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  • 2021-11-12 发布

2018年内蒙古赤峰市中考数学试卷

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‎2018年内蒙古赤峰市中考数学试卷 ‎ ‎ 一、选择题(每小题给出的选项中只有一个符合题意,请将符合题意的选项序号,在答题卡的对应位置上按要求涂黑。每小题3分,共36分。)‎ ‎1.(3分)2018的相反数是(  )‎ A.﹣2018 B. C.2018 D.﹣‎ ‎2.(3分)下列符号中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.(3分)下列运算正确的是(  )‎ A.x2+x2=2x4 B.x2•x3=x6 C.(x2)3=x6 D.(2x2)3=6x6‎ ‎4.(3分)红山水库又名“红山湖”,位于老哈河中游,设计库容量25.6亿立方米,现在水库实际库容量16.2亿立方米,是暑期度假旅游的好去处.16.2亿用科学记数法表示为(  )‎ A.16.2×108 B.1.62×108 C.1.62×109 D.1.62×1010‎ ‎5.(3分)如图是一个空心圆柱体,其俯视图是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.(3分)有一天,兔子和乌龟赛跑.比赛开始后,兔子飞快地奔跑,乌龟缓慢的爬行.不一会儿,乌龟就被远远的甩在了后面.兔子想:“这比赛也太轻松了,不如先睡一会儿.”而乌龟一刻不停地继续爬行.当兔子醒来跑到终点时,发现乌龟已经到达了终点.正确反映这则寓言故事的大致图象是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.(3分)代数式+中x的取值范围在数轴上表示为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.(3分)已知AB∥CD,直线EF分别交AB、CD于点G、H,∠EGB=25°,将一个60°角的直角三角尺如图放置(60°角的顶点与H重合),则∠PHG等于(  )‎ A.30° B.35° C.40° D.45°‎ ‎9.(3分)已知抛物线y=a(x﹣1)2﹣3(a≠0),如图所示,下列命题:①a>0;②对称轴为直线x=1;③抛物线经过(2,y1),(4,y2)两点,则y1>y2;④顶点坐标是(1,﹣3),其中真命题的概率是(  )‎ A. B. C. D.1‎ ‎10.(3分)2017﹣2018赛季中国男子篮球职业联赛,采用双循环制(每两队之间都进行两场比赛),比赛总场数为380场,若设参赛队伍有x支,则可列方程为(  )‎ A.x(x﹣1)=380 B.x(x﹣1)=380 C.x(x+1)=380 D.x(x+1)=380‎ ‎11.(3分)如图,AB是⊙O的直线,C是⊙O上一点(A、B除外),∠AOD=130°,则∠C的度数是(  )‎ A.50° B.60° C.25° D.30°‎ ‎12.(3分)如图,直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点,点P是以C(﹣1,0)为圆心,1为半径的圆上一点,连接PA,PB,则△PAB面积的最小值是(  )‎ A.5 B.10 C.15 D.20‎ ‎ ‎ 二、填空题(请把答案填写在答题卡相应的横线上,每小题3分,共18分)‎ ‎13.(3分)分解因式:2a2﹣8b2=   .‎ ‎14.(3分)一组数据:﹣1,3,2,x,5,它有唯一的众数是3,则这组数据的中位数是   .‎ ‎15.(3分)半径为10cm的半圆围成一个圆锥,则这个圆锥的高是   cm.‎ ‎16.(3分)如图,已知一次函数y=﹣x+b与反比例函数y=(k≠0)的图象相交于点P,则关于x的方程﹣x+b=的解是   .