2019年四川省自贡市中考数学试卷 29页

‎2019年四川省自贡市中考数学试卷 一、选择题[共12个小题，每小题4分，共48分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．（4分）﹣2019的倒数是（　　）‎ A．﹣2019 B．﹣ C． D．2019‎ ‎2．（4分）近年来，中国高铁发展迅速，高铁技术不断走出国门，成为展示我国实力的新名片．现在中国高速铁路营运里程将达到23000公里，将23000用科学记数法表示应为（　　）‎ A．2.3×104 B．23×103 C．2.3×103 D．0.23×105‎ ‎3．（4分）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．（4分）在5轮“中国汉字听写大赛”选拔赛中，甲、乙两位同学的平均分都是90分，甲的成绩方差是15，乙的成绩方差是3，下列说法正确的是（　　）‎ A．甲的成绩比乙的成绩稳定 ‎ B．乙的成绩比甲的成绩稳定 ‎ C．甲、乙两人的成绩一样稳定 ‎ D．无法确定甲、乙的成绩谁更稳定 ‎5．（4分）如图是一个水平放置的全封闭物体，则它的俯视图是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎6．（4分）已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为（　　）‎ A．7 B．8 C．9 D．10‎ ‎7．（4分）实数m，n在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（　　）‎ A．|m|＜1 B．1﹣m＞1 C．mn＞0 D．m+1＞0‎ ‎8．（4分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0无实数根，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．m＜1 B．m≥1 C．m≤1 D．m＞1‎ ‎9．（4分）一次函数y＝ax+b与反比列函数y＝的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的大致图象是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎10．（4分）均匀的向一个容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度h与时间t的函数关系如图所示，则该容器是下列四个中的（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．（4分）图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形面板翻折起来后，就能形成一个圆形桌面（可近似看作正方形的外接圆），正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比最接近（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．（4分）如图，已知A、B两点的坐标分别为（8，0）、（0，8），点C、F分别是直线x＝﹣5和x轴上的动点，CF＝10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取得最小值时，tan∠BAD的值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）‎ ‎13．（4分）如图，直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD，∠1＝120°，则∠2＝　 　．‎ ‎14．（4分）在一次有12人参加的数学测试中，得100分、95分、90分、85分、75分的人数分别是1、3、4、2、2，那么这组数据的众数是　 　分．‎ ‎15．（4分）分解因式：2x2﹣2y2＝　 　．‎ ‎16．（4分）某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了466元，其中篮球的单价比足球的单价多4元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，依题意，可列方程组为　 　．‎ ‎17．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，CD∥AB，∠ABC的平分线BD交AC于点E，DE＝　 　．‎ ‎18．（4分）如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图所示，则cos（α+β）＝　 　．‎ 三、解答題（共8个题，共78分）‎ ‎19．（8分）计算：|﹣3|﹣4sin45°++（π﹣3）0‎ ‎20．