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- 2021-11-12 发布
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2019年河南省中考数学模试卷(一)
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)
1.﹣3的绝对值是( )
A.﹣3 B.3 C. D.
2.中国的陆地面积和领水面积共约9970000km2,9970000这个数用科学记数法可表示为( )
A.9.97×105 B.99.7×105 C.9.97×106 D.0.997×107
3.如图是由棱长为1的正方体搭成的某几何体三视图,则图中棱长为1的正方体的个数是( )
A.9 B.8 C.7 D.6
4.一次函数y=﹣3x+b和y=kx+1的图象如图所示,其交点为P(3,4),则不等式kx+1≥﹣3x+b的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B. C. D.
5.某射击队要从甲、乙、丙、丁四人中选拔一名选手参赛,在选拔赛中,每人射击10次,然后从他们的成绩平均数(环)及方差两个因素进行分析,甲、乙、丙的成绩分析如表所示,丁的成绩如图所示.
甲
乙
丙
平均数
7.9
7.9
8.0
方差
3.29
0.49
1.8
根据以上图表信息,参赛选手应选( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
6.如图,四边形ABCD内接于⊙O,F是上一点,且=,连接CF并延长交AD的延长线于点E,连接AC,若∠ABC=105°,∠BAC=25°,则∠E的度数为( )
A.45° B.50° C.55° D.60°
7.如图,菱形OABC的一边OA在x轴上,将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置,若OB=,∠C=120°,则点B′的坐标为( )
A.(3,) B.(3,) C.(,) D.(,)
8.如图,在▱ABCD中,AC与BD相交于点O,E为OD的中点,连接AE并延长交DC于点F,则S△DEF:S△AOB的值为( )
A.1:3 B.1:5 C.1:6 D.1:11
9.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2经过平移得到抛物线y=ax2+bx,其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为,则a、b的值分别为( )
A., B.,﹣ C.,﹣ D.﹣,
10.在平面直角坐标系中,正方形A1B1C1D1、D1 E1E2B2、A2B2 C2D2、D2E3E4B3…按如图所示的方式放置,其中点B1在y轴上,点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x轴上,已知正方形A1B1C1D1的边长为l,∠B1C1O=60°,B1C1∥B2C2∥B3C3…,则正方形A2017B2017C2017 D2017的边长是( )
A.()2016 B.()2017 C.()2016 D.()2017
二、填空题(本小题共5小题,每小题3分,共15分)
11.计算: +(π﹣2)0+(﹣1)2017= .
12.已知关于x的一元二次方程ax2﹣(a+2)x+2=0有两个不相等的正整数根时,整数a的值是 .
13.如图,已知第一象限内的点A在反比例函数y=上,第二象限的点B在反比例函数y=上,且OA⊥OB,tanA=,则k的值为 .
14.如图,扇形OAB中,∠AOB=60°,扇形半径为4,点C在上,CD⊥OA,垂足为点D,当△OCD的面积最大时,图中阴影部分的面积为 .
15.如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=3,点E为射线BC上一动点,将△ABE沿AE折叠,得到△AB′E.若B′恰好落在射线CD上,则BE的长为 .
三、解答题(本题共8小题,共75分.)
16.先化简,再求值:÷,其中m是方程x2+2x﹣3=0的根.
17.在信息快速发展的社会,“信息消费”已成为人们生活的重要组成部分.某高校组织课外小组在郑州市的一个社区随机抽取部分家庭,调查每月用于信息消费的金额,根据数据整理成如图所示的不完整统计表和统计图.已知A,B两组户数频数直方图的高度比为1:5.
月信息消费额分组统计表
组别
消费额(元)
A
10≤x<100
B
100≤x<200
C
20≤x<300
D
300≤x<400
E
x≥400
请结合图表中相关数据解答下列问题:
(1)这次接受调查的有 户;
(2)在扇形统计图中,“E”所对应的圆心角的度数是 ;
(3)请你补全频数直方图;
(4)若该社区有2000户住户,请估计月信息消费额不少于200元的户数是多少?
18.如图,AB是半圆O的直径,点P是半圆上不与点A、B重合的一个动点,延长BP到点C,使PC=PB,D是AC的中点,连接PD、PO.
(1)求证:△CDP≌△POB;
(2)填空:
①若AB=4,则四边形AOPD的最大面积为 ;
②连接OD,当∠PBA的度数为 时,四边形BPDO是菱形.