‎ ‎17.(3分)如图,P是▱ABCD的边AD上一点,E、F分别是PB、PC的中点,若▱ABCD的面积为16cm2,则△PEF的面积(阴影部分)是   cm2.‎ ‎18.(3分)观察下列一组由★排列的“星阵”,按图中规律,第n个“星阵”中的★的个数是   .‎ ‎ ‎ 三、简答题(解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤,共8题,满分96分)‎ ‎19.(10分)先化简,再求值:﹣x+1,其中x=﹣()﹣1﹣|1﹣|.‎ ‎20.(10分)如图,D是△ABC中BC边上一点,∠C=∠DAC.‎ ‎(1)尺规作图:作∠ADB的平分线,交AB于点E(保留作图痕迹,不写作法);‎ ‎(2)在(1)的条件下,求证:DE∥AC.‎ ‎21.(12分)国家为了实现2020年全面脱贫目标,实施“精准扶贫”战略,采取异地搬迁,产业扶持等措施.使贫困户的生活条件得到改善,生活质量明显提高.某旗县为了全面了解贫困县对扶贫工作的满意度情况,进行随机抽样调查,分为四个类别:A.非常满意;B.满意;C.基本满意;D.不满意.依据调查数据绘制成图1和图2的统计图(不完整).‎ 根据以上信息,解答下列问题:‎ ‎(1)将图1补充完整;‎ ‎(2)通过分析,贫困户对扶贫工作的满意度(A、B、C类视为满意)是   ;‎ ‎(3)市扶贫办从该旗县甲乡镇3户、乙乡镇2户共5户贫困户中,随机抽取两户进行满意度回访,求这两户贫困户恰好都是同一乡镇的概率.‎ ‎22.(12分)小明同学三次到某超市购买A、B两种商品,其中仅有一次是有折扣的,购买数量及消费金额如下表:‎ 类别 次数 购买A商品数量(件)‎ 购买B商品数量(件)‎ 消费金额(元)‎ 第一次 ‎4‎ ‎5‎ ‎320‎ 第二次 ‎2‎ ‎6‎ ‎300‎ 第三次 ‎5‎ ‎7‎ ‎258‎ 解答下列问题:‎ ‎(1)第   次购买有折扣;‎ ‎(2)求A、B两种商品的原价;‎ ‎(3)若购买A、B两种商品的折扣数相同,求折扣数;‎ ‎(4)小明同学再次购买A、B两种商品共10件,在(3)中折扣数的前提下,消费金额不超过200元,求至少购买A商品多少件.‎ ‎23.(12分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,交BC于点D,点O在AB上,⊙O经过A、D两点,交AC于点E,交AB于点F.‎ ‎(1)求证:BC是⊙O的切线;‎ ‎(2)若⊙O的半径是2cm,E是的中点,求阴影部分的面积(结果保留π和根号)‎ ‎24.(12分)阅读下列材料:‎ 如图1,在△ABC中,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,可以得到:‎ S△ABC=absinC=acsinB=bcsinA 证明:过点A作AD⊥BC,垂足为D.‎ 在Rt△ABD中,sinB=‎ ‎∴AD=c•sinB ‎∴S△ABC=a•AD=acsinB 同理:S△ABC=absinC S△ABC=bcsinA ‎∴S△ABC=absinC=acsinB=bcsinA ‎(1)通过上述材料证明:‎ ‎==‎ ‎(2)运用(1)中的结论解决问题:‎ 如图2,在△ABC中,∠B=15°,∠C=60°,AB=20,求AC的长度.‎ ‎(3)如图3,为了开发公路旁的城市荒地,测量人员选择A、B、C三个测量点,在B点测得A在北偏东75°方向上,沿笔直公路向正东方向行驶18km到达C点,测得A在北偏西45°方向上,根据以上信息,求A、B、C三点围成的三角形的面积.‎ ‎(本题参考数值:sin15°≈0.3,sin120°≈0.9,≈1.4,结果取整数)‎ ‎25.(14分)将一副三角尺按图1摆放,等腰直角三角尺的直角边DF恰好垂直平分AB,与AC相交于点G,BC=2cm.‎ ‎(1)求GC的长;‎ ‎(2)如图2,将△DEF绕点D顺时针旋转,使直角边DF经过点C,另一直角边DE与AC相交于点H,分别过H、C作AB的垂线,垂足分别为M、N,通过观察,猜想MD与ND的数量关系,并验证你的猜想.