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- 2021-11-11 发布
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海南省 2019 年初中学业水平考试数学
(考试时间 100 分钟,满分 120 分)
一、选择题(本大题满分 36 分,每小题 3 分)
在下列各题的四个备选答案中,有且只有一个是正确的,请在答题卡上把你认为正确的答案的字母代
号按要求用 2B 铅笔涂黑.
1.如果收入 100 元记作+100 元,那么支出 100 元记作( )
A. -100 元 B. +100 元 C. -200 元 D. +200 元
2.当 m=-1 时,代数式 2m+3 的值是( )
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
3.下列运算正确的是( )
A. a·a2=a3 B. a6÷a2=a3 C. 2a2-a2=2 D. (3a2)2=6a4
4.分式方程 1
x+2=1 的解是( )
A. x=1 B. x=-1 C. x=2 D. x=-2
5.海口市首条越江隧道——文明东越江通道项目将于 2020 年 4 月份完工,该项目总投资 3710000000
元,数据 3710000000 用科学计数法表示为( )
A. 371×107 B. 37.1×108 C. 3.71×108 D. 3.71×109
6.如图是由 5 个大小相同的小正方体摆成的几何体,它的俯视图是( )
第 6 题图
7.如果反比例函数 y=a-2
x (a 是常数)的图象在第一、三象限,那么 a 的取值范围是( )
A. a<0 B. a>0 C. a<2 D. a>2
8.如图,在平面直角坐标系中,已知点 A(2,1),点 B(3,-1),平移线段 AB,使点 A 落在点 A1(-2,
2)处,则点 B 的对应点 B1 的坐标为( )
A. (-1,-1) B. (1,0) C. (-1,0) D. (3,0)
第 8 题图
9.如图,直线 l1∥l2,点 A 在直线 l1 上,以点 A 为圆心,适当长度为半径画弧,分别交直线 l1、l2 于
B、C 两点,连接 AC、BC.若∠ABC=70°,则∠1 的大小为( )
A. 20° B. 35° C. 40° D. 70°
第 9 题图
10.某路口的交通信号灯每分钟红灯亮 30 秒,绿灯亮 25 秒,黄灯亮 5 秒,当小明到达该路口时,遇
到绿灯的概率是( )
A. 1
2 B. 3
4 C. 1
12 D. 5
12
11.如图,在▱ABCD 中,将△ADC 沿 AC 折叠后,点 D 恰好落在 DC 的延长线的点 E 处.若∠B=
60°,AB=3,则△ADE 的周长为( )
A. 12 B. 15 C. 18 D. 21
第 11 题图 第 12 题图
12.如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=5,BC=4,点 P 是边 AC 上一动点,过点 P 作 PQ∥AB
交 BC 于点 Q,D 为线段 PQ 的中点,当 BD 平分∠ABC 时,AP 的长度为( )
A. 8
13 B. 15
13 C. 25
13 D. 32
13
二、填空题(本大题满分 16 分,每小题 4 分)
13.因式分解:ab-a=________.
14.如图,⊙O 与正五边形 ABCDE 的边 AB、DE 分别相切于点 B、D,则劣弧BD
︵
所对的圆心角∠BOD
的大小为________度.
第 14 题图 第 15 题图
15.如图,将 Rt△ABC 的斜边 AB 绕点 A 顺时针旋转 α(0°<α<90°)得到 AE,直角边 AC 绕点 A 逆时针
旋转 β(0°<β<90°)得到 AF,连接 EF.若 AB=3,AC=2,且 α+β=∠B,则 EF=________.
16.有 2019 个数排成一行,对于任意相邻的三个数,都有中间的数等于前后两数的和.如果第一个数
是 0,第二数是 1,那么前 6 个数的和是________,这 2019 个数的和是________.
三、解答题(本大题满分 68 分)
17.(满分 12 分,每小题 6 分)
(1)计算:9×3-2+(-1)3- 4;
(2)解不等式组{x+1>0,
x+4>3x,并求出它的整数解.
18.(满分 10 分)时下正是海南百香果丰收的季节,张阿姨到“海南爱心扶贫网”上选购百香果,若购
买 2 千克“红土”百香果和 1 千克“黄金”百香果需付 80 元,若购买 1 千克“红土”百香果和 3 千克“黄
金”百香果需付 115 元,请问这两种百香果每千克各是多少元?
