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  • 2021-11-11 发布

2014年1月普陀中考数学一模试题

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普陀区 2013 一模——数学卷 一、选择题 1. 用放大镜将图形放大,应该属于( ) A. 平移变换 B. 相似变换 C. 对称变换 D. 旋转变换 2. 在比例尺是 1:38000 的黄浦江交通游览图上,某隧道长约 7cm,它的实际长度约为( ) A. 0.266km B. 2.66km C. 26.6km D. 266km 3. 在 ABC 中, tan 1,cot 3AB,那么 是( ) A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰三角形 4. 二次函数  2 2 3 0y ax x a    的图像一定不经过( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第二象限 D. 第二象限 5. 下列命题中,正确的是( ) A. 如果一条直线截三角形两边的延长线所得的对应线段成比例,那么这条直线一定平行于 三角形的第三边 B. 不同向量的单位向量的长度都相等,方向也都相同 C. 相似三角形的中线的比等于相似比 D. 一般来说,一条线段的黄金分割点有两个 6. 在 Rt ABC 中, 90 , ,A AC a ACB       ,那么下面各式正确的是( ) A. sinAB a  B. cosAB a  C. tanAB a  D. cotAB a  二、填空题: 7. 如图,直线 AD ∥ BE ∥CF , 1 ,43BC AC DE,那么 EF 的值是__________。 8. 在一陡坡上前进 5 米,水平高度升高了 3 米,则坡度i __________。 9. 抛物线 2 1yx关于 x 轴对称的抛物线的解析式为___________。 10. 请写出一个以直线 2x  为对称轴,且在对称轴左侧部分是上升的抛物线的表达式可以是_________。 11. 如果 EF、 是 ABC 的边 AB 和 AC 的中点, ,AB a AC b,那么 EF _________。 12. 如图,在边长为 1 的正方形网格上有点 P A B C、 、 、 ,则图中所形成的三角形中,相似的三角形______。 13. 已知 为一锐角,且cos sin60 ,则  __________。 14. 若 为一锐角,化简:  2sin 1 sin   ____________。 15. 如果直角三角形的斜边长为 12,那么它的重心与外心之间的距离为________。 16. 已知二次函数的顶点坐标为 2,3 ,并且经过平移后与抛物线 22yx 重合,那么这个二次函数的 F E D C B A P CB A 解析式为_________。 17. 若一个三角形的边长均满足方程 2 6 8 0xx   ,则此三角形的周长为____________。 18. 已知梯形 ABCD中,AD ∥ BC , 15, 13, 8,AB CD AD B    是锐角, B 的正弦值为 4 5 ,那么 BC 的长为_________。 三、解答题 19. 计算:   sin 60 3tan30 cos60 1 2cot 45 cot 30        20. 已知:如图, ABC 中,点 D 是 AC 边上一点,且 : 2:1AD DC  , (1)设 ,BA a BC b,先化简,再求作: (2)用 xa yb ( xy、 为实数)的行驶表示 BD 。 21、如图,在 ABC 中, 90 ,ACB AC BC    ,点 P 是 形内一点,且 135APB APC     ⑴求证: CPA APB∽ ⑵试求 tan PCB 的值 22、如图,浦西对岸的高楼 AB,在 C 处测得楼顶 A 的倾角为30 ,向高楼前进 100 米到达 D 处,在 D 处 测得 A 的仰角为 45,求高楼 AB 的高 D CB A P C B A BDC A 23、已知 CD 是 ABC 中 ACB 的角平分线,E 是 AC 上的一点,且 2 , 6, 4CD BC CE AD AE    ⑴求证: BCD DCE∽ ⑵求证: ADE ACD∽ ⑶求 CE 的长 24、如图,抛物线 2 2y ax ax b   经过点 30, 2C ,且与 x 轴交于点 A、点 B,若 2tan 