（8分）解方程：﹣＝1．‎ ‎21．（8分）如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD、BC．‎ 求证：（1）＝；（2）AE＝CE．‎ ‎22．（8分）某校举行了自贡市创建全国文明城市知识竞赛活动，初一年级全体同学参加了知识竞赛．‎ 收集教据：现随机抽取了初一年级30名同学的“创文知识竞赛”成绩，分数如下（单位：分）：‎ ‎90 85 68 92 81 84 95 93 87 89 78 99 89 85 97‎ ‎88 81 95 86 98 95 93 89 86 84 87 79 85 89 82‎ 整理分析数据：‎ 成绩x（单位：分）‎ 频数（人数）‎ ‎60≤x＜70‎ ‎1‎ ‎70≤x＜80‎ ‎　 　‎ ‎80≤x＜90‎ ‎17‎ ‎90≤x＜100‎ ‎　 　‎ ‎（1）请将图表中空缺的部分补充完整；‎ ‎（2）学校决定表彰“创文知识竞赛”成绩在90分及其以上的同学．根据上面统计结果估计该校初一年级360人中，约有多少人将获得表彰；‎ ‎（3）“创文知识竞赛”中，受到表彰的小红同学得到了印有龚扇、剪纸、彩灯、恐龙图案的四枚纪念章，她从中选取两枚送给弟弟，则小红送给弟弟的两枚纪念章中，恰好有恐龙图案的概率是　 　．‎ ‎23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m≠0）的图象相交于第一、象限内的A（3，5），B（a，﹣3）两点，与x轴交于点C．‎ ‎（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；‎ ‎（2）在y轴上找一点P使PB﹣PC最大，求PB﹣PC的最大值及点P的坐标；‎ ‎（3）直接写出当y1＞y2时，x的取值范围．‎ ‎24．（10分）阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22017+22018的值，采用以下方法：‎ 设S＝1+2+22+…+22017+22018①‎ 则2S＝2+22+…+22018+22019②‎ ‎②﹣①得2S﹣S＝S＝22019﹣1‎ ‎∴S＝1+2+22+…+22017+22018＝22019﹣1‎ 请仿照小明的方法解决以下问题：‎ ‎（1）1+2+22+…+29＝　 　；‎ ‎（2）3+32+…+310＝　 　；‎ ‎（3）求1+a+a2+…+an的和（a＞0，n是正整数，请写出计算过程）．‎ ‎25．（12分）（1）如图1，E是正方形ABCD边AB上的一点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转90°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G．‎ ‎①线段DB和DG的数量关系是　 　；‎ ‎②写出线段BE，BF和DB之间的数量关系．‎ ‎（2）当四边形ABCD为菱形，∠ADC＝60°，点E是菱形ABCD边AB所在直线上的一点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G．‎ ‎①如图2，点E在线段AB上时，请探究线段BE、BF和BD之间的数量关系，写出结论并给出证明；‎ ‎②如图3，点E在线段AB的延长线上时，DE交射线BC于点M，若BE＝1，AB＝2，直接写出线段GM的长度．‎ ‎26．（14分）如图，已知直线AB与抛物线C：y＝ax2+2x+c相交于点A（﹣1，0）和点B（2，3）两点．‎ ‎（1）求抛物线C函数表达式；‎ ‎（2）若点M是位于直线AB上方抛物线上的一动点，以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB，当平行四边形MANB的面积最大时，求此时平行四边形MANB的面积S及点M的坐标；‎ ‎（3）在抛物线C的对称轴上是否存在定点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y＝的距离？若存在，求出定点F的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎2019年四川省自贡市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题[共12个小题，每小题4分，共48分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．（4分）﹣2019的倒数是（　　）‎ A．﹣2019 B．﹣ C． D．2019‎ ‎【分析】直接利用倒数的定义进而得出答案．‎ ‎【解答】解：﹣2019的倒数是﹣．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】此题主要考查了倒数，正确把握倒数的定义是解题关键．‎ ‎2．