人教版中考数学二轮复习专题练习下因动点产生的代数最值问题 31页

因动点产生的代数最值问题 ‎1.如图，抛物线的图象与轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，点为抛物线的顶点．‎ ‎（1）直接写出三点的坐标；‎ ‎（2）点为线段上一点（点不与点重合），过点作轴的垂线，与直线交于点，与抛物线交于点，过点作交抛物线于点，过点作轴于点，若点在点左边，当矩形的周长最大时，求的面积；‎ ‎（3）在（2）的条件下，当矩形的周长最大时，连接，过抛物线上一点作轴的平行线，与直线交于点（点在点的上方）．若，求点的坐标．‎ 解析：（1）‎ ‎（2）‎ ‎∴抛物线的对称轴为直线 设，其中 关于直线对称，∴设的横坐标为 则 ‎∴周长 ‎∴当时，取最大值 此时 设直线的解析式为 则解得 ‎∴直线的解析式为 将代入得 ‎（3）由（2）知，当矩形的周长最大时，‎ 此时点，与点重合，‎ 过作轴于，则 是等腰直角三角形，‎ 设，则 ‎，解得 当时，‎ 当时，‎ 或 ‎2.如图1，抛物线平移后过点和原点，顶点为，对称轴与轴相交于点，与原抛物线相交于点．‎ ‎（1）求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积；‎ ‎（2）如图2，直线与轴相交于点，点为线段上一动点，为直角，边与相交于点，设，试探究：‎ ‎①为何值时为等腰三角形；‎ ‎②为何值时线段的长度最小，最小长度是多少．‎ 解析：（1）∵平移后的抛物线过原点 ‎∴设平移后抛物线的解析式为 把代入，得 解得 ‎∴平移后抛物线的解析式为 提示：‎ 过作轴于 ‎∵平移后的抛物线过点和原点 ‎∴平移后的抛物线的对称轴为直线 把代入，得 ‎（2）①‎ ‎∴当时为等腰三角形 ‎，‎ 是的中点，‎ ‎，，解得 ‎∴当时为等腰三角形 ‎②‎ 连接，作于 则，即 在中，‎ ‎ ‎ 当且仅当与重合，即时线段的长度最小，最小长度是 此时 ‎3．如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标是，且，动点在过三点的抛物线上．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形，如存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由；‎ ‎（3）过动点作轴于点，交直线于点，过点作轴的垂线，垂足为，连接，当线段的长度最短时，求出点的坐标．‎ 解析：（1）由，可知 设抛物线的解析式为 解得 ‎∴抛物线的解析式为 ‎（2）存在 ‎①‎ 当是直角顶点时，作交抛物线于点，‎ 作轴于 设，则 解得（舍去），‎ ‎②当是直角顶点时，作交抛物线于点，‎ 作轴于，交轴于，则轴 由，得 设，则 解得（舍去）‎ 综上所述，存在点使得是以为直角边的直角三角形 点的坐标为或 ‎（3）‎ 连接，由题意知，四边形为矩形，则 根据点到直线的距离垂线段最短 当时最短，即最短 由（1）知，在中，‎ 则 根据等腰三角形的性质，为中点 又 ‎∴点的纵坐标为 于是 解得 ‎∴当线段的长度最短时，点P的坐标为或 ‎4.如图，在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，得到新的抛物线，该抛物线与轴交于点，与轴正半轴交于点．‎ ‎（1）求点和点的坐标；‎ ‎（2）如图1，有一条与轴重合的直线向右匀速平移，平移的速度为每秒个单位，移动的时间为秒，直线与抛物线交于点．当点在轴上方时，求出使的面积为的值；‎ ‎（3）如图2，将直线绕点逆时针旋转，与轴交于点，与抛物线交于点，在轴上有一点，在轴上另取两点（点在点的左侧），，线段在轴上平移，当四边形的周长最小时，先简单描述如何确定此时点的位置？再直接写出点的坐标．‎ 解析：（1）由题意，新的抛物线的解析式为 当时，‎ 当时，‎ 解得（舍去）‎ ‎（2）‎ 由题意，点坐标为 过点作轴于 则 整理得 解得（舍去）‎ 的值是 ‎（3）此题有多种方法，下面给出其中一种方法：‎ 将点沿着与轴平行的方向向左平移到点，使；作点关于轴的对称点，连接与轴的交点即为点．点 ‎5.如图，已知直线与抛物线交于，两点．‎ ‎（1）直线总经过一个定点，请直接写出点坐标；‎ ‎（2）当时，在直线下方的抛物线上求点，使的面积等于；‎ ‎（3）若在抛物线上存在定点,使，求点到直线的最大距离．‎ 解析：（1）‎ 提示：‎ 当时，无论取何值，‎ ‎∴直线总经过定点 ‎（2）当时，直线的解析式为 令，即，解得 ‎∴点的横坐标为，点的横坐标为 过点作轴交直线于点 设，则 整理得：，解得 ‎∴点的坐标为或 ‎（3）设 联立消去得：‎ 过点作轴，分别过点作轴的平行线，交于点 则，，‎ 由，可得 ‎，即 ‎，即 当，即时，上式对任意实数均成立 即点的坐标与无关，‎ 连接 过点作，垂足为，则 当时，点到直线的距离最大，最大距离为 ‎6.