‎ ‎(3)在(2)的条件下,将△DEF沿DB方向平移得到△D′E′F′,当D′E′恰好经过(1)中的点G时,请直接写出DD′的长度.‎ ‎26.(14分)已知抛物线y=﹣x2﹣x的图象如图所示:‎ ‎(1)将该抛物线向上平移2个单位,分别交x轴于A、B两点,交y轴于点C,则平移后的解析式为   .‎ ‎(2)判断△ABC的形状,并说明理由.‎ ‎(3)在抛物线对称轴上是否存在一点P,使得以A、C、P为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.‎ ‎ ‎ ‎2018年内蒙古赤峰市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题(每小题给出的选项中只有一个符合题意,请将符合题意的选项序号,在答题卡的对应位置上按要求涂黑。每小题3分,共36分。)‎ ‎1.(3分)2018的相反数是(  )‎ A.﹣2018 B. C.2018 D.﹣‎ ‎【分析】根据相反数的意义,可得答案.‎ ‎【解答】解:2018的相反数是﹣2018,‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎2.(3分)下列符号中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义即可求出答案.‎ ‎【解答】解:轴对称图形是指平面内,一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合的图形.‎ 中心对称图形是指在平面内,把一个图形绕着某个点旋转180°,如果旋转后的图形能与原来的图形重合 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎3.(3分)下列运算正确的是(  )‎ A.x2+x2=2x4 B.x2•x3=x6 C.(x2)3=x6 D.(2x2)3=6x6‎ ‎【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、积的乘方和幂的乘方法则计算,判断即可.‎ ‎【解答】解:A、x2+x2=2x2,故本选项不符合题意;‎ B、x2•x3=x5,故本选项不符合题意;‎ C、(x2)3=x6,故本选项符合题意;‎ D、(2x2)3=8x6,故本选项不符合题意;‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎4.(3分)红山水库又名“红山湖”,位于老哈河中游,设计库容量25.6亿立方米,现在水库实际库容量16.2亿立方米,是暑期度假旅游的好去处.16.2亿用科学记数法表示为(  )‎ A.16.2×108 B.1.62×108 C.1.62×109 D.1.62×1010‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>10时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.‎ ‎【解答】解:16.2亿=162000 0000=1.62×109.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎5.(3分)如图是一个空心圆柱体,其俯视图是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图,可得答案.‎ ‎【解答】解:该空心圆柱体的俯视图是 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎6.(3分)有一天,兔子和乌龟赛跑.比赛开始后,兔子飞快地奔跑,乌龟缓慢的爬行.不一会儿,乌龟就被远远的甩在了后面.