（4分）近年来，中国高铁发展迅速，高铁技术不断走出国门，成为展示我国实力的新名片．现在中国高速铁路营运里程将达到23000公里，将23000用科学记数法表示应为（　　）‎ A．2.3×104 B．23×103 C．2.3×103 D．0.23×105‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ ‎【解答】解：23000＝2.3×104，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎3．（4分）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解．‎ ‎【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误；‎ B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；‎ C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；‎ D、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项正确．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】此题主要考查了中心对称与轴对称的概念：轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合，中心对称是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合．‎ ‎4．（4分）在5轮“中国汉字听写大赛”选拔赛中，甲、乙两位同学的平均分都是90分，甲的成绩方差是15，乙的成绩方差是3，下列说法正确的是（　　）‎ A．甲的成绩比乙的成绩稳定 ‎ B．乙的成绩比甲的成绩稳定 ‎ C．甲、乙两人的成绩一样稳定 ‎ D．无法确定甲、乙的成绩谁更稳定 ‎【分析】根据方差的意义求解可得．‎ ‎【解答】解：∵乙的成绩方差＜甲成绩的方差，‎ ‎∴乙的成绩比甲的成绩稳定，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．‎ ‎5．（4分）如图是一个水平放置的全封闭物体，则它的俯视图是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【分析】根据俯视图是从物体上面看，从而得到出物体的形状．‎ ‎【解答】解：从上面观察可得到：．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了三视图的概简单几何体的三视图，本题的关键是要考虑到俯视图中看见的棱用实线表示．‎ ‎6．（4分）已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为（　　）‎ A．7 B．8 C．9 D．10‎ ‎【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得周长．‎ ‎【解答】解：设第三边为x，‎ 根据三角形的三边关系，得：4﹣1＜x＜4+1，‎ 即3＜x＜5，‎ ‎∵x为整数，‎ ‎∴x的值为4．‎ ‎ 三角形的周长为1+4+4＝9．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】此题考查了三角形的三边关系．关键是正确确定第三边的取值范围．‎ ‎7．（4分）实数m，n在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（　　）‎ A．|m|＜1 B．1﹣m＞1 C．mn＞0 D．m+1＞0‎ ‎【分析】利用数轴表示数的方法得到m＜0＜n，然后对各选项进行判断．‎ ‎【解答】解：利用数轴得m＜0＜1＜n，‎ 所以﹣m＞0，1﹣m＞1，mn＜0，m+1＜0．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了实数与数轴：数轴上的点与实数一一对应；右边的数总比左边的数大．‎ ‎8．（4分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0无实数根，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．m＜1 B．m≥1 C．m≤1 D．m＞1‎ ‎【分析】利用判别式的意义得到△＝（﹣2）2﹣4m＜0，然后解不等式即可．‎ ‎【解答】解：根据题意得△＝（﹣2）2﹣4m＜0，‎ 解得m＞1．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．‎ ‎9．