19.(满分 8 分)为宣传 6 月 6 日世界海洋日,某校九年级举行了主题为“珍惜海洋资源,保护海洋生物
多样性”的知识竞赛活动,为了解全年级 500 名学生此次竞赛成绩(百分制)的情况,随机抽取了部分参赛学
生的成绩,整理并绘制出如下不完整的统计表和统计图,请根据图表信息解答以下问题:
(1)本次调查一共随机抽取了________个参赛学生的成绩;
(2)表中 a=________;
(3)所抽取的参赛学生的成绩的中位数落在的“组别”是________;
(4)请你估计,该校九年级竞赛成绩达到 80 分以上(含 80 分)的学生约有________人.
知识竞赛成绩分组统计表 知识竞赛成绩扇形统计图
第 19 题图
20.(满分 10 分)如图是某区域的平面示意图,码头 A 在观测站 B 的正东方向,码头 A 的北偏西 60°方
向上有一小岛 C,小岛 C 在观测站 B 的北偏西 15°方向上,码头 A 到小岛 C 的距离 AC 为 10 海里.
(1)填空:∠BAC=________度,∠C=________度;
(2)求观测站 B 到 AC 的距离 BP(结果保留根号).
第 20 题图
组别 分数/分 频数
A 60≤x<70 a
B 70≤x<80 10
C 80≤x<90 14
D 90≤x<100 18
21.(满分 13 分)如图,在边长为 1 的正方形 ABCD 中,E 是边 CD 的中点,点 P 是边 AD 上一点(与点
A、D 不重合),射线 PE 与 BC 的延长线交于点 Q.
(1)求证:△PDE≌△QCE;
(2)过点 E 作 EF∥BC 交 PB 于点 F,连接 AF,当 PB=PQ 时.
①求证:四边形 AFEP 是平行四边形;
②请判断四边形 AFEP 是否为菱形,并说明理由.
第 21 题图
22.(满分 15 分)如图,已知抛物线 y=ax2+bx+5 经过 A(-5,0)、B(-4,-3)两点,与 x 轴的另一个
交点为 C,顶点为 D,连接 CD.
(1)求该抛物线的表达式;
(2)点 P 为该抛物线上一动点(与点 B、C 不重合),设点 P 的横坐标为 t.
①当点 P 在直线 BC 的下方运动时,求△PBC 的面积的最大值;
②该抛物线上是否存在点 P,使得∠PBC=∠BCD?若存在,求出所有点 P 的坐标;若不存在,请说明
理由.
第 22 题图
海南省 2019 年初中学业水平考试数学解析
一、选择题(本大题满分 36 分,每小题 3 分)
1. A
2. C 【解析】当 m=-1 时,2m+3=2×(-1)+3=1.
3. A 【解析】逐项分析如下:
选项 逐项分析 正误
A a·a2=a3 √
B a6÷a2= a4≠a3
C 2a2-a2=a2≠2
D (3a2)2=9a4≠6a4
4. B 【解析】两边同乘(x+2),得 1=x+2,解得 x=-1.检验:当 x=-1 时,x+2≠0.∴原分式方程
的解为 x=-1.
5. D 【解析】将一个大于等于 10 的数表示成 a×10n 的形式,其中 1≤a<10,∴a=3.71,n 为原数的
整数位减 1,∴n=10-1=9.∴3710000000=3.71×109.
6. D
7. D 【解析】由题意可得 a-2>0,解得 a>2.
8. C 【解析】∵点 A(2,1)向左平移 4 个单位,再向上平移 1 个单位得到点 A1(-2,2),∴平移线段 AB
后点 B1 的坐标为(-1,0).
9. C 【解析】由作图可知 AC=AB,又∵∠ABC=70°,∴∠ACB=∠ABC=70°.∴∠BAC=40°.∵l1∥
l2,∴∠1=∠BAC=40°.
10. D 【解析】P(遇到绿灯)= 25
30+25+5= 5
12.
11. C 【解析】∵四边形 ABCD 是平行四边形,∠B=60°,AB=3,∴CD=3,∠D=60°.由折叠的性
质可得,∠E=∠D=60°,CE=CD=3,∴△ADE 是等边三角形.∴△ADE 的周长为 AE+AD+DE=3DE=
18.
