中考数学解题指导专题6：不等式（组）应用探讨 51页

1 【2013 年中考攻略】专题 6：不等式（组）应用探讨 初中数学中一元一次不等式（组）的应用是一项重要内容，也是中考中与列方程（组）解应用题二选 一（或同题）的必考内容。一元一次不等式（组）的应用基本步骤为： ①审（审题）； ②找（找出题中的已知量、未知量和所涉及的基本数量关系、相等和不等关系）； ③设（设定未知数，包括直接未知数或间接未知数）； ④表（用所设的未知数的代数式表示其他的相关量）； ⑤列（列不等式（组））； ⑥解（解不等式（组））； ⑦选（选取适合题意的值）； ⑧答（回答题问）。 一元一次不等式（组）的应用包括（1）根据题中关键字（图）列不等式问题；（2）分配问题；（3） 生产能力问题；（ 4）方案选择与设计问题；（5）分段问题；（6）在函数问题中的应用问题。下面通过近年 全国各地中考的实例探讨其应用。 一、根据题中关键字（图）列不等式问题：这类题一定要抓住题目中的关键文字，比如：大、 小、大于、小于、至多、至少、不大于、不小于等，根据这些关键字直接列出不等式。这类问题包括行程 问题、工程问题、浓度问题、销售问题、几何问题等。 典型例题： 例 1. （2012 湖北恩施 3 分）某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失 10%，假设不计 超市其他费用，如果超市要想至少获得 20%的利润，那么这种水果的售价在进价的基础上应至少提高 【 】 A．40% B．33.4% C．33.3% D．30% 【答案】B。 【考点】一元一次不等式的应用。 【分析】设购进这种水果 a 千克，进价为 b 元/千克，这种水果的售价在进价的基础上应提高 x，则售价为 （1+x）b 元/千克，根据题意得：购进这批水果用去 ab 元，但在售出时，大樱桃只剩下（1﹣10%）a 千克， 售货款为（1﹣10%）a（1+x）b=0.9a（1+x）b 元，根据公式：利润率=（售货款－进货款）÷进货款×100% 可列出不等式： [0.9a（1+x）b－ab]÷ab·100%≥20%，解得 x≥ 1 3 。 2 ∵超市要想至少获得 20%的利润，∴这种水果的售价在进价的基础上应至少提高 33.4%。 故选 B。 例 2. （2012 湖北荆州 3 分）已知点 M（1﹣2m，m﹣1）关于 x 轴的对称点在第一象限，则 m 的取值范围 在数轴上表示正确的是【 】 A． B． C． D． 【答案】A。 【考点】关于 x 轴对称的点坐标的特征，平面直角坐标系中各象限点的特征，解一元一次不等式组，在数 轴上表示不等式的解集。 【分析】由题意得，点 M 关于 x 轴对称的点的坐标为：（1﹣2m，1﹣m）， 又∵M（1﹣2m，m﹣1）关于 x 轴的对称点在第一象限， ∴ 1 2m 0 1 m 0 > >    ，解得： 1m 2 m1 < <   ，在数轴上表示为： 。故选 A。 例 3. （2012 山东淄博 4 分）篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜 1 场得 2 分，负 1 场得 1 分．某 队预计在 2012—2013 赛季全部 32 场比赛中最少得到 48 分，才有希望进入季后赛．假设这个队在将要举 行的比赛中胜 x 场，要达到目标，x 应满足的关系式是【 】 (A) 2x (32 x)≥48 (B) 2x (32 x)≥48 (C) 2x (32 x)≤48 (D) 2x ≥48 【答案】A。 【考点】一元一次不等式的应用。 【分析】因为假设这个队在将要举行的比赛中胜 x 场，则负 32－x 场。总得分为 2x (32 x)，根据“全部 32 场比赛中最少得到 48 分”得不等式 ≥48。故选 A。 例 4. （2012 四川凉山 4 分）某商品的售价是 528 元，商家出售一件这样的商品可获利润是进价的 10%～ 20%，设进价为 x 元，则 x 的取值范围是 ▲ 。 【答案】440≤x≤480。 【考点】一元一次不等式组的应用。 【分析】根据：售价=进价×（1+利润率），可得：进价=售价 1+利润率 ，商品可获利润（10%～20%）， 即售价至少是进价（1+10%）倍，最多是进价的 1+20%倍，据此可到不等式组： 528 1+20% ≤x≤528 1+10% ， 解得 440≤x≤480。 3 ∴x 的取值范围是 440≤x≤480。 例 5.（2012 贵州安顺 4 分）如图，a，b，c 三种物体的质量的大小关系是 ▲ ． 【答案】a＞b＞c。 【考点】一元一次不等式的应用。 【分析】如图知 2a=3b，2b＞3c。 由 2a=3b 得 a＞b；由 2b＞3c 得 b＞c。 ∴a＞b＞c。 例 6.（2012 青海西宁 2 分）某饮料瓶上这样的字样：Eatable Date 18 months．如果用 x(单位：月)表示 Eatable Date(保质期)，那么该饮料的保质期可以用不等式表示为 ▲ ． 【答案】x≤18。 【考点】一元一次不等式的应用，生活中数学。 【分析】读懂题列出不等关系式即可： 一般饮料和食品应在保质期内，即不超过保质期的时间内食用，那么该饮料的保质期可以用不等 式表示为 x≤18。 例 7. （2011 山东东营 4 分）如图，用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块，随着铁钉的深入．铁钉所受 的阻力也越来越大，当铁钉未进入木块部分长度足够时，每次钉入木块妁铁钉长度是前一次的 1 3 ，已知这 个铁钉被敲击 3 次后全部进入木块(木块足够厚)．且第一次敲击后，铁钉进入木块的长度是 a cm，若铁钉 总长度为 6 cm，则 的取值范围是 ▲ 。 【答案】 54 9 13 2a< 。 【考点】一元一次不等式组的应用。 【分析】由题意得敲击 2 次后铁钉进入木块的长度是 a + 1 3 a ，而此时还要敲击 1 次，所以两次敲打进去 的长度要小于 6，经过三次敲打后全部进入，所以三次敲打后进入的长度要大于等于 6，列出不等式组 4 11639 1 63 a a a a a <       ，解之，得 54 9 13 2a< 。 例 8. （2012 广东省 3 分）已知三角形两边的长分别是 4 和 10，则此三角形第三边的长可能是【 】 A． 5 B． 6 C． 11 D． 16 【答案】C。 【考点】三角形三边关系。 【分析】设此三角形第三边的长为 x，则根据 三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的构成条 件，得 10﹣4＜x＜10+4，即 6＜x＜14，四个选项中只有 11 符合条件。故选 C。 例 9. （2012 广东珠海 6 分）某商店第一次用 600 元购进 2B 铅笔若干支，第二次又用 600 元购进该款铅 笔，但这次每支的进价是第一次进价的 5 4 倍，购进数量比第一次少了 30 支． （1）求第一次每支铅笔的进价是多少元？ （2）若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于 420 元，问每支售价至少是多少元？ 