【分析】根据中位数和平均数的定义分别进行解答即可．‎ 解：因为35名同学身高的平均数和中位数都是165cm，且只有1位同学身高是165cm，‎ 所以该班37名同学身高的平均数a＝165，中位数b＝166，‎ 故选：D．‎ ‎6．如图，A、B两地相距am，它们之间有一半径为r的圆形绿地（r＜），绿地圆心位于AB连线的中点O处，分别过A、B作⊙O的切线相交于C，切点分别为D、E ‎．现规划两条驾车路径：①B→E→C→D→A；②B→E→（沿）→D→A，则下列说法正确的是（　　）‎ A．①较长 B．②较长 ‎ C．①②一样长 D．以上皆有可能 ‎【分析】分别写出①和②的路线组成，只需比较不同的部分，即EC+CD与的大小即可．‎ 解：如图，①B→E→C→D→A，所走的路程为：‎ BE+EC+CD+DA；‎ ‎②B→E→（沿）→D→A，所走的路程为：‎ BE++DA；‎ ‎∵EC+CD＞，‎ ‎∴BE+EC+CD+DA＞BE++DA，‎ 即①＞②．‎ 故选：A．‎ 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答趣卡相应位置上）‎ ‎7．写出一个数，使这个数等于它的倒数：　1　．‎ ‎【分析】根据倒数的定义可知如果一个数等于它的倒数，则这个数是±1．‎ 解：如果一个数等于它的倒数，则这个数是±1．‎ 故答案为：1．‎ ‎8．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是　x≥1　．‎ ‎【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而得出答案．‎ 解：若在实数范围内有意义，‎ 则x﹣1≥0，‎ 解得：x≥1．‎ 故答案为：x≥1．‎ ‎9．计算的结果是　2　．‎ ‎【分析】直接化简二次根式进而合并得出答案．‎ 解：原式＝+‎ ‎＝2．‎ 故答案为：2．‎ ‎10．解方程＝得　x＝9　．‎ ‎【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．‎ 解：去分母得：2x＝3x﹣9，‎ 解得：x＝9，‎ 经检验x＝9是分式方程的解．‎ 故答案为：x＝9．‎ ‎11．已知方程2x2+4x﹣3＝0的两根分别为x1、x2，则x1+x2＝　﹣2　，x1x2＝　﹣　．‎ ‎【分析】根据方程的系数结合根与系数的关系，即可得出x1+x2和x1x2的值．‎ 解：∵x1、x2是方程2x2+4x﹣3＝0的两根，‎ ‎∴x1+x2＝﹣＝﹣2，x1x2＝＝﹣．‎ 故答案为：﹣2；﹣．‎ ‎12．一组数据2，3，2，3，5的方差是　1.2　．‎ ‎【分析】先求出平均数，再根据方差公式计算即可．S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]．‎ 解：＝（2+3+3+3+5）÷5＝3，‎ S2＝[（2﹣3）2+（3﹣3）2+（3﹣3）2+（2﹣3）2+（5﹣3）2]＝1.2．‎ 故填答案为1.2．‎ ‎13．若正比例函数y＝k1x的图象与反比例函数y＝的图象都经过点（2，3），则k1x＝的解是　2或﹣2　．‎ ‎【分析】两个函数的图象都经过点（2，3），即k1x＝的一个解为x＝2，根据正比例函数点的对称性，则另外一个解为x＝﹣2，即可求解．‎ 解：两个函数的图象都经过点（2，3），即k1x＝的一个解为x＝2，‎ 根据正比例函数点的对称性，则另外一个解为x＝﹣2，‎ 故答案为2或﹣2．‎ ‎14．