2020年四川省凉山州中考数学试卷【含答案】 10页

1 / 10 2020 年四川省凉山州中考数学试卷 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 4 分，共 48 分）在每小题给出的四个选项中 只有一项是正确的，把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置． 1. −12020＝（ ） A.1 B.−1 C.2020 D.−2020 2. 如图，下列几何体的左视图不是矩形的是（ ） A. B. C. D. 3. 点푃 (2,  3)关于푥轴对称的点푃′的坐标是（ ） A.(2, −3) B.(−2,  3) C.(−2, −3) D.(3,  2) 4. 已知一组数据1，0，3，−1，푥，2，3的平均数是1，则这组数据的众数是（ ） A.−1 B.3 C.−1和3 D.1和3 5. 一元二次方程푥2＝2푥的根为（ ） A.푥＝0 B.푥＝2 C.푥＝0或푥＝2 D.푥＝0或푥＝−2 6. 下列等式成立的是（ ） A.√81 = ±9 B.|√5 − 2| = −√5 + 2 C.(− 1 2)−1＝−2 D.(tan45∘ − 1)0＝1 7. 若一次函数푦＝(2푚 + 1)푥 + 푚 − 3的图象不经过第二象限，则푚的取值范围是（ ） A.푚 > − 1 2 B.푚 < 3 C.− 1 2 < 푚 < 3 D.− 1 2 < 푚 ≤ 3 8. 点퐶是线段퐴퐵的中点，点퐷是线段퐴퐶的三等分点．若线段퐴퐵＝12푐푚，则线段퐵퐷 的长为（ ） A.10푐푚 B.8푐푚 C.10푐푚 或8푐푚 D.2푐푚 或4푐푚 9. 下列命题是真命题的是（ ） A.顶点在圆上的角叫圆周角 B.三点确定一个圆 C.圆的切线垂直于半径 D.三角形的内心到三角形三边的距离相等 10. 如图所示，△ 퐴퐵퐶的顶点在正方形网格的格点上，则tan퐴的值为（ ） A.1 2 B.√2 2 C.2 D.2√2 11. 如图，等边三角形퐴퐵퐶和正方形퐴퐷퐸퐹都内接于⊙ 푂，则퐴퐷: 퐴퐵＝（ ） A.2√2: √3 B.√2: √3 C.√3: √2 D.√3: 2√2 12. 二次函数푦＝푎푥2 + 푏푥 + 푐的图象如图所示，有如下结论： ①푎푏푐 > 0； ②2푎 + 푏＝0； ③3푏 − 2푐 < 0； ④푎푚2 + 푏푚 ≥ 푎 + 푏（푚为实数）． 其中正确结论的个数是（ ） 2 / 10 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分） 13. 函数푦 = √푥 + 1中，自变量푥的取值范围是________． 14. 因式分解：푎3 − 푎푏2＝________． 15. 如图，▱퐴퐵퐶퐷的对角线퐴퐶、퐵퐷相交于点푂，푂퐸 // 퐴퐵交퐴퐷于点퐸，若푂퐴＝1， △ 퐴푂퐸的周长等于5，则▱퐴퐵퐶퐷的周长等于________． 16. 如图，点퐶、퐷分别是半圆퐴푂퐵上的三等分点，若阴影部分的面积是3 2 휋，则半圆 的半径푂퐴的长为________． 17. 如图，矩形푂퐴퐵퐶的面积为100 3 ，对角线푂퐵与双曲线푦 = 푘 푥 (푘 > 0,  푥 > 0)相交于 点퐷，且푂퐵: 푂퐷＝5: 3，则푘的值为________． 三、解答题（本大题共 5 小题，共 32 分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤． 18. 