3ACO ⑴求此抛物线的解析式 ⑵若抛物线的顶点为 M,点 P 是线段 OB 上一动点(不与点 B 重合), 45MPQ  ,射线 PQ 与线段 BM 交于点 Q,当 MPQ 为等腰三角形,求点 P 的坐标 E B D C A P xB Q M C OA y 25、如图,在正方形 ABCD 中, 2AB  ,点 P 是边 BC 上的任意一点,E 是 BC 延长线上一点,联结 AP 作 PF AP 交 DCE 的平分线 CF 上一点 F,联结 AF 交边 CD 于点 G ⑴求证: AP PF ⑵设点 P 到 B 的距离为 x,线段 DG 的长为 y 试求 y 与 x 的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范围 ⑶当点 P 是线段 BC 延长线上一动点,那么⑵式中 y 与 x 的函数关系式保持不变吗?如改变,试直接写出 函数关系式 E F CPB G DA 2013 学年普陀区九年级数学期终调研试卷 参考答案及评分说明 一、选择题(本大题共 6 题,每题 4 分,满分 24 分) 1.(B); 2. (B); 3.(A); 4.(A); 5.(D); 6.(C). 二、填空题(本大题共 12 题,每题 4 分,满分 48 分) 7.2; 8. 1∶ 4 3 ; 9. 2 1yx   ; 10. 2( 2)yx   等; 11. 11 22ba ; 12. △PAB∽△PCA; 13. 30°; 14. 1 ; 15. 2; 16. 22( 2) 3yx    ; 17. 6 或 12 或 10; 18. 22 或 12. 三、解 答题:(本大题共 7 题,满分 78 分) 19.解:原式 3 3 132 3 2 (1 2 1) 3        ……………………………………………………………(5 分) 3 3   …………………………………………………………………………(3 分) 1 . ………………………………………………………… ……………(2 分) 20. 解:(1) 3( 2 ) ( 3 )2a b a b     = 3232a b a b    …………………(2 分) = 1 2ab .……………………………(2 分) ∴ BE 就是所求的向量, = . (不在原图上作,正确,不扣分) (画图 2 分,结论 1 分) (2) 1()3BD BC CD b a b     ………………………………………………(2 分) = 12 33ab .………………………………………………………………(1 分) ( (第 20 题) ( A ( B ( C ( D E a 1 2 b 21.(1)证明:∵∠APB=∠APC=135°,…………………(1 分) 又∵AC=BC,∠ACB=90°, ∴∠1+∠3=45°,…………………………(1 分) ∠2+∠3=45°,…………………………(1 分) ∴∠2=∠1.…………………………………(1 分) ∴△APB∽△CPA.…………………………(2 分) (2)解:∵△APB∽△CPA, ∴ 2AB PA PB CA CP PA   ,………………………(1 分) ∴ 2PB PA , 2 2PC PA .……………………………………………………(2 分) 在△PBC 中,∵∠CPB=90°, tan∠PCB= PB PC =2.…………………………………………………………………(1 分) 22.解:由题意得:AB⊥CB,∠C=30°,∠ADB=45°,CD=100m.…………………(4 分) 在 Rt△ADB 中,∵∠ADB=∠DAB =45°, ∴DB=AB.……………………………………………………(1 分) 在 Rt△ACB 中,∵∠ABC =90°,∠C=30°, ∴tan30°= AB BC ,……………………………………………(1 分) ∴ 1 100 3 AB AB  ,……………………………………………(1 分) ∴ 3 100AB AB,………………………………………(1 分) 解得: 50( 3 1)AB .……………………………………………(1 分) 答:高楼 AB 的高为50( 3 1) 米.…………………………………………………(1 分) 23. (1)证明:∵CD 是△ABC 中∠ACB 的角平分线, ∴∠1=∠2;……………………………………(1 分) ∵ 2CD BC CE, ∴ CD CE CB CD ;…………………………………(1 分) ∴△DCE∽△BCD.