19.如图,在大楼AB的正前方有一斜坡CD,CD=4米,坡角∠DCE=30°,小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°,在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°,其中点A、C、E在同一直线上.
(1)求斜坡CD的高度DE;
(2)求大楼AB的高度(结果保留根号)
20.同庆中学为丰富学生的校园生活,准备从军跃体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球(每个足球的价格相同,每个篮球的价格相同),若购买3个足球和2个篮球共需310元,购买2个足球和5个篮球共需500元.
(1)购买一个足球、一个篮球各需多少元?
(2)根据同庆中学的实际情况,需从军跃体育用品商店一次性购买足球和篮球共96个,要求购买足球和篮球的总费用不超过5720元,这所中学最多可以购买多少个篮球?
21.根据下列要求,解答相关问题:
(1)请补全以下求不等式﹣2x2﹣4x≥0的解集的过程
①构造函数,画出图象:
根据不等式特征构造二次函数y=﹣2x2﹣4x;抛物线的对称轴x=﹣1,开口向下,顶点(﹣1,2)与x轴的交点是(0,0),(﹣2,0),用三点法画出二次函数y=﹣2x2﹣4x的图象如图1所示;
②数形结合,求得界点:
当y=0时,求得方程﹣2x2﹣4x=0的解为 ;
③借助图象,写出解集:
由图象可得不等式﹣2x2﹣4x≥0的解集为 .
(2)利用(1)中求不等式解集的方法步骤,求不等式x2﹣2x+1<4的解集.
①构造函数,画出图象;
②数形结合,求得界点;
③借助图象,写出解集.
(3)参照以上两个求不等式解集的过程,借助一元二次方程的求根公式,直接写出关于x的不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集.
22.(1)问题发现:
(1)如图1,在正方形ABCD中,点E、F分别是边BC、AB上的点,且CE=BF,连接DE,过点E作EG⊥DE,使EG=DE,连接FG,FC,请判断:FG与CE的数量关系是 ,位置关系是 .
(2)拓展探究:
如图2,若点E、F分别是CB、BA延长线上的点,其它条件不变,(1)中结论是否仍然成立?请出判断判断予以证明;
(3)类比延伸:
如图3,若点E、F分别是BC、AB延长线上的点,其它条件不变,(1)中结论是否仍然成立?请直接写出你的判断.
23.如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点为A、D(A在D的右侧),与y轴的交点为C,且A(4,0),C(0,﹣3),对称轴是直线x=1.
(1)求二次函数的解析式;
(2)若M是第四象限抛物线上一动点,且横坐标为m,设四边形OCMA的面积为s.请写出s与m之间的函数关系式,并求出当m为何值时,四边形OCMA的面积最大;
(3)设点B是x轴上的点,P是抛物线上的点,是否存在点P,使得以A,B、C,P四点为顶点的四边形为平行四边形?若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)
1.﹣3的绝对值是( )
A.﹣3 B.3 C. D.
【考点】15:绝对值.
【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解.第一步列出绝对值的表达式;第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号.
【解答】解:|﹣3|=3.
故﹣3的绝对值是3.
故选:B.
2.中国的陆地面积和领水面积共约9970000km2,9970000这个数用科学记数法可表示为( )
A.9.97×105 B.99.7×105 C.9.97×106 D.0.997×107
【考点】科学计数法.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
【解答】解:9970000=9.97×106,
故选:C.
【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
3.如图是由棱长为1的正方体搭成的某几何体三视图,则图中棱长为1的正方体的个数是( )
A.9 B.8 C.7 D.6
【考点】U3:由三视图判断几何体.
【分析】易得这个几何体共有2层,由俯视图可得第一层正方体的个数,由主视图和左视图可得第二层正方体的个数,相加即可.
【解答】解:由俯视图易得最底层有6个正方体,第二层有2个正方体,那么共有6+2=8个正方体组成,
故选B.
4.一次函数y=﹣3x+b和y=kx+1的图象如图所示,其交点为P(3,4),则不等式kx+1≥﹣3x+b的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B. C. D.
【考点】FD:一次函数与一元一次不等式;C4:在数轴上表示不等式的解集.[来源:学.科.网Z.X.X.K]
【分析】
观察图象,直线y=kx+1落在直线y=﹣3x+b上方的部分对应的x的取值范围即为所求.
【解答】解:∵一次函数y=﹣3x+b和y=kx+1的图象交点为P(3,4),
∴当x≥3时,kx+1≥﹣3x+b,
∴不等式kx+1≥﹣3x+b的解集为x≥3,
在数轴上表示为:
故选B.