（4分）一次函数y＝ax+b与反比列函数y＝的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的大致图象是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【分析】根据一次函数与反比例函数图象找出a、b、c的正负，再根据抛物线的对称轴为x＝﹣，找出二次函数对称轴在y轴右侧，比对四个选项的函数图象即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵一次函数y1＝ax+c图象过第一、二、四象限，‎ ‎∴a＜0，b＞0，‎ ‎∴﹣＞0，‎ ‎∴二次函数y3＝ax2+bx+c开口向下，二次函数y3＝ax2+bx+c对称轴在y轴右侧；‎ ‎∵反比例函数y2＝的图象在第一、三象限，‎ ‎∴c＞0，‎ ‎∴与y轴交点在x轴上方．‎ 满足上述条件的函数图象只有选项A．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了一次函数的图象、反比例函数的图象以及二次函数的图象，解题的关键是根据一次函数与反比例函数的图象找出a、b、c的正负．本题属于基础题，难度不大，熟悉函数图象与系数的关系是解题的关键．‎ ‎10．（4分）均匀的向一个容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度h与时间t的函数关系如图所示，则该容器是下列四个中的（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由函数图象可得容器形状不是均匀物体分析判断，由图象及容积可求解．‎ ‎【解答】解：相比较而言，前一个阶段，用时较少，高度增加较快，那么下面的物体应较细．由图可得上面圆柱的底面半径应大于下面圆柱的底面半径．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】此题主要考查了函数图象，解决本题的关键是根据用的时间长短来判断相应的函数图象．‎ ‎11．（4分）图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形面板翻折起来后，就能形成一个圆形桌面（可近似看作正方形的外接圆），正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比最接近（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】连接AC，根据正方形的性质得到∠B＝90°，根据圆周角定理得到AC为圆的直径，根据正方形面积公式、圆的面积公式计算即可．‎ ‎【解答】解：连接AC，‎ 设正方形的边长为a，‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴∠B＝90°，‎ ‎∴AC为圆的直径，‎ ‎∴AC＝AB＝a，‎ 则正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比为：＝≈，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查的是正多边形和圆，掌握圆周角定理、正方形的性质是解题的关键．‎ ‎12．（4分）如图，已知A、B两点的坐标分别为（8，0）、（0，8），点C、F分别是直线x＝﹣5和x轴上的动点，CF＝10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取得最小值时，tan∠BAD的值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】如图，设直线x＝﹣5交x轴于K．由题意KD＝CF＝5，推出点D的运动轨迹是以K为圆心，5为半径的圆，推出当直线AD与⊙K相切时，△ABE 的面积最小，作EH⊥AB于H．求出EH，AH即可解决问题．‎ ‎【解答】解：如图，设直线x＝﹣5交x轴于K．由题意KD＝CF＝5，‎ ‎∴点D的运动轨迹是以K为圆心，5为半径的圆，‎ ‎∴当直线AD与⊙K相切时，△ABE的面积最小，‎ ‎∵AD是切线，点D是切点，‎ ‎∴AD⊥KD，‎ ‎∵AK＝13，DK＝5，‎ ‎∴AD＝12，‎ ‎∵tan∠EAO＝＝，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴OE＝，‎ ‎∴AE＝＝，‎ 作EH⊥AB于H．‎ ‎∵S△ABE＝•AB•EH＝S△AOB﹣S△AOE，‎ ‎∴EH＝，‎ ‎∴AH＝＝，‎ ‎∴tan∠BAD＝＝＝，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查解直角三角形，坐标与图形的性质，直线与圆的位置关系，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．‎ 二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）‎ ‎13．