【答案】解：（1）设第一次每支铅笔进价为 x 元，由第二次每支铅笔进价为 5 4 x 元。 根据题意列方程得， 600 600 =305x x4  ，解得，x=4。 检验：当 x=4 时，分母不为 0， ∴x=4 是原分式方程的解。 答：第一次每支铅笔的进价为 4 元。 （2）设售价为 y 元，根据题意列不等式为：  600 600 5y 4 + y 4 4205444 4       解得，y≥6。 答：每支售价至少是 6 元。 【考点】分式方程和一元一次不等式组的应用。 【分析】（1）方程的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解。设第一次每支铅笔进价为 x 元，由 第二次每支铅笔进价为 x 元。本题等量关系为： 第一次购进数量－第二次购进数量=30 600 x － 600 5 x4 =30。 5 （2）设售价为 y 元，求出利润表达式，然后列不等式解答。利润表达式为： 第一次购进数量×第一次每支铅笔的利润＋第二次购进数量×第二次每支铅笔的利润 600 4 ·  y4 ＋ 600 54 4 · 5y44  。 例 10. （2012 浙江湖州 10 分）为进一步建设秀美、宜居的生态环境，某村欲购买甲、乙、丙三种树美化 村庄，已知甲、乙丙三种树的价格之比为 2：2：3，甲种树每棵 200 元，现计划用 210000 元资金，购买这 三种树共 1000 棵． （1）求乙、丙两种树每棵各多少元？ （2）若购买甲种树的棵树是乙种树的 2 倍，恰好用完计划资金，求这三种树各能购买多少棵？ （3）若又增加了 10120 元的购树款，在购买总棵树不变的前提下，求丙种树最多可以购买多少棵？ 【答案】解：（1）已知甲、乙丙三种树的价格之比为 2：2：3，甲种树每棵 200 元， ∴乙种树每棵 200 元，丙种树每棵 3 2 ×200=300（元）。 （2）设购买乙种树 x 棵，则购买甲种树 2x 棵，丙种树（1000－3x）棵． 根据题意：200·2x＋200x＋300（1000－3x）=210000， 解得 x=30。 ∴2x=600，1000－3x=100， 答：能购买甲种树 600 棵，乙种树 300 棵，丙种树 100 棵。 （3）设购买丙种树 y 棵，则甲、乙两种树共（1000－y）棵， 根据题意得：200（1000－y）＋300y≤210000＋10120， 解得：y≤201.2。 ∵y 为正整数，∴y 最大为 201。 答：丙种树最多可以购买 201 棵。 【考点】一元一次方程和一元一次不等式的应用。 【分析】（1）利用已知甲、乙丙三种树的价格之比为 2：2：3，甲种树每棵 200 元，即可求出乙、丙两种 树每棵钱数。 （2）设购买乙种树 x 棵，则购买甲种树 2x 棵，丙种树（1000-3x）棵，利用（1）中所求树木价格 以及现计划用 210000 元资金购买这三种树共 1000 棵，得出等式方程，求出即可。 （3）设购买丙种树 y 棵，则甲、乙两种树共（1000－y）棵，根据题意列不等式，求出即可。 例 11. （2012 福建福州 11 分）某次知识竞赛共有 20 道题，每一题答对得 5 分，答错或不答都扣 3 分． 6 (1) 小明考了 68 分，那么小明答对了多少道题？ (2) 小亮获得二等奖(70～90 分)，请你算算小亮答对了几道题？ 例 12. （2012 湖南岳阳 8 分）岳阳王家河流域综合治理工程已正式启动，其中某项工程，若由甲、乙两建 筑队合做，6 个月可以完成，若由甲、乙两队独做，甲队比乙队少用 5 个月的时间完成． （1）甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月的时间？ （2）已知甲队每月施工费用为 15 万元，比乙队多 6 万元，按要求该工程总费用不超过 141 万元，工程必 须在一年内竣工（包括 12 个月）．为了确保经费和工期，采取甲队做 a 个月，乙队做 b 个月（a、b 均为整 数）分工合作的方式施工，问有哪几种施工方案？ 【答案】解：（1）设乙队需要 x 个月完成，则甲队需要（x﹣5）个月完成，根据题意得： 1 1 1+=x 5 x 6 ，解得：x=15。 经检验 x=15 是原方程的根。 当 x=15 时，x﹣5=10。 答：甲队需要 10 个月完成，乙队需要 15 个月完成。 7 （2）根据题意得：15a+9b≤141， ab+ =110 15 ，解得：a≤4 b≥9。 ∵a、b 都是整数，∴a=2，b=12 或 a=4，b=9。 ∴有 2 种施工方案：甲队做 2 个月，乙队做 12 个月；甲队做 4 个月，乙队做 9 个月。 【考点】分式方程和一元一次不等式组的应用。 【分析】（1）设乙队需要 x 个月完成，则甲队需要（x﹣5）个月完成，根据两队合作 6 个月完成求得 x 的 值即可。 （2）根据费用不超过 141 万元列出一元一次不等式求解即可。 例 14. （2011 江西省 B 卷 9 分）小明家需要用钢管做防盗窗，按设计要求需要用同种规格、每根长 6 米 的钢管切割成长 0.8 米的钢管及长 2.5 米的钢管.﹙余料作废﹚ （1）现切割一根长 6 米的钢管，且使余料最少.问能切出长 0.8 米及 2.5 米的钢管各多少根？ （2）现需要切割出长 0.8 米的钢管 89 根，2.5 米的钢管 24 根.你能用 23 根长 6 米的钢管完成切割吗？ 若能，请直接写出切割方案；若不能，请说明理由. 【答案】解：（1）若只切割 1 根长 2.5 米的钢管，则剩下 3.5 米长的钢管还可以切割长 0.8 米的钢管 4 根，此时还剩余料 0.3 米； 若切割 2 根长 2.5 米的钢管，则剩下 1 米长的钢管还可以切割长 0.8 米的钢管 1 根，此时还剩 余料 0.2 米。 ∴当切割 2 根长 2.5 米的钢管、1 根长 0.8 米的钢管时，余料最少。 （2）能。切割方案如下： 8 切割一根长 6 米的钢管，有三种切割方法： 方法 1：切割 7 根 0.8 米的钢管； 方法 2：切割 4 根 0.8 米的钢管，1 根长 2.5 米的钢管； 方法 3：切割 1 根 0.8 米的钢管，2 根长 2.5 米的钢管。 因此，有 12 种切割方案： （1）按方法 2 切割 22 根，按方法 3 切割 1 根； （2） 按方法 1 切割 1 根，按方法 2 切割 20 根，按方法 3 切割 2 根； （3） 按方法 1 切割 2 根，按方法 2 切割 18 根，按方法 3 切割 3 根； （4）按方法 1 切割 3 根，按方法 2 切割 16 根，按方法 3 切割 4 根； （5） 按方法 1 切割 4 根，按方法 2 切割 14 根，按方法 3 切割 5 根； （6）按方法 1 切割 5 根，按方法 2 切割 12 根，按方法 3 切割 6 根； （7） 按方法 1 切割 6 根，按方法 2 切割 10 根，按方法 3 切割 7 根； （8） 按方法 1 切割 7 根，按方法 2 切割 8 根，按方法 3 切割 8 根； （9） 按方法 1 切割 8 根，按方法 2 切割 6 根，按方法 3 切割 9 根； （10）按方法 1 切割 9 根，按方法 2 切割 4 根，按方法 3 切割 10 根； （11）按方法 1 切割 10 根，按方法 2 切割 2 根，按方法 3 切割 11 根； （12）按方法 1 切割 11 根，按方法 3 切割 12 根。 