5.某射击队要从甲、乙、丙、丁四人中选拔一名选手参赛,在选拔赛中,每人射击10次,然后从他们的成绩平均数(环)及方差两个因素进行分析,甲、乙、丙的成绩分析如表所示,丁的成绩如图所示.
甲
乙
丙
平均数
7.9
7.9
8.0
方差
3.29
0.49
1.8
根据以上图表信息,参赛选手应选( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
【考点】W7:方差;W1:算术平均数.
【分析】根据方差的计算公式求出丁的成绩的方差,根据方差的性质解答即可.
【解答】解:由图可知丁射击10次的成绩为:8、8、9、7、8、8、9、7、8、8,
则丁的成绩的平均数为:×(8+8+9+7+8+8+9+7+8+8)=8,
丁的成绩的方差为:×[(8﹣8)2+(8﹣8)2+(8﹣9)2+(8﹣7)2+(8﹣8)2+(8﹣8)2+(8﹣9)2+(8﹣7)2+(8﹣8)2+(8﹣8)2]=0.4,
∵丁的成绩的方差最小,
∴丁的成绩最稳定,
∴参赛选手应选丁,
故选:D.
6.如图,四边形ABCD内接于⊙O,F是上一点,且=,连接CF并延长交AD的延长线于点E,连接AC,若∠ABC=105°,∠BAC=25°,则∠E的度数为( )
A.45° B.50° C.55° D.60°
【考点】M6:圆内接四边形的性质;M4:圆心角、弧、弦的关系.[来源:学科网ZXXK]
【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数,再由圆周角定理得出∠DCE的度数,根据三角形外角的性质即可得出结论.
【解答】解:∵四边形ABCD内接于⊙O,∠ABC=105°,
∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣105°=75°.
∵=,∠BAC=25°,
∴∠DCE=∠BAC=25°,
∴∠E=∠ADC﹣∠DCE=75°﹣25°=50°.
故选B.
7.如图,菱形OABC的一边OA在x轴上,将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置,若OB=,∠C=120°,则点B′的坐标为( )
A.(3,) B.(3,) C.(,) D.(,)
【考点】R7:坐标与图形变化﹣旋转;L8:菱形的性质.
【分析】首先根据菱形的性质,即可求得∠AOB的度数,又由将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置,可求得∠B′OA的度数,然后在Rt△B′OF中,利用三角函数即可求得OF与B′F的长,则可得点B′的坐标.
【解答】解:过点B作BE⊥OA于E,过点B′作B′F⊥OA于F,
∴∠BE0=∠B′FO=90°,
∵四边形OABC是菱形,
∴OA∥BC,∠AOB=∠AOC,
∴∠AOC+∠C=180°,
∵∠C=120°,
∴∠AOC=60°,
∴∠AOB=30°,
∵菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置,
∴∠BOB′=75°,OB′=OB=2,
∴∠B′OF=45°,
在Rt△B′OF中,
OF=OB′•cos45°=2×=,
∴B′F=,
∴点B′的坐标为:(,﹣).
故选D.
8.如图,在▱ABCD中,AC与BD相交于点O,E为OD的中点,连接AE并延长交DC于点F,则S△DEF:S△AOB的值为( )
A.1:3 B.1:5 C.1:6 D.1:11
【考点】S9:相似三角形的判定与性质;L5:平行四边形的性质.
【分析】
根据平行四边形的性质可知BO=DO,又因为E为OD的中点,所以DE:BE=1:3,根据相似三角形的性质可求出S△DEF:S△BAE.然后根据=,即可得到结论.
【解答】解:∵O为平行四边形ABCD对角线的交点,
∴DO=BO,
又∵E为OD的中点,
∴DE=DB,
∴DE:EB=1:3,
又∵AB∥DC,
∴△DFE∽△BAE,
∴=()2=,
∴S△DEF=S△BAE,
∵=,
∴S△AOB=S△BAE,
∴S△DEF:S△AOB==1:6,
故选C.
9.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2经过平移得到抛物线y=ax2+bx,其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为,则a、b的值分别为( )
A., B.,﹣ C.,﹣ D.﹣,
【考点】H6:二次函数图象与几何变换.
【分析】确定出抛物线y=ax2+bx的顶点坐标,然后求出抛物线的对称轴与原抛物线的交点坐标,从而判断出阴影部分的面积等于三角形的面积,再根据三角形的面积公式列式计算即可得解.
