中考数学解题指导专题2：待定系数法应用探讨 22页

1 【2013 年中考攻略】专题 2：待定系数法应用探讨 在数学问题中，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可设定一些尚待确定的系数(或参数)来表示 这样的结果，这些待确定的系数(或参数)，称作待定系数。然后根据已知条件，选用恰当的方法，来确定 这些系数，这种解决问题的方法叫待定系数法。待定系数法是数学中的基本方法之一。它渗透于初中数学 教材的各个部分，在全国各地中考中有着广泛应用。 应用待定系数法解题以多项式的恒等知识为理论基础，通常有三种方法：比较系数法；代入特殊值法； 消除待定系数法。 比较系数法通过比较等式两端项的系数而得到方程（组），从而使问题获解。例如：“已知 x23=（1A）·x2 ＋Bx＋C，求 A，B，C 的值”，解答此题，并不困难，只需将右式与左式的多项式中对应项的系数加以比 较后，就可得到 A，B，C 的值。这里的 A，B，C 就是有待于确定的系数。 代入特殊值法通过代入特殊值而得到方程（组），从而使问题获解。例如：“点（2，﹣3）在正比例函 数图象上，求此正比例函数”， 解答此题，只需设定正比例函数为 y=kx，将（2，﹣3）代入即可得到 k 的 值，从而求得正比例函数解析式。这里的 k 就是有待于确定的系数。 消除待定系数法通过设定待定参数，把相关变量用它表示，代入所求，从而使问题获解。例如：“已 知 b2 a3 ，求 ab ab   的值”， 解答此题，只需设定 b2=ka3 ，则 a=3k b=2k， ，代入 即可求解。这 里的 k 就是消除的待定参数。 应用待定系数法解题的一般步骤是： （1）确定所求问题的待定系数，建立条件与结果含有待定的系数的恒等式； （2）根据恒等式列出含有待定的系数的方程（组）； （3）解方程（组）或消去待定系数，从而使问题得到解决。 在初中阶段和中考中应用待定系数法解题常常使用在代数式变型、分式求值、因式分解、求函数解析 式、求解规律性问题、几何问题等方面。下面通过 2011 年和 2012 年全国各地中考的实例探讨其应用。 一. 待定系数法在代数式变型中的应用：在应用待定系数法解有关代数式变型的问题中，根据 右式与左式多项式中对应项的系数相等的原理列出方程（组），解出方程（组）即可求得答案。 典型例题： 例：（2011 云南玉溪 3 分）若 2x 6x k是完全平方式，则 k =【 】 A．9 B．－9 C．±9 D．±3 【答案】A。 【考点】待定系数法思想的应用。 2 【分析】设  22x 6x k= x+A ，则 2 2 2x 6x k=x 2Ax A    ， ∴ 2 2A=6 A=3 k=9A =k    。故选 A。 练习题： 1.（2012 江苏南通 3 分）已知 x2＋16x＋k 是完全平方式，则常数 k 等于【 】 A．64 B．48 C．32 D．16 2.（2012 贵州黔东南 4 分）二次三项式 x2﹣kx+9 是一个完全平方式，则 k 的值是 ▲ 。 3.（2011 江苏连云港 3 分）计算 (x＋2) 2 的结果为 x 2＋□x＋4，则“□”中的数为【 】 A．－2 B．2 C．－4 D．4 4.（2011 湖北荆州 3 分）将代数式 2x 4x 1化成 2(x p) q的形式为【 】 A. 2(x 2) 3 B. 2(x 2) 4 C. 2(x 2) 5 D. 2(x 4) 4 二. 待定系数法在分式求值中的应用：在一类分式求值问题中，已知一比例式求另一分式的 值，可设定待定参数，把相关变量用它表示，代入所求分式，从而使问题获解。 典型例题： 例：（2012 四川凉山 4 分）已知 b5 a 13 ，则 ab ab   的值是【 】 A． 2 3 B． 3 2 C． 9 4 D． 4 9 【答案】D。 【考点】比例的性质。 【分析】∵ b5 a 13 ，∴设 b5ka 13，则 b=5k， a=13k，把 a，b 的值代入 ab ab   ，得， a b 13k 5k 8k 4= = =a b 13k 5k 18k 9   。故选 D。 练习题： 1.（2012 北京市 5 分）已知 ab=023 ，求代数式 5a 2b (a 2 )(a+2b)(a 2b) b － 的值。 2.（2011 四川巴中 3 分）若 a2 2a b 3 ，则 b a = ▲ 。 三. 待定系数法在因式分解中的应用：在因式分解问题中，除正常应用提取公因式法、应用 公式法、十字相乘法、分组分解法等解题外还可应用待定系数法求解，特别对于三项以上多项式的分解 有很大作用（如：x3－6x2+11x－6， 223x 5xy 2y x 9y 4     ，目前这类考题很少，但不失为一种有效 3 的解题方法）。 