【考点】三元一次方程组和一元一次不等式组的应用。 【分析】（1）因为两种钢管都要切，切成 2.5 米的有两种可能性，讨论这这两种可能性看看结果即可得到 答案。 （2）设按方法 1 切割 x 根，按方法 2 切割 y 根，按方法 3 切割 z 根，根据题意，得 23 17 4 89 24 22 24 x y z xzx y z yzyz          。 由 1 240 23 0 1 23 1 1210 23 0 24 2 23 122 zxz zyzz                   。 ∵ z 为正整数，∴ z 取 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12。 ∴可得 12 种方案。 练习题： 9 1.（2011 黑龙江龙东五市 3 分）把一些笔记本分给几个学生，如果每人分 3 本，那么余 8 本；如果前面的 每个学生分 5 本，那么最后一人就分不到 3 本。则共有学生【 】 A、4 人 B、5 人 C、6 人 D、5 人或 6 人 2.（2011 山东菏泽 3 分）某种商品的进价为 800 元，出售时标价为 1200 元，后来由于该商品积压，商店 准备打折销售，但要保证利润率不低于 5%，则至多可打 A、6 折 B、7 折 C、8 折 D、9 折 3. （2011 青海省 3 分）如图，天平右盘中的每个砝码的质量都是 1 克，则物体 A 的质量 m 克的取值范围 表示在数轴上为 【 】 A B C D 4.（2011 山东临沂 3 分）有 3 人携带会议材料乘坐电梯，这 3 人的体重共 210kg．毎梱材料重 20kg．电梯 最大负荷为 1050kg，则该电梯在此 3 人乘坐的情况下最多还能搭载 ▲ 捆材枓． 5. （2011 湖北襄阳 3 分）我国从 2011 年 5 月 1 日起在公众场所实行“禁烟”，为配合“禁烟”行动，某校组 织开展了“吸烟有害健康”的知识竞赛，共有 20 道题．答对一题记 10 分，答错（或不答） 一题记﹣5 分．小 明参加本次竞赛得分要超过 100 分，他至少要答对 ▲ 道题． 6.（2011 宁夏自治区 3 分）在一次社会实践活动中，某班可筹集到的活动经费最多 900 元．此次活动租车 需 300 元，每个学生活动期间所需经费 15 元，则参加这次活动的学生人数最多为 ▲ ． 7. （2012 海南省 3 分）一个三角形的两边长分别为 3cm 和 7cm，则此三角形的第三边的长可能是【 】 A．3cm B．4cm C．7cm D．11cm 8. （2012 浙江义乌 3 分）如果三角形的两边长分别为 3 和 5，第三边长是偶数，则第三边长可以是【 】 A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】C。 【考点】三角形三边关系。 【分析】由题意，令第三边为 x，则 5﹣3＜x＜5+3，即 2＜x＜8。 ∵第三边长为偶数，∴第三边长是 4 或 6。 ∴三角形的三边长可以为 3、5、4 或 3、5、6。故选 C。 10 9. （2012 四川自贡 10 分）暑期中，哥哥和弟弟二人分别编织 28 个中国结，已知弟弟单独编织一周（7 天）不能完成，而哥哥单独编织不到一周就已完成．哥哥平均每天比弟弟多编 2 个． 求：（1）哥哥和弟弟平均每天各编多少个中国结？（答案取整数） （2）若弟弟先工作 2 天，哥哥才开始工作，那么哥哥工作几天，两人所编中国结数量相同？ 10. （2012 山东菏泽 7 分）我市某校为了创建书香校园，去年购进一批图书．经了解，科普书的单价比文 学书的单价多 4 元，用 12000 元购进的科普书与用 8000 元购进的文学书本数相等．今年文学书和科普书 的单价和去年相比保持不变，该校打算用 10000 元再购进一批文学书和科普书，问购进文学书 550 本后至 多还能购进多少本科普书？ 11. （2012 山东潍坊 9 分）为了援助失学儿童，初三学生李明从 2012 年 1 月份开始，每月一次将相等数 额的零用钱存入已有部分存款的储蓄盒内，准备每 6 个月一次将储蓄盒内存款一并汇出(汇款手续费不 计)．已知 2 月份存款后清点储蓄盒内有存款 80 元，5 月份存款后清点储蓄盒内有存款 125 元． (1)在李明 2012 年 1 月份存款前，储蓄盒内已有存款多少元? (2)为了实现到 2015 年 6 月份存款后存款总数超过 1000 元的目标，李明计划从 2013 年 1 月份开始， 每月存款都比 2012 年每月存款多 t 元(t 为整数)，求 t 的最小值． 12. （2012 内蒙古包头 10 分）某商场用 3600 元购进甲、乙两种商品，销售完后共获利 6000 元．其中甲 种商品每件进价 120 元，售价 138 元；乙种商品每件进价 100 元，售价 120 元。 （1）该商场购进甲、乙两种商品各多少件？ （2）商场第二次以原进价购进甲、乙两种商品。购进乙种商品的件数不变，而购进甲种商品的件数是 第一次的 2 倍，甲种商品按原售价出售，而乙种商品打折销售。若两种商品销售完毕，要使第二次经营活 动获利不少于 8160 元，乙种商品最低售价为每件多少元？ 13. （2012 黑龙江哈尔滨 8 分）同庆中学为丰富学生的校园生活，准备从军跃体育用品商店一次性购买若 干个足球和篮球(每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同)，若购买 3 个足球和 2 个篮球共需 310 元．购 买 2 个足球和 5 个篮球共需 500 元． （1）购买一个足球、一个篮球各需多少元? （2）根据同庆中学的实际情况，需从军跃体育用品商店一次性购买足球和篮球共 96 个．要求购买足球和 篮球的总费用不超过 5720 元，这所中学最多可以购买多少个篮球? 14. （2011 四川绵阳 12 分）王伟准备用一段长 30 米的篱笆围成一个三角形形状的小圈，用于饲养家兔．已 知第一条边长为 a 米，由于受地势限制，第二条边长只能是第一条边长的 2 倍多 2 米． （1）请用 表示第三条边长； （2）问第一条边长可以为 7 米吗？请说明理由，并求出 的取值范围； 11 （3）能否使得围成的小圈是直角三角形形状，且各边长均为整数？若能，说明你的围法；若不能， 说明理由． 15. （2011 浙江温州 12 分）2011 年 5 月 20 日是第 22 个中国学生营养日，某校社会实践小组在这天开展 活动，调查快餐营养情况．他们从食品安全监督部门获取了一份快餐的信息（如图）．根据信息，解答下 列问题． （1）求这份快餐中所含脂肪质量； （2）若碳水化合物占快餐总质量的 40%，求这份快餐所含蛋白质的质量； （3）若这份快餐中蛋白质和碳水化合物所占百分比的和不高于 85%，求其中所含碳水化合物质量的最大 值． 