2018年内蒙古赤峰市中考数学试卷 28页

‎2018年内蒙古赤峰市中考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（每小题给出的选项中只有一个符合题意，请将符合题意的选项序号，在答题卡的对应位置上按要求涂黑。每小题3分，共36分。）‎ ‎1．（3分）2018的相反数是（　　）‎ A．﹣2018 B． C．2018 D．﹣‎ ‎2．（3分）下列符号中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．（3分）下列运算正确的是（　　）‎ A．x2+x2=2x4 B．x2•x3=x6 C．（x2）3=x6 D．（2x2）3=6x6‎ ‎4．（3分）红山水库又名“红山湖”，位于老哈河中游，设计库容量25.6亿立方米，现在水库实际库容量16.2亿立方米，是暑期度假旅游的好去处．16.2亿用科学记数法表示为（　　）‎ A．16.2×108 B．1.62×108 C．1.62×109 D．1.62×1010‎ ‎5．（3分）如图是一个空心圆柱体，其俯视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．（3分）有一天，兔子和乌龟赛跑．比赛开始后，兔子飞快地奔跑，乌龟缓慢的爬行．不一会儿，乌龟就被远远的甩在了后面．兔子想：“这比赛也太轻松了，不如先睡一会儿．”而乌龟一刻不停地继续爬行．当兔子醒来跑到终点时，发现乌龟已经到达了终点．正确反映这则寓言故事的大致图象是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．（3分）代数式+中x的取值范围在数轴上表示为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．（3分）已知AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点G、H，∠EGB=25°，将一个60°角的直角三角尺如图放置（60°角的顶点与H重合），则∠PHG等于（　　）‎ A．30° B．35° C．40° D．45°‎ ‎9．（3分）已知抛物线y=a（x﹣1）2﹣3（a≠0），如图所示，下列命题：①a＞0；②对称轴为直线x=1；③抛物线经过（2，y1），（4，y2）两点，则y1＞y2；④顶点坐标是（1，﹣3），其中真命题的概率是（　　）‎ A． B． C． D．1‎ ‎10．（3分）2017﹣2018赛季中国男子篮球职业联赛，采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），比赛总场数为380场，若设参赛队伍有x支，则可列方程为（　　）‎ A．x（x﹣1）=380 B．x（x﹣1）=380 C．x（x+1）=380 D．x（x+1）=380‎ ‎11．（3分）如图，AB是⊙O的直线，C是⊙O上一点（A、B除外），∠AOD=130°，则∠C的度数是（　　）‎ A．50° B．60° C．25° D．30°‎ ‎12．（3分）如图，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P是以C（﹣1，0）为圆心，1为半径的圆上一点，连接PA，PB，则△PAB面积的最小值是（　　）‎ A．5 B．10 C．15 D．20‎ ‎　‎ 二、填空题（请把答案填写在答题卡相应的横线上，每小题3分，共18分）‎ ‎13．（3分）分解因式：2a2﹣8b2=　 　．‎ ‎14．（3分）一组数据：﹣1，3，2，x，5，它有唯一的众数是3，则这组数据的中位数是　 　．‎ ‎15．（3分）半径为10cm的半圆围成一个圆锥，则这个圆锥的高是　 　cm．‎ ‎16．（3分）如图，已知一次函数y=﹣x+b与反比例函数y=（k≠0）的图象相交于点P，则关于x的方程﹣x+b=的解是　 　．‎ ‎17．（3分）如图，P是▱ABCD的边AD上一点，E、F分别是PB、PC的中点，若▱ABCD的面积为16cm2，则△PEF的面积（阴影部分）是　 　cm2．