兔子想:“这比赛也太轻松了,不如先睡一会儿.”而乌龟一刻不停地继续爬行.当兔子醒来跑到终点时,发现乌龟已经到达了终点.正确反映这则寓言故事的大致图象是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】根据题意得出兔子和乌龟的图象进行解答即可.‎ ‎【解答】解:乌龟运动的图象是一条直线,兔子运动的图象路程先增大,而后不变,再增大,并且乌龟所用时间最短,‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎7.(3分)代数式+中x的取值范围在数轴上表示为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】根据被开方数是非负数且分母不能为零,可得答案.‎ ‎【解答】解:由题意,得 ‎3﹣x≥0且x﹣1≠0,‎ 解得x≤3且x≠1,‎ 在数轴上表示如图,‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎8.(3分)已知AB∥CD,直线EF分别交AB、CD于点G、H,∠EGB=25°,将一个60°角的直角三角尺如图放置(60°角的顶点与H重合),则∠PHG等于(  )‎ A.30° B.35° C.40° D.45°‎ ‎【分析】依据AB∥CD,可得∠EHD=∠EGB=25°,再根据∠PHD=60°,即可得到∠PHG=60°﹣25°=35°.‎ ‎【解答】解:∵AB∥CD,‎ ‎∴∠EHD=∠EGB=25°,‎ 又∵∠PHD=60°,‎ ‎∴∠PHG=60°﹣25°=35°,‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎9.(3分)已知抛物线y=a(x﹣1)2﹣3(a≠0),如图所示,下列命题:①a>0;②对称轴为直线x=1;③抛物线经过(2,y1),(4,y2)两点,则y1>y2;④顶点坐标是(1,﹣3),其中真命题的概率是(  )‎ A. B. C. D.1‎ ‎【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性判定命题的真假,根据概率公式计算即可.‎ ‎【解答】解:∵抛物线开口向上,‎ ‎∴a>0,①是真命题;‎ 对称轴为直线x=1,②是真命题;‎ 当x>1时,y随x的增大而增大,‎ ‎∴抛物线经过(2,y1),(4,y2)两点,则y1<y2,③是假命题;‎ 顶点坐标是(1,﹣3),④是真命题;‎ ‎∴真命题的概率=,‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎10.(3分)2017﹣2018赛季中国男子篮球职业联赛,采用双循环制(每两队之间都进行两场比赛),比赛总场数为380场,若设参赛队伍有x支,则可列方程为(  )‎ A.x(x﹣1)=380 B.x(x﹣1)=380 C.x(x+1)=380 D.x(x+1)=380‎ ‎【分析】设参赛队伍有x支,根据参加篮球职业联赛的每两队之间都进行两场场比赛,共要比赛380场,可列出方程.‎ ‎【解答】解:设参赛队伍有x支,则 x(x﹣1)=380.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎11.(3分)如图,AB是⊙O的直线,C是⊙O上一点(A、B除外),∠AOD=130°,则∠C的度数是(  )‎ A.50° B.60° C.25° D.30°‎ ‎【分析】根据圆周角定理进行解答即可.‎ ‎【解答】解:∵∠AOD=130°,‎ ‎∴∠C=90°﹣,‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎12.(3分)如图,直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点,点P是以C(﹣1,0)为圆心,1为半径的圆上一点,连接PA,PB,则△PAB面积的最小值是(  )‎ A.5 B.10 C.15 D.20‎ ‎【分析】作CH⊥AB于H交⊙O于E、F.