如图，点O是正五边形ABCDE的中心，连接BD、OD，则∠BDO＝　18　°．‎ ‎【分析】连接OB，OC，可求出∠BOC和∠COD的度数，则∠BOD的度数可知，因为OB＝OD，进而可求出∠BDO的度数．‎ 解：连接OB，OC，‎ ‎∵点O是正五边形ABCDE的中心，‎ ‎∴∠BOC＝∠COD＝＝72°，‎ ‎∴∠BOD＝2×72°＝144°，‎ ‎∵OB＝OC，‎ ‎∴∠BDO＝∠OBD＝＝18°，‎ 故答案为：18．‎ ‎15．如图，BC是⊙O的切线，D是切点．连接BO并延长，交⊙O于点E、A，过A作AC⊥BC，垂足为C．若BD＝8，BE＝4，则AC＝　9.6　．‎ ‎【分析】连接OD、AD、ED，根据切线的性质得到∠ODB＝90°，根据圆周角定理得到∠ADE＝90°，证明△BDE∽△BAD，根据相似三角形的性质求出AE，证明△BDO∽△BCA，求出AC．‎ 解：连接OD、AD、ED，‎ ‎∵BC是⊙O的切线，‎ ‎∴∠ODB＝90°，‎ ‎∴∠ODE+∠BDE＝90°，‎ ‎∵AE为⊙O的直径，‎ ‎∴∠ADE＝90°，‎ ‎∴∠DAE+∠AED＝90°，‎ ‎∵OD＝OE ‎∴∠ODE＝∠OED，‎ ‎∴∠BDE＝∠BAD，‎ ‎∵∠B＝∠B，‎ ‎∴△BDE∽△BAD，‎ ‎∴＝，即＝，‎ 解得，AE＝12，‎ ‎∵∠BDO＝∠BCA，∠B＝∠B，‎ ‎∴△BDO∽△BCA，‎ ‎∴＝，即＝，‎ 解得，AC＝9.6，‎ 故答案为：9.6．‎ ‎16．用若干个相同的小正方体搭一个几何体，该几何体的主视图、俯视图如图所示．若小正方体的棱长为1，则搭成的几何体的表面积是　28或30　．‎ ‎【分析】由俯视图可得第一层正方体的个数，由主视图可得第二层和第三层最少或最多的正方体的个数，相加解答即可．‎ 解：搭这样的几何体最少需要4+1+2＝7个小正方体，最多需要4+2+2＝8个小正方体，‎ 所以搭成的几何体的表面积是4×7＝28或4×8﹣2＝30，‎ 故答案为：28或30．‎ 三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．计算．‎ ‎【分析】根据异分母分式相加减，先通分，再根据同分母分式相加减的法则计算即可．‎ 解：原式＝‎ ‎＝‎ ‎＝‎ ‎＝．‎ ‎18．（1）解不等式5x+2≥3（x﹣1），并把它的解集在数轴上表示出来．‎ ‎（2）写出一个实数k，使得不等式x＜k和（1）中的不等式组成的不等式组恰有3个整数解．‎ ‎【分析】（1）先去括号，再移项得到5x﹣3x≥﹣3﹣2，然后合并后系数化为1即可，再用数轴表示解集即可求解．‎ ‎（2）根据题意可得0＜k≤1满足条件，依此写出即可求解．‎ 解：（1）5x+2≥3（x﹣1），‎ 去括号得5x+2≥3x﹣3，‎ 移项得5x﹣3x≥﹣3﹣2，‎ 合并得2x≥﹣5，‎ 系数化为1得x≥﹣2.5，‎ 用数轴表示为：‎ ‎（2）∵一个实数k，使得不等式x＜k和（1）中的不等式组成的不等式组恰有3个整数解，‎ ‎∴0＜k≤1，‎ ‎∴k＝1满足条件．‎ ‎19．如图，已知AB∥CD，直线EF分别交直线AB、CD于点G、H，GI、HI分别平分∠BGH、∠GHD．‎ ‎（1）求证GI⊥HI．‎ ‎（2）请用文字概括（1）所证明的命题：　两直线平行，同旁内角的角平分线互相垂直　．‎ ‎【分析】利用角平分线、平行线的性质及三角形的内角和定理，先求出∠I的度数，再说明两直线的关系．‎ ‎【解答】证明：（1）∵AB∥CD，‎ ‎∴∠BGH+∠GHD＝180°．‎ ‎∵∠HGI＝HGB，∠GHI＝GHD，‎ ‎∴∠HGI+∠GHI＝∠HGB+GHD ‎＝（∠HGB+∠GHD）‎ ‎＝90°．