解方程：푥 − 푥−2 2 = 1 + 2푥−1 3 ． 19. 化简求值：(2푥 + 3)(2푥 − 3) − (푥 + 2)2 + 4(푥 + 3)，其中푥 = √2． 3 / 10 20. 如图，一块材料的形状是锐角三角形퐴퐵퐶，边퐵퐶＝120푚푚，高퐴퐷＝80푚푚，把 它加工成正方形零件，使正方形的一边在퐵퐶上，其余两个顶点分别在퐴퐵、퐴퐶上，这 个正方形零件的边长是多少？ 21. 某校团委在“五•四”青年节举办了一次“我的中国梦”作文大赛，分三批对全 校20个班的作品进行评比．在第一批评比中，随机抽取퐴、퐵、퐶、퐷四个班的征集作 品，对其数量进行统计后，绘制如图两幅不完整的统计图． （1）第一批所抽取的4个班共征集到作品________件；在扇形统计图中表示퐶班的扇 形的圆心角的度数为________； （2）补全条形统计图； （3）第一批评比中，퐴班퐷班各有一件、퐵班퐶班各有两件作品获得一等奖．现要在获 得一等奖的作品中随机抽取两件在全校展出，用树状图或列表法求抽取的作品来自两 个不同班级的概率． 22. 如图，퐴퐵是半圆퐴푂퐵的直径，퐶是半圆上的一点，퐴퐷平分∠퐵퐴퐶交半圆于点퐷， 过点퐷作퐷퐻 ⊥ 퐴퐶与퐴퐶的延长线交于点퐻． 4 / 10 （1）求证：퐷퐻是半圆的切线； （2）若퐷퐻＝2√5，sin∠퐵퐴퐶 = √5 3 ，求半圆的直径． 四、填空题（本大题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分） 23. 若不等式组{ 2푥 < 3(푥 − 3) + 1 3푥+2 4 > 푥 + 푎 恰有四个整数解，则푎的取值范围是________< − 5 2 ． 24. 如图，矩形퐴퐵퐶퐷中，퐴퐷＝12，퐴퐵＝8，퐸是퐴퐵上一点，且퐸퐵＝3，퐹是퐵퐶上一 动点，若将△ 퐸퐵퐹沿퐸퐹对折后，点퐵落在点푃处，则点푃到点퐷的最短距离为________． 五、解答题（本大题共 4 小题，共 40 分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤． 25. 如图，点푃、푄分别是等边△ 퐴퐵퐶边퐴퐵、퐵퐶上的动点（端点除外），点푃、点푄以 相同的速度，同时从点퐴、点퐵出发． 5 / 10 （1）如图1，连接퐴푄、퐶푃．求证：△ 퐴퐵푄 ≅△ 퐶퐴푃； （2）如图1，当点푃、푄分别在퐴퐵、퐵퐶边上运动时，퐴푄、퐶푃相交于点푀，∠푄푀퐶的大 小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数； （3）如图2，当点푃、푄在퐴퐵、퐵퐶的延长线上运动时，直线퐴푄、퐶푃相交于푀，∠푄푀퐶 的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数． 26. 如图，已知直线푙: 푦＝−푥 + 5． （1）当反比例函数푦 = 푘 푥 (푘 > 0,  푥 > 0)的图象与直线푙在第一象限内至少有一个交点 时，求푘的取值范围． （2）若反比例函数푦 = 푘 푥 (푘 > 0,  푥 > 0)的图象与直线푙在第一象限内相交于点 퐴(푥1, 푦1)、퐵(푥2, 푦2)，当푥2 − 푥1＝3时，求푘的值，并根据图象写出此时关于푥的不等 式−푥 + 5 < 푘 푥 的解集． 27. 如图，⊙ 푂的半径为푅，其内接锐角三角形퐴퐵퐶中，∠퐴、∠퐵、∠퐶所对的边分别 是푎、푏、푐． （1）求证： 푎 sin∠퐴 = 푏 sin∠퐵 = 푐 sin∠퐶 = 2푅； （2）若∠퐴＝60∘，∠퐶＝45∘，퐵퐶＝4√3，利用（1）的结论求퐴퐵的长和sin∠퐵的值． 