2019-2020学年河南九年级下数学中考真卷【含答案】 11页

1 / 11 2019-2020 学年河南九年级下数学中考真卷 一、选择题 1. − 1 2020 的倒数是( ) A.2020 B.−2020 C. 1 2020 D.− 1 2020 2. 快快乐乐看春晚，平平安安过大年．2020年1月24日8点，中央广播电视总台 《2020年春节联欢晚会》如约而至．据不完全统计，截至1月24日24时，春晚新媒体 平台直播累积到达人次为11.16亿次，11.16亿用科学记数法表示为（ ） A.11.16 × 108 B.11.16 × 104 C.1.116 × 109 D.1.116 × 108 3. 如图所示的几何体的左视图是( ) A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A.2푎2 + 4푎2 = 6푎4 B.(2푎2)3 = 8푎5 C.2푎2 ⋅ (−푎3) = −2푎5 D.6푎3푚 ÷ 3푎푚 = 2푎3 5. XX 无情人有情，爱心捐款传真情，XXXXXX 感染的肺炎 XXX 期间，某班学生积极 参加献爱心活动，该班50名学生的捐款统计情况如下表： 金额/元 5 10 20 50 100 人数 6 17 14 8 5 则他们捐款金额的众数和中位数分别是( ) A.100，10 B.10，20 C.17，10 D.17，20 6. 下列方程中没有实数根的是（ ） A.푥2 − 2푥 + 1 = 0 B.푥2 = 푥 − 1 C.2푥2 + 3푥 = 3 D.푥2 − 1 = 0 7. 把不等式푥 + 1 ≤ 2푥 − 1的解集在数轴上表示，正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在▱퐴퐵퐶퐷中， 퐴퐷 > 퐴퐵，用直尺和圆规在边퐴퐷上确定一点퐸，使퐴퐸 = 퐴퐵， 则下列作法错误的是（ ） A. B. C. D. 9. 《算法统宗》中有如下的类似问题：“哑子来买肉，难言钱数目，一斤少二十五， 八两多十五，试问能算者，合与多少肉”，意思是一个哑巴来买肉，说不出钱的数目， 买一斤（16两）还差二十五文钱，买八两多十五文钱，问肉数和肉价各是多少？则该 问题中，哑巴所带的钱共能买到的肉为( ) A.10两 B.11两 C.12两 D.13两 10. 如图，在平面直角坐标系中，点퐴坐标为(2,0)，△ 푂퐴퐵是等边三角形，一动点푃 从푂点开始，以每秒1个单位长度的速度，沿푂 → 퐴 → 퐵 → 푂 → 퐴 ⋯ ⋯规则作循环运动， 那么第2020秒结束后，点푃的坐标为（ ） A.(1, √3) B.(2,0) C.(1 2 , √3 2 ) D.(− 1 2 , √3 2 ) 2 / 11 二、填空题 11. 计算： √1 9 − (−2020)0 + | − 5| − (1 5) −1 =________. 12. 为增强学生体质，感受中国的传统文化，某学校将国家非物质文化遗产—— “抖空竹”引入阳光特色大课间，某同学“抖空竹”的一个瞬间如图1所示，若将图1 抽象成图2的数学问题：퐴퐵//퐶퐷，∠퐸퐴퐵 = 80∘ ，∠퐸퐶퐷 = 110∘ ，则∠퐸的大小是 ________度． 13. 为了防控 XXXXXX 感染，我区要从3名男士和2名女士中随机抽取2人做宣传活动， 抽取的恰好是一名男士和一名女士的概率为________. 