当点P与E重合时,△PAB的面积最小,求出EH、AB的长即可解决问题 ‎【解答】解:作CH⊥AB于H交⊙O于E、F.‎ ‎∵C(﹣1,0),直线AB的解析式为y=﹣x+3,‎ ‎∴直线CH的解析式为y=x+,‎ 由解得,‎ ‎∴H(,),‎ ‎∴CH==3,‎ ‎∵A(4,0),B(0,3),‎ ‎∴OA=4,OB=3,AB=5,‎ ‎∴EH=3﹣1=2,‎ 当点P与E重合时,△PAB的面积最小,最小值=×5×2=5,‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ 二、填空题(请把答案填写在答题卡相应的横线上,每小题3分,共18分)‎ ‎13.(3分)分解因式:2a2﹣8b2= 2(a﹣2b)(a+2b) .‎ ‎【分析】先提取公因式2,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.‎ ‎【解答】解:2a2﹣8b2,‎ ‎=2(a2﹣4b2),‎ ‎=2(a+2b)(a﹣2b).‎ 故答案为:2(a+2b)(a﹣2b).‎ ‎ ‎ ‎14.(3分)一组数据:﹣1,3,2,x,5,它有唯一的众数是3,则这组数据的中位数是 3 .‎ ‎【分析】先根据数据的众数确定出x的值,即可得出结论.‎ ‎【解答】解:∵一组数据:﹣1,3,2,x,5,它有唯一的众数是3,‎ ‎∴x=3,∴此组数据为﹣1,2,3,3,5,‎ ‎∴这组数据的中位数为3,‎ 故答案为3.‎ ‎ ‎ ‎15.(3分)半径为10cm的半圆围成一个圆锥,则这个圆锥的高是 5 cm.‎ ‎【分析】由半圆的半径可得出圆锥的母线及底面半径的长度,利用勾股定理即可求出圆锥的高.‎ ‎【解答】解:∵半径为10cm的半圆围成一个圆锥,‎ ‎∴圆锥的母线l=10cm,圆锥底面半径r=5cm,‎ ‎∴圆锥的高h==5cm.‎ 故答案为:5.‎ ‎ ‎ ‎16.(3分)如图,已知一次函数y=﹣x+b与反比例函数y=(k≠0)的图象相交于点P,则关于x的方程﹣x+b=的解是 x1=1,x2=2 .‎ ‎【分析】根据待定系数法,可得函数解析式,根据解方程,可得答案.‎ ‎【解答】解:由图象,得 y=﹣x+b与反比例函数y=(k≠0)的图象相交于点P(1,2),‎ 把P点坐标带入函数解析式,得 ‎﹣1+b=2,k=1×2=2,‎ 解得b=3,k=2‎ 关于x的方程﹣x+b=,即﹣x+3=,‎ 解得x1=1,x2=2,‎ 故答案为:x1=1,x2=2.‎ ‎ ‎ ‎17.(3分)如图,P是▱ABCD的边AD上一点,E、F分别是PB、PC的中点,若▱ABCD的面积为16cm2,则△PEF的面积(阴影部分)是 2 cm2.‎ ‎【分析】先根据S▱ABCD=16cm2知S△PBC=S▱ABCD=8,再证△PEF∽△PBC得=()2,即=,据此可得答案.‎ ‎【解答】解:∵▱ABCD的面积为16cm2,‎ ‎∴S△PBC=S▱ABCD=8,‎ ‎∵E、F分别是PB、PC的中点,‎ ‎∴EF∥BC,且EF=BC,‎ ‎∴△PEF∽△PBC,‎ ‎∴=()2,即=,‎ ‎∴S△PEF=2,‎ 故答案为:2.‎ ‎ ‎ ‎18.(3分)观察下列一组由★排列的“星阵”,按图中规律,第n个“星阵”中的★的个数是 n2+n+2 .‎ ‎【分析】排列组成的图形都是三角形.第一个图形中有2+1×2=4个★,第二个图形中有2+2×3=8个★,第三个图形中有2+3×4=14个★,…,继而可求出第n个图形中★的个数.‎ ‎【解答】解:∵第一个图形有2+1×2=4个,‎ 第二个图形有2+2×3=8个,‎ 第三个图形有2+3×4=14个,‎ 第四个图形有2+4×5=22个,‎ ‎…‎ ‎∴第n个图形共有:2+n×(n+1)=n2+n+2.‎ 故答案为:n2+n+2.