‎ ‎∵∠HGI+∠KHI+∠I＝180°，‎ ‎∴∠I＝90°．‎ ‎∴GI⊥HI．‎ ‎（2）文字可概况为：两直线平行，同旁内角的角平分线互相垂直．‎ 故答案为：两直线平行，同旁内角的角平分线互相垂直．‎ ‎20．如图是某区1500名小学生和初中生的视力情况和他们每节课课间户外活动平均时长的统计图．‎ ‎（1）根据图1，计算该区1500名学生的近视率；‎ ‎（2）根据图2，从两个不同的角度描述该区1500名学生各年级近视率的变化趋势；‎ ‎（3）根据图1、图2、图3，描述该区1500名学生近视率和所在学段（小学、初中）、每节课课间户外活动平均时长的关系．‎ ‎【分析】（1）根据近视率＝计算即可．‎ ‎（2）利用图2中的信息解决问题即可．‎ ‎（3）根据图3解决问题即可．‎ 解：（1）该区1500名学生的近视率＝＝52%．‎ ‎（2）①近视率随年级的增高而增高．‎ ‎②在四到六年级期间，近视率的增长幅度比较大．‎ ‎（3）近视率会随着学段的升高而增加，学段提高后，学生的课简的活动时间普遍减少，近视率也随之上升．‎ ‎21．（1）不透明的袋子A中装有红球1个、白球1个，不透明的袋子B中装有红球1个、白球2个，这些球除颜色外无其他差别．分别从两个袋子中随机摸出一个球，求摸出的两个球颜色不同的概率；‎ ‎（2）甲、乙两人解同一道数学题，甲正确的概率为，乙正确的概率为，则甲乙恰有一人正确的概率是　　．‎ ‎【分析】（1）根据题意画出树状图得出所有等情况数和摸出的两个球颜色不同的情况数，然后根据概率公式即可得出答案；‎ ‎（2）根据题意得到甲正确乙不正确的概率，甲不正确乙正确的概率，两者相加即可得到结论．‎ 解：（1）画树状图如下：‎ 共有6种等情况数，其中摸出的两个球颜色不同的有3种，‎ 则摸出的两个球颜色不同的概率是＝；‎ ‎（2）甲正确乙不正确的概率为（1﹣）＝，‎ 甲不正确乙正确的概率为（1﹣）×＝，‎ ‎∴甲乙恰有一人正确的概率是+＝，‎ 故答案为：．‎ ‎22．点E、F分别是菱形ABCD边BC、CD上的点．‎ ‎（1）如图，若CE＝CF，求证AE＝AF；‎ ‎（2）判断命题“若AE＝AF，则CE＝CF”的真假．若真，请证明；若假，请在备用图上画出反例．‎ ‎【分析】（1）连接AC，利用菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；‎ ‎（2）举出反例解答即可．‎ 解：（1）连接AC，‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴∠ACE＝∠ACF，‎ 在△ACE与△ACF中 ‎，‎ ‎∴△ACE≌△ACF（SAS），‎ ‎∴AE＝AF，‎ ‎（2）当AE＝AF＝AF'时，CE≠CF'，如备用图，‎ 所以命题“若AE＝AF，则CE＝CF”是假命题．‎ ‎23．某工厂生产A、B、C三种产品，这三种产品的生产数量均为x件．它们的单件成本和固定成本如表：‎ 产品 单件成本（元/件）‎ 固定成本（元）‎ A ‎0.1‎ ‎1100‎ B ‎0.8‎ a C b（b＞0）‎ ‎200‎ ‎（注：总成本＝单件成本×生产数量+固定成本）‎ ‎（1）若产品A的总成本为yA，则yA关于x的函数表达式为　y＝0.1x+1100　．‎ ‎（2）当x＝1000时，产品A、B的总成本相同．‎ ‎①求a；‎ ‎②当x≤2000时，产品C的总成本最低，求b的取值范围．