‎ ‎18．（3分）观察下列一组由★排列的“星阵”，按图中规律，第n个“星阵”中的★的个数是　 　．‎ ‎　‎ 三、简答题（解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，共8题，满分96分）‎ ‎19．（10分）先化简，再求值：﹣x+1，其中x=﹣（）﹣1﹣|1﹣|．‎ ‎20．（10分）如图，D是△ABC中BC边上一点，∠C=∠DAC．‎ ‎（1）尺规作图：作∠ADB的平分线，交AB于点E（保留作图痕迹，不写作法）；‎ ‎（2）在（1）的条件下，求证：DE∥AC．‎ ‎21．（12分）国家为了实现2020年全面脱贫目标，实施“精准扶贫”战略，采取异地搬迁，产业扶持等措施．使贫困户的生活条件得到改善，生活质量明显提高．某旗县为了全面了解贫困县对扶贫工作的满意度情况，进行随机抽样调查，分为四个类别：A．非常满意；B．满意；C．基本满意；D．不满意．依据调查数据绘制成图1和图2的统计图（不完整）．‎ 根据以上信息，解答下列问题：‎ ‎（1）将图1补充完整；‎ ‎（2）通过分析，贫困户对扶贫工作的满意度（A、B、C类视为满意）是　 　；‎ ‎（3）市扶贫办从该旗县甲乡镇3户、乙乡镇2户共5户贫困户中，随机抽取两户进行满意度回访，求这两户贫困户恰好都是同一乡镇的概率．‎ ‎22．（12分）小明同学三次到某超市购买A、B两种商品，其中仅有一次是有折扣的，购买数量及消费金额如下表：‎ 类别 次数 购买A商品数量（件）‎ 购买B商品数量（件）‎ 消费金额（元）‎ 第一次 ‎4‎ ‎5‎ ‎320‎ 第二次 ‎2‎ ‎6‎ ‎300‎ 第三次 ‎5‎ ‎7‎ ‎258‎ 解答下列问题：‎ ‎（1）第　 　次购买有折扣；‎ ‎（2）求A、B两种商品的原价；‎ ‎（3）若购买A、B两种商品的折扣数相同，求折扣数；‎ ‎（4）小明同学再次购买A、B两种商品共10件，在（3）中折扣数的前提下，消费金额不超过200元，求至少购买A商品多少件．‎ ‎23．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，点O在AB上，⊙O经过A、D两点，交AC于点E，交AB于点F．‎ ‎（1）求证：BC是⊙O的切线；‎ ‎（2）若⊙O的半径是2cm，E是的中点，求阴影部分的面积（结果保留π和根号）‎ ‎24．（12分）阅读下列材料：‎ 如图1，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，可以得到：‎ S△ABC=absinC=acsinB=bcsinA 证明：过点A作AD⊥BC，垂足为D．‎ 在Rt△ABD中，sinB=‎ ‎∴AD=c•sinB ‎∴S△ABC=a•AD=acsinB 同理：S△ABC=absinC S△ABC=bcsinA ‎∴S△ABC=absinC=acsinB=bcsinA ‎（1）通过上述材料证明：‎ ‎==‎ ‎（2）运用（1）中的结论解决问题：‎ 如图2，在△ABC中，∠B=15°，∠C=60°，AB=20，求AC的长度．‎ ‎（3）如图3，为了开发公路旁的城市荒地，测量人员选择A、B、C三个测量点，在B点测得A在北偏东75°方向上，沿笔直公路向正东方向行驶18km到达C点，测得A在北偏西45°方向上，根据以上信息，求A、B、C三点围成的三角形的面积．‎ ‎（本题参考数值：sin15°≈0.3，sin120°≈0.9，≈1.4，结果取整数）‎ ‎25．（14分）将一副三角尺按图1摆放，等腰直角三角尺的直角边DF恰好垂直平分AB，与AC相交于点G，BC=2cm．‎ ‎（1）求GC的长；‎ ‎（2）如图2，将△DEF绕点D顺时针旋转，使直角边DF经过点C，另一直角边DE与AC相交于点H，分别过H、C作AB的垂线，垂足分别为M、N，通过观察，猜想MD与ND的数量关系，并验证你的猜想．‎ ‎（3）在（2）的条件下，将△DEF沿DB方向平移得到△D′E′F′，当D′E′恰好经过（1）中的点G时，请直接写出DD′的长度．‎ ‎26．