（4分）如图，直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD，∠1＝120°，则∠2＝　60°　．‎ ‎【分析】直接利用平角的定义结合平行线的性质得出答案．‎ ‎【解答】解：∵∠1＝120°，‎ ‎∴∠3＝180°﹣120°＝60°，‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴∠2＝∠3＝60°．‎ 故答案为：60°．‎ ‎【点评】此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠2＝∠3是解题关键．‎ ‎14．（4分）在一次有12人参加的数学测试中，得100分、95分、90分、85分、75分的人数分别是1、3、4、2、2，那么这组数据的众数是　90　分．‎ ‎【分析】根据众数的定义求解可得．‎ ‎【解答】解：这组数据的众数是90分，‎ 故答案为：90．‎ ‎【点评】本题主要考查众数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．‎ ‎15．（4分）分解因式：2x2﹣2y2＝　2（x+y）（x﹣y）　．‎ ‎【分析】先提取公因式2，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．‎ ‎【解答】解：2x2﹣2y2＝2（x2﹣y2）＝2（x+y）（x﹣y）．‎ 故答案为：2（x+y）（x﹣y）．‎ ‎【点评】‎ 本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．‎ ‎16．（4分）某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了466元，其中篮球的单价比足球的单价多4元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，依题意，可列方程组为　　．‎ ‎【分析】根据题意可得等量关系：①4个篮球的花费+5个足球的花费＝466元，②篮球的单价﹣足球的单价＝4元，根据等量关系列出方程组即可．‎ ‎【解答】解：设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，由题意得：‎ ‎，‎ 故答案为：，‎ ‎【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．‎ ‎17．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，CD∥AB，∠ABC的平分线BD交AC于点E，DE＝　　．‎ ‎【分析】由CD∥AB，∠D＝∠ABE，∠D＝∠CBE，所以CD＝BC＝6，再证明△AEB∽△CED，根据相似比求出DE的长．‎ ‎【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，‎ ‎∴AC＝8，‎ ‎∵BD平分∠ABC，‎ ‎∴∠ABE＝∠CDE，‎ ‎∵CD∥AB，‎ ‎∴∠D＝∠ABE，‎ ‎∴∠D＝∠CBE，‎ ‎∴CD＝BC＝6，‎ ‎∴△AEB∽△CED，‎ ‎∴，‎ ‎∴CE＝AC＝×8＝3，‎ BE＝，‎ DE＝BE＝×＝，‎ 故答案为．‎ ‎【点评】本题考查了相似三角形，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及勾股定理是解题的关键．‎ ‎18．（4分）如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图所示，则cos（α+β）＝　　．‎ ‎【分析】给图中各点标上字母，连接DE，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出∠α＝30°，同理，可得出：∠CDE＝∠CED＝30°＝∠α，由∠AEC＝60°结合∠AED＝∠AEC+∠CED可得出∠AED＝90°，设等边三角形的边长为a，则AE＝2a，DE＝a，利用勾股定理可得出AD的长，再结合余弦的定义即可求出cos（α+β）的值．‎ ‎【解答】解：给图中各点标上字母，连接DE，如图所示．‎ 在△ABC中，∠ABC＝120°，BA＝BC，‎ ‎∴∠α＝30°．‎ 同理，可得出：∠CDE＝∠CED＝30°＝∠α．‎ 又∵∠AEC＝60°，‎ ‎∴∠AED＝∠AEC+∠CED＝90°．‎ 设等边三角形的边长为a，则AE＝2a，DE＝2×sin60°•a＝a，‎ ‎∴AD＝＝a，‎ ‎∴cos（α+β）＝＝．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了解直角三角形、等边三角形的性质以及规律型：图形的变化类，构造出含一个锐角等于∠α+∠β的直角三角形是解题的关键．‎ 三、解答題（共8个题，共78分）‎ ‎19．