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  • 2021-11-11 发布

北师大版九年级上册数学期中测试题附答案

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北师大版九年级上册数学期中测试题附答案 ‎(满分:120分   考试时间:120分钟)‎ 一、选择题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)‎ ‎1.下列对方程2x2-7x-1=0的变形,正确的是( B )‎ A.= B.= C.= D.= ‎2.如图,要证明平行四边形ABCD为正方形,那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上,进一步证明( B )‎ A.AB=AD且AC⊥BD B.AB=AD且AC=BD C.∠BAD=∠ABC且AC=BD D.AC和BD互相垂直平分 第2题图第5题图第6题图 ‎3.若关于x的一元二次方程x(x+1)+ax=0有两个相等的实数根,则实数a的值为( A )‎ A.-1 B.1‎ C.-2或2 D.-3或1‎ ‎4.将分别标有“孔”“孟”“之”“乡”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中,这些球除汉字外无其他差别,每次摸球前先搅拌均匀,随机摸出一球,不放回;再随机摸出一球,两次摸出的球上的汉字组成“孔孟”的概率是( B )‎ A. B. C. D. ‎5.如图,在矩形ABCD中,DE平分∠ADC交BC于点E,EF⊥AD交AD于点F,若EF=3,AE=5,则AD等于( C )‎ A.5 B.6 C.7 D.8‎ ‎6.如图,正方形ABCD中,点E在AB上,且BE=AB,点F是BC的中点,点G是DE的中点,延长DF,与AB的延长线交于点H,以下四个结论:①FG=EH;②△DFE是直角三角形;③FG=DE;④DE=EB+BC.其中正确结论的个数是( D )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ 二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)‎ ‎7.方程(3x-1)(2x+4)=2化为一般形式是__3x2+5x-3=0__,其中二次项系数为__3__,一次项系数为__5__.‎ ‎8.今年某市中考增加了体育测试科目,考生考试顺序和考试项目(考生从考试的各个项目中抽取一项作为考试项目)由抽签的方式决定,具体操作流程:①每位考生从写有A,B,C的三个小球中随机抽取一个小球确定考试组别;②再从写有“引体向上”“立定跳远”“800米”的抽签纸中抽取一个考试项目进行测试,则考生小明抽到A组“引体向上”的概率是.‎ ‎9.某学校准备在艺术节期间举办学生绘画展览,为美化画面,在长30 cm、宽20 cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸,并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等,若设彩纸的宽度为x cm,则列方程并整理成一般形式为__x2+25x-150=0__.‎ ‎10.如图,在△ABC中,AB=AC=12,BC=10,AD平分∠BAC交BC于点D,点E为AC的中点,连接DE,则△CDE的周长为 17 .‎ 第10题图第11题图第12题图   ‎ ‎11.如图,菱形ABCD的边长为2,∠ABC=45°,则点D的坐标为(2+,).‎ ‎12.如图,正方形ABCD的边长为3 cm,E为CD边上一点,‎ ‎∠DAE=30°,M为AE的中点,过点M作直线分别与AD,BC相交于点P,Q.若PQ=AE,则AP= 2或1 cm.‎ 三、(本大题共5小题,每小题6分,共30分)‎ ‎13.