【解答】解:如图,
∵y=ax2+bx=x2+bx=(x+)2﹣,
∴平移后抛物线的顶点坐标为(﹣,﹣),对称轴为直线x=﹣,
当x=﹣时,y=,
∴平移后阴影部分的面积等于如图三角形的面积,
×(+)×(﹣)=.
解得b=﹣,
故选:C.
10.在平面直角坐标系中,正方形A1B1C1D1、D1 E1E2B2、A2B2 C2D2、D2E3E4B3…按如图所示的方式放置,其中点B1在y轴上,点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x轴上,已知正方形A1B1C1D1的边长为l,∠B1C1O=60°,B1C1∥B2C2∥B3C3…,则正方形A2017B2017C2017 D2017的边长是( )
A.()2016 B.()2017 C.()2016 D.()2017
【考点】D2:规律型:点的坐标.
【分析】利用正方形的性质结合锐角三角函数关系得出正方形的边长,进而得出变化规律即可得出答案.
【解答】解:∵正方形A1B1C1D1的边长为1,∠B1C1O=60°,B1C1∥B2C2∥B3C3,
∴D1E1=B2E2,D2E3=B3E4,∠D1C1E1=∠C2B2E2=∠C3B3E4=30°,
∴D1E1=C1D1sin30°=,
则B2C2===()1,
同理可得:B3C3==()2,
故正方形AnBnCnDn的边长是:()n﹣1,
则正方形A2017B2017C2017D2017的边长为:()2016,
故选:C.
二、填空题(本小题共5小题,每小题3分,共15分)
11.计算: +(π﹣2)0+(﹣1)2017= ﹣2 .
【考点】2C:实数的运算;6E:零指数幂.
【分析】直接利用零指数幂的性质以及立方根的定义分别化简进而求出答案.
【解答】原式=﹣2+1﹣1
=﹣2.
故答案为:﹣2.
12.已知关于x的一元二次方程ax2﹣(a+2)x+2=0有两个不相等的正整数根时,整数a的值是 a=1 .
【考点】AA:根的判别式.
【分析】由一元二次方程的定义可得出a≠0,再利用根的判别式△=b2﹣4ac,套入数据即可得出△=(a﹣2)2≥0,可得出a≠2且a≠0,设方程的两个根分别为x1、x2,利用根与系数的关系可得出x1•x2=,再根据x1、x2均为正整数,a为整数,即可得出结论.
【解答】解:∵方程ax2﹣(a+2)x+2=0是关于x的一元二次方程,
∴a≠0.
∵△=(a+2)2﹣4a×2=(a﹣2)2≥0,
∴当a=2时,方程有两个相等的实数根,
当a≠2且a≠0时,方程有两个不相等的实数根.
∵方程有两个不相等的正整数根,
∴a≠2且a≠0.
设方程的两个根分别为x1、x2,
∴x1•x2=,
∵x1、x2均为正整数,
∴为正整数,
∵a为整数,a≠2且a≠0,
∴a=1,
故答案为:a=1.
13.如图,已知第一象限内的点A在反比例函数y=上,第二象限的点B在反比例函数y=上,且OA⊥OB,tanA=,则k的值为 ﹣ .
【考点】G6:反比例函数图象上点的坐标特征.
【分析】作AC⊥x轴于点C,作BD⊥x轴于点D,易证△OBD∽△AOC,则面积的比等于相似比的平方,即tanA的平方,然后根据反比例函数中比例系数k的几何意义即可求解.
【解答】解:作AC⊥x轴于点C,作BD⊥x轴于点D.
则∠BDO=∠ACO=90°,
则∠BOD+∠OBD=90°,
∵OA⊥OB,
∴∠BOD+∠AOC=90°,
∴∠BOD=∠AOC,
∴△OBD∽△AOC,
∴=()2=(tanA)2=,
又∵S△AOC=×2=1,
∴S△OBD=,
∴k=﹣.
故答案为:﹣.
14.如图,扇形OAB中,∠AOB=60°,扇形半径为4,点C在上,CD⊥OA,垂足为点D,当△OCD的面积最大时,图中阴影部分的面积为 2π﹣4 .
【考点】MO:扇形面积的计算;H7:二次函数的最值;KQ:勾股定理.