二、分配问题：这类题的特点是各种产品中所需的某种原料之和应小于等于所给的这种原料。 典型例题： 例1. （2012山东日照4分）某校学生志愿服务小组在“学雷锋”活动中购买了一批牛奶到敬老院慰问老人.如 果分给每位老人4盒牛奶，那么剩下28盒牛奶；如果分给每位老人5盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶 不足4盒，但至少1盒.则这个敬老院的老人最少有【 】 （A）29 人 （B）30 人 （C）31 人 （D）32 人 【答案】B。 【考点】一元一次不等式组的应用。 【分析】设这个敬老院的老人有 x 人，则有牛奶（4x＋28）盒，根据关键语句“如果分给每位老人 5 盒牛 奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足 4 盒，但至少 1 盒”可得不等式组：     4x 28 5 x 1 4 4x 28 5 x 1 1 <        ， 解得：29＜x≤32。 ∵x 为整数，∴x 最少为 30。故选 B。 例 2. （2012 辽宁朝阳 12 分）为支持抗震救灾，我市 A、B 两地分别的赈灾物资 100 吨和 180 吨。需全部 运往重灾区 C、D 两县，根据灾区的情况，这批赈灾物资运往 C 县的数量比运往 D 县的数量的 2 倍少 80 12 吨。 （1）求这批赈灾物资运往 C、D 两县的数量各是多少吨？ （2）设 A 地运往 C 县的赈灾物资为 x 吨（x 为整数），若要 B 地运往 C 县的赈灾物资数量大于 A 地运 往 D 县的赈灾物资数量的 2 倍，且要求 B 地运往 D 县的赈灾物资数量不超过 63 吨，则 A、B 两地的赈灾 物资运往 C、D 两县的方案有几种？ 例 3. （2012 浙江温州 12 分）温州享有“中国笔都”之称，其产品畅销全球，某制笔企业欲将 n 件产品运往 13 A,B,C 三地销售，要求运往 C 地的件数是运往 A 地件数的 2 倍，各地的运费如图所示。设安排 x 件产品运 往 A 地。 （1）当 n 200 时， ①根据信息填表： A 地 B 地 C 地 合计 产品件数（件） 2x 200 运费（元） 30 ②若运往 B 地的件数不多于运往 C 地的件数，总运费不超过 4000 元，则有哪几种运输方案？ （2）若总运费为 5800 元，求 n 的最小值。 【答案】解：（1）①根据信息填表 A 地 B 地 C 地 合计 产品件数（件） 200 3x 200 运费（元） 30 1600 24x 50x 56x+1600 ②由题意，得 200 3x 2x 1600 56x 4000    ，解得 40≤x≤ 642 7 。 ∵x 为整数，∴x=40 或 41 或 42。 ∴有三种方案，分别是 （i）A 地 40 件，B 地 80 件，C 地 80 件； （ii）A 地 41 件，B 地 77 件，C 地 82 件； （iii）A 地 42 件，B 地 74 件，C 地 84 件。 （2）由题意，得 30x+8（n－3x）+50x=5800，整理，得 n=725－7x． ∵n－3x≥0，∴x≤72.5。 又∵x≥0，∴0≤x≤72.5 且 x 为整数。 ∵n 随 x 的增大而减少，∴当 x=72 时，n 有最小值为 221。 14 【考点】一次函数的应用，一元一次不等式组的应用。 【分析】（1）①运往 B 地的产品件数=总件数 n－运往 A 地的产品件数－运往 B 地的产品件数；运费=相 应件数×一件产品的运费。 ②根据运往 B 地的件数不多于运往 C 地的件数，总运费不超过 4000 元列出不等式组，求得整 数解的个数即可。 （2）总运费=A 产品的运费+B 产品的运费+C 产品的运费，从而根据函数的增减性得到的 x 的取 值求得 n 的最小值即可。 例 4. （2012 福建龙岩 12 分）已知：用 2 辆 A 型车和 1 辆 B 型车装满货物一次可运货 10 吨； 用 1 辆 A 型车和 2 辆 B 型车装满货物一次可运货 11 吨．某物流公司现有 31 吨货物，计划同时租用 A 型车 a 辆，B 型车 b 辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物． 根据以上信息，解答下列问题: （1）1 辆 A 型车和 1 辆 B 型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ （2）请你帮该物流公司设计租车方案； （3）若 A 型车每辆需租金 100 元/次，B 型车每辆需租金 120 元/次．请选出最省钱的租车方案，并求 出最少租车费． 【答案】解：（1）设 1 辆 A 型车和 1 辆车 B 型车一次分别可以运货 x 吨，y 吨， 根据题意得出， 2x y 10 x 2y 11    ，解得： x 3 y4    。 答：1 辆 A 型车和 1 辆车 B 型车都载满货物一次可分别运货 3 吨，4 吨。 （2）∵某物流公司现有 31 吨货物，计划同时租用 A 型车 a 辆，B 型车 b 辆， ∴3a+4b=31。则 a0 31 3ab= 04    ，解得： 10 a 103 。 ∵a 为整数，∴a=1，2，…10。 又∵ 31 3a 3+ab= =7 a+44   为整数，∴a=1，5，9。 ∴当 a=1，b=7；当 a=5，b=4；当 a=9，b=1。 ∴满足条件的租车方案一共有 3 种，a=1，b=7；a=5，b=4；a=9，b=1。 （3）∵A 型车每辆需租金 100 元/次，B 型车每辆需租金 120 元/次， ∴当 a=1，b=7，租车费用为：W=100×1+7×120=940 元； 15 当 a=5，b=4，租车费用为：W=100×5+4×120=980 元； 当 a=9，b=1，租车费用为：W=100×9+1×120=1020 元。 ∴当租用 A 型车 1 辆，B 型车 7 辆时，租车费最少。 答：最少租车费为 940 元。 【考点】二元一次方程组、不等式和一次函数的应用。 【分析】（1）根据“用 2 辆 A 型车和 1 辆 B 型车载满货物一次可运货 10 吨；”“用 1 辆 A 型车和 2 辆 B 型车载满货物一次可运货 11 吨”，分别得出等式方程，组成方程组求出即可。 （2）由题意理解出：3a+4b=31，解其整数解的个数，即就有几种方案。 （3）根据（2）中所求方案，利用 A 型车每辆需租金 100 元/次，B 型车每辆需租金 120 元/次， 分别求出租车费用即可。 例 5. （2012 四川内江 9 分）某市为创建省卫生城市，有关部门决定利用现有的 4200 盆甲种花卉和 3090 盆乙种花卉，搭配 A、B 两种园艺造型共 60 个，摆放于入城大道的两侧，搭配每个造型所需花卉数量的情 况下表所示，结合上述信息，解答下列问题： （1）符合题意的搭配方案有几种？ （2）如果搭配一个 A 种造型的成本为 1000 元，搭配一个 B 种造型的成本为 1500 元，试说明选用那种方 案成本最低？最低成本为多少元？ 