（14分）已知抛物线y=﹣x2﹣x的图象如图所示：‎ ‎（1）将该抛物线向上平移2个单位，分别交x轴于A、B两点，交y轴于点C，则平移后的解析式为　 　．‎ ‎（2）判断△ABC的形状，并说明理由．‎ ‎（3）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使得以A、C、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎　‎ ‎2018年内蒙古赤峰市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（每小题给出的选项中只有一个符合题意，请将符合题意的选项序号，在答题卡的对应位置上按要求涂黑。每小题3分，共36分。）‎ ‎1．（3分）2018的相反数是（　　）‎ A．﹣2018 B． C．2018 D．﹣‎ ‎【分析】根据相反数的意义，可得答案．‎ ‎【解答】解：2018的相反数是﹣2018，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）下列符号中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义即可求出答案．‎ ‎【解答】解：轴对称图形是指平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．‎ 中心对称图形是指在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合 故选：D．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）下列运算正确的是（　　）‎ A．x2+x2=2x4 B．x2•x3=x6 C．（x2）3=x6 D．（2x2）3=6x6‎ ‎【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、积的乘方和幂的乘方法则计算，判断即可．‎ ‎【解答】解：A、x2+x2=2x2，故本选项不符合题意；‎ B、x2•x3=x5，故本选项不符合题意；‎ C、（x2）3=x6，故本选项符合题意；‎ D、（2x2）3=8x6，故本选项不符合题意；‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）红山水库又名“红山湖”，位于老哈河中游，设计库容量25.6亿立方米，现在水库实际库容量16.2亿立方米，是暑期度假旅游的好去处．16.2亿用科学记数法表示为（　　）‎ A．16.2×108 B．1.62×108 C．1.62×109 D．1.62×1010‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ ‎【解答】解：16.2亿=162000 0000=1.62×109．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）如图是一个空心圆柱体，其俯视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．‎ ‎【解答】解：该空心圆柱体的俯视图是 故选：D．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）有一天，兔子和乌龟赛跑．比赛开始后，兔子飞快地奔跑，乌龟缓慢的爬行．不一会儿，乌龟就被远远的甩在了后面．兔子想：“这比赛也太轻松了，不如先睡一会儿．”而乌龟一刻不停地继续爬行．当兔子醒来跑到终点时，发现乌龟已经到达了终点．正确反映这则寓言故事的大致图象是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据题意得出兔子和乌龟的图象进行解答即可．