14. 如图有一块草地三面靠墙，其中퐵퐶 = 3米，∠퐵퐶퐷 = 120∘ ，一根5米长的绳子， 一端拴在柱子上另一端拴着一只羊（羊只能在草地上活动）羊的活动区域面积为 ________平方米． 15. 如图，在矩形퐴퐵퐶퐷中，퐵퐶 = 4，퐴퐵 = 푎，点퐸为퐴퐷的中点，点퐹为射线퐴퐵上 一点，连接퐶퐹，퐵퐹 = 3，若将△ 퐴퐸퐹沿直线퐸퐹折叠后，点퐴恰好落到퐶퐹上的点퐺处， 则푎的值为________. 三、解答题 16. 先化简，再求值：(2 − 푥−1 푥+1) ÷ 푥2+6푥+9 푥2−1 ,其中푥 = √2 − 3. 17. 2020年3月我国因“新 XXX”的 XX 情，都不能如期开学，我市某校网上开设了 “书画、器乐、戏曲、棋类”四大类兴趣课程，要求学生在家选择一项网上学习．为 了解全校学生对每类课程的选择情况，随机抽取了若干名学生进行调查（每人必选且 只能选一类），先将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图： 3 / 11 (1)本次随机调查了多少名学生？ (2)补全条形统计图中“书画”、“戏曲”的空缺部分； (3)若该校共有1200名学生，请估计全校学生选择“戏曲”类的人数； (4)学校从这四类课程中随机抽取两类参加“全市青少年才艺展示活动”，用树形图或 列表法求出恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的概率．（书画、器乐、戏曲、棋类可分 别用字母퐴，퐵，퐶，퐷表示） 18. 如图，在△ 퐴퐵퐶中，퐴퐵 = 퐴퐶，퐵퐶经过⊙ 퐻的圆心，交⊙ 퐻于点퐷，퐸，퐴퐵，퐴퐶 是圆的切线，퐹，퐺是切点. (1)求证：퐵퐻 = 퐶퐻； (2)填空： ①当∠퐹퐻퐺 =________时，四边形퐹퐻퐶퐺是平行四边形； ②当∠퐹퐸퐷 =________时，四边形퐴퐹퐻퐺是正方形. 19. 图1是一种淋浴喷头，图2是图1的示意图，若用支架把喷头固定在点퐴处，手柄 长퐴퐵 = 25푐푚，퐴퐵与墙壁퐷퐷′的夹角∠퐷′퐴퐵 = 37∘，喷出的水流퐵퐶与퐴퐵形成的夹角 ∠퐴퐵퐶 = 72∘，现住户要求：当人站在퐸处淋浴时，水流正好喷洒在人体的퐶处，且使 퐷퐸 = 50푐푚，퐶퐸 = 130푐푚．问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？ 4 / 11 （sin37∘ ≈ 0.60，cos37∘ ≈ 0.80，tan37∘ ≈ 0.75，sin72∘ ≈ 0.95，cos72∘ ≈ 0.31， tan72∘ ≈ 3.08，sin35∘ ≈ 0.57，cos35∘ ≈ 0.82，tan35∘ ≈ 0.70）． 20. 模具厂计划生产面积为4，周长为푚的矩形模具．对于푚的取值范围，小亮已经能 用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下： (1)建立函数模型 设矩形相邻两边的长分别为푥，푦，由矩形的面积为4，得푥푦 = 4，即푦 = 4 푥 ；由周长为 푚，得2(푥 + 푦) = 푚，即푦 = −푥 + 푚 2 ．满足要求的(푥，푦)应是两个函数图象在第 ________象限内交点的坐标． (2)画出函数图象 函数푦 = 4 푥 (푥 > 0)的图象如图所示，而函数푦 = −푥 + 푚 2 的图象可由直线푦 = −푥平移得 到．