【分析】由OC=4,点C在上,CD⊥OA,求得DC==,运用S△OCD=OD•,求得OD=2时△OCD的面积最大,运用阴影部分的面积=扇形AOC的面积﹣△OCD的面积求解.
【解答】解:∵OC=4,点C在上,CD⊥OA,
∴DC==
∴S△OCD=OD•
∴=OD2•(16﹣OD2)=﹣OD4+4OD2=﹣(OD2﹣8)2+16
∴当OD2=8,即OD=2时△OCD的面积最大,
∴DC===2,
∴∠COA=45°,
∴阴影部分的面积=扇形AOC的面积﹣△OCD的面积=﹣×2×2=2π﹣4,
故答案为:2π﹣4.
15.如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=3,点E为射线BC上一动点,将△ABE沿AE折叠,得到△AB′E.若B′恰好落在射线CD上,则BE的长为 或15 .
【考点】PB:翻折变换(折叠问题);LB:矩形的性质.
【分析】如图1,根据折叠的性质得到AB′=AB=5,B′E=BE,根据勾股定理得到BE2=(3﹣BE)2+12,
于是得到BE=,如图2,根据折叠的性质得到AB′=AB=5,求得AB=BF=5,根据勾股定理得到CF=4根据相似三角形的性质列方程得到CE=12,即可得到结论.
【解答】解:如图1,∵将△ABE沿AE折叠,得到△AB′E,
∴AB′=AB=5,B′E=BE,∴CE=3﹣BE,∵AD=3,∴DB′=4,∴B′C=1,∵B′E2=CE2+B′C2,
∴BE2=(3﹣BE)2+12,
∴BE=,
如图2,∵将△ABE沿AE折叠,得到△AB′E,
∴AB′=AB=5,
∵CD∥AB,
∴∠1=∠3,
∵∠1=∠2,
∴∠2=∠3,
∵AE垂直平分BB′,
∴AB=BF=5,
∴CF=4,
∵CF∥AB,
∴△CEF∽△ABE,
∴,
即=,
∴CE=12,∴BE=15,
综上所述:BE的长为:或15,
故答案为:或15.
三、解答题(本题共8小题,共75分.)
16.先化简,再求值:÷,其中m是方程x2+2x﹣3=0的根.
【考点】6D:分式的化简求值;A8:解一元二次方程﹣因式分解法.
【分析】首先根据运算顺序和分式的化简方法,化简÷
,然后应用因数分解法解一元二次方程,求出m的值是多少;最后把求出的m的值代入化简后的算式,求出算式÷的值是多少即可.
【解答】解:÷
=
=
∵x2+2x﹣3=0,
∴(x+3)(x﹣1)=0,
解得x1=﹣3,x2=1,
∵m是方程x2+2x﹣3=0的根,
∴m1=﹣3,m2=1,
∵m+3≠0,
∴m≠﹣3,
∴m=1,
所以原式=
=
=
17.在信息快速发展的社会,“信息消费”已成为人们生活的重要组成部分.某高校组织课外小组在郑州市的一个社区随机抽取部分家庭,调查每月用于信息消费的金额,根据数据整理成如图所示的不完整统计表和统计图.已知A,B两组户数频数直方图的高度比为1:5.
月信息消费额分组统计表
组别
消费额(元)
A
10≤x<100
B
100≤x<200
C
20≤x<300
D
300≤x<400
E
x≥400
请结合图表中相关数据解答下列问题:
(1)这次接受调查的有 50 户;
(2)在扇形统计图中,“E”所对应的圆心角的度数是 28.8° ;
(3)请你补全频数直方图;[来源:学+科+网]
(4)若该社区有2000户住户,请估计月信息消费额不少于200元的户数是多少?
【考点】VB:扇形统计图;V5:用样本估计总体;V7:频数(率)分布表;V8:频数(率)分布直方图.
【分析】(1)根据A、B两组户数直方图的高度比为1:5,即两组的频数的比是1:5,据此即可求得A组的频数;利用A和B两组的频数的和除以两组所占的百分比即可求得总数;
(2)用“E”组百分比乘以360°可得;
(3)利用总数乘以百分比即可求得C组的频数,从而补全统计图;
(4)利用总数2000乘以C、D、E的百分比即可.
【解答】解:(1)A组的频数是:10×=2;
∴这次接受调查的有(2+10)÷(1﹣8%﹣28%﹣40%)=50(户),
故答案为:50;
(2)“E”所对应的圆心角的度数是360°×8%=28.8°,
故答案为:28.8°;
(3)C组的频数是:50×40%=20,如图,
(4)2000×(28%+8%+40%)=1520(户),
答:估计月信息消费额不少于200元的约有1520户.