（8分）计算：|﹣3|﹣4sin45°++（π﹣3）0‎ ‎【分析】原式第一项利用绝对值的意义化简，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项化为最简二次根式，第四项利用零指数幂法则计算即可得到结果．‎ ‎【解答】解：原式＝3﹣4×+2+1＝3﹣2+2+1＝4．‎ ‎【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ ‎20．（8分）解方程：﹣＝1．‎ ‎【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．‎ ‎【解答】解：去分母得：x2﹣2x+2＝x2﹣x，‎ 解得：x＝2，‎ 检验：当x＝2时，方程左右两边相等，‎ 所以x＝2是原方程的解．‎ ‎【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．‎ ‎21．（8分）如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD、BC．‎ 求证：（1）＝；（2）AE＝CE．‎ ‎【分析】（1）由AB＝CD知＝，即+＝+，据此可得答案；‎ ‎（2）由＝知AD＝BC，结合∠ADE＝∠CBE，∠DAE＝∠BCE可证△ADE≌△‎ CBE，从而得出答案．‎ ‎【解答】证明（1）∵AB＝CD，‎ ‎∴＝，即+＝+，‎ ‎∴＝；‎ ‎（2）∵＝，‎ ‎∴AD＝BC，‎ 又∵∠ADE＝∠CBE，∠DAE＝∠BCE，‎ ‎∴△ADE≌△CBE（ASA），‎ ‎∴AE＝CE．‎ ‎【点评】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，圆心角、弧、弦三者的关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．‎ ‎22．（8分）某校举行了自贡市创建全国文明城市知识竞赛活动，初一年级全体同学参加了知识竞赛．‎ 收集教据：现随机抽取了初一年级30名同学的“创文知识竞赛”成绩，分数如下（单位：分）：‎ ‎90 85 68 92 81 84 95 93 87 89 78 99 89 85 97‎ ‎88 81 95 86 98 95 93 89 86 84 87 79 85 89 82‎ 整理分析数据：‎ 成绩x（单位：分）‎ 频数（人数）‎ ‎60≤x＜70‎ ‎1‎ ‎70≤x＜80‎ ‎　2　‎ ‎80≤x＜90‎ ‎17‎ ‎90≤x＜100‎ ‎　10　‎ ‎（1）请将图表中空缺的部分补充完整；‎ ‎（2）学校决定表彰“创文知识竞赛”成绩在90分及其以上的同学．根据上面统计结果估计该校初一年级360人中，约有多少人将获得表彰；‎ ‎（3）“创文知识竞赛”中，受到表彰的小红同学得到了印有龚扇、剪纸、彩灯、恐龙图案的四枚纪念章，她从中选取两枚送给弟弟，则小红送给弟弟的两枚纪念章中，恰好有恐龙图案的概率是　　．‎ ‎【分析】（1）由已知数据计数即可得；‎ ‎（2）用总人数乘以样本中对应部分人数所占比例即可得；‎ ‎（3）根据题意先画出树状图，得出共有12种等可能的结果数，再利用概率公式求解可得．‎ ‎【解答】解：（1）补全图表如下：‎ ‎（2）估计该校初一年级360人中，获得表彰的人数约为360×＝120（人）；‎ ‎（3）将印有龚扇、剪纸、彩灯、恐龙图案分别记为A、B、C、D，‎ 画树状图如下：‎ 则共有12种等可能的结果数，其中小红送给弟弟的两枚纪念章中，恰好有恐龙图案的结果数为6，‎ 所以小红送给弟弟的两枚纪念章中，恰好有恐龙图案的概率为，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率，也考查了条形统计图与样本估计总体．‎ ‎23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m≠0）的图象相交于第一、象限内的A（3，5），B（a，﹣3）两点，与x轴交于点C．‎ ‎（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；‎ ‎（2）在y轴上找一点P使PB﹣PC最大，求PB﹣PC的最大值及点P的坐标；‎ ‎（3）直接写出当y1＞y2时，x的取值范围．‎ ‎【分析】（1）利用待定系数法，即可得到反比例函数和一次函数的解析式；‎ ‎（2）根据一次函数y1＝x+2，求得与y轴的交点P，此交点即为所求；‎ ‎（3）根据AB两点的横坐标及直线与双曲线的位置关系求x的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）把A（3，5）代入y2＝（m≠0），可得m＝3×5＝15，‎ ‎∴反比例函数的解析式为y2＝；‎ 把点B（a，﹣3）代入，可得a＝﹣5，‎ ‎∴B（﹣5，﹣3）．