‎ ‎【解答】解：乌龟运动的图象是一条直线，兔子运动的图象路程先增大，而后不变，再增大，并且乌龟所用时间最短，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）代数式+中x的取值范围在数轴上表示为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据被开方数是非负数且分母不能为零，可得答案．‎ ‎【解答】解：由题意，得 ‎3﹣x≥0且x﹣1≠0，‎ 解得x≤3且x≠1，‎ 在数轴上表示如图，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）已知AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点G、H，∠EGB=25°，将一个60°角的直角三角尺如图放置（60°角的顶点与H重合），则∠PHG等于（　　）‎ A．30° B．35° C．40° D．45°‎ ‎【分析】依据AB∥CD，可得∠EHD=∠EGB=25°，再根据∠PHD=60°，即可得到∠PHG=60°﹣25°=35°．‎ ‎【解答】解：∵AB∥CD，‎ ‎∴∠EHD=∠EGB=25°，‎ 又∵∠PHD=60°，‎ ‎∴∠PHG=60°﹣25°=35°，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）已知抛物线y=a（x﹣1）2﹣3（a≠0），如图所示，下列命题：①a＞0；②对称轴为直线x=1；③抛物线经过（2，y1），（4，y2）两点，则y1＞y2；④顶点坐标是（1，﹣3），其中真命题的概率是（　　）‎ A． B． C． D．1‎ ‎【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性判定命题的真假，根据概率公式计算即可．‎ ‎【解答】解：∵抛物线开口向上，‎ ‎∴a＞0，①是真命题；‎ 对称轴为直线x=1，②是真命题；‎ 当x＞1时，y随x的增大而增大，‎ ‎∴抛物线经过（2，y1），（4，y2）两点，则y1＜y2，③是假命题；‎ 顶点坐标是（1，﹣3），④是真命题；‎ ‎∴真命题的概率=，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）2017﹣2018赛季中国男子篮球职业联赛，采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），比赛总场数为380场，若设参赛队伍有x支，则可列方程为（　　）‎ A．x（x﹣1）=380 B．x（x﹣1）=380 C．x（x+1）=380 D．x（x+1）=380‎ ‎【分析】设参赛队伍有x支，根据参加篮球职业联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛380场，可列出方程．‎ ‎【解答】解：设参赛队伍有x支，则 x（x﹣1）=380．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎11．（3分）如图，AB是⊙O的直线，C是⊙O上一点（A、B除外），∠AOD=130°，则∠C的度数是（　　）‎ A．50° B．60° C．25° D．30°‎ ‎【分析】根据圆周角定理进行解答即可．‎ ‎【解答】解：∵∠AOD=130°，‎ ‎∴∠C=90°﹣，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）如图，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P是以C（﹣1，0）为圆心，1为半径的圆上一点，连接PA，PB，则△PAB面积的最小值是（　　）‎ A．5 B．10 C．15 D．20‎ ‎【分析】作CH⊥AB于H交⊙O于E、F．当点P与E重合时，△PAB的面积最小，求出EH、AB的长即可解决问题 ‎【解答】解：作CH⊥AB于H交⊙O于E、F．