如图，抛物线经过、两点，与轴正半轴交于点，对称轴为直线．‎ ‎（1）求抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）设点若是抛物线的对称轴上使得的周长取得最小值的点，过任意作一条与轴不平行的直线交抛物线于两点，试探究是否为定值，请说明理由；‎ ‎（3）将抛物线作适当平移，得到抛物线，其中．若当时，‎ 恒成立，试求的最大值．‎ 解析：（1）∵抛物线经过点，与轴正半轴交于点，对称轴为直线 把代入，得：‎ 解得 ‎∴抛物线的函数表达式为 ‎（2）‎ 的长是定值，要使周长最小，只需最小 与关于直线对称，只需最小 又，为与直线的交点 由可得直线为 当时，‎ ‎，‎ 同理 设直线的函数表达式为，易得 又 故是定值，其值为 ‎（3）‎ 令，设其图象与抛物线交点的横坐标为，且 ‎∵抛物线可以看作由抛物线左右平移得到 观察图象可知，随着抛物线向右不断平移，的值不断增大 ‎∴当恒成立时，的最大值在处取得 ‎∴当时，对应的即为的最大值 将代入，得 解得或（舍去）‎ 由，解得 的最大值为 ‎7.如图，直线与轴、轴分别相交于点．经过点且对称轴为的抛物线与轴相交于两点．‎ ‎（1）直接写出点的坐标；‎ ‎（2）求抛物线的解析式；‎ ‎（3）若点在线段上以每秒个单位长度的速度由点向点运动，同时，点在线段上以相同的速度由点向点运动（当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动），又轴，交于．问在运动过程中，线段的长度是否存在最小值，若有，试求出最小值；若无，请说明理由．‎ 解析：（1）‎ ‎（2）∵抛物线的对称轴为 ‎∵抛物线过点 ‎∴抛物线的解析式为 ‎（3）由对称性得点 设点运动的时间为秒 则 即 过作轴于，则 的最小值为 ‎∴线段的长度存在最小值，最小值为 ‎8.如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为．‎ ‎（1）求点的坐标；‎ ‎（2）连接，过原点作，垂足为，与抛物线的对称轴交于点，连接．求证：；‎ ‎（3）以（2）中的点为圆心，为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点过点作的切线，切点为，当的长最小时，求点的坐标，并直接写出点的坐标．‎ 解析：（1）顶点的坐标为 令，得，解得 ‎∵点在点的左侧，‎ ‎（2）‎ 过作轴，垂足为 则 令，则 设对称轴交轴于点 ‎，即，‎ 由勾股定理，得 是直角三角形，‎ 设交于点，则 ‎（3）‎ 由的半径为，根据勾股定理，得 要使切线长最小，只需长最小，即最小 设点坐标为，由勾股定理，得 当时，最小值为 把代入，得 解得又点在对称轴右侧的抛物线上，舍去 ‎∴点坐标为 设，则有：‎ 解得 ‎∴此时点坐标为或 ‎9.如图，直线与抛物线交于两点（在的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为，抛物线的对称轴与直线交于点．‎ ‎（1）若为直线上一动点，求的面积；‎ ‎（2）当四边形是菱形时，求点的坐标；‎ ‎（3）作点关于直线的对称点，以为圆心，为半径作，点是上一动点，求的最小值．‎ 解析：（1）‎ 由解得 在的左侧，‎ ‎∵直线与轴交于点 易得直线的解析式为 ‎∵直线的解析式为，‎ ‎∴直线与之间的距离 ‎（2）四边形是平行四边形 若四边形是菱形，则 ‎∴点的坐标为 或 ‎（3）‎ ‎∵四边形是平行四边形 ‎∴点到对称轴的距离为 取中点，则 的最小值即为的最小值，为线段的长 设直线与相交于另一点 ‎∵点关于直线的对称点为 ‎10.在平面直角坐标系中，矩形的边点与坐标原点重合，边分别在轴、轴的正半轴上．将矩形沿直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为 ‎（1）求与之间的函数关系式；‎ ‎（2）如果将折痕所在直线与矩形的位置分为如图1、图2、图3所示的三种情形，请你分别求出每种情形时的取值范围；‎ ‎（3）直接写出图2情形中折痕的长度的最大值．‎ 解析：（1）‎ 如图2，连接则设点的坐标为 ‎，即，‎ ‎∴点的坐标为 连接，在中，‎ ‎（利用图1或图3作答可得出同样的结果）‎ ‎（2）‎ 图1中：当与重合时，最小 当与重合时，最大，设直线与轴交于点 易知，‎ 即，‎ 图2中：‎ 当与重合时，最小，由上知，此时 当与重合时，最大，‎ ‎，解得 当时，，不合题意，应舍去 当时，，符合题意 图3中：‎ 当与重合时，由上知，此时 当与重合时，轴，此时 ‎（3）‎