‎ 把A（3，5），B（﹣5，﹣3）代入y1＝kx+b，可得，‎ 解得，‎ ‎∴一次函数的解析式为y1＝x+2；‎ ‎（2）一次函数的解析式为y1＝x+2，令x＝0，则y＝2，‎ ‎∴一次函数与y轴的交点为P（0，2），‎ 此时，PB﹣PC＝BC最大，P即为所求，‎ 令y＝0，则x＝﹣2，‎ ‎∴C（﹣2，0），‎ ‎∴BC＝＝3．‎ ‎（3）当y1＞y2时，﹣5＜x＜0或x＞3．‎ ‎【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，根据点的坐标求线段长，正确掌握反比例函数的性质是解题的关键．‎ ‎24．（10分）阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22017+22018的值，采用以下方法：‎ 设S＝1+2+22+…+22017+22018①‎ 则2S＝2+22+…+22018+22019②‎ ‎②﹣①得2S﹣S＝S＝22019﹣1‎ ‎∴S＝1+2+22+…+22017+22018＝22019﹣1‎ 请仿照小明的方法解决以下问题：‎ ‎（1）1+2+22+…+29＝　210﹣1　；‎ ‎（2）3+32+…+310＝　　；‎ ‎（3）求1+a+a2+…+an的和（a＞0，n是正整数，请写出计算过程）．‎ ‎【分析】（1）利用题中的方法设S＝1+2+22+…+29，两边乘以2得到2S＝2+22+…+29，然后把两式相减计算出S即可；‎ ‎（2）利用题中的方法设S＝1+3+32+33+34+…+310 ，两边乘以3得到3S＝3+32+33+34+35+…+311 ，然后把两式相减计算出S即可；‎ ‎（3）利用（2）的方法计算．‎ ‎【解答】解：（1）设S＝1+2+22+…+29①‎ 则2S＝2+22+…+210②‎ ‎②﹣①得2S﹣S＝S＝210﹣1‎ ‎∴S＝1+2+22+…+29＝210﹣1；‎ 故答案为：210﹣1‎ ‎（2）设S＝3+3+32+33+34+…+310 ①，‎ 则3S＝32+33+34+35+…+311 ②，‎ ‎②﹣①得2S＝311﹣3，‎ 所以S＝，‎ 即3+32+33+34+…+310＝；‎ 故答案为：；‎ ‎（3）设S＝1+a+a2+a3+a4+..+an①，‎ 则aS＝a+a2+a3+a4+..+an+an+1②，‎ ‎②﹣①得：（a﹣1）S＝an+1﹣1，‎ a＝1时，不能直接除以a﹣1，此时原式等于n+1；‎ a不等于1时，a﹣1才能做分母，所以S＝，‎ 即1+a+a2+a3+a4+..+an＝，‎ ‎【点评】本题考查了规律型：数字的变化类：认真观察、仔细思考，善用联想，利用类比的方法是解决这类问题的方法．‎ ‎25．（12分）（1）如图1，E是正方形ABCD边AB上的一点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转90°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G．‎ ‎①线段DB和DG的数量关系是　DB＝DG　；‎ ‎②写出线段BE，BF和DB之间的数量关系．‎ ‎（2）当四边形ABCD为菱形，∠ADC＝60°，点E是菱形ABCD边AB所在直线上的一点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G．‎ ‎①如图2，点E在线段AB上时，请探究线段BE、BF和BD之间的数量关系，写出结论并给出证明；‎ ‎②如图3，点E在线段AB的延长线上时，DE交射线BC于点M，若BE＝1，AB＝2，直接写出线段GM的长度．‎ ‎【分析】（1）①根据旋转的性质解答即可；‎ ‎②根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；‎ ‎（2）①根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；‎ ‎②作辅助线，计算BD和BF的长，根据平行线分线段成比例定理可得BM的长，根据线段的差可得结论．‎ ‎【解答】解：（1）①DB＝DG，理由是：‎ ‎∵∠DBE绕点B逆时针旋转90°，如图1，‎ 由旋转可知，∠BDE＝∠FDG，∠BDG＝90°，‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴∠CBD＝45°，‎ ‎∴∠G＝45°，‎ ‎∴∠G＝∠CBD＝45°，‎ ‎∴DB＝DG；‎ 故答案为：DB＝DG；‎ ‎②BF+BE＝BD，理由如下：‎ 由①知：∠FDG＝∠EDB，∠G＝∠DBE＝45°，BD＝DG，‎ ‎∴△FDG≌△EDB（ASA），‎ ‎∴BE＝FG，‎ ‎∴BF+FG＝BF+BE＝BC+CG，‎ Rt△DCG中，∵∠G＝∠CDG＝45°，‎ ‎∴CD＝CG＝CB，‎ ‎∵DG＝BD＝BC，‎ 即BF+BE＝2BC＝BD；‎ ‎（2）①如图2，BF+BE＝BD，‎ 理由如下：在菱形ABCD中，∠ADB＝∠CDB＝∠ADC＝×60°＝30°，‎ 由旋转120°得∠EDF＝∠BDG＝120°，∠EDB＝∠FDG，‎ 在△DBG中，∠G＝180°﹣120°﹣30°＝30°，‎ ‎∴∠DBG＝∠G＝30°，‎ ‎∴DB＝DG，‎ ‎∴△EDB≌△FDG（ASA），‎ ‎∴BE＝FG，‎ ‎∴BF+BE＝BF+FG＝BG，‎ 过点D作DM⊥BG于点M，如图2，‎ ‎∵BD＝DG，‎ ‎∴BG＝2BM，‎ 在Rt△BMD中，∠DBM＝30°，‎ ‎∴BD＝2DM．