典型例题： 例 1：（2012 湖北黄石 3 分）分解因式： 2x x 2＝ ▲ 。 【答案】（x－1）（ x＋2）。 【考点】因式分解。 【分析】设   2x x 2 x A x B     ， ∵    2x A x B x A B x A B       ， A B=1 A B= 2    ，解得 A= 1 B=2    或 A=2 B= 1    ， ∴   2x x 2= x 1 x 2    。 〖注：本题实际用十字相乘法解题更容易，但作为一种解法介绍于此。〗 例 2：分解因式： 223x 5xy 2y x 9y 4     ▲ 。 【答案】  3x y 4 x 2y 1    。 【考点】因式分解。 【分析】∵   223x 5xy 2y 3x y x 2y     ， ∴可设   223x 5xy 2y x 9y 4 3x y a x 2y b          。 ∵    223x y a x 2y b 3x 5xy 2y a 3b x (2a b)y ab            ， ∴  2 2 2 23x 5xy 2y x 9y 4 3x 5xy 2y a 3b x (2a b)y ab             。 比较两边系数，得 a 3b=1 2a b=9 ab= 4      ① ② ③ 。 联立①，②得 a=4，b=－1。代入③式适合。 ∴   223x 5xy 2y 3x y 4 x 2y 1       。 练习题： 1. （2012 四川南充 3 分）分解因式： 2x 4x 12 = ▲ 。 2. （2012 山东潍坊 3 分）分解因式：x3—4x2—12x= ▲ 。 3. （2011 贵州黔东南 4 分）分解因式：  822 xx ▲ 。 4 四. 待定系数法在求函数解析式中的应用：待定系数法是解决求函数解析式问题的常用方法， 求函数解析式是初中阶段待定系数法的一个主要用途。确定直线或曲线方程就是要确定方程中 x 的系数与 常数，我们常常先设它们为未知数，根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将已知的条件代入方程， 求出待定的系数与常数。这是平面解析几何的重要内容，是求曲线方程的有效方法。初中阶段主要有正比 例函数、一次函数、反比例函数、二次函数这几类函数，前面三种分别可设 y=kx，y=kx+b， ky x 的形式 (其中 k、b 为待定系数，且 k≠0)。而二次函数可以根据题目所给条件的不同，设成一般式 y=ax2+bx+c(a、 b、c 为待定系数)，顶点式 y=a (x－h) 2+k(a、k、h 为待定系数)，交点式 y=a (x－x1)(x－x2)( a 、x1、x2 为 待定系数)三类形式。根据题意(可以是语句形式，也可以是图象形式)，确定出 a、b、c、k、x1、x2 等待定 系数，求出函数解析式。 典型例题： 例 1：（2012 江苏南通 3 分）无论 a 取什么实数，点 P(a－1，2a－3)都在直线 l 上，Q(m，n)是直线 l 上的 点，则(2m－n＋3)2 的值等于 ▲ ． 【答案】16。 【考点】待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，求代数式的值。 【分析】∵由于 a 不论为何值此点均在直线 l 上， ∴令 a=0，则 P1（－1，－3）；再令 a=1，则 P2（0，－1）。 设直线 l 的解析式为 y=kx+b（k≠0）， ∴ k b 3 b 1       ，解得 k2 b 1    。 ∴直线 l 的解析式为：y=2x－1。 ∵Q（m，n）是直线 l 上的点，∴2m－1=n，即 2m－n=1。 ∴(2m－n＋3)2=（1+3）2=16。 例 2：（2012 山东聊城 7 分）如图，直线 AB 与 x 轴交于点 A（1，0），与 y 轴交于点 B（0，﹣2）． （1）求直线 AB 的解析式； （2）若直线 AB 上的点 C 在第一象限，且 S△BOC=2，求点 C 的坐标． 5 【答案】解：（1）设直线 AB 的解析式为 y=kx+b， ∵直线 AB 过点 A（1，0）、点 B（0，﹣2）， ∴ k b 0 b= 2    ，解得 k2 b= 2    。 ∴直线 AB 的解析式为 y=2x﹣2。 （2）设点 C 的坐标为（x，y）， ∵S△BOC=2，∴ 1 2 •2•x=2，解得 x=2。 ∴y=2×2﹣2=2。 ∴点 C 的坐标是（2，2）。 【考点】待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。 【分析】（1）设直线 AB 的解析式为 y=kx+b，将点 A（1，0）、点 B（0，﹣2）分别代入解析式即可组成 方程组，从而得到 AB 的解析式。 （2）设点 C 的坐标为（x，y），根据三角形面积公式以及 S△ BOC=2 求出 C 的横坐标，再代入直线 即可求出 y 的值，从而得到其坐标。 例 3：（2012 湖南岳阳 8 分）游泳池常需进行换水清洗，图中的折线表示的是游泳池换水清洗过程“排水﹣ ﹣清洗﹣﹣灌水”中水量 y（m3）与时间 t（min）之间的函数关系式． （1）根据图中提供的信息，求整个换水清洗过程水量 y（m3）与时间 t（min）的函数解析式； （2）问：排水、清洗、灌水各花多少时间？ 【答案】解：（1）排水阶段：设解析式为：y=kt+b， ∵图象经过（0，1500），（25，1000）， ∴ b=1500 25k+b=1000    ，解得： k= 20 b=1500    。∴排水阶段解析式为：y=﹣20t+1500。 清洗阶段：y=0。 灌水阶段：设解析式为：y=at+c， 6 ∵图象经过（195，1000），（ 95，0）， ∴ 195a+c=1000 95a+c=0    ，解得： a=10 b= 950    。∴灌水阶段解析式为：y=10t﹣950。 （2）∵排水阶段解析式为：y=﹣20t+1500，∴令 y=0，即 0=﹣20t+1500，解得：t=75。 ∴排水时间为 75 分钟。 清洗时间为：95﹣75=20（分钟）， ∵根据图象可以得出游泳池蓄水量为 1500 m3， ∴1500=10t﹣950，解得：t=245。故灌水所用时间为：245﹣95=150（分钟）。 【考点】一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。 【分析】（1）根据图象上点的坐标利用待定系数法分别得出排水阶段解析式，以及清洗阶段：y=0 和灌水 阶段解析式即可。 （2）根据（1）中所求解析式，即可得出图象与 x 轴交点坐标，即可得出答案。 例 4：（2012 湖南娄底 3 分）已知反比例函数的图象经过点（﹣1，2），则它的解析式是【 】 A． 1y 2x B． 2y x C． 2y x D． 1y x 【答案】B。 【考点】待定系数法求反比例函数解析式，曲线上点的坐标与方程的关系。 【分析】设反比例函数图象设解析式为 ky x ， 将点（﹣1，2）代入 得，k=﹣1×2=﹣2。则函数解析式为 2y x 。故选 B。 例 5：（2012 江苏连云港 12 分）如图，抛物线 y＝－x2＋bx＋c 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C， 点 O 为坐标原点，点 D 为抛物线的顶点，点 E 在抛物线上，点 F 在 x 轴上，四边形 OCEF 为矩形，且 OF ＝2，EF＝3， (1)求抛物线所对应的函数解析式； (2)求△ABD 的面积； (3)将△AOC 绕点 C 逆时针旋转 90°，点 A 对应点为点 G，问点 G 是否在该抛物线上？请说明理由． 7 【答案】解：(1)∵四边形 OCEF 为矩形，OF＝2，EF＝3， ∴点 C 的坐标为(0，3)，点 E 的坐标为(2，3)． 把 x＝0，y＝3；x＝2，y＝3 分别代入 y＝－x2＋bx＋c，得 c=3 4+2b+c=3   ，解得 b=2 c=3    。 ∴抛物线所对应的函数解析式为 y＝－x2＋2x＋3。 (2)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4， ∴抛物线的顶点坐标为 D(1，4)。∴△ABD 中 AB 边的高为 4。 令 y＝0，得－x2＋2x＋3＝0，解得 x1＝－1，x2＝3。 ∴AB＝3－(－1)＝4。 ∴△ABD 的面积＝ 1 2 ×4×4＝8。 (3)如图，△AOC 绕点 C 逆时针旋转 90°，CO 落在 CE 所在的 直线上，由（1）(2)可知 OA＝1，OC=3， ∵点 A 对应点 G 的坐标为(3，2)。 ∵当 x＝3 时，y＝－32＋2×3＋3＝0≠2， ∴点 G 不在该抛物线上。 【考点】二次函数综合题，矩形的性质，曲线图上点的坐标与方程的关系，解一元二次方程，二次函数的 性质，旋转的性质。 【分析】(1)在矩形 OCEF 中，已知 OF、EF 的长，先表示出 C、E 的坐标，然后利用待定系数法确定该函 数的解析式。 (2)根据(1)的函数解析式求出 A、B、D 三点的坐标，以 AB 为底、D 点纵坐标的绝对值为高，可 求出△ABD 的面积。 (3)根据旋转条件求出点 A 对应点 G 的坐标，然后将点 G 的坐标代入抛物线的解析式中直接进行 判定即可。 