人教版中考数学二轮复习专题练习下几何问题-三角形的旋转 31页

‎3.旋转—三角形 ‎1.如图，在中，，，，是中点，等腰直角三角板的直角顶点落在点上，使三角板绕点旋转．‎ ‎（1）如图1，当三角板两边分别交边、于、时，线段与、有怎样的关系 ‎（2）在（1）中，设，四边形的面积为，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围．‎ ‎（3）在旋转过程中，当三角板一边经过点时，另一边交延长线于点，连接与延长线交于点（如图2），求的长．‎ 解析：（1）‎ 理由如下：‎ 延长到，使，连接、（如图1-1）‎ ‎∵，∴‎ ‎∵是中点，∴‎ ‎∵，∴‎ ‎∴，‎ ‎∴，∴‎ ‎∴在中，‎ ‎∴‎ ‎（2）‎ 作于，于（如图1-2）‎ 在中，，，∴‎ ‎∴‎ 在中，‎ 由（1）知，∴‎ ‎∵，，∴，，‎ ‎∴‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴‎ ‎∴，∴‎ ‎∴‎ 即 当点与点重合时，‎ ‎∴，∴ ‎ 当点与点重合时，‎ ‎∴，∴‎ ‎∴的取值范围是 ‎ ‎（3）‎ 过点作（如图2）‎ ‎∵，，∴，‎ ‎∴ ，，‎ ‎∵,‎ ‎∴· ，∴ ,‎ ‎∴.‎ ‎3.如图，在中，， ，点在上，且．将绕点顺时针旋转得到，且落在的延长线上，连接交的延长线于点，‎ ‎（1）求证：‎ ‎（2）求的长．‎ 解析：（1）证明：∵，∴‎ ‎∵，∴,‎ ‎∵，∴,‎ ‎∴‎ 又，∴‎ ‎（2）‎ 解：‎ ‎∵，，∴‎ ‎∵ ，，∴,‎ 过作于，则，,‎ ‎∴.‎ ‎4.已知：在的边、上分别取点、，连接使．将绕点按逆时针方向旋转得到，连接、．‎ ‎（1）如图1，若，，问：与都有哪些关系．‎ ‎（2）在图1中，连接、，分别取、、、的中点、、、，顺次连接、、、得到四边形．请判断四边形 的形状．‎ ‎（3）①如图2，若改变（1）中的大小，使，其他条件不变，重复（2）中操作，请你直接判断四边形的形状．‎ ‎②如图3，若改变（1）中、的大小关系，使，其他条件不变，重复（2）中操作，请你直接判断四边形的形状．‎ 解析：‎ ‎（1）证明：‎ 延长交于点，交于点 ‎∵，∴‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，∴‎ 由旋转可知：，，‎ ‎∴‎ ‎∵，‎ ‎∴，∴‎ ‎∴，即 ‎∵在中，‎ 在中，‎ 又 ‎∴，∴‎ ‎（2）正方形 证明：由（1）可知：‎ ‎∵、、、分别是、、、的中点 ‎∴、、、分别是、、、的中位线 ‎∴，，，‎ ‎∴，∴四边形是菱形 ‎∵，，，∴‎ ‎∴四边形是正方形 ‎（3）‎ ‎①四边形 是菱形．‎ ‎ ，‎ ‎ ．‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ ．‎ ‎ 将 绕点 按逆时针方向旋转得到 ，‎ ‎ ．‎ ‎ ．‎ ‎ ．‎ 在 和 中，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ ．‎ ‎ 点 分别是 的中点，‎ ‎ ， ，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ 四边形 是菱形；‎ ‎②四边形 是矩形．‎ 如图3，延长 交 于点 ，‎ ‎ 将 绕点 按逆时针方向旋转得到 ，‎ ‎ ．‎ ‎ ，．‎ ‎ ．‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ ．‎ ‎ ，‎ ‎ ．‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ ．‎ ‎ 点 分别是 的中点，‎ ‎ ，‎ ‎ 四边形 是平行四边形． ，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ 平行四边形 是矩形．‎ ‎5.两个等腰直角三角形、如图①摆放（点在上），连接，取的中点，连接、，则有，．‎ ‎（1）将绕点逆时针旋转，使点落在上（如图②），上述结论是否仍成立？ ‎ ‎（2）如图③，当绕点逆时针旋转 时，连接，若,求 的值．