‎ ‎∵C（﹣1，0），直线AB的解析式为y=﹣x+3，‎ ‎∴直线CH的解析式为y=x+，‎ 由解得，‎ ‎∴H（，），‎ ‎∴CH==3，‎ ‎∵A（4，0），B（0，3），‎ ‎∴OA=4，OB=3，AB=5，‎ ‎∴EH=3﹣1=2，‎ 当点P与E重合时，△PAB的面积最小，最小值=×5×2=5，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 二、填空题（请把答案填写在答题卡相应的横线上，每小题3分，共18分）‎ ‎13．（3分）分解因式：2a2﹣8b2=　2（a﹣2b）（a+2b）　．‎ ‎【分析】先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．‎ ‎【解答】解：2a2﹣8b2，‎ ‎=2（a2﹣4b2），‎ ‎=2（a+2b）（a﹣2b）．‎ 故答案为：2（a+2b）（a﹣2b）．‎ ‎　‎ ‎14．（3分）一组数据：﹣1，3，2，x，5，它有唯一的众数是3，则这组数据的中位数是　3　．‎ ‎【分析】先根据数据的众数确定出x的值，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵一组数据：﹣1，3，2，x，5，它有唯一的众数是3，‎ ‎∴x=3，∴此组数据为﹣1，2，3，3，5，‎ ‎∴这组数据的中位数为3，‎ 故答案为3．‎ ‎　‎ ‎15．（3分）半径为10cm的半圆围成一个圆锥，则这个圆锥的高是　5　cm．‎ ‎【分析】由半圆的半径可得出圆锥的母线及底面半径的长度，利用勾股定理即可求出圆锥的高．‎ ‎【解答】解：∵半径为10cm的半圆围成一个圆锥，‎ ‎∴圆锥的母线l=10cm，圆锥底面半径r=5cm，‎ ‎∴圆锥的高h==5cm．‎ 故答案为：5．‎ ‎　‎ ‎16．（3分）如图，已知一次函数y=﹣x+b与反比例函数y=（k≠0）的图象相交于点P，则关于x的方程﹣x+b=的解是　x1=1，x2=2　．‎ ‎【分析】根据待定系数法，可得函数解析式，根据解方程，可得答案．‎ ‎【解答】解：由图象，得 y=﹣x+b与反比例函数y=（k≠0）的图象相交于点P（1，2），‎ 把P点坐标带入函数解析式，得 ‎﹣1+b=2，k=1×2=2，‎ 解得b=3，k=2‎ 关于x的方程﹣x+b=，即﹣x+3=，‎ 解得x1=1，x2=2，‎ 故答案为：x1=1，x2=2．‎ ‎　‎ ‎17．（3分）如图，P是▱ABCD的边AD上一点，E、F分别是PB、PC的中点，若▱ABCD的面积为16cm2，则△PEF的面积（阴影部分）是　2　cm2．‎ ‎【分析】先根据S▱ABCD=16cm2知S△PBC=S▱ABCD=8，再证△PEF∽△PBC得=（）2，即=，据此可得答案．‎ ‎【解答】解：∵▱ABCD的面积为16cm2，‎ ‎∴S△PBC=S▱ABCD=8，‎ ‎∵E、F分别是PB、PC的中点，‎ ‎∴EF∥BC，且EF=BC，‎ ‎∴△PEF∽△PBC，‎ ‎∴=（）2，即=，‎ ‎∴S△PEF=2，‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎18．（3分）观察下列一组由★排列的“星阵”，按图中规律，第n个“星阵”中的★的个数是　n2+n+2　．‎ ‎【分析】排列组成的图形都是三角形．第一个图形中有2+1×2=4个★，第二个图形中有2+2×3=8个★，第三个图形中有2+3×4=14个★，…，继而可求出第n个图形中★的个数．‎ ‎【解答】解：∵第一个图形有2+1×2=4个，‎ 第二个图形有2+2×3=8个，‎ 第三个图形有2+3×4=14个，‎ 第四个图形有2+4×5=22个，‎ ‎…‎ ‎∴第n个图形共有：2+n×（n+1）=n2+n+2．‎ 故答案为：n2+n+2．‎ ‎　‎ 三、简答题（解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，共8题，满分96分）‎ ‎19．（10分）先化简，再求值：﹣x+1，其中x=﹣（）﹣1﹣|1﹣|．‎ ‎【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再利用二次根式性质、负整数指数幂及绝对值性质计算出x的值，最后代入计算可得．