解下列方程:‎ ‎(1)(x-1)(x+2)=2(x+2);‎ 解:x1=-2,x2=3.‎ ‎(2)x(2x-4)=5-8x.‎ 解:x1=-1+,‎ x2=-1-.‎ ‎14.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠BAD=90°,AB=5,BC=12,AC=13.求证:四边形ABCD是矩形.‎ 证明:∵AB∥CD,∠BAD=90°,∴∠ADC=90°.‎ ‎∵在△ABC中,AB=5,BC=12,AC=13,满足AC2=AB2+BC2,∴△ABC是直角三角形,且∠B=90°,∴四边形ABCD是矩形.‎ ‎15.《算学宝鉴》全称《新集通证古今算学宝鉴》,完成于明嘉靖三年(1524年),王文素著,全书12本42卷,近50万字,代表了我国明代数学的最高水平.《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题:“直田积八百六十四步,之云阔不及长十二步,问长阔各几何?”‎ 译文:一个矩形田地的面积等于864平方步,且它的宽比长少12步,问长与宽是多少步?请你解决这个问题.‎ 解:设矩形长为x步,宽为(x-12)步,依题意得x(x-12)=864,即x2-12x-864=0,解得x1=36,x2=-24(舍).∴x-12=24.‎ 答:该矩形长为36步,宽为24步.‎ ‎16.如图是由相同的小正方形组成的网格,A,B两点都在小正方形的顶点上.现请你在图①,图②中各画一个以A,B,C,D为顶点的菱形.要求:(1)顶点C,D在小正方形的顶点上;(2)工具只有无刻度的直尺;(3)所画的两个菱形不全等.‎ 解:答案不唯一,可参考图①、图②.‎ ‎17.(2018·曲靖)数学课上,李老师准备了四张背面看上去无差别的卡片A,B,C,D,每张卡片的正面标有字母a,b,c表示三条线段(如图),把四张卡片背面朝上放在桌面上,李老师从这四张卡片中随机抽取一张卡片后不放回,再随机抽取一张.‎ ‎(1)用树状图或者列表表示所有可能出现的结果;‎ ‎(2)求抽取的两张卡片中每张卡片上的三条线段都能组成三角形的概率.‎ 解:(1)‎ ‎∴共有12种情况.‎ ‎(2)∵A,B卡片不能构成三角形;C,D卡片可以构成三角形,‎ ‎∴同时构成三角形的情况需抽到C,D,∴P=.‎ 四、(本大题共3小题,每小题8分,共24分)‎ ‎18.如图,在平行四边形ABCD中,将△ABC沿AC对折,使点B落在B′处,AB′和CD相交于点O.‎ ‎(1)求证:OA=OC;‎ ‎(2)过O点作OE⊥AC交AB于E点,连接CE,求证:四边形OAEC是菱形.‎ 证明:(1)∵△AB′C是由△ABC沿AC对折得到的图形,∴∠BAC=∠B′AC.‎ ‎∵在平行四边形ABCD中,AB∥CD,‎ ‎∴∠BAC=∠DCA,∴∠DCA=∠B′AC,∴OA=OC;‎ ‎(2)∵∠BAC=∠B′AC,OE⊥AC,∴AC垂直平分OE.∵OA=OC,∴OE垂直平分AC,∴AC与OE互相垂直平分,∴四边形OAEC是菱形.‎ ‎19.E是正方形ABCD的对角线BD上一点,EF⊥BC,EG⊥CD,垂足分别是F,G.‎ 求证:(1)四边形CFEG是矩形;‎ ‎(2)AE=FG.‎ 证明:(1)∵四边形ABCD是正方形,EF⊥BC,EG⊥CD,∴∠GCF=∠CFE=∠CGE=90°,∴四边形EFCG为矩形;‎ ‎(2)连接EC.∵四边形EFCG为矩形,∴FG=CE.又∵‎ BD为正方形ABCD的对角线,‎ ‎∴∠ABE=∠CBE.在△ABE和△CBE中, ‎∴△ABE≌△CBE(SAS).∴AE=EC,∴AE=FG.‎ ‎20.菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售,由于部分菜农盲目扩大种植,造成该蔬菜滞销.李伟为了加快销售,减少损失,对价格经过两次下调后,以每千克3.2元的单价对外批发销售.