例 6：（2012 江苏无锡 2 分）若抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点是 A（2，1），且经过点 B（1，0），则抛物线的 函数关系式为 ▲ ． 【答案】y=﹣x2+4x﹣3。 【考点】待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。 【分析】∵抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点是 A（2，1）， ∴可设抛物线的解析式为 y=a（x﹣2）2+1。 8 又∵抛物线 y=a（x﹣2）2+1 经过点 B（1，0）， ∴（1，0）满足 y=a（x﹣2）2+1。 ∴将点 B（1，0）代入 y=a（x﹣2）2 得，0=a（1﹣2）2 即 a=﹣1。 ∴抛物线的函数关系式为 y=﹣（x﹣2）2+1，即 y=﹣x2+4x﹣3。 例 7：（2012 浙江宁波 12 分）如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象交 x 轴于 A（﹣1，0）， B（2，0），交 y 轴于 C（0，﹣2），过 A，C 画直线． （1）求二次函数的解析式； （2）点 P 在 x 轴正半轴上，且 PA=PC，求 OP 的长； （3）点 M 在二次函数图象上，以 M 为圆心的圆与直线 AC 相切，切点为 H． ①若 M 在 y 轴右侧，且△CHM∽△AOC（点 C 与点 A 对应），求点 M 的坐标； ②若⊙M 的半径为 4 55 ，求点 M 的坐标． 【答案】解：（1）∵二次函数 y=ax2+bx+c 的图象交 x 轴于 A（﹣1，0）， B（2，0） ∴设该二次函数的解析式为：y=a（x+1）（ x﹣2）， 将 x=0，y=﹣2 代入，得﹣2=a（0+1）（ 0﹣2），解得 a=1。 ∴抛物线的解析式为 y=（x+1）（ x﹣2），即 y=x2﹣x﹣2。 （2）设 OP=x，则 PC=PA=x+1， 在 Rt△POC 中，由勾股定理，得 x2+22=（x+1）2， 解得，x= 3 2 ，即 OP= 。 （3）①∵△CHM∽△AOC，∴∠MCH=∠CAO。 （i）如图 1，当 H 在点 C 下方时， ∵∠MCH=∠CAO，∴CM∥x 轴，∴yM=﹣2。 ∴x2﹣x﹣2=﹣2，解得 x1=0（舍去），x2=1。 ∴M（1，﹣2）。 （ii）如图 2，当 H 在点 C 上方时， 9 ∵∠M′CH=∠CAO，∴PA=PC。 由（2）得，M′为直线 CP 与抛物线的另一交点， 设直线 CM′的解析式为 y=kx﹣2， 把 P（ 3 2 ，0）的坐标代入，得 k﹣2=0，解得 k= 4 3 。 ∴y= x﹣2。 由 x﹣2=x2﹣x﹣2，解得 x1=0（舍去），x2= 7 3 。 此时 y= 4 7 102=3 3 9 。 ∴M′（ 7 10 39 ， ）。 ②在 x 轴上取一点 D，如图 3，过点 D 作 DE⊥AC 于点 E，使 DE= 4 55 ， 在 Rt△AOC 中，AC= 2 2 2 2AO +CO = 1 +2 = 5 。 ∵∠COA=∠DEA=90°，∠OAC=∠EAD， ∴△AED∽△AOC， ∴ AD DE=AC OC ，即 4 5AD 5= 25 ，解得 AD=2。 ∴D（1，0）或 D（﹣3，0）。 过点 D 作 DM∥AC，交抛物线于 M，如图 则直线 DM 的解析式为：y=﹣2x+2 或 y=﹣2x﹣6。 当﹣2x﹣6=x2﹣x﹣2 时，即 x2+x+4=0，方程无实数根， 当﹣2x+2=x2﹣x﹣2 时，即 x2+x﹣4=0，解得 12 1 17 1+ 17xx22   ， 。 ∴点 M 的坐标为（ 1 17 3+ 172  ， ）或（ 1+ 17 3 172   ， ）。 【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，平行的判定和性质， 相似三角形的判定和性质，解一元二次方程。 【分析】（1）根据与 x 轴的两个交点 A、B 的坐标，故设出交点式解析式，然后把点 C 的坐标代入计算求 出 a 的值，即可得到二次函数解析式。 （2）设 OP=x，然后表示出 PC、PA 的长度，在 Rt△POC 中，利用勾股定理列式，然后解方程即 可。 10 （3）①根据相似三角形对应角相等可得∠MCH=∠CAO，然后分（i）点 H 在点 C 下方时，利用 同位角相等，两直线平行判定 CM∥x 轴，从而得到点 M 的纵坐标与点 C 的纵坐标相同，是-2，代入抛物 线解析式计算即可；（ii）点 H 在点 C 上方时，根据（2）的结论，点 M 为直线 PC 与抛物线的另一交点， 求出直线 PC 的解析式，与抛物线的解析式联立求解即可得到点 M 的坐标。 ②在 x 轴上取一点 D，过点 D 作 DE⊥AC 于点 E，可以证明△AED 和△AOC 相似，根据相 似三角形对应边成比例列式求解即可得到 AD 的长度，然后分点 D 在点 A 的左边与右边两种情况求出 OD 的长度，从而得到点 D 的坐标，再作直线 DM∥AC，然后求出直线 DM 的解析式，与抛物线解析式联立 求解即可得到点 M 的坐标。 练习题： 1. （2012 上海市 10 分）某工厂生产一种产品，当生产数量至少为 10 吨，但不超过 50 吨时，每吨的成本 y（万元/吨）与生产数量 x（吨）的函数关系式如图所示． （1）求 y 关于 x 的函数解析式，并写出它的定义域； （2）当生产这种产品的总成本为 280 万元时，求该产品的生产数量． （注：总成本=每吨的成本×生产数量） 2. （2012 山东菏泽 7 分）如图，一次函数 2y= x 23的图象分别与 x 轴、 y 轴交于点 A、B，以线段 AB 为边在第一象限内作等腰 Rt△ABC，∠BAC=90°．求过 B、C 两点直线的解析式． 3. （2012 甘肃兰州 4 分）近视眼镜的度数 y(度)与镜片焦距 x(m)成反比例，已知 400 度近视眼镜镜片的焦 距为 0.25m，则 y 与 x 的函数关系式为【 】 A． 400y= x B． 1y= 4x C． 100y= x D． 1y= 400x 4. （2012 广东佛山 8 分）(1)任选以下三个条件中的一个，求二次函数 y=ax2＋bx＋c 的解析式； 11 ①y 随 x 变化的部分数值规律如下表： ②有序数对（－1，0），（1，4），（3，0）满足 y=ax2＋bx＋c； ③已知函数 y=ax2＋bx＋c 的图象的一部分（如图）． (2)直接写出二次函数 y=ax2＋bx＋c 的三个性质． 5. （2012 山东莱芜 12 分）如图，顶点坐标为(2，－1)的抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与 y 轴交于点 C(0，3)， 与 x 轴交于 A、B 两点． (1)求抛物线的表达式； (2)设抛物线的对称轴与直线 BC 交于点 D，连接 AC、AD，求△ACD 的面积； (3)点 E 为直线 BC 上一动点，过点 E 作 y 轴的平行线 EF，与抛物线交于点 F．问是否存在点 E，使 得以 D、E、F 为顶点的三角形与△BCO 相似？若存在，求点 E 的坐标；若不存在，请说明理由 6. （2012 山东潍坊 11 分）如图，已知抛物线与坐标轴分别交于 A(－2，O)、B(2，0)、C(0，－l)三点，过 坐标原点 O 的直线 y=kx 与抛物线交于 M、N 两点．分别过点 C、D(0，－2)作平行于 x 轴的直线 1l 、 2l ． (1)求抛物线对应二次函数的解析式； (2)求证以 ON 为直径的圆与直线 相切； x －1 0 1 2 3 y 0 3 4 3 0 12 (3)求线段 MN 的长(用 k 表示)，并证明 M、N 两点到直线 2l 的距离之和等于线段 MN 的长． 五. 待定系数法在求解规律性问题中的应用： 近几年中考数学中常会出现一种寻找规律的题 型，其中有一类实际是高中数学中的等差数列或二阶等差数列，由于初中没有学习它们的通项公式和递推 法求二阶等差数列的通项，因此中考学生在确定数列的通项时有一定的困难。对于等差数列的通项公式  n 1 1a a n 1 d dn a d      (其中 a1 为首项，d 为公差，n 为正整数)，若将 n 看成自变量， an 看成函数， 则 an 是关于 n 的一次函数；若一列数 a1,a2,…an 满足 n n 1a a kn b   (其中 k,b 为常数)，则这列数是二阶 等差数列，即每一后项减去前项得到一新的数列，这一新数列是等差数列。它的通项 2 na an bn c   是关 于 n 的二次函数。前面，我们讲过用待定系数法确定函数解析式，由于数列是特殊的函数，因此我们可以 用待定系数法来确定等差数列和二阶等差数列的通项。 典型例题： 例 1：（2012 湖北孝感 3 分）2008 年北京成功举办了一届举世瞩目的奥运会，今年的奥运会将在英国伦敦 举行，奥运会的年份与届数如下表所示： 年份 1896 1900 1904 … 2012 届数 1 2 3 … n 表中 n 的值等于 ▲ ． 【答案】30。 【考点】分类归纳（数字的变化类），待定系数法。 【分析】寻找规律：设奥运会的届数为 x，年份为 y，二者之间的关系为 y=kx+b。 将（1，1896），（2，1900）代入，得 k+b=1896 2k+b=1900    ，解得 k=4 b=1892    。 ∴ y=4x+1892 。检验：（3，1904）符合。