‎ ‎【解答】解：原式=﹣（x﹣1）‎ ‎=﹣‎ ‎=，‎ ‎∵x=2﹣2﹣（﹣1）=2﹣2﹣+1=﹣1，‎ ‎∴原式===．‎ ‎　‎ ‎20．（10分）如图，D是△ABC中BC边上一点，∠C=∠DAC．‎ ‎（1）尺规作图：作∠ADB的平分线，交AB于点E（保留作图痕迹，不写作法）；‎ ‎（2）在（1）的条件下，求证：DE∥AC．‎ ‎【分析】（1）利用基本作图作∠ADB的平分线BE；‎ ‎（2）利用角平分线定义得到∠ADE=∠BDE，再根据三角形外角性质得∠ADB=∠C+∠DAC，加上∠C=∠DAC，从而得到∠BDE=∠C，然后根据平行线的判定方法得到结论．‎ ‎【解答】（1）解：如图，‎ ‎（2）证明：∵DE平分∠ADB，‎ ‎∴∠ADE=∠BDE，‎ ‎∵∠ADB=∠C+∠DAC，‎ 而∠C=∠DAC，‎ ‎∴2∠BDE=2∠C，即∠BDE=∠C，‎ ‎∴DE∥AC．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）国家为了实现2020年全面脱贫目标，实施“精准扶贫”战略，采取异地搬迁，产业扶持等措施．使贫困户的生活条件得到改善，生活质量明显提高．某旗县为了全面了解贫困县对扶贫工作的满意度情况，进行随机抽样调查，分为四个类别：A．非常满意；B．满意；C．基本满意；D．不满意．依据调查数据绘制成图1和图2的统计图（不完整）．‎ 根据以上信息，解答下列问题：‎ ‎（1）将图1补充完整；‎ ‎（2）通过分析，贫困户对扶贫工作的满意度（A、B、C类视为满意）是　95%　；‎ ‎（3）市扶贫办从该旗县甲乡镇3户、乙乡镇2户共5户贫困户中，随机抽取两户进行满意度回访，求这两户贫困户恰好都是同一乡镇的概率．‎ ‎【分析】（1）先由A类别户数和所占百分比求得样本总量，再根据各类别户数和等于总户数求得C的数量即可补全图形；‎ ‎（2）用A、B、C户数和除以总户数即可得；‎ ‎（3）画树状图列出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得．‎ ‎【解答】解：（1）∵被调查的总户数为60÷60%=100，‎ ‎∴C类别户数为100﹣（60+20+5）=15，‎ 补全图形如下：‎ ‎（2）贫困户对扶贫工作的满意度（A、B、C类视为满意）是×100%=95%，‎ 故答案为：95%；‎ ‎（3）画树状图如下：‎ 由树状图知共有20种等可能结果，其中这两户贫困户恰好都是同一乡镇的有8种结果，‎ 所以这两户贫困户恰好都是同一乡镇的概率为=．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）小明同学三次到某超市购买A、B两种商品，其中仅有一次是有折扣的，购买数量及消费金额如下表：‎ 类别 次数 购买A商品数量（件）‎ 购买B商品数量（件）‎ 消费金额（元）‎ 第一次 ‎4‎ ‎5‎ ‎320‎ 第二次 ‎2‎ ‎6‎ ‎300‎ 第三次 ‎5‎ ‎7‎ ‎258‎ 解答下列问题：‎ ‎（1）第　三　次购买有折扣；‎ ‎（2）求A、B两种商品的原价；‎ ‎（3）若购买A、B两种商品的折扣数相同，求折扣数；‎ ‎（4）小明同学再次购买A、B两种商品共10件，在（3）中折扣数的前提下，消费金额不超过200元，求至少购买A商品多少件．‎ ‎【分析】（1）由第三次购买的A、B两种商品均比头两次多，总价反而少，可得出第三次购物有折扣；‎ ‎（2）设A商品的原价为x元/件，B商品的原价为y元/件，根据总价=单价×数量结合前两次购物的数量及总价，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；‎ ‎（3）设折扣数为z，根据总价=单价×数量，即可得出关于z的一元一次方程，解之即可得出结论；‎ ‎（4）设购买A商品m件，则购买B商品（10﹣m）件，根据总价=单价×数量结合消费金额不超过200元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小整数即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）观察表格数据，可知：第三次购买的A、B两种商品均比头两次多，总价反而少，‎ ‎∴第三次购买有折扣．