12. B 【解析】∵AB=5,BC=4,∠C=90°,∴AC= AB2-BC2=3.∵点 D 是 PQ 的中点,∴DQ=
DP.∵BD 平分∠ABC,∴∠QBD=∠ABD.∵PQ∥AB,∴∠QDB=∠ABD,△CPQ∽△CAB.∴∠QBD=
∠QDB.∴BQ=DQ=DP.∵△CPQ∽△CAB,∴QC
BC=QP
AB,即4-BQ
4 =2BQ
5 .解得BQ=20
13.∵PQ∥AB,∴AP
AC=BQ
BC,
即AP
3 =
20
13
4 .解得 AP=15
13.
二、填空题(本大题满分 16 分,每小题 4 分)
13. a(b-1)
14. 144 【解析】∵五边形的内角和为 540°,正五边形的每个内角为 108°,AB、DE 与⊙O 相切,∴∠
BOD=540°-108°-108°-90°-90°=144°.
15. 13 【解析】由旋转的性质可得,AE=AB=3,AF=AC=2. ∵∠ACB=90°,∴∠B+∠BAC=
90°.∵α+β=∠B,∴α+∠BAC+β=90°,即∠EAF=90°.∴在 Rt△AEF 中,EF= AE2+AF2= 13.
16. 0,2 【解析】由题意可得,这 2019 个数依次为 0,1,1,0,-1,-1,0,1,1,…,且 6 个
数为一个循环,∴前 6 个数的和是 0.∵2019÷6=336……3,∴这 2019 个数的和是 2.
三、解答题(本大题满分 68 分)
17. 解:(1)9×3-2+(-1)3- 4
=9×1
9+(-1)-2
=1-1-2
=-2;(6 分)
(2)由{x+1>0,①
x+4>3x,②
解不等式①,得 x>-1,
解不等式②,得 x<2,
所以这个不等式组的解集是-1<x<2,
因此,这个不等式组的整数解是 0,1.(12 分)
18. 解:设“红土”百香果每千克 x 元,“黄金”百香果每千克 y 元,
依题意得{2x+y=80,
x+3y=115,(7 分)
解得{x=25,
y=30.
答:“红土”百香果每千克 25 元,“黄金”百香果每千克 30 元.(10 分)
19. 解:(1)50;(2 分)
【解法提示】∵18÷36%=50(个),∴本次调查一共随机抽取了 50 个参赛学生的成绩.
(2)8;(4 分)
【解法提示】a=50-10-14-18=8.
(3)C;(6 分)
【解法提示】一共抽取了 50 个参赛学生的成绩,中位数为第 25 名和第 26 名学生的成绩的平均数,∵
第 25 名和第 26 名学生的成绩在 C 组,∴所抽取的参赛学生的成绩的中位数落在 C 组.
(4)320. (8 分)
【解法提示】500×14+18
50 =320(人).
20. 解:(1)30,45;(4 分)
【解法提示】∠BAC=90°-60°=30°,∠C=180°-∠BAC-∠ABC=180°-30°-(90°+15°)=45°.
(2)设 BP=x 海里,
由题意得 BP⊥AC,∴∠BPC=∠BPA=90°.
∵∠C=45°,∴∠CBP=∠C=45°.
∴CP=BP=x.
在 Rt△ABP 中,∠BAC=30°,∴∠ABP=60°.
∴AP=tan∠ABP·BP=tan60°·BP= 3x.
∴ 3x+x=10.
解得 x=5 3-5.
∴BP=5 3-5.
答:观测站 B 到 AC 的距离 BP 为(5 3-5)海里.(10 分)
21. (1)证明:∵四边形 ABCD 是正方形,
∴∠D=∠BCD=90°.
∴∠ECQ=90°=∠D.
∵E 是 CD 的中点,
∴DE=CE.
又∵∠DEP=∠CEQ,
∴△PDE≌△QCE(ASA);(4 分)
第 21 题解图
(2)①证明:如解图,由(1)可知△PDE≌△QCE,
∴PE=QE=1
2PQ.
又∵EF∥BC,
∴PF=FB=1
2PB.
∵PB=PQ,
∴PF=PE.
∴∠1=∠2.
∵四边形 ABCD 是正方形,
∴∠BAD=90°.