‎ 设DM＝a，则BD＝2a，‎ DM＝a，‎ ‎∴BG＝2a，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴BG＝BD，‎ ‎∴BF+BE＝BG＝BD；‎ ‎②过点A作AN⊥BD于N，过D作DP⊥BG于P，如图3，‎ Rt△ABN中，∠ABN＝30°，AB＝2，‎ ‎∴AN＝1，BN＝，‎ ‎∴BD＝2BN＝2，‎ ‎∵DC∥BE，‎ ‎∴＝，‎ ‎∵CM+BM＝2，‎ ‎∴BM＝，‎ Rt△BDP中，∠DBP＝30°，BD＝2，‎ ‎∴BP＝3，‎ 由旋转得：BD＝BF，‎ ‎∴BF＝2BP＝6，‎ ‎∴GM＝BG﹣BM＝6+1﹣＝．‎ ‎【点评】‎ 此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，正方形和菱形的性质，直角三角形30度的角性质等知识，本题证明△FDG≌△BDE是解本题的关键．‎ ‎26．（14分）如图，已知直线AB与抛物线C：y＝ax2+2x+c相交于点A（﹣1，0）和点B（2，3）两点．‎ ‎（1）求抛物线C函数表达式；‎ ‎（2）若点M是位于直线AB上方抛物线上的一动点，以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB，当平行四边形MANB的面积最大时，求此时平行四边形MANB的面积S及点M的坐标；‎ ‎（3）在抛物线C的对称轴上是否存在定点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y＝的距离？若存在，求出定点F的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）利用待定系数法，将A，B的坐标代入y＝ax2+2x+c即可求得二次函数的解析式；‎ ‎（2）过点M作MH⊥x轴于H，交直线AB于K，求出直线AB的解析式，设点M（a，﹣a2+2a+3），则K（a，a+1），利用函数思想求出MK的最大值，再求出△AMB面积的最大值，可推出此时平行四边形MANB的面积S及点M的坐标；‎ ‎（3）如图2，分别过点B，C作直线y＝的垂线，垂足为N，H，设抛物线对称轴上存在点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y＝的距离，其中F（1，a），连接BF，CF，则可根据BF＝BN，CF＝CN两组等量关系列出关于a的方程组，解方程组即可．‎ ‎【解答】解：（1）由题意把点（﹣1，0）、（2，3）代入y＝ax2+2x+c，‎ 得，，‎ 解得a＝﹣1，c＝3，‎ ‎∴此抛物线C函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3；‎ ‎（2）如图1，过点M作MH⊥x轴于H，交直线AB于K，‎ 将点（﹣1，0）、（2，3）代入y＝kx+b中，‎ 得，，‎ 解得，k＝1，b＝1，‎ ‎∴yAB＝x+1，‎ 设点M（a，﹣a2+2a+3），则K（a，a+1），‎ 则MK＝﹣a2+2a+3﹣（a+1）‎ ‎＝﹣（a﹣）2+，‎ 根据二次函数的性质可知，当a＝时，MK有最大长度，‎ ‎∴S△AMB最大＝S△AMK+S△BMK ‎＝MK•AH+MK•（xB﹣xH）‎ ‎＝MK•（xB﹣xA）‎ ‎＝××3‎ ‎＝，‎ ‎∴以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB，当平行四边形MANB的面积最大时，‎ S最大＝2S△AMB最大＝2×＝，M（，）；‎ ‎（3）y＝﹣x2+2x+3‎ ‎＝﹣（x﹣1）2+4，‎ ‎∴对称轴为直线x＝1，‎ 当y＝0时，x1＝﹣1，x2＝3，‎ ‎∴抛物线与点x轴正半轴交于点C（3，0），‎ 如图2，分别过点B，C作直线y＝的垂线，垂足为N，H，‎ 设抛物线对称轴上存在点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y＝‎ 的距离，其中F（1，a），连接BF，CF，‎ 则BF＝BN＝﹣3＝，CF＝CH＝，‎ 由题意可列：，‎ 解得，a＝，‎ ‎∴F（1，）．‎ ‎【点评】此题考查了待定系数法求解析式，还考查了用函数思想求极值等，解题关键是能够判断出当平行四边形MANB的面积最大时，△ABM的面积最大，且此时线段MK的长度也最大．‎ 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2019/6/25 17:52:52；用户：初中校园号；邮箱：wjwl@xyh.com；学号：24424282‎