‎ 故答案为：三．‎ ‎（2）设A商品的原价为x元/件，B商品的原价为y元/件，‎ 根据题意得：，‎ 解得：．‎ 答：A商品的原价为30元/件，B商品的原价为40元/件．‎ ‎（3）设折扣数为z，‎ 根据题意得：5×30×+7×40×=258，‎ 解得：z=6．‎ 答：折扣数为6．‎ ‎（4）设购买A商品m件，则购买B商品（10﹣m）件，‎ 根据题意得：30×m+40×（10﹣m）≤200，‎ 解得：m≥，‎ ‎∵m为整数，‎ ‎∴m的最小值为7．‎ 答：至少购买A商品7件．‎ ‎　‎ ‎23．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，点O在AB上，⊙O经过A、D两点，交AC于点E，交AB于点F．‎ ‎（1）求证：BC是⊙O的切线；‎ ‎（2）若⊙O的半径是2cm，E是的中点，求阴影部分的面积（结果保留π和根号）‎ ‎【分析】（1）连接OD，只要证明OD∥AC即可解决问题；‎ ‎（2）连接OE，OE交AD于K．只要证明△AOE是等边三角形即可解决问题；‎ ‎【解答】解：（1）连接OD．‎ ‎、‎ ‎∵OA=OD，‎ ‎∴∠OAD=∠ODA，‎ ‎∵∠OAD=∠DAC，‎ ‎∴∠ODA=∠DAC，‎ ‎∴OD∥AC，‎ ‎∴∠ODB=∠C=90°，‎ ‎∴OD⊥BC，‎ ‎∴BC是⊙O的切线．‎ ‎（2）连接OE，OE交AD于K．‎ ‎∵=，‎ ‎∴OE⊥AD，‎ ‎∵∠OAK=∠EAK，AK=AK，∠AKO=∠AKE=90°，‎ ‎∴△AKO≌△AKE，‎ ‎∴AO=AE=OE，‎ ‎∴△AOE是等边三角形，‎ ‎∴∠AOE=60°，‎ ‎∴S阴=S扇形OAE﹣S△AOE=﹣×22=﹣．‎ ‎　‎ ‎24．（12分）阅读下列材料：‎ 如图1，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，可以得到：‎ S△ABC=absinC=acsinB=bcsinA 证明：过点A作AD⊥BC，垂足为D．‎ 在Rt△ABD中，sinB=‎ ‎∴AD=c•sinB ‎∴S△ABC=a•AD=acsinB 同理：S△ABC=absinC S△ABC=bcsinA ‎∴S△ABC=absinC=acsinB=bcsinA ‎（1）通过上述材料证明：‎ ‎==‎ ‎（2）运用（1）中的结论解决问题：‎ 如图2，在△ABC中，∠B=15°，∠C=60°，AB=20，求AC的长度．‎ ‎（3）如图3，为了开发公路旁的城市荒地，测量人员选择A、B、C三个测量点，在B点测得A在北偏东75°方向上，沿笔直公路向正东方向行驶18km到达C点，测得A在北偏西45°方向上，根据以上信息，求A、B、C三点围成的三角形的面积．‎ ‎（本题参考数值：sin15°≈0.3，sin120°≈0.9，≈1.4，结果取整数）‎ ‎【分析】（1）根据材料中的S△ABC=absinC=acsinB=bcsinA，化为比例式可得结论；‎ ‎（2）根据公式，直接代入可得结论；‎ ‎（3）先根据公式计算AC的长，由S△ABC=AC×BC×sin∠ACB可得结论．‎ ‎【解答】解：（1）∵absinC=acsinB，‎ ‎∴bsinC=csinB，‎ ‎∴=，‎ ‎：同理得：=，‎ ‎∴==；（4分）‎ ‎（2）由题意得：∠B=15°，∠C=60°，AB=20，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴，‎ ‎∴AC=40×0.3=12；（8分）‎ ‎（3）由题意得：∠ABC=90°﹣75°=15°，∠ACB=90°﹣45°=45°，‎ ‎∠A=180°﹣15°﹣45°=120°，‎ 由==得：=，‎ ‎∴AC=6，‎ ‎∴S△ABC=AC×BC×sin∠ACB=×6×18×0.7≈38．（12分）‎ ‎　‎ ‎25．