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- 2021-11-12 发布
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21.1 一元二次方程
01 基础题
知识点1 一元二次方程的定义及一般形式
1.(山西农业大学附中月考)下列方程中是一元二次方程的是(A)
A.3(x+1)2=2(x-1) B.+-2=0
C.ax2+bx+c=0 D.x2+2x=(x+1)(x-1)
2.下列一元二次方程中,常数项为0的是(D)
A.x2+x=1
B.2x2-x-12=0
C.2(x2-1)=3(x-1)
D.2(x2+1)=x+2
3.一个关于x的一元二次方程,它的二次项系数为2,一次项系数为3,常数项为-5,则这个一元二次方程是2x2+3x-5=0.
4.将下列方程化为一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项:
(1)2x2=8;
解:移项,得一元二次方程的一般形式:2x2-8=0.其中二次项系数为2,一次项系数为0,常数项为-8.
5
(2)2x2+5=4x;
解:移项,得一元二次方程的一般形式:2x2-4x+5=0.
其中二次项系数为2,一次项系数为-4,常数项为5.
(3)4y(y+3)=0;
解:去括号,得一元二次方程的一般形式:4y2+12y=0.
其中二次项系数为4,一次项系数为12,常数项为0.
(4)(x-2)(2x+1)=x2+2.
解:去括号,得2x2+x-4x-2=x2+2.
移项、合并同类项,得一元二次方程的一般形式:
x2-3x-4=0.
其中二次项系数为1,一次项系数为-3,常数项为-4.
知识点2 一元二次方程的根
5.下列是方程3x2+x-2=0的解的是(A)
A.x=-1 B.x=1
C.x=-2 D.x=2
6.下表是某同学求代数式x2-x的值的情况,根据表格可知方程x2-x=2的根是(D)
x
-2
-1
0
1
2
3
…
x2-x
6
2
0
0
2
6
…
A.x=-1 B.x=0
C.x=2 D.x=-1或x=2
7.(山西第二次质量评估)若x=-1是关于x的一元二次方程x2+3x+m+1=0的一个解,则m的值为1.
知识点3 用一元二次方程刻画实际问题中的数量关系
5
8.某校准备修建一个面积为180平方米的矩形活动场地,它的长比宽多11米,设场地的宽为x米,则可列方程为(C)
A.x(x-11)=180 B.2x+2(x-11)=180
C.x(x+11)=180 D.2x+2(x+11)=180
9.(教材P2问题1变式)(阳泉市平定县月考)王叔叔从市场上买了一块长80 cm,宽70 cm的矩形铁皮,准备制作一个工具箱.如图,他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长为x cm的正方形后,剩余的部分刚好能围成一个底面积为3 000 cm2的无盖长方体工具箱,根据题意列方程为(C)
A.(80-x)(70-x)=3 000
B.80×70-4x2=3 000
C.(80-2x)(70-2x)=3 000
D.80×70-4x2-(70+80)x=3 000
10.有一根20 m长的绳子,怎样用它围成一个面积为24 m2的矩形?设矩形的长为x m,依题意可得方程为x(10-x)=24.
11.根据下列问题,列出关于x的方程,并将其化为一般形式.
(1)正方体的表面积为36,求正方体的边长x;
(2)x支球队参加篮球赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场,一共进行了15场比赛,求参赛的篮球队支数x.
解:(1)6x2=36.
一般形式为6x2-36=0.
(2)x(x-1)=15.
一般形式为x2-x-15=0或x2-x-30=0.
易错点 忽视一元二次方程二次项的系数不为零
12.若(m+1)x|m|+1+6x-2=0是关于x的一元二次方程,则m的值为1.
02 中档题
5
13.若关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0(a≠0)的解是x=1,则2 018-a-b的值是(A)
A.2 023 B.2 013
C.2 018 D.2 012
14.(阳泉市盂县期末) 已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根-b,则a-b的值为(C)
A.-1 B.0 C.1 D.-2
15.若关于x的一元二次方程(a-2)x2-(a2-4)x+8=0不含一次项,则a=-2.
16.小明用30 cm的铁丝围成一斜边长等于13 cm的直角三角形,设该直角三角形的一直角边长为x cm,则另一直角边长为(17-x) cm,列方程得x2+(17-x)2=132.
17.如果-5是一元二次方程x2=c2的一个根,那么常数c是±5,方程的另一根是5.
18.(临汾市襄汾县期末)已知a,b是方程x2-2x-1=0的两根,且a2-2b2-2a+4b+m=0,则m=1.
19.根据下面的问题列出关于x的方程,并将方程化成一般形式:
在圣诞节到来之际,九(四)班所有的同学准备送贺卡相互祝贺,所有同学送完后共送了870张,求九(四)班有多少名同学.
解:设九(四)班有x名同学,根据题意,得
x(x-1)=870.
将方程化成一般形式为x2-x-870=0.
20.已知关于x的方程(m+3)(m-3)x2+(m+3)x+2=0.
(1)当m为何值时,此方程是一元一次方程?
(2)当m为何值时,此方程是一元二次方程?
解:(1)由题意,得(m+3)(m-3)=0且m+3≠0,
所以m-3=0,即m=3.
(2)由题意,得(m+3)(m-3)≠0,即m≠±3.
03 综合题
21.若x2a+b-2xa-b
5
+3=0是关于x的一元二次方程,求a,b的值.张敏是这样考虑的:满足条件的a,b必须满足你说张敏的这种想法全面吗?若不全面,请你说明其余满足的条件.
解:张敏的这种想法不全面.
由x2a+b-2xa-b+3=0是关于x的一元二次方程,得
或或或或
5
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