‎ ‎【分析】（1）根据“总成本＝单件成本×生产数量+固定成本”即可得出产品A的总成本为yA，则yA关于x的函数表达式；‎ ‎（2）①根据题意列方程解答即可；‎ ‎②取x＝2000时，即可得出b的取值范围．‎ 解：（1）根据题意得：y＝0.1x+1100；‎ 故答案为：y＝0.1x+1100．‎ ‎（2）①由题意得0.8×1000+a＝0.1×1000+1100，‎ 解得a＝400；‎ ‎②当x＝2000时，yC≤yA且yC≤yB，‎ 即2000b+200≤2000×0.8+400；2000b+200≤2000×0.1+1100，‎ 解得：0＜b≤0.55．‎ ‎24．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝45°，AD⊥BC，垂足为D，BD＝6，DC＝4．‎ ‎（1）求⊙O的半径；‎ ‎（2）求AD的长．‎ ‎【分析】（1）根据圆周角定理得到∠BOC＝90°，根据等腰直角三角形的性质计算，求出OB；‎ ‎（2）连接OA，过点O作OE⊥AD于E，OF⊥BC于F，根据垂径定理求出DF，根据等腰直角三角形的性质求出OF，根据勾股定理求出AE，结合图形计算得到答案．‎ 解：（1）如图1，连接OB、OC，‎ ‎∵BD＝6，DC＝4，‎ ‎∴BC＝10，‎ 由圆周角定理得，∠BOC＝2∠BAC＝90°，‎ ‎∴OB＝BC＝5；‎ ‎（2）如图2，连接OA，过点O作OE⊥AD于E，OF⊥BC于F，‎ ‎∴BF＝FC＝5，‎ ‎∴DF＝1，‎ ‎∵∠BOC＝90°，BF＝FC，‎ ‎∴OF＝BC＝5，‎ ‎∵AD⊥BC，OE⊥AD，OF⊥BC，‎ ‎∴四边形OFDE为矩形，‎ ‎∴OE＝DF＝1，DE＝OF＝5，‎ 在Rt△AOE中，AE＝＝7，‎ ‎∴AD＝AE+DE＝12．‎ ‎25．如图，用一个平面去截正方体ABCDEFGH，得到了三棱锥S﹣DPQ．若∠SPD＝45°，∠SQD＝37°，PQ＝1，求SD的长．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75．）‎ ‎【分析】在直角三角形SDP中，根据∠SPD＝45°，得到三角形为等腰直角三角形，即SD＝PD，在Rt三角形SDQ中，利用锐角三角函数定义表示出DQ，在直角三角形PDQ中，利用勾股定理求出所求即可．‎ 解：在Rt△SPD中，∠SPD＝45°，‎ ‎∴SD＝PD，‎ 在Rt△SDQ中，∠SDQ＝37°，‎ ‎∴tan37°＝＝0.75，‎ ‎∴DQ＝SD＝PD，‎ 在Rt△PDQ中，‎ PQ＝＝SD＝1，‎ ‎∴SD＝．‎ ‎26．已知y是x的二次函数，该函数的图象经过点A（0，5）、B（1，2）、C（3，2）．‎ ‎（1）求该二次函数的表达式，画出它的大致图象并标注顶点及其坐标；‎ ‎（2）结合图象，回答下列问题：‎ ‎①当1≤x≤4时，y的取值范围是　1≤y≤5　；‎ ‎②当m≤x≤m+3时，求y的最大值（用含m的代数式表示）；‎ ‎③是否存在实数m、n（m≠n），使得当m≤x≤n时，m≤y≤n？若存在，请求出m、n；若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）用待定系数法求出解析式，用描点法画出函数图象；‎ ‎（2）①根据函数图象找出横坐标由1到4的点的纵坐标的最大值与最小值，便可写出y的取值范围；‎ ‎②先求出对称轴x＝﹣，分两种情况：﹣﹣m≥m+3﹣（﹣）或﹣﹣m＜m+3﹣（﹣），根据二次函数的性质求y的最大值便可；‎ ‎③利用已知可得图象过（a，a）点，进而得出a的值，即可得出m，n的值．