（14分）将一副三角尺按图1摆放，等腰直角三角尺的直角边DF恰好垂直平分AB，与AC相交于点G，BC=2cm．‎ ‎（1）求GC的长；‎ ‎（2）如图2，将△DEF绕点D顺时针旋转，使直角边DF经过点C，另一直角边DE与AC相交于点H，分别过H、C作AB的垂线，垂足分别为M、N，通过观察，猜想MD与ND的数量关系，并验证你的猜想．‎ ‎（3）在（2）的条件下，将△DEF沿DB方向平移得到△D′E′F′，当D′E′恰好经过（1）中的点G时，请直接写出DD′的长度．‎ ‎【分析】（1）解直角三角形求出AC、AG即可解决问题；‎ ‎（2）由△AHM∽△CBN，可得=①，由△DHM∽△CDN，可得=②由①②可得AM•BN=DN•DM，即=，推出=，推出=，由AD=BD，可得AM=DN，由此即可解决问题；‎ ‎（3）如图3中，作GK∥DE交AB由K．求出AK的值即可解决问题；‎ ‎【解答】解：（1）如图1中，‎ 在Rt△ABC中，∵BC=2，∠B=60°，‎ ‎∴AC=BC•tan60°=6，AB=2BC=4，‎ 在Rt△ADG中，AG==4，‎ ‎∴CG=AC=AG=6﹣4=2．‎ ‎（2）如图2中，结论：DM+DN=2．‎ 理由：∵HM⊥AB，CN⊥AB，‎ ‎∴∠AMH=∠DMH=∠CNB=∠CND=90°，‎ ‎∵∠A+∠B=90°，∠B+∠BCN=90°，‎ ‎∴∠A=∠BCN．‎ ‎∴△AHM∽△CBN，‎ ‎∴=①，‎ 同法可证：△DHM∽△CDN，‎ ‎∴=②‎ 由①②可得AM•BN=DN•DM，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ ‎∵AD=BD，‎ ‎∴AM=DN，‎ ‎∴DM+DN=AM+DM=AD=2．‎ ‎（3）如图3中，作GK∥DE交AB由K．‎ 在△AGK中，AG=GK=4，∠A=∠GKD=30°，作GH⊥AB于H．‎ 则AH=AG•cos30°=2，‎ 可得AK=2AH=4，此时K与B重合．‎ ‎∴DD′=DB=2．‎ ‎　‎ ‎26．（14分）已知抛物线y=﹣x2﹣x的图象如图所示：‎ ‎（1）将该抛物线向上平移2个单位，分别交x轴于A、B两点，交y轴于点C，则平移后的解析式为　y=﹣x2﹣x+2　．‎ ‎（2）判断△ABC的形状，并说明理由．‎ ‎（3）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使得以A、C、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎【分析】（1）根据函数图象的平移规律，可得新的函数解析式；‎ ‎（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得A，B，C的坐标，根据勾股定理及逆定理，可得答案；‎ ‎（3）根据等腰三角形的定义，可得关于n的方程，根据解方程，可得答案．‎ ‎【解答】解：（1）将该抛物线向上平移2个单位，得y=﹣x2﹣x+2，‎ 故答案为：y=﹣x2﹣x+2；‎ ‎（2）当y=0时，﹣x2﹣x+2=0，解得x1=﹣4，x2=1，即B（﹣4，0），A（1，0）．‎ 当x=0时，y=2，即C（0，2）．‎ AB=1﹣（﹣4）=5，AB2=25，‎ AC2=（1﹣0）2+（0﹣2）2=5，BC2=（﹣4﹣0）2+（0﹣2）2=20，‎ ‎∵AC2+BC2=AB2，‎ ‎∴△ABC是直角三角形；‎ ‎（3）y=﹣x2﹣x+2的对称轴是x=﹣，设P（﹣，n），‎ AP2=（1+）2+n2=+n2，CP2=+（2﹣n）2，AC2=12+22=5‎ 当AP=AC时，AP2=AC2，+n2=5，方程无解；‎ 当AP=CP时，AP2=CP2，+n2=+（2﹣n）2，解得n=0，即P1（﹣，0），‎ 当AC=CP时AC2=CP2，+（2﹣n）2=5，解得n1=2+，n2=2﹣，P2（﹣，2+），P3（﹣，2﹣）．‎ 综上所述：使得以A、C、P为顶点的三角形是等腰三角形，点P的坐标（﹣，0），（﹣，2+），（﹣，2﹣）．‎ ‎　‎