请在同一直角坐标系中直接画出直线푦 = −푥． (3)平移直线푦 = −푥，观察函数图象 在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长푚的取值 范围． (4)得出结论若能生产出面积为 4 的矩形模具，则周长푚的取值范围为________． 21. XXXX 期间为了满足口罩需求，某学校决定购进퐴，퐵两种型号的口罩．若购进퐴型 口罩10盒，퐵型口罩5盒，共需1000元；若购进퐴型口罩4盒，퐵型口罩3盒，共需550 5 / 11 元． (1)求퐴，퐵两种型号的口罩每盒各需多少元？ (2)若该学校决定购进这两种型号的口罩共计200盒，考虑到实际需求，要求购进퐴型 号口罩的盒数不超过퐵型口罩盒数的6倍，请为该学校设计出最省钱的方案，并说明理 由． 22. 如图1，在푅푡 △ 퐴퐵퐶中，∠퐴 = 90∘，퐴퐵 = 퐴퐶，点퐷，퐸分别在边퐴퐵，퐴퐶上， 퐴퐷 = 퐴퐸，连接퐷퐶，点푀，푃，푁分别为퐷퐸，퐷퐶，퐵퐶的中点． (1)图1中，线段푃푀与푃푁的数量关系是________，位置关系是________； (2)把△ 퐴퐷퐸绕点퐴逆时针方向旋转到图2的位置，连接푀푁，判断△ 푃푀푁的形状，并 说明理由； (3)把△ 퐴퐷퐸绕点퐴在平面内自由旋转，若퐷퐸 = 2，퐵퐶 = 6，请直接写出△ 푃푀푁面积 的最大值． 6 / 11 23. 如图，直线푦 = −푥 + 4与푥轴交于点퐴，与푦轴交于点퐵．抛物线푦 = − 1 2 푥2 + 푏푥 + 푐经过퐴，퐵两点，与푥轴的另外一个交点为퐶. (1)填空：푏 =________，푐 =________，点퐶的坐标为________； (2)如图1，若点푃是第一象限抛物线上一动点，连接푂푃交直线퐴퐵于点푄，设点푃的横 坐标为푚，设푃푄 푂푄 = 푦，求푦与푚的函数关系式，并求出푃푄 푂푄 的最大值； (3)如图2，若点푃是抛物线上一动点．当∠푃퐵퐴 + ∠퐶퐵푂 = 45∘时．求点푃的坐标. 7 / 11 参考答案与试题解析 2019-2020 学年河南九年级下数学中考真卷 一、选择题 1.B 2.C 3.D 4.C 5.B 6.B 7.A 8.C 9.B 10.A 二、填空题 11.− 2 3 12.30 13.3 5 14.83 12 휋 15.1或4 三、解答题 16.解：原式= 푥+3 푥+1 ⋅ (푥+1)(푥−1) (푥+3)2 = 푥−1 푥+3 , 把푥 = √2 − 3代入得， 原式= √2−3−1 √2−3+3 = √2−4 √2 = 1 − 2√2. 17.解：(1)本次随机调查的学生人数为30 ÷ 15% = 200（人）； (2)书画的人数为200 × 25% = 50（人）， 戏曲的人数为200 − (50 + 80 + 30) = 40（人）， 补全图形如下： (3)估计全校学生选择“戏曲”类的人数约为1200 × 40 200 = 240（人）； (4)列表得： 퐴 퐵 퐶 퐷 퐴 퐴퐵 퐴퐶 퐴퐷 퐵 퐵퐴 퐵퐶 퐵퐷 퐶 퐶퐴 퐶퐵 퐶퐷 퐷 퐷퐴 퐷퐵 퐷퐶 ∵ 共有12种等可能的结果，其中恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的有2种结果， ∴ 恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的概率为 2 12 = 1 6 ． 