‎ 解：（1）设二次函数的解析式为：y＝ax2+bx+c（a≠0），则 ‎，‎ 解得，，‎ ‎∴二次函数的解析式为：y＝x2﹣4x+5，‎ 列表如下：‎ x ‎…‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎…‎ y ‎…‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎…‎ 描点、连线，‎ ‎（2）①由函数图象可知，当1≤x≤4时，1≤y≤5，‎ 故答案为：1≤y≤5；‎ ‎②∵二次函数的解析式为：y＝x2﹣4x+5，‎ ‎∴对称轴为x＝2，‎ 当2﹣m≤m+3﹣2，即m≥时，则在m≤x≤m+3内，当x＝m+3时，y有最大值为y＝x2﹣4x+5＝（m+3）2﹣4（m+3）+5＝m2﹣+2m+2；‎ 当2﹣m＞m+3﹣2，即m＜时，则在m≤x≤m+3内，当x＝m时，y有最大值为y＝x2﹣4x+5＝m2﹣4m+5；‎ ‎③由已知可得图象过（a，a）点，‎ ‎∴a＝a2﹣4a+5，‎ 解得，a＝，‎ ‎∵当m≤x≤n时，m≤y≤n，‎ ‎∴可以取m＝，n＝．‎ ‎27．如图，已知矩形纸片ABCD，怎样折叠，能使边AB被三等分？‎ 以下是小红的研究过程．‎ 思考过程 要使边AB被三等分，若从边DC上考虑，就是要折出DM＝DC，‎ 也就是要折出DM＝AB，‎ 当DB、AM相交于F时，即要折出对角线上的DF＝DB．那么…‎ ‎①折出DB；对折纸片，使D、B重合，得到的折痕与DB相交于点 折叠方法和示意图 E；继续折叠纸片，使D、B与E重合，得到的折痕与DB分别相交于点F、G；‎ ‎②折出AF、CG，分别交边CD、AB于M、Q；‎ ‎③过M折纸片，使D落在MC上，得到折痕MN，则边AB被N、Q三等分．‎ ‎（1）整理小红的研究过程，说明AN＝NQ＝QB；‎ ‎（2）用一种与小红不同的方法折叠，使边AB被三等分．（需简述折叠方法并画出示意图）‎ ‎【分析】（1）由折叠的性质可得DF＝DB，DM＝AN，通过证明△DFM∽△BAF，可得DM＝AB，可得AN＝AB，同理可求QB＝AB，可得结论；‎ ‎（2）所求图形，如图所示，由折叠的性质可得AF＝BF＝DE＝EC＝CD，AN＝DM＝NQ，通过证明△AGF∽△CGD，可得，由平行线分线段成比例可得AN＝MC＝DM，即可证AN＝NQ＝QB．‎ 解：（1）由折叠的性质可得，DF＝DB，四边形ADMN是矩形，‎ ‎∴DM＝AN，‎ ‎∵CD∥AB，‎ ‎∴△DFM∽△BAF，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴DM＝AB，‎ ‎∴AN＝AB，‎ 同理可求QB＝AB，‎ ‎∴AN＝NQ＝QB；‎ ‎（2）如图，‎ ‎①将矩形ABCD对折，使AD与BC重合，折痕为EF；‎ ‎②连接AC，DF，交点为G，‎ ‎③过点G折叠矩形ABCD，使点D落在CE上，对应点为E，‎ 使点A落在BF上，对应点为Q，折痕为MN；‎ ‎∴点N，点Q为AB的三等分点．‎ 理由如下：由折叠的性质可得：AF＝BF＝DE＝EC＝CD，AN＝DM＝NQ，‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴△AGF∽△CGD，‎ ‎∴，‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴，‎ ‎∴AN＝MC＝DM，‎ ‎∴AN＝DM＝CD＝AB，‎ ‎∴NQ＝AB，‎ ‎∴AN＝NQ＝QB．‎