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- 2021-11-11 发布
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普陀区 2013 一模——数学卷
一、选择题
1. 用放大镜将图形放大,应该属于( )
A. 平移变换 B. 相似变换 C. 对称变换 D. 旋转变换
2. 在比例尺是 1:38000 的黄浦江交通游览图上,某隧道长约 7cm,它的实际长度约为( )
A. 0.266km B. 2.66km C. 26.6km D. 266km
3. 在 ABC 中, tan 1,cot 3AB,那么 是( )
A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰三角形
4. 二次函数 2 2 3 0y ax x a 的图像一定不经过( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第二象限 D. 第二象限
5. 下列命题中,正确的是( )
A. 如果一条直线截三角形两边的延长线所得的对应线段成比例,那么这条直线一定平行于
三角形的第三边
B. 不同向量的单位向量的长度都相等,方向也都相同
C. 相似三角形的中线的比等于相似比
D. 一般来说,一条线段的黄金分割点有两个
6. 在 Rt ABC 中, 90 , ,A AC a ACB ,那么下面各式正确的是( )
A. sinAB a B. cosAB a C. tanAB a D. cotAB a
二、填空题:
7. 如图,直线 AD ∥ BE ∥CF , 1 ,43BC AC DE,那么 EF 的值是__________。
8. 在一陡坡上前进 5 米,水平高度升高了 3 米,则坡度i __________。
9. 抛物线 2 1yx关于 x 轴对称的抛物线的解析式为___________。
10. 请写出一个以直线 2x 为对称轴,且在对称轴左侧部分是上升的抛物线的表达式可以是_________。
11. 如果 EF、 是 ABC 的边 AB 和 AC 的中点, ,AB a AC b,那么 EF _________。
12. 如图,在边长为 1 的正方形网格上有点 P A B C、 、 、 ,则图中所形成的三角形中,相似的三角形______。
13. 已知 为一锐角,且cos sin60 ,则 __________。
14. 若 为一锐角,化简: 2sin 1 sin ____________。
15. 如果直角三角形的斜边长为 12,那么它的重心与外心之间的距离为________。
16. 已知二次函数的顶点坐标为 2,3 ,并且经过平移后与抛物线 22yx 重合,那么这个二次函数的
F
E
D
C
B
A
P CB
A
解析式为_________。
17. 若一个三角形的边长均满足方程 2 6 8 0xx ,则此三角形的周长为____________。
18. 已知梯形 ABCD中,AD ∥ BC , 15, 13, 8,AB CD AD B 是锐角, B 的正弦值为 4
5
,那么 BC
的长为_________。
三、解答题
19. 计算:
sin 60 3tan30 cos60
1 2cot 45 cot 30
20. 已知:如图, ABC 中,点 D 是 AC 边上一点,且 : 2:1AD DC ,
(1)设 ,BA a BC b,先化简,再求作:
(2)用 xa yb ( xy、 为实数)的行驶表示 BD 。
21、如图,在 ABC 中, 90 ,ACB AC BC ,点 P 是 形内一点,且 135APB APC
⑴求证: CPA APB∽
⑵试求 tan PCB 的值
22、如图,浦西对岸的高楼 AB,在 C 处测得楼顶 A 的倾角为30 ,向高楼前进 100 米到达 D 处,在 D 处
测得 A 的仰角为 45,求高楼 AB 的高
D
CB
A
P
C B
A
BDC
A
23、已知 CD 是 ABC 中 ACB 的角平分线,E 是 AC 上的一点,且 2 , 6, 4CD BC CE AD AE
⑴求证: BCD DCE∽
⑵求证: ADE ACD∽
⑶求 CE 的长
24、如图,抛物线 2 2y ax ax b 经过点 30, 2C
,且与 x 轴交于点 A、点 B,若 2tan 3ACO
⑴求此抛物线的解析式
⑵若抛物线的顶点为 M,点 P 是线段 OB 上一动点(不与点 B 重合), 45MPQ ,射线 PQ 与线段 BM
交于点 Q,当 MPQ 为等腰三角形,求点 P 的坐标
E
B
D
C
A
P xB
Q
M
C
OA
y
25、如图,在正方形 ABCD 中, 2AB ,点 P 是边 BC 上的任意一点,E 是 BC 延长线上一点,联结 AP
作 PF AP 交 DCE 的平分线 CF 上一点 F,联结 AF 交边 CD 于点 G
⑴求证: AP PF
⑵设点 P 到 B 的距离为 x,线段 DG 的长为 y
试求 y 与 x 的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范围
⑶当点 P 是线段 BC 延长线上一动点,那么⑵式中 y 与 x 的函数关系式保持不变吗?如改变,试直接写出
函数关系式
E
F
CPB
G
DA
2013 学年普陀区九年级数学期终调研试卷
参考答案及评分说明
一、选择题(本大题共 6 题,每题 4 分,满分 24 分)
1.(B); 2. (B); 3.(A); 4.(A); 5.(D); 6.(C).