造型花卉 甲 乙 A 80 40 B 50 70 【答案】解：（1）设需要搭配 x 个 A 种造型，则需要搭配 B 种造型（60－x）个， 则有     80x 50 60 x 4200 40x 70 60 x 3090       ，解得 37≤x≤40， ∵x 为正整数，∴x=37 或 38 或 39 或 40。 ∴符合题意的搭配方案有 4 种： 第一方案：A 种造型 37 个，B 种造型 23 个； 第二种方案：A 种造型 38 个，B 种造型 22 个； 第三种方案：A 种造型 39 个，B 种造型 21 个． 第四种方案：A 种造型 40 个，B 种造型 20 个。 （2）设 A、B 两种园艺造型分别为 x，（ 50－x）个时的成本为 z 元， 16 则：  z 1000x 1500 50 x = 500x 75000     。 ∵－500＜0，∴成本 z 随着 x 的增大而减小。 ∴当 x=40 时，成本最低。最低成本为 70000。 答：选择第四种方案成本最低，最低位 70000 元。 【考点】一元一次不等式组和一次函数的应用。 【分析】（1）设需要搭配 x 个 A 种造型，则需要搭配 B 种造型（60－x）个，根据“4200 盆甲种花卉”“3090 盆乙种花卉”列不等式求解，取整数值即可。 （2）列出成本 z 关于 A 种造型个数 x 的函数关系式，根据一次函数的增减性求出答案。 例 6. （2012 四川攀枝花 8 分）煤炭是攀枝花的主要矿产资源之一，煤炭生产企业需要对煤炭运送到用煤 单位所产生的费用进行核算并纳入企业生产计划．某煤矿现有 1000 吨煤炭要全部运往 A．B 两厂，通过了 解获得 A．B 两厂的有关信息如下表（表中运费栏“元/t•km”表示：每吨煤炭运送一千米所需的费用）： 厂别 运费（元/t•km） 路程（km） 需求量（t） A 0.45 200 不超过 600 B a（a 为常数） 150 不超过 800 （1）写出总运费 y（元）与运往 A 厂的煤炭量 x（t）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）请你运用函数有关知识，为该煤矿设计总运费最少的运送方案，并求出最少的总运费（可用含 a 的 代数式表示） 【答案】解：（1）总运费 y（元）与运往 A 厂的煤炭量 x（t）之间的函数关系式为 y=（90﹣150a）x+150000a， 其中 200≤x≤600。 （2）当 0＜a＜0.6 时，90﹣150a＞0，一次函数单调递增。 ∴当 x=200 时，y 最小=（90﹣150a）×200+150000a=120000a+18000。 此时，1000﹣x=1000﹣200=800。 当 a=0.6 时，y=90000，此时，不论如何，总运费是一样的。 当 a＞0.6 时，90﹣150a＜0，一次函数单调递减。 又∵运往 A 厂总吨数不超过 600 吨， ∴当 x=600 时，y 最小=（90﹣150a）×600+150000a=60000a+54000。 此时，1000﹣x=1000﹣600=400。 答：当 0＜a＜0.6 时，运往 A 厂 200 吨，B 厂 800 吨时，总运费最低，最低运费 120000a+18000 元；当 a＞0.6 时，运往 A 厂 600 吨，B 厂 400 吨时，总运费最低，最低运费 60000a+54000。 17 【考点】一次函数的应用，一元一次不等式组的应用。 【分析】（1）根据总费用=运往 A 厂的费用+运往 B 厂的费用．经化简后可得出 y 与 x 的函数关系式，根 据图表中给出的判定吨数的条件，算出自变量的取值范围： 若运往 A 厂 x 吨，则运往 B 厂为（1000﹣x）吨。 依题意得：y=200×0.45x+150×a×（1000﹣x）=90x﹣150ax+150000a，=（90﹣150a）x+150000a。 依题意得： x 600 1000 x 800    ，解得：200≤x≤600。 ∴函数关系式为 y=（90﹣150a）x+150000a（200≤x≤600）。。 （2）分 0＜a＜0.6 ，a=0.6，a＞0.6 三种情况，根据函数的性质来求出所求的方案。 例 7. （2012 辽宁阜新 10 分）某仓库有甲种货物 360 吨，乙种货物 290 吨，计划用 A、B 两种共 50 辆货 车运往外地．已知一辆 A 种货车的运费需 0.5 万元，一辆 B 种货车的运费需 0.8 万元． （1）设 A 种货车为 x 辆，运输这批货物的总运费为 y 万元，试写出 y 与 x 的关系表达式； （2）若一辆 A 种货车能装载甲种货物 9 吨和乙种货物 3 吨；一辆 B 种货车能装载甲种货物 6 吨和乙种货 物 8 吨．按此要求安排 A，B 两种货车运送这批货物，有哪几种运输方案？请设计出来； （3）试说明哪种方案总运费最少？最少运费是多少万元？ 【答案】解：（1）设 A 种货车为 x 辆，则 B 种货车为（50＋x）辆。 根据题意，得 y 0.5x 0.8(50 x)   ，即 y 0.3x 40   。 （2）根据题意，得 9x 6(50 x) 360 3x 8(50 x) 290        ，解这个不等式组，得 20 x 22 。 ∵x 是整数，∴x 可取 20、21、22，即共有三种方案： A(辆） B(辆) 一 20 30 二 21 29 三 22 28 （3）由（1）可知，总运费 ， ∵k=－0.3＜0，∴一次函数 的函数值随 x 的增大而减小。 ∴ x 22 时，y 有最小值，为 y 0.3 22 40 33.4     （万元）。 ∴选择方案三：A 种货车为 22 辆，B 种货车为 28 辆，总运费最少是 33.4 万元。 【考点】一次函数和一元一次不等式组的应用。 18 【分析】（1）设 A 种货车为 x 辆，则 B 种货车为（50－x）辆，则表示出两种车的费用的和就是总费用， 据此即可求解。 （2）仓库有甲种货物 360 吨，乙种货物 290 吨，两种车的运载量必须不超过 360 吨，290 吨，据 此即可得到一个关于 x 的不等式组，再根据 x 是整数，即可求得 x 的值，从而确定运输方案。 （3）运费可以表示为 x 的函数，根据函数的性质，即可求解。 例 8. （2012 山东德州 10 分）现从 A，B 向甲、乙两地运送蔬菜，A，B 两个蔬菜市场各有蔬菜 14 吨，其 中甲地需要蔬菜 15 吨，乙地需要蔬菜 13 吨，从 A 到甲地运费 50 元/吨，到乙地 30 元/吨；从 B 地到甲运 费 60 元/吨，到乙地 45 元/吨． （1）设 A 地到甲地运送蔬菜 x 吨，请完成下表： 运往甲地（单位：吨） 运往乙地（单位：吨） A x B （2）设总运费为 W 元，请写出 W 与 x 的函数关系式 （3）怎样调运蔬菜才能使运费最少？ 【答案】解：（1）完成填表： 运往甲地（单位：吨） 运往乙地（单位：吨） A x 14﹣x B 15﹣x x﹣1 （2）W=50x＋30（14－x）＋60（15－x）＋45（x－1）， 整理得，W=5x＋1275。 （3）∵A，B 到两地运送的蔬菜为非负数， ∴ x0 14 x 0 15 x 0 x 1 0       ，解不等式组，得：1≤x≤14。 