18.如图,AB是半圆O的直径,点P是半圆上不与点A、B重合的一个动点,延长BP到点C,使PC=PB,D是AC的中点,连接PD、PO.
(1)求证:△CDP≌△POB;
(2)填空:
①若AB=4,则四边形AOPD的最大面积为 4 ;
②连接OD,当∠PBA的度数为 60° 时,四边形BPDO是菱形.
【考点】L9:菱形的判定;KD:全等三角形的判定与性质.
【分析】(1)根据中位线的性质得到DP∥AB,DP=AB,由SAS可证△CDP≌△POB;
(2)①当四边形AOPD的AO边上的高等于半径时有最大面积,依此即可求解;
②根据有一组对应边平行且相等的四边形是平行四边形,可得四边形BPDO是平行四边形,再根据邻边相等的平行四边形是菱形,以及等边三角形的判定和性质即可求解.
【解答】(1)证明:∵PC=PB,D是AC的中点,
∴DP∥AB,
∴DP=AB,∠CPD=∠PBO,
∵BO=AB,
∴DP=BO,
在△CDP与△POB中,
∴△CDP≌△POB(SAS);
(2)解:①当四边形AOPD的AO边上的高等于半径时有最大面积,
(4÷2)×(4÷2)
=2×2
=4;
②如图:
∵DP∥AB,DP=BO,
∴四边形BPDO是平行四边形,
∵四边形BPDO是菱形,
∴PB=BO,
∵PO=BO,
∴PB=BO=PO,
∴△PBO是等边三角形,
∴∠PBA的度数为60°.
故答案为:4;60°.
19.如图,在大楼AB的正前方有一斜坡CD,CD=4米,坡角∠DCE=30°,小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°,在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°,其中点A、C、E在同一直线上.
(1)求斜坡CD的高度DE;
(2)求大楼AB的高度(结果保留根号)
【考点】TA:解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题;T9:解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题.
【分析】(1)在直角三角形DCE中,利用锐角三角函数定义求出DE的长即可;
(2)过D作DF垂直于AB,交AB于点F,可得出三角形BDF为等腰直角三角形,设BF=DF=x,表示出BC,BD,DC,由题意得到三角形BCD为直角三角形,利用勾股定理列出关于x的方程,求出方程的解得到x的值,即可确定出AB的长.
【解答】解:(1)在Rt△DCE中,DC=4米,∠DCE=30°,∠DEC=90°,
∴DE=DC=2米;
(2)过D作DF⊥AB,交AB于点F,
∵∠BFD=90°,∠BDF=45°,
∴∠BFD=45°,即△BFD为等腰直角三角形,
设BF=DF=x米,
∵四边形DEAF为矩形,
∴AF=DE=2米,即AB=(x+2)米,
在Rt△ABC中,∠ABC=30°,
∴BC====米,
BD=BF=x米,DC=4米,
∵∠DCE=30°,∠ACB=60°,
∴∠DCB=90°,
在Rt△BCD中,根据勾股定理得:2x2=+16,
解得:x=4+4,
则AB=(6+4)米.
20.同庆中学为丰富学生的校园生活,准备从军跃体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球(每个足球的价格相同,每个篮球的价格相同),若购买3个足球和2个篮球共需310元,购买2个足球和5个篮球共需500元.
(1)购买一个足球、一个篮球各需多少元?
(2)根据同庆中学的实际情况,需从军跃体育用品商店一次性购买足球和篮球共96个,要求购买足球和篮球的总费用不超过5720元,这所中学最多可以购买多少个篮球?
【考点】C9:一元一次不等式的应用;9A:二元一次方程组的应用.
【分析】(1)根据费用可得等量关系为:购买3个足球和2个篮球共需310元;购买2个足球和5个篮球共需500元,把相关数值代入可得一个足球、一个篮球的单价;
(2)不等关系为:购买足球和篮球的总费用不超过5720元,列式求得解集后得到相应整数解,从而求解.
【解答】(1)解:设购买一个足球需要x元,购买一个篮球需要y元,
根据题意得,
解得,
∴购买一个足球需要50元,购买一个篮球需要80元.
(2)方法一:
解:设购买a个篮球,则购买(96﹣a)个足球.
80a+50(96﹣a)≤5720,
a≤30.