‎ ‎ ‎ 三、简答题(解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤,共8题,满分96分)‎ ‎19.(10分)先化简,再求值:﹣x+1,其中x=﹣()﹣1﹣|1﹣|.‎ ‎【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式,再利用二次根式性质、负整数指数幂及绝对值性质计算出x的值,最后代入计算可得.‎ ‎【解答】解:原式=﹣(x﹣1)‎ ‎=﹣‎ ‎=,‎ ‎∵x=2﹣2﹣(﹣1)=2﹣2﹣+1=﹣1,‎ ‎∴原式===.‎ ‎ ‎ ‎20.(10分)如图,D是△ABC中BC边上一点,∠C=∠DAC.‎ ‎(1)尺规作图:作∠ADB的平分线,交AB于点E(保留作图痕迹,不写作法);‎ ‎(2)在(1)的条件下,求证:DE∥AC.‎ ‎【分析】(1)利用基本作图作∠ADB的平分线BE;‎ ‎(2)利用角平分线定义得到∠ADE=∠BDE,再根据三角形外角性质得∠ADB=∠C+∠DAC,加上∠C=∠DAC,从而得到∠BDE=∠C,然后根据平行线的判定方法得到结论.‎ ‎【解答】(1)解:如图,‎ ‎(2)证明:∵DE平分∠ADB,‎ ‎∴∠ADE=∠BDE,‎ ‎∵∠ADB=∠C+∠DAC,‎ 而∠C=∠DAC,‎ ‎∴2∠BDE=2∠C,即∠BDE=∠C,‎ ‎∴DE∥AC.‎ ‎ ‎ ‎21.(12分)国家为了实现2020年全面脱贫目标,实施“精准扶贫”战略,采取异地搬迁,产业扶持等措施.使贫困户的生活条件得到改善,生活质量明显提高.某旗县为了全面了解贫困县对扶贫工作的满意度情况,进行随机抽样调查,分为四个类别:A.非常满意;B.满意;C.基本满意;D.不满意.依据调查数据绘制成图1和图2的统计图(不完整).‎ 根据以上信息,解答下列问题:‎ ‎(1)将图1补充完整;‎ ‎(2)通过分析,贫困户对扶贫工作的满意度(A、B、C类视为满意)是 95% ;‎ ‎(3)市扶贫办从该旗县甲乡镇3户、乙乡镇2户共5户贫困户中,随机抽取两户进行满意度回访,求这两户贫困户恰好都是同一乡镇的概率.‎ ‎【分析】(1)先由A类别户数和所占百分比求得样本总量,再根据各类别户数和等于总户数求得C的数量即可补全图形;‎ ‎(2)用A、B、C户数和除以总户数即可得;‎ ‎(3)画树状图列出所有等可能结果,再根据概率公式求解可得.‎ ‎【解答】解:(1)∵被调查的总户数为60÷60%=100,‎ ‎∴C类别户数为100﹣(60+20+5)=15,‎ 补全图形如下:‎ ‎(2)贫困户对扶贫工作的满意度(A、B、C类视为满意)是×100%=95%,‎ 故答案为:95%;‎ ‎(3)画树状图如下:‎ 由树状图知共有20种等可能结果,其中这两户贫困户恰好都是同一乡镇的有8种结果,‎ 所以这两户贫困户恰好都是同一乡镇的概率为=.‎ ‎ ‎ ‎22.(12分)小明同学三次到某超市购买A、B两种商品,其中仅有一次是有折扣的,购买数量及消费金额如下表:‎ 类别 次数 购买A商品数量(件)‎ 购买B商品数量(件)‎ 消费金额(元)‎ 第一次 ‎4‎ ‎5‎ ‎320‎ 第二次 ‎2‎ ‎6‎ ‎300‎ 第三次 ‎5‎ ‎7‎ ‎258‎ 解答下列问题:‎ ‎(1)第 三 次购买有折扣;‎ ‎(2)求A、B两种商品的原价;‎ ‎(3)若购买A、B两种商品的折扣数相同,求折扣数;‎ ‎(4)小明同学再次购买A、B两种商品共10件,在(3)中折扣数的前提下,消费金额不超过200元,求至少购买A商品多少件.‎ ‎【分析】(1)由第三次购买的A、B两种商品均比头两次多,总价反而少,可得出第三次购物有折扣;‎ ‎(2)设A商品的原价为x元/件,B商品的原价为y元/件,根据总价=单价×数量结合前两次购物的数量及总价,即可得出关于x、y的二元一次方程组,解之即可得出结论;‎ ‎(3)设折扣数为z,根据总价=单价×数量,即可得出关于z的一元一次方程,解之即可得出结论;‎ ‎(4)设购买A商品m件,则购买B商品(10﹣m)件,根据总价=单价×数量结合消费金额不超过200元,即可得出关于m的一元一次不等式,解之取其中的最小整数即可得出结论.