18.(1)证明：∵ 퐴퐵 = 퐴퐶， ∴ ∠퐵 = ∠퐶. ∵ 퐴퐵，퐴퐶是圆的切线，퐹，퐺是切点， ∴ ∠퐵퐹퐻 = ∠퐶퐺퐻 = 90∘. 在△ 퐵퐻퐹与△ 퐶퐻퐺中， { ∠퐵 = ∠퐶， ∠퐵퐹퐻 = ∠퐶퐺퐻， 퐹퐻 = 퐺퐻, 8 / 11 ∴ △ 퐵퐻퐹 ≅△ 퐶퐻퐺， ∴ 퐵퐻 = 퐶퐻. 90∘,22.5∘ 19.解：过点퐵作퐵퐺 ⊥ 퐷′퐷于点퐺，延长퐸퐶、퐺퐵交于点퐹， ∵ 퐴퐵 = 25，퐷퐸 = 50， ∴ sin37∘ = 퐺퐵 퐴퐵 ，cos37∘ = 퐺퐴 퐴퐵 ， ∴ 퐺퐵 ≈ 25 × 0.60 = 15，퐺퐴 ≈ 25 × 0.80 = 20， ∴ 퐵퐹 = 50 − 15 = 35. ∵ ∠퐴퐵퐶 = 72∘，∠퐷′퐴퐵 = 37∘， ∴ ∠퐺퐵퐴 = 53∘， ∴ ∠퐶퐵퐹 = 55∘， ∴ ∠퐵퐶퐹 = 35∘. ∵ tan35∘ = 퐵퐹 퐶퐹 ， ∴ 퐶퐹 ≈ 35 0.70 = 50， ∴ 퐹퐸 = 50 + 130 = 180， ∴ 퐺퐷 = 퐹퐸 = 180， ∴ 퐴퐷 = 180 − 20 = 160. 答：安装师傅应将支架固定在离地面160푐푚的位置． 20.一 (2)图象如下所示： (3)在直线平移过程中，交点个数有0个，1个，2个三种情况， 联立푦 = 4 푥 ，和푦 = −푥 + 푚 2 并整理得：푥2 − 1 2 푚푥 + 4 = 0， 훥 = 1 4 푚2 − 4 × 4 ≥ 0时，两个函数有交点， 解得：푚 ≥ 8， 即交点个数为0时，0 < 푚 < 8， 交点个数为1时，푚 = 8， 交点个数为2是，푚 > 8. 푚 ≥ 8 21.解：(1)购进퐴型口罩每盒需푥元，퐵型口罩每盒需푦元， 依题意，得：{10푥 + 5푦 = 1000， 4푥 + 3푦 = 550， 解得：{푥 = 25， 푦 = 150. 答：购进퐴型口罩每盒需25元，퐵型口罩每盒需150元． (2)设购进푚盒퐴型口罩，则购进(200 − 푚)盒퐵型口罩， 依题意，得：푚 ≤ 6(200 − 푚)， 解得：푚 ≤ 171 3 7 ， 设该学校购进这批口罩共花费푤元， 则푤 = 25푚 + 150(200 − 푚) = −125푚 + 30000， 9 / 11 ∵ −125 < 0， ∴ 푤随푚的增大而减小， 又∵ 푚 ≤ 171 3 7 ，且푚为整数， ∴ 当푚 = 171时， 푤取得最小值，此时200 − 푚 = 29， ∴ 最省钱的购买方案为： 购进171盒퐴型口罩，29盒퐵型口罩． 22.푃푀 = 푃푁且푃푀 ⊥ 푃푁 (2) △ 푃푀푁为等腰直角三角形.理由如下： 由旋转知，∠퐵퐴퐷 = ∠퐶퐴퐸, ∵ 퐴퐵 = 퐴퐶, 퐴퐷 = 퐴퐸， ∴ △ 퐴퐵퐷 ≅△ 퐴퐶퐸(푆퐴푆)， ∴ ∠퐴퐵퐷 = ∠퐴퐶퐸，퐵퐷 = 퐶퐸； 同(1)的方法，利用三角形的中位线得， 푃푁 = 1 2 퐵퐷，푃푀 = 1 2 퐶퐸， ∴ 푃푀 = 푃푁， ∴ △ 푃푀푁是等腰三角形； ∵ 푃푀//퐶퐸, ∴ ∠퐷푃푀 = ∠퐷퐶퐸； ∵ 푃푁//퐵퐷, ∴ ∠푃푁퐶 = ∠퐷퐵퐶； ∵ ∠퐷푃푁 = ∠퐷퐶퐵 + ∠푃푁퐶 = ∠퐷퐶퐵 + ∠퐷퐵퐶， ∴ ∠푀푃푁 = ∠퐷푃푀 + ∠퐷푃푁 = ∠퐷퐶퐸 + ∠퐷퐶퐵 + ∠퐷퐵퐶 = ∠퐵퐶퐸 + ∠퐷퐵퐶 = ∠퐴퐶퐵 + ∠퐴퐶퐸 + ∠퐷퐵퐶 = ∠퐴퐶퐵 + ∠퐴퐵퐷 + ∠퐷퐵퐶 = ∠퐴퐶퐵 + ∠퐴퐵퐶； ∵ ∠퐵퐴퐶 = 90∘, ∴ ∠퐴퐶퐵 + ∠퐴퐵퐶 = 90∘， ∴ ∠푀푃푁 = 90∘， ∴ △ 푃푀푁是等腰直角三角形； (3)若퐷퐸 = 2，퐵퐶 = 6， 在푅푡 △ 퐴퐵퐶中， 퐴퐵 = 퐴퐶，퐵퐶 = 6， ∴ 퐴퐵 = √2 2 퐵퐶 = 3√2， 同理： 퐴퐷 = √2， 由(2)知， △ 푃푀푁是等腰直角三角形， 푃푀 = 푃푁 = 1 2 퐵퐷, ∴ 푃푀最大时， △ 푃푀푁面积最大， ∴ 点퐷在퐵퐴的延长线上， ∴ 퐵퐷 = 퐴퐵 + 퐴퐷 = 4√2, ∴ 푃푀 = 2√2, ∴ 푆△푃푀푁最大= 1 2 푃푀2 = 1 2 × (2√2)2 = 4. 23.1,4,(−2,  0) (2)如图1， 10 / 11 分别过푃，푄作푃퐸，푄퐷垂直于푥轴交푥轴于点퐸，퐷． 设푃(푚, − 1 2 푚2 + 푚 + 4)，푄(푛, −푛 + 4)， 则푃퐸 = − 1 2 푚2 + 푚 + 4，푄퐷 = −푛 + 4． 又∵ 푃푄 푂푄 = 푚−푛 푛 = 푦． ∴ 푛 = 푚 푦+1 ． 又∵ 푃퐸 푄퐷 = 푂퐸 푂퐷 ，即−1 2푚2+푚+4 −푛+4 = 푚 푛 把푛 = 푚 푦+1 代入上式得， − 1 2 푚2 + 푚 + 4 − 푚 푦 + 1 + 4 = 푚 푚 푦 + 1 整理得，4푦 = − 1 2 푚2 + 2푚． ∴ 푦 = − 1 8 푚2 + 1 2 푚． 푦max = 0−(1 2)2 4×(−1 8) = 1 2 ． 即푃푄 푂푄 的最大值为1 2 ． (3)①当点푃在퐵퐴的下方时，如图2， ∵ ∠푂퐵퐴 = ∠푂퐵푃 + ∠푃퐵퐴 = 45∘， ∠푃퐵퐴 + ∠퐶퐵푂 = 45∘， ∴ ∠푂퐵푃 = ∠퐶퐵푂，此时푃퐵过点퐹(2,  0)， 设直线푃퐵的解析式为푦 = 푘푥 + 4. 将点퐹(2,  0)代入得2푘 + 4 = 0，解得푘 = −2. ∴ 直线푃퐵的解析式为푦 = −2푥 + 4， 由{ 푦 = −2푥 + 4， 푦 = − 1 2 푥2 + 푥 + 4， 解得{푥1 = 0， 푦1 = 4， (舍去)， { 푥2 = 6， 푦2 = −8， ∴ 푃(6, −8)； ②当点푃在퐵퐴的上方时，如图3，作正方形푂퐴푀퐵，设퐵푃的延长线交퐴푀于点푁. 11 / 11 ∵ ∠퐴퐵푀 = ∠푀퐵푁 + ∠푃퐵퐴 = 45∘， ∠푃퐵퐴 + ∠퐶퐵푂 = 45∘， ∴ ∠푂퐵퐶 = ∠푀퐵푁， 又∵ 퐵푂 = 퐵푀 = 4，∠퐵푂퐶 = ∠퐵푀푁 = 90∘， ∴ △ 푂퐵퐶 ≅△ 푀퐵푁(퐴푆퐴)， ∴ 푂퐶 = 푀푁 = 2， ∴ 푁(4,  2)， 设直线푃퐵的解析式为푦 = 푘푥 + 4， 将点푁(4,  2)代入得4푘 + 4 = 2，解得푘 = − 1 2 ， ∴ 直线푃퐵的解析式为푦 = − 1 2 푥 + 4， 由{ 푦 = − 1 2 푥 + 4， 푦 = − 1 2 푥2 + 푥 + 4， 解得{푥1 = 0， 푦1 = 4， （舍去）， { 푥2 = 3， 푦2 = 5 2 ， ∴ 푃(3, 5 2). 综上所述，当∠푃퐵퐴 + ∠퐶퐵푂 = 45∘时，点푃的坐标为(6, −8)或(3, 5 2).