∴奥运会的届数与年份之间的关系为 。 13 当 y=2012 时， 2012=4x+1892 ，解得 x=30。 ∴n=30。 例 2：（2012 山西省 3 分）如图，是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则 第 n 个图案中阴影小三角形的个数是 ▲ ． 【答案】4n﹣2。 【考点】分类归纳（图形的变化类），待定系数法。 【分析】由图可知：第一个图案有阴影小三角形 2 个，第二图案有阴影小三角形 6 个，第三个图案有阴影 小三角形 10 个，…，即形成数对（1，2），（2，6），（3，10），…。 设阴影小三角形的个数与图案的次序之间的关系为 y=kx+b， 将（1，2），（2，6）代入，得 k+b=2 2k+b=6    ，解得 k=4 b= 2    。 ∴ y=4x 2 。检验：（3，10）符合。∴阴影小三角形的个数与图案的次序之间的关系为 。 ∴当 x= n 时， y=4n 2 。 ∴第 n 个图案中阴影小三角形的个数是 4n 2 。 例 3：（2012 湖南永州 3 分）我们把按照一定顺序排列的一列数称为数列，如 1，3，9，19，33，…就是一 个数列，如果一个数列从第二个数起，每一个数与它前一个数的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做 等差数列，这个常数叫做这个等差数列的公差．如 2，4，6，8，10 就是一个等差数列，它的公差为 2．如 果一个数列的后一个数与前一个数的差组成的新数列是等差数列，则称这个数列为二阶等差数列．例如数 列 1，3，9，19，33，…，它的后一个数与前一个数的差组成的新数列是 2，6，10，14，…，这是一个公 差为 4 的等差数列，所以，数列 1，3，9，19，33，…是一个二阶等差数列．那么，请问二阶等差数列 1， 3，7，13，…的第五个数应是 ▲ ． 【答案】21。 【考点】新定义，分类归纳（数字的变化类），待定系数法。 【分析】由已知，二阶等差数列 1，3，7，13，…与次序之间形成数对（1，1），（2，3），（3，7）， （4，13）…。 设二阶等差数列与次序之间的关系为 2y=ax +bx+c ， 14 将（1，1），（2，3），（3，7）代入，得 a+b+c=1 4a+2b+c=3 9a+3b+c=7    ，解得 a=1 b= 1 c=1     。 ∴ 2y=x x+1 。检验：（4，13）符合。∴二阶等差数列与次序之间的关系为 。 ∴当 x= 5 时， y=21。 ∴二阶等差数列 1，3，7，13，…的第五个数应是 21。 练习题： 1. （2012 山东济宁 6 分）问题情境： 用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，则第 2012 个图共有多少枚棋子？ 建立模型： 15 有些规律问题可以借助函数思想来探讨，具体步骤：第一步，确定变量；第二步：在直角坐标系中画出函 数图象；第三步：根据函数图象猜想并求出函数关系式；第四步：把另外的某一点代入验证，若成立，则 用这个关系式去求解． 解决问题： 根据以上步骤，请你解答“问题情境”． 2.（2012 江苏宿迁 3 分）按照如图所示的方法排列黑色小正方形地砖，则第 14 个图案中黑色小正方形地 砖的块数是 ▲ . 3.（2012 广西桂林 3 分）下图是在正方形网格中按规律填成的阴影，根据此规律，则第 n 个图中阴影部 分小正方形的个数是 ▲ ． 4.（2012 青海省 2 分）观察下列一组图形： 16 它们是按一定规律排列的，依照此规律，第 n 个图形中共有 ▲ 个★． 5.（2012 浙江宁波 6 分）用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放： （1）第 5 个图形有多少黑色棋子？ （2）第几个图形有 2013 颗黑色棋子？请说明理由． 六. 待定系数法在几何问题中的应用： 在几何问题中，常有一些比例问题（如相似三角形对 应边成比例，平行线截线段成比例，锐角三角函数等），对于这类问题应用消除待定系数法，通过设定待 定参数，把相关变量用它表示，代入所求，从而使问题获解。 典型例题： 例 1：（2012 江苏南京 2 分）如图，菱形纸片 ABCD 中，∠A=600，将纸片折叠，点 A、D 分别落在 A’、D’ 处，且 A’D’经过 B，EF 为折痕，当 D’F  CD 时， CF FD 的值为【 】 A. 31 2  B. 3 6 C. 2 3 1 6  D. 31 8  【答案】A。 【考点】翻折变换（折叠问题），菱形的性质，平行的性质，折叠的性质，锐角三角函数定义，特殊角的 三角函数值。 