‎ ‎【解答】解:(1)观察表格数据,可知:第三次购买的A、B两种商品均比头两次多,总价反而少,‎ ‎∴第三次购买有折扣.‎ 故答案为:三.‎ ‎(2)设A商品的原价为x元/件,B商品的原价为y元/件,‎ 根据题意得:,‎ 解得:.‎ 答:A商品的原价为30元/件,B商品的原价为40元/件.‎ ‎(3)设折扣数为z,‎ 根据题意得:5×30×+7×40×=258,‎ 解得:z=6.‎ 答:折扣数为6.‎ ‎(4)设购买A商品m件,则购买B商品(10﹣m)件,‎ 根据题意得:30×m+40×(10﹣m)≤200,‎ 解得:m≥,‎ ‎∵m为整数,‎ ‎∴m的最小值为7.‎ 答:至少购买A商品7件.‎ ‎ ‎ ‎23.(12分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,交BC于点D,点O在AB上,⊙O经过A、D两点,交AC于点E,交AB于点F.‎ ‎(1)求证:BC是⊙O的切线;‎ ‎(2)若⊙O的半径是2cm,E是的中点,求阴影部分的面积(结果保留π和根号)‎ ‎【分析】(1)连接OD,只要证明OD∥AC即可解决问题;‎ ‎(2)连接OE,OE交AD于K.只要证明△AOE是等边三角形即可解决问题;‎ ‎【解答】解:(1)连接OD.‎ ‎、‎ ‎∵OA=OD,‎ ‎∴∠OAD=∠ODA,‎ ‎∵∠OAD=∠DAC,‎ ‎∴∠ODA=∠DAC,‎ ‎∴OD∥AC,‎ ‎∴∠ODB=∠C=90°,‎ ‎∴OD⊥BC,‎ ‎∴BC是⊙O的切线.‎ ‎(2)连接OE,OE交AD于K.‎ ‎∵=,‎ ‎∴OE⊥AD,‎ ‎∵∠OAK=∠EAK,AK=AK,∠AKO=∠AKE=90°,‎ ‎∴△AKO≌△AKE,‎ ‎∴AO=AE=OE,‎ ‎∴△AOE是等边三角形,‎ ‎∴∠AOE=60°,‎ ‎∴S阴=S扇形OAE﹣S△AOE=﹣×22=﹣.‎ ‎ ‎ ‎24.(12分)阅读下列材料:‎ 如图1,在△ABC中,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,可以得到:‎ S△ABC=absinC=acsinB=bcsinA 证明:过点A作AD⊥BC,垂足为D.‎ 在Rt△ABD中,sinB=‎ ‎∴AD=c•sinB ‎∴S△ABC=a•AD=acsinB 同理:S△ABC=absinC S△ABC=bcsinA ‎∴S△ABC=absinC=acsinB=bcsinA ‎(1)通过上述材料证明:‎ ‎==‎ ‎(2)运用(1)中的结论解决问题:‎ 如图2,在△ABC中,∠B=15°,∠C=60°,AB=20,求AC的长度.‎ ‎(3)如图3,为了开发公路旁的城市荒地,测量人员选择A、B、C三个测量点,在B点测得A在北偏东75°方向上,沿笔直公路向正东方向行驶18km到达C点,测得A在北偏西45°方向上,根据以上信息,求A、B、C三点围成的三角形的面积.‎ ‎(本题参考数值:sin15°≈0.3,sin120°≈0.9,≈1.4,结果取整数)‎ ‎【分析】(1)根据材料中的S△ABC=absinC=acsinB=bcsinA,化为比例式可得结论;‎ ‎(2)根据公式,直接代入可得结论;‎ ‎(3)先根据公式计算AC的长,由S△ABC=AC×BC×sin∠ACB可得结论.‎ ‎【解答】解:(1)∵absinC=acsinB,‎ ‎∴bsinC=csinB,‎ ‎∴=,‎ ‎:同理得:=,‎ ‎∴==;(4分)‎ ‎(2)由题意得:∠B=15°,∠C=60°,AB=20,‎ ‎∴,即,‎ ‎∴,‎ ‎∴AC=40×0.3=12;(8分)‎ ‎(3)由题意得:∠ABC=90°﹣75°=15°,∠ACB=90°﹣45°=45°,‎ ‎∠A=180°﹣15°﹣45°=120°,‎ 由==得:=,‎ ‎∴AC=6,‎ ‎∴S△ABC=AC×BC×sin∠ACB=×6×18×0.7≈38.