‎ ‎(1)求平均每次下调的百分率;‎ ‎(2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜,因数量多,李伟决定再给予两种优惠方案以供选择:‎ 方案一:打九折销售;‎ 方案二:不打折,每吨优惠现金200元.‎ 试问小华选择哪种方案更优惠,并说明理由.‎ 解:(1)设平均每次下调的百分率为x,依题意得5(1-x)2‎ ‎=3.2,解这个方程,得x1=0.2,x2=1.8(舍去),即平均每次下调的百分率是20%;‎ ‎(2)小华选择方案一购买更优惠,‎ 方案一所需要费用为3.2×0.9×5 000=14 400 元,‎ 方案二所需费用为3.2×5 000-200×5=15 000 元,‎ ‎∵14 400<15 000,∴小华选择方案一购买更优惠.‎ 五、(本大题共2小题,每小题9分,共18分)‎ ‎21.已知关于x的方程(m-1)x2-x-2=0.‎ ‎(1)若x=-1是方程的一个根,求m的值和方程的另一根;‎ ‎(2)当m为何实数时,方程有两个实数根?‎ ‎(3)若x1,x2是方程的两个根,且xx2+x1x=-,试求实数m的值.‎ 解:(1)∵x=-1是方程的一个根,∴m-1+1-2=0,则m=2.∴原方程为x2-x-2=0,解得x1=2,x2=-1.∴m=2,方程的另一根是x=2;‎ ‎(2)依题意得Δ=1+8(m-1)=8m-7≥0,∴m≥.又m-1‎ ‎≠0,∴m≠1.故当m≥且m≠1时,方程有两个实数根;‎ ‎(3)xx2+x1x=x1x2(x1+x2)=·=-,整理得(m-1)2=16,∴m1=5,m2=-3.又m≥,∴m=5.‎ ‎22.如图,已知平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,E是BD延长线上的点,且△ACE是等边三角形.‎ ‎(1)求证:四边形ABCD是菱形;‎ ‎(2)若∠AED=2∠EAD,求证:四边形ABCD是正方形.‎ 证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴AO=CO.‎ 又∵△ACE是等边三角形,‎ ‎∴EO⊥AC,即DB⊥AC,‎ ‎∴平行四边形ABCD是菱形;‎ ‎(2)∵△ACE是等边三角形,‎ ‎∴∠AEC=60°.‎ ‎∵EO⊥AC,∴∠AEO=30°.‎ ‎∵∠AED=2∠EAD,∴∠EAD=15°,‎ ‎∴∠ADO=∠EAD+∠AED=45°.‎ ‎∵AC⊥BD,∴AO=OD.‎ 又∵AO=AC,OD=BD,∴AC=BD.‎ 又∵四边形ABCD是菱形,‎ ‎∴四边形ABCD是正方形.‎ 六、(本大题共12分)‎ ‎23.(2018·襄阳)如图①,已知点G在正方形ABCD的对角线AC上,GE⊥BC,垂足为点E,GF⊥CD,垂足为点F.‎ ‎(1)证明与推断:‎ ‎①求证:四边形CEGF是正方形;‎ ‎②推断:的值为________.‎ ‎(2)探究与证明:‎ 将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α(0°<α<45°),如图②所示,试探究线段AG与BE之间的数量关系,并说明理由;‎ ‎(3)拓展与运用:‎ 正方形CEGF在旋转过程中,当B,E,F三点在一条直线上时,如图③所示,延长CG交AD于点H.若AG=6,GH=2,则BC=________.‎ 解:(1)①证明:∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴∠BCD=90°,∠BCA=45°.‎ ‎∵GE⊥BC,GF⊥CD,‎ ‎∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°,‎ ‎∴四边形CEGF是矩形,∠CGE=∠ECG=45°.‎ ‎∴EG=EC.∴四边形CEGF是正方形.‎ ‎② ‎(2)连接CG,由旋转的性质可知∠BCE=∠ACG=α.‎ 在Rt△CEG和Rt△CBA中,‎ =,‎ =,∴==,‎ ‎∴△ACG∽△BCE.∴==,‎ ‎∴线段AG与BE之间的数量关系为AG=BE.‎ ‎(3)3