∵a为正整数,
∴a最多可以购买30个篮球.
∴这所学校最多可以购买30个篮球.
方法二:
解:设购买n个足球,则购买(96﹣n)个篮球.
50n+80(96﹣n)≤5720,
n≥65
∵n为整数,
∴n最少是66
96﹣66=30个.
∴这所学校最多可以购买30个篮球.
21.根据下列要求,解答相关问题:
(1)请补全以下求不等式﹣2x2﹣4x≥0的解集的过程
①构造函数,画出图象:
根据不等式特征构造二次函数y=﹣2x2﹣4x;抛物线的对称轴x=﹣1,开口向下,顶点(﹣1,2)与x轴的交点是(0,0),(﹣2,0),用三点法画出二次函数y=﹣2x2﹣4x的图象如图1所示;
②数形结合,求得界点:
当y=0时,求得方程﹣2x2﹣4x=0的解为 x1=0,x2=﹣2 ;
③借助图象,写出解集:
由图象可得不等式﹣2x2﹣4x≥0的解集为 ﹣2≤x≤0 .
(2)利用(1)中求不等式解集的方法步骤,求不等式x2﹣2x+1<4的解集.
①构造函数,画出图象;
②数形结合,求得界点;
③借助图象,写出解集.
(3)参照以上两个求不等式解集的过程,借助一元二次方程的求根公式,直接写出关于x的不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集.
【考点】HC:二次函数与不等式(组);H2:二次函数的图象;H3:二次函数的性质.
【分析】(1)直接解方程进而利用函数图象得出不等式﹣2x2﹣4x≥0的解集;
(2)首先画出y=x2﹣2x+1的函数图象,再利用当y=4时,方程x2﹣2x+1=4的解,得出不等式x2﹣2x+1<4的解集;
(3)利用ax2+bx+c=0的解集,利用函数图象分析得出答案.
【解答】解:(1)②方程﹣2x2﹣4x=0的解为:x1=0,x2=﹣2;
③不等式﹣2x2﹣4x≥0的解集为:﹣2≤x≤0;
(2)①构造函数,画出图象,如图2,:
构造函数y=x2﹣2x+1,抛物线的对称轴x=1,
且开口向上,顶点坐标(1,0),
关于对称轴x=1对称的一对点(0,1),(2,1),
用三点法画出图象如图2所示:
;
②数形结合,求得界点:
当y=4时,方程x2﹣2x+1=4的解为:x1=﹣1,x2=3;
③借助图象,写出解集:
由图2知,不等式x2﹣2x+1<4的解集是:﹣1<x<3;
(3)解:①当b2﹣4ac>0时,关于x的不等式ax2+bx+c>0(a>0)
的解集是x>或x<.
当b2﹣4ac=0时,关于x的不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集是:x≠﹣;
当b2﹣4ac<0时,关于x的不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集是全体实数.
22.(1)问题发现:
(1)如图1,在正方形ABCD中,点E、F分别是边BC、AB上的点,且CE=BF,连接DE,过点E作EG⊥DE,使EG=DE,连接FG,FC,请判断:FG与CE的数量关系是 FG=CE ,位置关系是 FG∥CE .
(2)拓展探究:
如图2,若点E、F分别是CB、BA延长线上的点,其它条件不变,(1)中结论是否仍然成立?请出判断判断予以证明;
(3)类比延伸:
如图3,若点E、F分别是BC、AB延长线上的点,其它条件不变,(1)中结论是否仍然成立?请直接写出你的判断.
【考点】LO:四边形综合题.
【分析】(1)构造辅助线后证明△HGE≌△CED,利用对应边相等求证四边形GHBF是矩形后,利用等量代换即可求出FG=CE,FG∥CE;
(2)构造辅助线后证明△HGE≌△CED,利用对应边相等求证四边形GHBF是矩形后,利用等量代换即可求出FG=CE,FG∥CE;
(3)证明△CBF≌△DCE,即可证明四边形CEGF是平行四边形,即可得出结论.