(12分)‎ ‎ ‎ ‎25.(14分)将一副三角尺按图1摆放,等腰直角三角尺的直角边DF恰好垂直平分AB,与AC相交于点G,BC=2cm.‎ ‎(1)求GC的长;‎ ‎(2)如图2,将△DEF绕点D顺时针旋转,使直角边DF经过点C,另一直角边DE与AC相交于点H,分别过H、C作AB的垂线,垂足分别为M、N,通过观察,猜想MD与ND的数量关系,并验证你的猜想.‎ ‎(3)在(2)的条件下,将△DEF沿DB方向平移得到△D′E′F′,当D′E′恰好经过(1)中的点G时,请直接写出DD′的长度.‎ ‎【分析】(1)解直角三角形求出AC、AG即可解决问题;‎ ‎(2)由△AHM∽△CBN,可得=①,由△DHM∽△CDN,可得=②由①②可得AM•BN=DN•DM,即=,推出=,推出=,由AD=BD,可得AM=DN,由此即可解决问题;‎ ‎(3)如图3中,作GK∥DE交AB由K.求出AK的值即可解决问题;‎ ‎【解答】解:(1)如图1中,‎ 在Rt△ABC中,∵BC=2,∠B=60°,‎ ‎∴AC=BC•tan60°=6,AB=2BC=4,‎ 在Rt△ADG中,AG==4,‎ ‎∴CG=AC=AG=6﹣4=2.‎ ‎(2)如图2中,结论:DM+DN=2.‎ 理由:∵HM⊥AB,CN⊥AB,‎ ‎∴∠AMH=∠DMH=∠CNB=∠CND=90°,‎ ‎∵∠A+∠B=90°,∠B+∠BCN=90°,‎ ‎∴∠A=∠BCN.‎ ‎∴△AHM∽△CBN,‎ ‎∴=①,‎ 同法可证:△DHM∽△CDN,‎ ‎∴=②‎ 由①②可得AM•BN=DN•DM,‎ ‎∴=,‎ ‎∴=,‎ ‎∴=,‎ ‎∵AD=BD,‎ ‎∴AM=DN,‎ ‎∴DM+DN=AM+DM=AD=2.‎ ‎(3)如图3中,作GK∥DE交AB由K.‎ 在△AGK中,AG=GK=4,∠A=∠GKD=30°,作GH⊥AB于H.‎ 则AH=AG•cos30°=2,‎ 可得AK=2AH=4,此时K与B重合.‎ ‎∴DD′=DB=2.‎ ‎ ‎ ‎26.(14分)已知抛物线y=﹣x2﹣x的图象如图所示:‎ ‎(1)将该抛物线向上平移2个单位,分别交x轴于A、B两点,交y轴于点C,则平移后的解析式为 y=﹣x2﹣x+2 .‎ ‎(2)判断△ABC的形状,并说明理由.‎ ‎(3)在抛物线对称轴上是否存在一点P,使得以A、C、P为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.‎ ‎【分析】(1)根据函数图象的平移规律,可得新的函数解析式;‎ ‎(2)根据自变量与函数值的对应关系,可得A,B,C的坐标,根据勾股定理及逆定理,可得答案;‎ ‎(3)根据等腰三角形的定义,可得关于n的方程,根据解方程,可得答案.‎ ‎【解答】解:(1)将该抛物线向上平移2个单位,得y=﹣x2﹣x+2,‎ 故答案为:y=﹣x2﹣x+2;‎ ‎(2)当y=0时,﹣x2﹣x+2=0,解得x1=﹣4,x2=1,即B(﹣4,0),A(1,0).‎ 当x=0时,y=2,即C(0,2).‎ AB=1﹣(﹣4)=5,AB2=25,‎ AC2=(1﹣0)2+(0﹣2)2=5,BC2=(﹣4﹣0)2+(0﹣2)2=20,‎ ‎∵AC2+BC2=AB2,‎ ‎∴△ABC是直角三角形;‎ ‎(3)y=﹣x2﹣x+2的对称轴是x=﹣,设P(﹣,n),‎ AP2=(1+)2+n2=+n2,CP2=+(2﹣n)2,AC2=12+22=5‎ 当AP=AC时,AP2=AC2,+n2=5,方程无解;‎ 当AP=CP时,AP2=CP2,+n2=+(2﹣n)2,解得n=0,即P1(﹣,0),‎ 当AC=CP时AC2=CP2,+(2﹣n)2=5,解得n1=2+,n2=2﹣,P2(﹣,2+),P3(﹣,2﹣).‎ 综上所述:使得以A、C、P为顶点的三角形是等腰三角形,点P的坐标(﹣,0),(﹣,2+),(﹣,2﹣).‎ ‎ ‎