二、填空题(本大题共 12 题,每题 4 分,满分 48 分)
7.2; 8. 1∶ 4
3
; 9. 2 1yx ;
10. 2( 2)yx 等; 11. 11
22ba ; 12. △PAB∽△PCA;
13. 30°; 14. 1 ; 15. 2;
16. 22( 2) 3yx ; 17. 6 或 12 或 10; 18. 22 或 12.
三、解 答题:(本大题共 7 题,满分 78 分)
19.解:原式
3 3 132 3 2
(1 2 1) 3
……………………………………………………………(5 分)
3
3
…………………………………………………………………………(3 分)
1 . ………………………………………………………… ……………(2 分)
20. 解:(1) 3( 2 ) ( 3 )2a b a b
= 3232a b a b …………………(2 分)
=
1
2ab .……………………………(2 分)
∴ BE 就是所求的向量, = .
(不在原图上作,正确,不扣分)
(画图 2 分,结论 1 分)
(2) 1()3BD BC CD b a b ………………………………………………(2 分)
= 12
33ab .………………………………………………………………(1 分)
(
(第 20 题)
(
A
(
B
(
C
(
D
E
a
1
2 b
21.(1)证明:∵∠APB=∠APC=135°,…………………(1 分)
又∵AC=BC,∠ACB=90°,
∴∠1+∠3=45°,…………………………(1 分)
∠2+∠3=45°,…………………………(1 分)
∴∠2=∠1.…………………………………(1 分)
∴△APB∽△CPA.…………………………(2 分)
(2)解:∵△APB∽△CPA,
∴ 2AB PA PB
CA CP PA ,………………………(1 分)
∴ 2PB PA ,
2
2PC PA .……………………………………………………(2 分)
在△PBC 中,∵∠CPB=90°,
tan∠PCB= PB
PC =2.…………………………………………………………………(1 分)
22.解:由题意得:AB⊥CB,∠C=30°,∠ADB=45°,CD=100m.…………………(4 分)
在 Rt△ADB 中,∵∠ADB=∠DAB =45°,
∴DB=AB.……………………………………………………(1 分)
在 Rt△ACB 中,∵∠ABC =90°,∠C=30°,
∴tan30°= AB
BC ,……………………………………………(1 分)
∴ 1
100 3
AB
AB ,……………………………………………(1 分)
∴ 3 100AB AB,………………………………………(1 分)
解得: 50( 3 1)AB .……………………………………………(1 分)
答:高楼 AB 的高为50( 3 1) 米.…………………………………………………(1 分)
23.
(1)证明:∵CD 是△ABC 中∠ACB 的角平分线,
∴∠1=∠2;……………………………………(1 分)
∵ 2CD BC CE,
∴ CD CE
CB CD ;…………………………………(1 分)
∴△DCE∽△BCD.……………………………(1 分)
(2)证明:∵△DCE∽△BCD.