6 / 10 28. 如图，二次函数푦＝푎푥2 + 푏푥 + 푐的图象过푂(0,  0)、퐴(1,  0)、퐵(3 2 , √3 2 )三点． （1）求二次函数的解析式； （2）若线段푂퐵的垂直平分线与푦轴交于点퐶，与二次函数的图象在푥轴上方的部分相 交于点퐷，求直线퐶퐷的解析式； （3）在直线퐶퐷下方的二次函数的图象上有一动点푃，过点푃作푃푄 ⊥ 푥轴，交直线퐶퐷 于푄，当线段푃푄的长最大时，求点푃的坐标． 7 / 10 参考答案与试题解析 2020 年四川省凉山州中考数学试卷 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 4 分，共 48 分）在每小题给出的四个选项中 只有一项是正确的，把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置． 1.B 2.B 3.A 4.C 5.C 6.C 7.D 8.C 9.D 10.A 11.B 12.D 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分） 13.푥 ≥ −1 14.푎(푎 + 푏)(푎 − 푏) 15.16 16.3 17.12 三、解答题（本大题共 5 小题，共 32 分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤． 18.去分母，得：6푥 − 3(푥 − 2)＝6 + 2(2푥 − 1)， 去括号，得：6푥 − 3푥 + 6＝6 + 4푥 − 2， 移项，得：6푥 − 3푥 − 4푥＝6 − 6 − 2， 合并同类项，得：−푥＝−2， 系数化为1，得：푥＝2． 19.原式＝4푥2 − 9 − (푥2 + 4푥 + 4) + 4푥 + 12 ＝4푥2 − 9 − 푥2 − 4푥 − 4 + 4푥 + 12 ＝3푥2 − 1， 当푥 = √2时， 原式＝3 × (√2)2 − 1 ＝3 × 2 − 1 ＝6 − 1 ＝5． 20.正方形零件的边长为48푚푚． 21.24,150∘ 补全图形如下： 列表如下： 8 / 10 퐴 퐵 퐵 퐶 퐶 퐷 퐴 퐵퐴 퐵퐴 퐶퐴 퐶퐴 퐷퐴 퐵 퐴퐵 퐵퐵 퐶퐵 퐶퐵 퐷퐵 퐵 퐴퐵 퐵퐵 퐶퐵 퐶퐵 퐷퐵 퐶 퐴퐶 퐵퐶 퐵퐶 퐶퐶 퐷퐶 퐶 퐴퐶 퐵퐶 퐵퐶 퐶퐶 퐷퐶 퐷 퐴퐷 퐵퐷 퐵퐷 퐶퐷 퐶퐷 由表可知，共有30种等可能结果，其中抽取的作品来自两个不同班级的有26种结果， ∴ 抽取的作品来自两个不同班级的概率为26 30 = 13 15 ． 22.证明：连接푂퐷， ∵ 푂퐴＝푂퐷， ∴ ∠퐷퐴푂＝∠퐴퐷푂， ∵ 퐴퐷平分∠퐵퐴퐶， ∴ ∠퐶퐴퐷＝∠푂퐴퐷， ∴ ∠퐶퐴퐷＝∠퐴퐷푂， ∴ 퐴퐻 // 푂퐷， ∵ 퐷퐻 ⊥ 퐴퐶， ∴ 푂퐷 ⊥ 퐷퐻， ∴ 퐷퐻是半圆的切线； 连接퐵퐶交푂퐷于퐸， ∵ 퐴퐵是半圆퐴푂퐵的直径， ∴ ∠퐴퐶퐵＝90∘， ∴ 四边形퐶퐸퐷퐻是矩形， ∴ 퐶퐸＝퐷퐻＝2√5，∠퐷퐸퐶＝90∘， ∴ 푂퐷 ⊥ 퐵퐶， ∴ 퐵퐶＝2퐶퐸＝4√5， ∵ sin∠퐵퐴퐶 = 퐵퐶 퐴퐵 = √5 3 ， ∴ 퐴퐵＝12， 即半圆的直径为12． 四、填空题（本大题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分） 23.