【解答】解:(1)FG=CE,FG∥CE;理由如下:
过点G作GH⊥CB的延长线于点H,如图1所示:
则GH∥BF,∠GHE=90°,
∵EG⊥DE,
∴∠GEH+∠DEC=90°,
∵∠GEH+∠HGE=90°,
∴∠DEC=∠HGE,
在△HGE与△CED中,,
∴△HGE≌△CED(AAS),
∴GH=CE,HE=CD,
∵CE=BF,
∴GH=BF,
∵GH∥BF,
∴四边形GHBF是矩形,
∴GF=BH,FG∥CH
∴FG∥CE,
∵四边形ABCD是正方形,
∴CD=BC,
∴HE=BC,
∴HE+EB=BC+EB,
∴BH=EC,
∴FG=EC;
故答案为:FG=CE,FG∥CE;
(2)FG=CE,FG∥CE仍然成立;理由如下:
过点G作GH⊥CB的延长线于点H,如图2所示:
∵EG⊥DE,
∴∠GEH+∠DEC=90°,
∵∠GEH+∠HGE=90°,
∴∠DEC=∠HGE,
在△HGE与△CED中,,
∴△HGE≌△CED(AAS),
∴GH=CE,HE=CD,
∵CE=BF,∴GH=BF,
∵GH∥BF,
∴四边形GHBF是矩形,
∴GF=BH,FG∥CH[来源:学§科§网Z§X§X§K]
∴FG∥CE,
∵四边形ABCD是正方形,
∴CD=BC,
∴HE=BC,
∴HE+EB=BC+EB,
∴BH=EC,
∴FG=EC;
(3)FG=CE,FG∥CE仍然成立.理由如下:
∵四边形ABCD是正方形,
∴BC=CD,∠FBC=∠ECD=90°,
在△CBF与△DCE中,,
∴△CBF≌△DCE(SAS),
∴∠BCF=∠CDE,CF=DE,
∵EG=DE,∴CF=EG,
∵DE⊥EG
∴∠DEC+∠CEG=90°
∵∠CDE+∠DEC=90°
∴∠CDE=∠CEG,
∴∠BCF=∠CEG,
∴CF∥EG,
∴四边形CEGF平行四边形,
∴FG∥CE,FG=CE.
23.如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点为A、D(A在D的右侧),与y轴的交点为C,且A(4,0),C(0,﹣3),对称轴是直线x=1.
(1)求二次函数的解析式;
(2)若M是第四象限抛物线上一动点,且横坐标为m,设四边形OCMA的面积为s.请写出s与m之间的函数关系式,并求出当m为何值时,四边形OCMA的面积最大;
(3)设点B是x轴上的点,P是抛物线上的点,是否存在点P,使得以A,B、C,P四点为顶点的四边形为平行四边形?若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【考点】HF:二次函数综合题.[来源:Zxxk.Com]
【分析】(1)利用抛物线的对称性可得到点D的总表,然后将A、C、D的坐标代入抛物线的解析式可求得a、b、c的值,从而可得到二次函数的解析式;
(2)设M(m, x2﹣x﹣3),|yM|=﹣m2+m+3,由S=S△ACM+S△OAM可得到S与m的函数关系式,然后利用配方法可求得S的最大值;
(3)当AB为平行四边形的边时,则AB∥PC,则点P的纵坐标为﹣3,将y=﹣3代入抛物线的解析式可求得点P的横坐标;当AB为对角线时,AB与CP互相平分,则点P的纵坐标为3,把y=3代入抛物线的解析式可求得点P的横坐标.
【解答】解:(1)∵A(4,0),对称轴是直线x=l,
∴D(﹣2,0).
又∵C(0,﹣3)
∴
解得.a=,b=﹣,c=﹣3,
∴二次函数解析式为:y=x2﹣x﹣3.
(2)如图1所示:
设M(m, x2﹣x﹣3),|yM|=﹣m2+m+3,
∵S=S△ACM+S△OAM
∴S=×OC×m+×OA×|yM|=×3×m+×4×(﹣m2+m+3)=﹣m2+3m+6=﹣
(m﹣2)2+9,
当m=2时,s最大是9.
(3)当AB为平行四边形的边时,则AB∥PC,
∴PC∥x轴.
∴点P的纵坐标为﹣3.
将y=﹣3代入得: x2﹣x﹣3=﹣3,解得:x=0或x=2.
∴点P的坐标为(2,﹣3).
当AB为对角线时.
∵ABCP为平行四边形,
∴AB与CP互相平分,
∴点P的纵坐标为3.
把y=3代入得: x2﹣x﹣3=3,整理得:x2﹣2x﹣16=0,解得:x=1+或x=1﹣.
综上所述,存在点P(2,﹣3)或P(1+,3)或P(1﹣,3)使得以A,B、C,P四点为顶点的四边形为平行四边形.
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