在 Rt△ABP 中,F 是 PB 的中点,
∴AF=1
2BP=FP.
∴∠3=∠4.
又∵AD∥BC,EF∥BC,
∴AD∥EF.
∴∠1=∠4.
∴∠2=∠3.
又∵PF=FP,
∴△APF≌△EFP(AAS).
∴AP=EF.
又∵AP∥EF,
∴四边形 AFEP 是平行四边形;(9 分)
②解:四边形 AFEP 不是菱形,理由如下:
设 PD=x,则 AP=1-x.
由(1)可知△PDE≌△QCE.
∴CQ=PD=x.
∴BQ=BC+CQ=1+x.
∵点 E,F 分别是 PQ,PB 的中点,
∵EF 是△PBQ 的中位线.
∴EF=1
2BQ=1+x
2 .
由①可知 AP=EF.
即 1-x=1+x
2 ,解得 x=1
3.
∴PD=1
3,AP=2
3.
在 Rt△PDE 中,DE=1
2,
∴PE= PD2+DE2= 13
6 .
∴AP≠PE.
∴四边形 AFEP 不是菱形.(13 分)
22. 解:(1)∵抛物线 y=ax2+bx+5 经过点 A(-5,0),
B(-4,-3),
∴{25a-5b+5=0,
16a-4b+5=-3,
解得{a=1,
b=6.
∴该抛物线的表达式为 y=x2+6x+5;(4 分)
第 22 题解图①
(2)①如解图①,过点 P 作 PE⊥x 轴于点 E,交直线 BC 于点 F.
在抛物线 y=x2+6x+5 中,
令 y=0,则 x2+6x+5=0,
解得 x1=-5,x2=-1.
∴点 C 的坐标为(-1,0).
由点 B(-4,-3)和 C(-1,0),可得直线 BC 的表达式为 y=x+1.
设点 P 的坐标为(t,t2+6t+5),由题意知-4<t<-1,
则点 F(t,t+1).
∴FP=(t+1)-(t2+6t+5)=-t2-5t-4.
∴S△PBC=S△FPB+S△FPC
=1
2FP·BP+1
2FP·CE=1
2·FP·3
=3
2(-t2-5t-4)=-3
2t2-15
2 t-6
=-3
2(t+5
2)2+27
8 .
∵-4<-5
2<-1,
∴当 t=-5
2时,△PBC 的面积的最大值为27
8 .(10 分)
②存在.
∵y=x2+6x+5=(x+3)2-4,
∴抛物线的顶点 D 的坐标为(-3,-4).
由点 C(-1,0)和 D(-3,-4),可得直线 CD 的表达式为 y=2x+2.
分两种情况讨论:
第 22 题解图②
Ⅰ. 当点 P 在直线 BC 上方时,有∠PBC=∠BCD,如解图②.
若∠PBC=∠BCD,
则 PB∥CD.
∴设直线 PB 的表达式为 y=2x+b.
把 B(-4,-3)代入 y=2x+b,得 b=5,
∴直线 PB 的表达式为 y=2x+5.
由 x2+6x+5=2x+5,
解得 x1=0,x2=-4(舍去).
∴点 P 的坐标为(0,5);
Ⅱ. 当点 P 在直线 BC 下方时,有∠PBC=∠BCD,如解图③.
设直线 BP 与 CD 交于点 M,则 MB=MC.
第 22 题解图③
过点 B 作 BN⊥x 轴交于点 N,则点 N(-4,0),
∴NB=NC=3.
∴MN 垂直平分线段 BC.
设直线 MN 与 BC 交于点 G,
则线段 BC 的中点 G 的坐标为(-5
2,-3
2).
由点 N(-4,0)和 G(-5
2,-3
2),
得直线 NG 的表达式为 y=-x-4.
∵直线 CD:y=2x+2 与直线 NG:y=-x-4 交于点 M,
∴2x+2=-x-4,解得 x=-2.
∴点 M 的坐标为(-2,-2),
由 B(-4,-3)和 M(-2,-2),
得直线 BM 的表达式为 y=1
2x-1,
由 x2+6x+5=1
2x-1,解得 x1=-3
2,x2=-4(舍去),
∴点 P 的坐标为(-3
2,-7
4).
综上所述,存在满足条件的点 P 的坐标为(0,5)和(-3
2,-7
4).(15 分)
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