∴∠4=∠B;………………………………………………………………………(1 分)
∵∠4+∠3=∠2+∠B,
∴∠3=∠2;………………………………………………………………………(1 分)
∴∠3=∠1;………………………………………………………………………(1 分)
又∵∠A=∠A,………………………………………………………………………(1 分)
(
(第 21 题)
(
A
(
B
(
C
(
P
1 3
2
1
A
B C
D
E
2
3
4
第 23 题
∴△ADE∽△ACD.………………………………………………………………(1 分)
(3)解:∵△ADE∽△ACD,
∴ AE AD
AD AC ,………………………………………………………………………(1 分)
∵AD=6,AE=4,
∴ 46
64CE ,……………………………………………………………………(1 分)
解得 CE=5.
所以 CE 的长为 5.…………………………………………………………………(2 分)
24. 解:(1)∵抛物线 2
1 2y ax ax b 经过点 C(0, 3
2 ),
∴b= ,OC= 3
2
.……………………………………………………………(1 分)
∵∠AOC=90°,tan∠ACO= 2
3 ,
∴OA= OC=1,∴点 A 坐标为( 1 ,0), …………………………………(1 分)
代入解析式,解得 a= 1
2 ,
所以解析式为: 213
22y x x .……………………………………………(1 分)
(2) 由 解得:M(1, 2 ), B(3,0).
……………………………………………(2 分)
过点 M 作 MD⊥x 轴交于点 D,…………(1 分)
∵DM=DB=2,
∴∠OBM=45°. ………………………(1 分)
①当 QP=QM 时,
∠QPM=∠QMP=45°,∴∠PQM=90°.
又∵∠OBM=45°,∴∠MPB=90°.
∴P(1,0).………………………………(1 分)
②当 PM=PQ 时,
∵∠MPQ=∠OBM =45°,∠PMQ=∠BMP,
∴△PMQ∽△BMP,…………………………………………………………(1 分)
∴BP= BM= 22,……………………………………………………………(1 分)
∴P(3 2 2 ,0).…………………………………………………………(1 分)
③当 MP=MQ 时,
点 Q 与点 B 重合,点 P 与点 A 重合,不合题意,舍去.…………………(1 分)
综上所述,符合条件的点 P 坐标为(1,0)或( ,0).
x
(
(第 24 题)
M
A
C
B
O
y
P
Q
D
25.解:(1)在 AB 上截取 AQ=PC,联结 PQ.……………………………………………(1 分)
∵四边形 ABCD 为正方形,∴AB=BC,∠B=∠DCE=90°.
∵点 P 在 BC 上,BQ=BP,∴∠1=∠2=45°.
又∵CF 是∠DCE 的平分线,
∴∠FCD=45°,∴∠AQP=∠PCF=135°.…(1 分)
∵PF⊥AP,∴∠APB+∠3=∠APB+∠4=90°.
∴∠3=∠4.………………………………………(1 分)
∴△QAP≌△CPF,………………………………(1 分)
∴AP=PF.…………………………………………(1 分)
(2) 过点 F 作 FM⊥CE,垂足为 M,…………………………………………………(1 分)
∵∠B=∠FMP=90°,又∵∠3=∠4,AP=PF ,
∴△ABP≌△PMF.………………………………………………………………(1 分)
∴BP=MF.
过点 F 作 FN⊥CD,垂足为 N,…………………………………………………(1 分)
∵CF 是∠DCE 的平分线,∴FM=FN,
∴四边形 CMFN 是正方形.
∴CN=NF=FM=BP=x,DN=2–x.
∵DG=y,GN=2–x–y.…………………………………………………………(1 分)
∵AD∥NF, ∴ AD DG
NF GN ,
∴
2
2
y
x x y ,…………………………………………………………………(1 分)
∴
42
2
xy x
, (0≤x< 2) .……………………………………………………(2 分)
(3)
24
2
xy x
,(x> 2) .…………………………………………………………………(2 分)
A
B C
D
M
F
G
P
(第 25 题)
Q
1
2
3
4 E
N
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