− 11 4 ≤ 푎 24.10 五、解答题（本大题共 4 小题，共 40 分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤． 25.证明：如图1，∵ △ 퐴퐵퐶是等边三角形 ∴ ∠퐴퐵푄＝∠퐶퐴푃＝60∘，퐴퐵＝퐶퐴， 又∵ 点푃、푄运动速度相同， ∴ 퐴푃＝퐵푄， 在△ 퐴퐵푄与△ 퐶퐴푃中， { 퐴퐵 = 퐶퐴 ∠퐴퐵푄 = ∠퐶퐴푃 퐴푃 = 퐵푄 ， ∴ △ 퐴퐵푄 ≅△ 퐶퐴푃(푆퐴푆)； 点푃、푄在퐴퐵、퐵퐶边上运动的过程中，∠푄푀퐶不变． 理由：∵ △ 퐴퐵푄 ≅△ 퐶퐴푃， ∴ ∠퐵퐴푄＝∠퐴퐶푃， ∵ ∠푄푀퐶是△ 퐴퐶푀的外角， 9 / 10 ∴ ∠푄푀퐶＝∠퐴퐶푃 + ∠푀퐴퐶＝∠퐵퐴푄 + ∠푀퐴퐶＝∠퐵퐴퐶 ∵ ∠퐵퐴퐶＝60∘， ∴ ∠푄푀퐶＝60∘； 如图2，点푃、푄在运动到终点后继续在射线퐴퐵、퐵퐶上运动时，∠푄푀퐶不变 理由：同理可得，△ 퐴퐵푄 ≅△ 퐶퐴푃， ∴ ∠퐵퐴푄＝∠퐴퐶푃， ∵ ∠푄푀퐶是△ 퐴푃푀的外角， ∴ ∠푄푀퐶＝∠퐵퐴푄 + ∠퐴푃푀， ∴ ∠푄푀퐶＝∠퐴퐶푃 + ∠퐴푃푀＝180∘ − ∠푃퐴퐶＝180∘ − 60∘＝120∘， 即若点푃、푄在运动到终点后继续在射线퐴퐵、퐵퐶上运动，∠푄푀퐶的度数为120∘． 26.将直线푙的表达式与反比例函数表达式联立并整理得：푥2 − 5푥 + 푘＝0， 由题意得：△＝25 − 4푘 ≥ 0，解得：푘 ≤ 25 4 ， 故푘的取值范围0 < 푘 ≤ 25 4 ； 设点퐴(푚, −푚 + 5)，而푥2 − 푥1＝3，则点퐵(푚 + 3, −푚 + 2)， 点퐴、퐵都在反比例函数上，故푚(−푚 + 5)＝(푚 + 3)(−푚 + 2)，解得：푚＝1， 故点퐴、퐵的坐标分别为(1,  4)、(4,  1)； 将点퐴的坐标代入反比例函数表达式并解得：푘＝4 × 1＝4， 观察函数图象知，当−푥 + 5 < 푘 푥 时，0 < 푥 < 1或푥 > 4． 27.由 得： 퐴퐵 sin퐶 = 퐵퐶 sin퐴 ， 即 퐴퐵 sin45 = 4√3 sin60 = 2푅， ∴ 퐴퐵 = 4√3×√2 2 √3 2 = 4√2，2푅 = 4√3 √3 2 = 8， 过퐵作퐵퐻 ⊥ 퐴퐶于퐻， ∵ ∠퐴퐻퐵＝∠퐵퐻퐶＝90∘， ∴ 퐴퐻＝퐴퐵 ⋅ cos60∘＝4√2 × 1 2 = 2√2，퐶퐻 = √2 2 퐵퐶＝2√6， ∴ 퐴퐶＝퐴퐻 + 퐶퐻＝2(√2 + √6)， ∴ sin∠퐵 = 퐴퐶 2푅 = 2(√2+√6) 8 = √2+√6 4 ． 28.将点푂、퐴、퐵的坐标代入抛物线表达式得{ 푐 = 0 푎 + 푏 + 푐 = 0 √3 2 = 9 4 푎 + 3 2 푏 + 푐 ，解得 { 푎 = 2√3 3 푏 = − 2√3 3 푐 = 0 ， 故抛物线的表达式为：푦 = 2√3 3 푥2 − 2√3 3 푥； 由点퐵的坐标知，直线퐵푂的倾斜角为30∘，则푂퐵中垂线(퐶퐷)与푥正半轴的夹角为60∘， 故设퐶퐷的表达式为：푦 = −√3푥 + 푏，而푂퐵中点的坐标为(3 4 , √3 4 )， 10 / 10 将该点坐标代入퐶퐷表达式并解得：푏 = √3， 故直线퐶퐷的表达式为：푦 = −√3푥 + √3； 设点푃(푥, 2√3 3 푥2 − 2√3 3 푥)，则点푄(푥, −√3푥 + √3)， 则푃푄 = −√3푥 + √3 − (2√3 3 푥2 − 2√3 3 푥) = − 2√3 3 푥2 − √3 3 푥 + √3， ∵ − 2√3 3 < 0，故푃푄有最大值，此时点푃的坐标为(− 1 4 , 5√3 24 )．