‎ 解析：（1）上述结论仍然成立 证法一：‎ 连接，延长交于点 ‎∵、均为等腰直角三角形 ‎∴，∴‎ ‎∵为中点，∴‎ 又∵，，∴‎ ‎∴‎ 同理，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ 即 ‎∴，∴‎ ‎∴为等腰直角三角形，∴，‎ 证法二：‎ 延长交于，易知为中点 ‎∵是的中点，∴， ‎ ‎∴‎ 分别延长、交于点，易知为中点 可证得， ，‎ ‎∴，即 ‎∵、均为等腰直角三角形 ‎∴，∴‎ ‎（2）‎ 过点作于 ‎∵，，∴‎ 在中，‎ 设，则，，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎6.已知中，，,，将绕点旋转得到．‎ ‎（1）如图1，当点落在线段上时，求的值；‎ ‎（2）如图2，当点落在直线上时，求的长．‎ 解析：（1）‎ ‎∵，，，∴,‎ 作于，于,‎ 则，得 ，， ‎ ‎.‎ ‎∴‎ ‎（2）‎ 作于,‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎7.如图1，、都是等腰直角三角形，点在线段上，，连接．‎ ‎（1）若，求 的值；‎ ‎（2）将绕点逆时针旋转，使（如图2）．‎ ‎①求：线段与的数量关系. ‎ ‎②求：．‎ 解析：‎ ‎（1）‎ ‎ ‎ 延长交于 设，，则，‎ 在中，‎ ‎∵，∴ ‎ ‎∴‎ 整理得：‎ 即 解得：（舍去）或 ‎∴‎ ‎（2）‎ ‎①过作交延长线于、、延长线交于，连接,‎ 则是等腰直角三角形 ‎ 显然,‎ 又∵，∴‎ ‎∴,‎ ‎∵，，,‎ ‎∴，∴,‎ ‎∴，∴‎ ‎∴，∴‎ 又∵，‎ ‎∴，∴‎ 又 ‎ ‎∴‎ ‎②‎ 将绕点顺时针旋转至，延长、交于，连接、‎ 则，，‎ ‎∵，∴‎ ‎∴，∴‎ ‎∴‎ ‎∵，∴‎ ‎∴四边形是平行四边形 ‎∴‎ ‎8.如图，矩形中，，将一块直角三角板的直角顶点放在两对角线，的交点处，以点为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别与边，所在的直线相交，交点分别为，．‎ ‎（1）当，时，如图1，则 的值为________；‎ ‎（2）现将三角板绕点逆时针旋转角，如图2，求 的值；‎ ‎（3）在（2）的基础上继续旋转，当，且使时，如图3， 的值是否变化？证明你的结论．‎ 解析：‎ ‎（1） ‎ ‎（2）‎ 过点作，，垂足分别为，‎ ‎∵在矩形中，则，∴‎ 又∵，∴‎ ‎∴， ‎ 由题意可知，‎ ‎∴，∴‎ 又∵点在矩形对角线交点上 ‎∴，∴‎ ‎（3）变化 证明：‎ 过点作，，垂足分别为，‎ 根据（2），同理可证 ‎ ‎∵，∴ ‎ ‎9.如图1，和均为等腰直角三角形，，点为的中点．过点与平行的直线交射线于点．‎ ‎（1）当，，三点在同一直线上时，求：与之间的数量关系； ‎ ‎（2）将绕点旋转，当，，三点在同一直线上时（如图2），求证：为等腰直角三角形； ‎ ‎（3）将绕点旋转到图3的位置时，（2）中的结论是否仍然成立？‎ ‎ ‎ 解析：（1）‎ ‎∵，∴‎ ‎∵点为的中点，∴‎ 又∵，∴‎ ‎∴ ‎ ‎（2）‎ ‎∵和均为等腰直角三角形 ‎∴，，‎ ‎∵，∴‎ ‎∵，∴‎ ‎∴‎ ‎∵，，三点在同一直线上 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵（已证），∴‎ ‎∵，∴‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴为等腰直角三角形 ‎（3）成立 ‎∵，∴‎ ‎∵，∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 又∵（已证），‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴为等腰直角三角形 ‎10.在四边形中，对角线、相交于点，设锐角，将按逆时针方向旋转得到（0°＜旋转角＜90°）连接、，与相交于点．‎ ‎（1）当四边形为矩形时，如图1．求证：． ‎ ‎（2）当四边形为平行四边形时，设，如图2．‎ ‎①猜想此时与有何关系；‎ ‎②探究与的数量关系以及与的大小关系．‎ 解析：‎ ‎（1）‎ 证明：在矩形中，‎ ‎∵，，，‎ ‎∴，‎ ‎∵由旋转得到，‎ ‎∴，，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 即，‎ ‎∴‎ ‎（2）‎ ‎①猜想：．‎ 证明：在平行四边形中，，，‎ ‎∵由旋转得到，‎ ‎∴，，，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎②结论：，‎ 证明：∵，‎ ‎∴，即 ‎ 设与相交于点，∵，∴，‎ 在与中，又∵，‎ ‎∴，‎ 即 ‎11.如图所示，在中，，，．