……………………………(1 分) (2)证明:∵△DCE∽△BCD. ∴∠4=∠B;………………………………………………………………………(1 分) ∵∠4+∠3=∠2+∠B, ∴∠3=∠2;………………………………………………………………………(1 分) ∴∠3=∠1;………………………………………………………………………(1 分) 又∵∠A=∠A,………………………………………………………………………(1 分) ( (第 21 题) ( A ( B ( C ( P 1 3 2 1 A B C D E 2 3 4 第 23 题 ∴△ADE∽△ACD.………………………………………………………………(1 分) (3)解:∵△ADE∽△ACD, ∴ AE AD AD AC ,………………………………………………………………………(1 分) ∵AD=6,AE=4, ∴ 46 64CE  ,……………………………………………………………………(1 分) 解得 CE=5. 所以 CE 的长为 5.…………………………………………………………………(2 分) 24. 解:(1)∵抛物线 2 1 2y ax ax b   经过点 C(0, 3 2 ), ∴b= ,OC= 3 2 .……………………………………………………………(1 分) ∵∠AOC=90°,tan∠ACO= 2 3 , ∴OA= OC=1,∴点 A 坐标为( 1 ,0), …………………………………(1 分) 代入解析式,解得 a= 1 2 , 所以解析式为: 213 22y x x   .……………………………………………(1 分) (2) 由 解得:M(1, 2 ), B(3,0). ……………………………………………(2 分) 过点 M 作 MD⊥x 轴交于点 D,…………(1 分) ∵DM=DB=2, ∴∠OBM=45°. ………………………(1 分) ①当 QP=QM 时, ∠QPM=∠QMP=45°,∴∠PQM=90°. 又∵∠OBM=45°,∴∠MPB=90°. ∴P(1,0).………………………………(1 分) ②当 PM=PQ 时, ∵∠MPQ=∠OBM =45°,∠PMQ=∠BMP, ∴△PMQ∽△BMP,…………………………………………………………(1 分) ∴BP= BM= 22,……………………………………………………………(1 分) ∴P(3 2 2 ,0).…………………………………………………………(1 分) ③当 MP=MQ 时, 点 Q 与点 B 重合,点 P 与点 A 重合,不合题意,舍去.…………………(1 分) 综上所述,符合条件的点 P 坐标为(1,0)或( ,0). x ( (第 24 题) M A C B O y P Q D 25.解:(1)在 AB 上截取 AQ=PC,联结 PQ.……………………………………………(1 分) ∵四边形 ABCD 为正方形,∴AB=BC,∠B=∠DCE=90°. ∵点 P 在 BC 上,BQ=BP,∴∠1=∠2=45°. 又∵CF 是∠DCE 的平分线, ∴∠FCD=45°,∴∠AQP=∠PCF=135°.…(1 分) ∵PF⊥AP,∴∠APB+∠3=∠APB+∠4=90°. ∴∠3=∠4.………………………………………(1 分) ∴△QAP≌△CPF,………………………………(1 分) ∴AP=PF.…………………………………………(1 分) (2) 过点 F 作 FM⊥CE,垂足为 M,…………………………………………………(1 分) ∵∠B=∠FMP=90°,又∵∠3=∠4,AP=PF , ∴△ABP≌△PMF.………………………………………………………………(1 分) ∴BP=MF. 过点 F 作 FN⊥CD,垂足为 N,…………………………………………………(1 分) ∵CF 是∠DCE 的平分线,∴FM=FN, ∴四边形 CMFN 是正方形. ∴CN=NF=FM=BP=x,DN=2–x. ∵DG=y,GN=2–x–y.…………………………………………………………(1 分) ∵AD∥NF, ∴ AD DG NF GN , ∴ 2 2 y x x y ,…………………………………………………………………(1 分) ∴ 42 2 xy x   , (0≤x< 2) .……………………………………………………(2 分) (3) 24 2 xy x   ,(x> 2) .…………………………………………………………………(2 分) A B C D M F G P (第 25 题) Q 1 2 3 4 E N