【分析】延长 DC 与 A′D′，交于点 M， ∵在菱形纸片 ABCD 中，∠A=60°， ∴∠DCB=∠A=60°，AB∥CD。 17 ∴∠D=180°-∠A=120°。 根据折叠的性质，可得 ∠A′D′F=∠D=120°， ∴∠FD′M=180°-∠A′D′F=60°。 ∵D′F⊥CD，∴∠D′FM=90°，∠M=90°-∠FD′M=30°。 ∵∠BCM=180°-∠BCD=120°，∴∠CBM=180°-∠BCM-∠M=30°。∴∠CBM=∠M。 ∴BC=CM。 设 CF=x，D′F=DF=y， 则 BC=CM=CD=CF+DF=x+y。∴FM=CM+CF=2x+y， 在 Rt△D′FM 中，tan∠M=tan30°= D F y 3 FM 2x y 3   ，∴ 3-1xy2 。 ∴ CF x 3-1 FD y 2 。故选 A。 例 2：（2012 江苏扬州 3 分）如图，将矩形 ABCD 沿 CE 折叠，点 B 恰好落在边 AD 的 F 处，如果 AB 2 BC 3 ， 那么 tan∠DCF 的值是 ▲ ． 【答案】 5 2 。 【考点】翻折变换(折叠问题)，翻折对称的性质，矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数定义。 【分析】∵四边形 ABCD 是矩形，∴AB＝CD，∠D＝90°， ∵将矩形 ABCD 沿 CE 折叠，点 B 恰好落在边 AD 的 F 处，∴CF＝BC， ∵ AB 2 BC 3 ，∴ CD 2 CF 3 。∴设 CD＝2x，CF＝3x， ∴ 22DF= CF CD 5x。∴tan∠DCF＝ DF 5x 5=CD 2x 2 。 例 3：（2012 贵州铜仁 10 分）如图，定义：在直角三角形 ABC 中，锐角 α 的邻边与对边的比叫做角 α 的 余切，记作 ctanα，即 ctanα= AC BC   角 的 角 的 邻边 对边 ，根据上述角的余切定义，解下列问题： （1）ctan30°= ； 18 （2）如图，已知 tanA= 4 3 ，其中∠A 为锐角，试求 ctanA 的值． 例 4：（2012 江苏镇江 11 分）等边△ABC 的边长为 2，P 是 BC 边上的任一点（与 B、C 不重合），连接 AP，以 AP 为边向两侧作等边△APD 和等边△APE，分别与边 AB、AC 交于点 M、N（如图 1）。 （1）求证：AM=AN； （2）设 BP=x。 ①若，BM= 3 8 ，求 x 的值； ②记四边形 ADPE 与△ABC 重叠部分的面积为 S，求 S 与 x 之间的函数关系式以及 S 的最小值； ③连接 DE，分别与边 AB、AC 交于点 G、H（如图 2），当 x 取何值时，∠BAD=150？并判断此时以 DG、 GH、HE 这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，请说明理由。 19 【答案】解：（1）证明：∵△ABC、△APD 和△APE 都是等边三角形， ∴AD=AP，∠DAP=∠BAC=600，∠ADM=∠APN=600。∴∠DAM=∠PAN。 ∴△ADM≌△APN（ASA）， ∴AM=AN。 （2）①易证△BPM∽△CAP，∴ BM BP CP CA ， ∵BN= 3 8 ，AC=2，CP=2－x，∴ 3 x8 2 x 2 ，即 24x 8x+3=0 。 解得 x= 1 2 或 x= 3 2 。 ②四边形 AMPN 的面积即为四边形 ADPE 与△ABC 重叠部分的面积。 ∵△ADM≌△APN，∴ ADM APNSS 。 ∴ APM ANP APM ADM ADPAMPNS S S S S S        四 形边 。 如图，过点 P 作 PS⊥AB 于点 S，过点 D 作 DT⊥AP 于点 T，则点 T 是 AP 的中 点。 在 Rt△BPS 中，∵∠P=600，BP=x， ∴PS=BPsin600= 3 2 x，BS=BPcos600= x。 ∵AB=2，∴AS=AB－BC=2－ x。 ∴ 22 2 2 2 213AP AS PS 2 x + x =x 2x+422     ＋ 。 ∴ 2 ADP 1 1 3 3S AP DT AP AP= AP2 2 2 4       。 ∴      222 ADPAMPN 3 3 3 3 3S S S AP x 2x+4 x 1 + 0 x 24 4 4 4 <<      四 形边 。 ∴当 x=1 时，S 的最小值为 33 4 。 ③连接 PG，设 DE 交 AP 于点 O。 若∠BAD=150， ∵∠DAP =600，∴∠PAG =450。 ∵△APD 和△APE 都是等边三角形， ∴AD=DP=AP=PE=EA。 ∴四边形 ADPE 是菱形。 ∴DO 垂直平分 AP。 20 ∴GP=AG。∴∠APG =∠PAG =450。 ∴∠PGA =900。 设 BG=t， 在 Rt△BPG 中，∠B=600，∴BP=2t，PG= 3t 。∴AG=PG= 。 ∴ 3t+t=2，解得 t= 3 －1。∴BP=2t=2 －2。 ∴当 BP= 2 －2 时，∠BAD=150。 猜想：以 DG、GH、HE 这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。 ∵四边形 ADPE 是菱形，∴AO⊥DE，∠ADO=∠AEH=300。 ∵∠BAD=150，∴易得∠AGO=450，∠HAO=150，∠EAH=450。 设 AO=a，则 AD=AE=2 a，OD= a。∴DG=DO－GO=（ －1）a。 又∵∠BAD=150，∠BAC=600，∠ADO=300，∴∠DHA=∠DAH=750。 ∵DH=AD=2a， ∴GH=DH－DG=2a－（ －1）a=（3－ ）a， HE=2DO－DH=2 a－2a=2（ －1）a。 ∵      222 2 2DG GH 3 1 a + 3 3 a = 16 8 3 a           ，    222HE 2 3 1 a = 16 8 3 a   ， ∴ 2 2 2DG GH HE。 ∴以 DG、GH、HE 这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。 【考点】等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，锐 角三角函数定义，特殊角的三角函数值，二次函数的最值，菱形的判定和性质，勾股定理和逆定理。 【分析】（1）由△ABC、△APD 和△APE 都是等边三角形可得边角的相等关系，从而用 ASA 证明。 （2）①由△BPM∽△CAP，根据对应边成比例得等式，解方程即可。 ②应用全等三角形的判定和性质，锐角三角函数和勾股定理相关知识求得 ADPAMPNSS四 形边 ， 用 x 的代数式表示 S，用二次函数的最值原理求出 S 的最小值。 ③由∠BAD=150 得到四边形 ADPE 是菱形，应用相关知识求解。 求出 DG、GH、HE 的表达式，用勾股定理逆定理证明。 21 练习题： 1. （2012 江苏连云港 3 分）小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片 ABCD 沿过点 B 的直线折叠，使点 A 落在 BC 上的点 E 处，还原后，再沿过点 E 的直线折叠，使点 A 落在 BC 上的点 F 处，这样就可以求出 67.5°角的正切值是【 】 A． 3 ＋1 B． 2 ＋1 C．2.5 D． 5 2. （2012 广西河池 3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AD＞AB，将矩形 ABCD 折叠，使点 C 与点 A 重合， 折痕为 MN，连结 CN．若△CDN 的面积与△CMN 的面积比为 1︰4，则 MN BM 的值为【 】 A．2 B．4 C． 25 D． 26 3. （2012 广西柳州 10 分）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦． （1）请你按下面步骤画图（画图或作辅助线时先使用铅笔画出，确定后必须使用黑色字迹的签字笔描黑）； 第一步，过点 A 作∠BAC 的角平分线，交⊙O 于点 D； 第二步，过点 D 作 AC 的垂线，交 AC 的延长线于点 E． 第三步，连接 BD． （2）求证：AD2=AE•AB； （3）连接 EO，交 AD 于点 F，若 5AC=3AB，求 EO FO 的值． 4. （2012 黑龙江哈尔滨 10 分）已知：在△ABC 中，∠ACB=900，点 P 是线段 AC 上一点，过点 A 作 AB 22 的垂线，交 BP 的延长线于点 M，MN⊥AC 于点 N，PQ⊥AB 于点 Q，A0=MN． （1）如图 l，求证：PC=AN； （2） 如图2，点 E 是MN 上一点，连接EP 并延长交BC于点K，点 D 是AB 上一点，连接DK，∠DKE=∠ABC， EF⊥PM 于点 H，交 BC 延长线于点 F，若 NP=2，PC=3，CK： CF=2：3，求DQ 的长． 5. （2012 四川泸州 9 分）如图，△ABC 内接于⊙O，AB 是⊙O 的直径，C 是的弧 AD 中点，弦 CE⊥AB 于点 H，连结 AD，分别交 CE、BC 于点 P、Q，连结 BD。 (1)求证：P 是线段 AQ 的中点； (2)若⊙O 的半径为 5，AQ=15 2 ，求弦 CE 的长。