半径为的与射线相切，切点为，且．将顺时针旋转后得到，点、的对应点分别是点、．‎ ‎（1）画出旋转后的；‎ ‎（2）求出的直角边被截得的弦的长度；‎ ‎（3）判断的斜边所在的直线与的位置关系．‎ 解析：‎ ‎（1）‎ 如图 ‎（2）‎ 连接、，过作于 在中，∵，‎ ‎∴，∴‎ ‎∵，∴，∴‎ 在中，.‎ 故弦的长度为. ‎ ‎（3）与相切 ‎ 证明：‎ 过点作于，连接，，则且 在中，，∴‎ ‎∵，∴‎ ‎∴，∴‎ ‎（由或解求得，从而得亦可）‎ ‎∴与相切 ‎ ‎12.如图1，和是两张全等的三角形纸片，，，，点与边的中点重合，且点、、、在同一条直线上．如图2，将绕点顺时针旋转，旋转过程中边、分别交边于点、，设旋转角．‎ ‎（1）当________时，；‎ ‎（2）当线段、、之间满足关系时，求的大小；‎ ‎（3）若，，，求与的函数关系式．‎ 解析：（1）连接OA 为的中点， ‎ ‎ ‎ 在和中 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 且 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2）‎ 作点关于的对称点，连接、、、‎ 则，，‎ ‎∵是斜边的中点，∴‎ ‎∴，∴‎ ‎∵，∴‎ ‎,‎ ‎∴,‎ 又，，∴,‎ ‎∴,‎ ‎∵，∴,‎ ‎∴，∴，∴,‎ ‎∴，∴,‎ ‎∴，即,‎ ‎（3）‎ 过作于，过作于，交于,‎ 则 ‎∵是的中点，∴，,‎ 在中，，，∴，,‎ ‎∴，,‎ ‎∵，∴,‎ ‎∵，∴,‎ ‎∵，,‎ ‎∴，∴,‎ ‎∴，即 ，∴‎ ‎∵，‎ ‎∴，∴‎ 即 ，∴ ‎ ‎∵，∴‎ ‎∴ ‎ ‎∵ ，∴ ‎ ‎∴‎ ‎13.如图9，若和为等边三角形，，分别，的中点，易证：，是等边三角形．‎ ‎（1）当把绕点旋转到图10的位置时，与的数量关系？ ‎ ‎（2）当绕点旋转到图11的位置时，请证明是等边三角形？并求出当时，与及的面积之比. ‎ 解析：（1）．理由如下:　 ‎ ‎ ∵和为等边三角形 ‎ ‎∴，，‎ ‎ ∵，‎ ‎， ‎ ‎∴， ∴‎ ‎ ∴‎ ‎ （2）是等边三角形．理由如下：‎ ‎ ∵， ∴．‎ ‎ ∵、分别是、的中点，‎ ‎ ∴‎ ‎ ∵，， ∴．‎ ‎ ∴，．‎ ‎ ∴‎ ‎ ∴是等边三角形．‎ ‎ 设，则．‎ ‎ ∵，， ∴．‎ ‎ ∵为等边三角形， ∴， ，‎ ‎ ∴ ， ∴．‎ ‎ ∴在中，， ， ∴．‎ ‎∵为中点， ‎ ‎∴，∴．‎ ‎∵，，为等边三角形，且 ‎ ‎∴‎ 解法二：是等边三角形．理由如下：‎ ‎∵，、分别是、的中点，∴，．‎ ‎∵，∴，∴ ，‎ ‎∴‎ ‎∴是等边三角形 设，则，‎ 易证，∴，‎ ‎∴ ∴‎ ‎∵，，为等边三角形 ‎∴.‎ ‎14.如图1，，，．绕着边的中点旋转，，分别交线段于点，．‎ ‎（1）观察：‎ ‎①如图2、图3，当或时， ______（填“大于”，“小于”或“等于”）；②如图4，当 时， ______（填“大于”，“小于”或“等于”）；（2）猜想：如图1，当时， _____;（填“大于”，“小于”或“等于”）； ‎ ‎（3）如果，请直接写出的度数：____；‎ 的值_为______‎ 解析：‎ ‎（1）①在中，是的中点，‎ ‎∴，‎ 又∵，‎ ‎∴，‎ 又∵，或时，‎ ‎∴，‎ ‎∴在中，，即（等腰三角形底边上的垂线与中线重合），‎ ‎∵，或，‎ ‎∴；（2分）‎ ‎②由①，得 ‎，，‎ 又∵，，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，‎ ‎∴在中， （两边之和大于第三边）．‎ ‎（2）‎ 证明：‎ 作点关于的对称点，‎ 连接，，，‎ 则，，，‎ ‎∵是的中点，∴，‎ ‎∴．，‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴，‎ ‎．‎ ‎∴,‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴．‎ ‎∵，∴．（1分）‎ ‎（3）由（2），得，，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 又∵点关于的对称点，‎ ‎∴，，‎ 又由（1），得，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 在中，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ 综上可得：的度数为，的值为．‎