在 W=5x+1275 中，W 随 x 增大而增大， ∴当 x 最小为 1 时，W 有最小值 1280 元。 【考点】一次函数和一元一次不等式组的应用。 【分析】（1）根据题意 A，B 两个蔬菜市场各有蔬菜 14 吨，其中甲地需要蔬菜 15 吨，乙地需要蔬菜 13 吨，可得解。 19 （2）根据从 A 到甲地运费 50 元/吨，到乙地 30 元/吨；从 B 地到甲运费 60 元/吨，到乙地 45 元/吨 可列出总费用，从而可得出答案。 （3）求出 x 的取值范围，利用 w 与 x 之间的函数关系式，求出函数最值即可。 例 9. （2012 黑龙江龙东地区 10 分）国务院总理温家宝 2011 年 11 月 16 日主持召开国务院常务会议，会 议决定建立青海三江源国家生态保护综合实验区。现要把 228 吨物资从某地运往青海甲、乙两地，用大、 小两种货车共 18 辆，恰好能一次性运完这批物资。已知这两种货车的载重量分别为 16 吨/辆和 10 吨/辆， 运往甲、乙两地的运费如下表： 运往地 车 型 甲 地（元/辆） 乙 地（元/辆） 大货车 720 800 小货车 500 650 （1）求这两种货车各用多少辆？ （2）如果安排 9 辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为 a 辆，前往甲、乙两地的 总运费为 w 元，求出 w 与 a 的函数关系式（写出自变量的取值范围）； （3）在（2）的条件下，若运往甲地的物资不少于 120 吨，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并 求出最少总运费。 【答案】解：（1）设大货车用 x 辆，则小货车用（18－x）辆，根据题意得 16x＋10（18－x）=228 ，解得 x=8， ∴18－x=18－8=10。 答：大货车用 8 辆，小货车用 10 辆。 （2）w=720a＋800（8－a）+500（9－a）+650[10－（9－a）]=70a＋11550， ∴w=70a＋11550（0≤a≤8 且为整数）。 （3）由 16a＋10（9－a）≥120，解得 a≥5。 又∵0≤a≤8，∴5≤a≤8 且为整数。 ∵w=70a+11550，k=70＞0，w 随 a 的增大而增大， ∴当 a=5 时，w 最小，最小值为 W=70×5+11550=11900。 答：使总运费最少的调配方案是：5 辆大货车、4 辆小货车前往甲地；3 辆大货车、6 辆 小货车前往乙地．最少运费为 11900 元。 【考点】一元一次方程和一次函数的应用 【分析】（1）设大货车用 x 辆，则小货车用 18－x 辆，根据运输 228 吨物资，列方程求解。 20 （2）设前往甲地的大货车为 a 辆，则前往乙地的大货车为（8－a）辆，前往甲地的小货车为（9 －a）辆，前往乙地的小货车为[10－（9－a）]辆，根据表格所给运费，求出 w 与 a 的函数关系式。 （3）结合已知条件，求 a 的取值范围，由（2）的函数关系式求使总运费最少的货车调配方案。 练习题： 1. （2011 广西百色 8 分）我市某县政府为了迎接“八一”建军节，加强军民共建活动，计划从花园里拿出 1430 盆甲种花卉和 1220 盆乙种花卉，搭配成 A、B 两种园艺造型共 20 个，在城区内摆放，以增加节日气 氛，已知搭配 A、B 两种园艺造型各需甲、乙两种花卉数如表所示：（单位：盆） （1）某校某年级一班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？ 请你帮忙设计出来。 （2）如果搭配及摆放一个 A 造型需要的人力是 8 人次，搭配及摆放一个 B 造型需要的人力是 11 次，哪种 方案使用人力的总人次数最少，请说明理由。 A B 甲种 80 50 乙种 40 90 2. （2011 四川眉山 9 分）在眉山市开展城乡综合治理的活动中，需要将 A、B、C 三地的垃圾 50 立方米、 40 立方米、50 立方米全部运往垃圾处理场 D、E 两地进行处理．已知运往 D 地的数量比运往 E 地的数量 的 2 倍少 10 立方米． （1）求运往两地的数量各是多少立方米？ （2）若 A 地运往 D 地 a 立方米（ 为整数），B 地运往 D 地 30 立方米，C 地运往 D 地的数量小于 A 地 运往 D 地的 2 倍．其余全部运往 E 地，且 C 地运往 E 地不超过 12 立方米，则 A、C 两地运往 D、E 两地 哪几种方案？ （3）已知从 A、B、C 三地把垃圾运往 D、E 两地处理所需费用如下表： A 地 B 地 C 地 运往 D 地（元/立方米） 22 20 20 运往 E 地（元/立方米） 20 22 21 在（2）的条件下，请说明哪种方案的总费用最少？ 3. （2011 贵州黔东南 12 分）在“五·一”期间，某公司组织 318 名员工到雷山西江千户苗寨旅游，旅行社承 造 型 数 量 花 21 诺每辆车安排有一名随团导游，并为此次旅行安排 8 名导游，现打算同时租甲、乙两种客车，其中甲种客 车每辆载客 45 人，乙种客车每辆载客 30 人。 （1）请帮助旅行社设计租车方案。 （2）若甲种客车租金为 800 元/辆，乙种客车租金为 600 元/辆，旅行社按哪种方案租车最省钱？此时租金 是多少？ （3）旅行前，旅行社的一名导游由于有特殊情况，旅行社只能安排 7 名导游随团导游，为保证所租的 每辆车安排有一名导游，租车方案调整为：同时租 65 座、45 座和 30 座的大小三种客车，出发时，所 租的三种客车的座位恰好坐满，请问旅行社的租车方案如何安排？ 4. （2011 云南昆明 9 分）A 市有某种型号的农用车 50 辆，B 市有 40 辆，现要将这些农用车全部调往 C、 D 两县，C 县需要该种农用车 42 辆，D 县需要 48 辆，从 A 市运往 C、D 两县农用车的费用分别为每辆 300 元和 150 元，从 B 市运往 C、D 两县农用车的费用分别为每辆 200 元和 250 元． （1）设从 A 市运往 C 县的农用车为 x 辆，此次调运总费为 y 元，求 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （2）若此次调运的总费用不超过 16000 元，有哪几种调运方案？哪种方案的费用最小？并求出最小费用？ 5. （2011 湖北黄冈、鄂州 8 分随州 9 分）今年我省干旱灾情严重，甲地急需抗旱用水 15 万吨，乙地 13 万吨．现有两水库决定各调出 14 万吨水支援甲、乙两地抗旱．从 A 地到甲地 50 千米，到乙地 30 千米； 从 B 地到甲地 60 千米，到乙地 45 千米 （1）设从 A 水库调往甲地的水量为 x 万吨，完成下表 （2）请设计一个调运方案，使水的调运总量尽可能小．（调运量=调运水的重量×调运的距离，单位：万吨 •千米） 6. （山东潍坊 10 分）2010 年秋冬北方严重干旱，凤凰社区人畜饮用水紧张，每天需从社区外调运饮用水 120 吨. 有关部门紧急部署，从甲、乙两水厂调运饮用水，两水厂到凤凰社区供水点的路程和运费如下表： 到凤凰社区的路程(千米) 运费（元/吨·千米） 甲厂 20 12 乙厂 14 15 （1）若某天总运费为 26700 元，则从甲、乙两水厂各调运了多少吨饮用水？ （2）若每天甲厂最多可调出 80 吨，乙厂最多可调出 90 吨. 设从甲厂调运饮用水 x 吨，总运费为 W 22 元. 试写出 W 关于 x 的函数关系式，怎样安排调运方案，才能使每天的总运费最省？ 7. （2011 广东深圳 9 分）深圳某科技公司在甲地、乙地分别生产了 17 台、15 台相同型号的检测设备，全 部运往大运赛场 A、B 两馆，其中运往 A 馆 18 台，运往 B 馆 14 台，运往 A、B 两馆运费如表 1： （1）设甲地运往 A 馆的设备有 x 台，请填写表 2，并求出总运费 y （元）与 x （台）的函数关系式； （2）要使总运费不高于 20200 元，请你帮助该公司设计调配方案，并写出有哪几种方案； （3）当 x 为多少时，总运费最少，最少为多少元？ 8. （内蒙古乌兰察布 10 分）某园林部门决定利用现有的 349 盆甲种花卉和 295 盆乙种花卉搭配 A、B 两 种园艺造型共 50 个，摆放在迎宾大道两侧．已知搭配一个 A 种造型需甲种花卉 8 盆，乙种花卉 4 盆；搭 配一个 B 种造型需甲种花卉 5 盆，乙种花卉 9 盆． (l）某校九年级某班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？ 请你帮助设计出来； (2）若搭配一个 A 种造型的成本是 200 元，搭配一个 B 种造型的成本是 360 元，试说明（1）中哪种方案 成本最低，最低成本是多少元？ 9. （2011 四川凉山 9 分）我州鼓苦荞茶、青花椒、野生蘑菇，为了让这些珍宝走出大山，走向世界，州 政府决定组织 21 辆汽车装运这三种土特产共 120 吨，参加全国农产品博览会。现有 A 型、B 型、C 型三 种汽车可供选择。已知每种型号汽车可同时装运 2 种土特产，且每辆车必须装满。根据下表信息，解答 问题。 （1） 设 A 型汽车安排 x 辆，B 型汽车安排 y 辆，求 y 与 x 之间的函数关系式。 （2） 如果三种型号的汽车都不少于 4 辆，车辆安排有几种方案？并写出每种方案。 （3） 为节约运费，应采用（2）中哪种方案？并求出最少运费。 10. （2011 四川达州 7 分）我市化工园区一化工厂，组织 20 辆汽车装运 A、B、C 三种化学物资共 200 吨 到某地．按计划 20 辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种物资且必须装满．请结合表中提供的信息， 解答下列问题： 23 （1）设装运 A 种物资的车辆数为 x ，装运 B 种物资的车辆数为 y ．求 与 的函数关系式； （2）如果装运 A 种物资的车辆数不少于 5 辆，装运 B 种物资的车辆数不少于 4 辆，那么车辆的安排有几 种方案？并写出每种安排方案； （3）在（2）的条件下，若要求总运费最少，应采用哪种安排方案？请求出最少总运费． 物资种类 A B C 每辆汽车运载量（吨） 12 10 8 每吨所需运费（元/吨） 240 320 200 三、生产能力问题： 这类题的特点是实际生产某种产品的能力应大于等于所需要生产的数量。 典型例题： 例 1. （2012 福建漳州 10 分）某校为实施国家“营养早餐”工程，食堂用甲、乙两种原料配制成某种营 养食品，已知这两种原料的维生素 C 含量及购买这两种原料的价格如下表： 现要配制这种营养食品 20 千克，要求每千克至少含有 480 单位的维生素 C.设购买甲种原料 x 千克． (1)至少需要购买甲种原料多少千克? ( 2 )设 食 堂 用 于 购 买 这 两 种 原 料 的 总 费 用 为 y 元，求 y 与 x 的 函 数 关 系 式 ． 并 说 明 购 买 甲种原料多少千克时，总费用最少? 【答案】解：（1）依题意，得 600x+400（20-x）≥480×20， 解得 x≥8。 ∴至少需要购买甲种原料 8 千克。 （2）根据题意得：y=9x+5（20－x），即 y=4x+100， ∵k=4＞0，∴y 随 x 的增大而增大。 ∵x≥8，∴当 x=8 时，y 最小。 ∴购买甲种原料 8 千克时，总费用最少。 【考点】一次函数的应用，一元一次不等式的应用。 【分析】（1）先由甲种原料所需的质量和饮料的总质量，表示出乙种原料的质量，再结合表格中的数据， 根据“至少含有 480 单位的维生素 C”这一不等关系列出不等式，即可求出答案。 （2）根据表中所给的数据列出式子，再根据 k 的值，即可得出购买甲种原料多少千克时，总费 24 用最少。 例 2. （2012 湖北十堰 10 分）某工厂计划生产 A、B 两种产品共 50 件，需购买甲、乙两种材料．生产一 件 A 产品需甲种材料 30 千克、乙种材料 10 千克；生产一件 B 产品需甲、乙两种材料各 20 千克．经测算， 购买甲、乙两种材料各 1 千克共需资金 40 元，购买甲种材料 2 千克和乙种材料 3 千克共需资金 105 元． （1）甲、乙两种材料每千克分别是多少元？ （2）现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过 38000 元，且生产 B 产品不少于 28 件，问符合条件的 生产方案有哪几种？ （3）在（2）的条件下，若生产一件 A 产品需加工费 200 元，生产一件 B 产品需加工费 300 元，应选择哪 种生产方案，使生产这 50 件产品的成本最低？（成本=材料费+加工费） 【答案】解：（1）设甲材料每千克 x 元，乙材料每千克 y 元，则 x+y=40 2x+3y=105    ，解得 x=15 y=25    。 答：甲材料每千克 15 元，乙材料每千克 25 元； （2）设生产 A 产品 m 件，生产 B 产品（50－m）件，则生产这 50 件产品的材料费为 15×30m＋25×10m＋15×20×（50－m）＋25×20×（50－m）=－100m＋40000， 由题意： 100m 40000 38000 50 m 28      ，解得 20≤m≤22。 又∵m 是整数，∴m 的值为 20，21，22。 ∴共有三种方案，如下表： A（件） ２０ ２１ ２２ B（件） ３０ ２９ ２８ （3）设总生产成本为 W 元，加工费为：200m＋300（50－m）， 则 W=－100m＋40000＋200m＋300（50－m）=－200m＋55000， ∵－200＜0，∴W 随 m 的增大而减小。 而 m=20，21，22，∴当 m=22 时，总成本最低，此时 W=－200×22＋55000=50600（元）。 【考点】二元一次方程组、一元一次不等式组和一次函数的应用。 【分析】（1）设甲材料每千克 x 元，乙材料每千克 y 元，根据购买甲、乙两种材料各 1 千克共需资金 40 元，购买甲种材料 2 千克和乙种材料 3 千克共需资金 105 元，可列出方程组 ，解方程组即 25 可得到甲材料每千克 15 元，乙材料每千克 25 元； （2）设生产 A 产品 m 件，生产 B 产品（50-m）件，先表示出生产这 50 件产品的材料费，根据购 买甲、乙两种材料的资金不超过 38000 元得到－100m＋40000≤38000，根据生产 B 产品不少于 28 件得到 50－m≥28，然 后解两个不等式求出其公共部分得到 20≤m≤22，而 m 为整数，则 m 的值为 20，21，22， 易得符合条件的生产方案。 （3）设总生产成本为 W 元，加工费为：200m＋300（50－m），根据成本=材料费+加工费得到 W 关于 m 的函数关系式，根据一次函数的性质得到 W 随 m 的增大而减小，然后把 m=22 代入计算，即可 得到最低成本。 例 3. （2012 广西贵港 9 分）某公司决定利用仅有的 349 个甲种部件和 295 个乙种部件组装 A、B 两种型 号的简易板房共 50 套捐赠给灾区。已知组装一套 A 型号简易板房需要甲种部件 8 个和乙种部件 4 个，组 装一套 B 型号简易板房需要甲种部件 5 个和乙种部件 9 个。 （1）该公司在组装 A、B 两种型号的简易板房时，共有多少种组装方案？ （2）若组装 A、B 两种型号的简易板房所需费用分别为每套 200 元和 180 元，问最少总组装费用是多少元？ 并写出总组装费用最少时的组装方案。 【答案】解：（1）设组装 A 型号简易板房 x 套，则组装 B 型号简易板房（50－x）套， 根据题意得出：  8x＋5(50－x)≤349 4x＋9(50－x)≤295，解得：31≤x≤33。 ∵x 为整数，∴x=31，32，33。 ∴该公司组装 A、B 两种型号的简易板房时，共有 3 种组装方案， ①组装 A 型号简易板房 31 套，则组装 B 型号简易板房 19 套， ②组装 A 型号简易板房 32 套，则组装 B 型号简易板房 18 套， ③组装 A 型号简易板房 33 套，则组装 B 型号简易板房 17 套； （2）设总组装费用为 W， 则 W＝200x＋180(50－x)＝20x＋9000， ∵20＞0，∴W 随 x 的增大而增大， 当 x＝31 时，W 最小＝20×31＋9000＝9620（元）． 此时 x＝31，50－31＝19。 答：最少总组装费用是 9620 元，总组装费用最少时的组装方案为：组装 A 型号简易板房 31 套，则组装 B 型号简易板房 19 套。 【考点】一次函数的应用，一元一次不等式组的应用。 26 【分析】（1）根据题中已知条件列出不等式组，解不等式租得出整数即可解得有 3 种组装方案。 （2）根据组装方案费用 W 关于 x 的方程，解得当 x＝31 时，组装费用 W 最小为 9620 元。 练习题： 1. （2011 湖北孝感 10 分）健身运动已成为时尚，某公司计划组装 A、B 两种型号的健身器材共 40 套， 捐给社区健身中心.组装一套 A 型健身器材需甲种部件 7 个和乙种部件 4 个，组装一套 B 型健身器材需甲 种部件 3 个和乙种部件 6 个.公司现有甲种部件 240 个，乙种部件 196 个. （1）公司在组装 A、B 两种型号的健身器材时，共有多少种组装方案？ （2）组装一套 A 型健身器材需费用 20 元，组装一套 B 型健身器材需费用 18 元，求总组装费用最少的 组装方案，最少总组装费用是多少？（5 分） 2.（2011 浙江绍兴 12 分）筹建中的城南中学需 720 套单人课桌椅（如图），光明厂承担了这项生产任务．该 厂生产桌子的必须 5 人一组．每组每天可生产 12 张；生产椅子的必须 4 人一组，每组每天可生产 24 把．已 知学校筹建组要求光明厂 6 天完成这项生产任务． （1）问光明厂平均毎天要生产多少套单人课桌椅？ （2）现学校筹建组要求至少提前 1 天完成这项生产任务．光明厂生产课桌椅的员工增加到 84 名，试给出 一种分配生产桌子、椅子的员工数的方案． 四、方案选择与设计问题：这类题先要根据题目要求列出代数式，然后从多方面来讨论它的范围。 典型例题： 例 1. （2012 黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西 3 分）为庆祝“六·一”国际儿童节，龙沙区某小学组 织师生共 360 人参加公园游园活动，有 A、B 两种型号客车可供租用，两种客车载客量分别为 45 人、30 人，要求每辆车必须满载，则师生一次性全部到达公园的租车方案有【 】 A．3 种 B．4 种 C．5 种 D．6 种 【答案】C。 【考点】一元一次不等式组的应用。 【分析】设租用 A 型号客车 x 辆，B 型号客车 y 辆，则 45x+30y=360，即 3y 12 x2 。 27 ∵x，y 为非负整数，∴ x0 3y 12 x 02     且 x 为偶数，解得 0≤x≤8（x 为偶数）。 ∴x=0，2，4，6，8，对应的 y=12，9，6，3，0。 ∴师生一次性全部到达公园的租车方案有 5 种。故选 C。 例 3. （2012 湖南张家界 8 分）某公园出售的一次性使用门票，每张 10 元，为了吸引更多游客，新近推出 购买“个人年票”的售票活动（从购买日起，可供持票者使用一年）．年票分 A．B 两类：A 类年票每张 100 元，持票者每次进入公园无需再购买门票；B 类年票每张 50 元，持票者进入公园时需再购买每次 2 元的 门票．某游客一年中进入该公园至少要超过多少次时，购买 A 类年票最合算？ 【答案】解：设某游客一年中进入该公园 x 次，依题意得不等式组： 10x 100 50+2x 100 > >    ① ② ， 解①得：x＞10， 解②得：x＞25。 ∴不等数组的解集是：x＞25。 ∴某游客一年进入该公园超过 25 次时，购买 A 类年票合算。 【考点】一元一次不等式组的应用。 【分析】由于购买 A 年票首先要花 100 元，以后就不用再花钱了，那么可让另外两种购票方式所花的费用 分别大于 100，可得出不等式组，求解后即判断除至少超过多少次，购买 A 才合算。 28 例 4. （2012 四川广安 8 分）某学校为了改善办学条件，计划购置一批电子白板和一批笔记本电脑，经投 标，购买 1 块电子白板比买 3 台笔记本电脑多 3000 元，购买 4 块电子白板和 5 台笔记本电脑共需 80000 元． （1）求购买 1 块电子白板和一台笔记本电脑各需多少元？ （2）根据该校实际情况，需购买电子白板和笔记本电脑的总数为 396，要求购买的总费用不超过 2700000 元，并购买笔记本电脑的台数不超过购买电子白板数量的 3 倍，该校有哪几种购买方案？ （3）上面的哪种购买方案最省钱？按最省钱方案购买需要多少钱？ 【答案】解：（1）设购买 1 块电子白板需要 x 元，一台笔记本电脑需要 y 元，由题意得： x=3y+3000 4x+5y=80000    ，解得： x=15000 y=4000    。 答：购买 1 块电子白板需要 15000 元，一台笔记本电脑需要 4000 元。 （2）设购买购买电子白板 a 块，则购买笔记本电脑（396﹣a）台，由题意得：   396 a 3a 270000015000a+4000 396 a    ，解得： 599 a 10111 。 ∵a 为整数，∴a=99，100，101，则电脑依次买：297，296，295。 ∴该校有三种购买方案： 方案一：购买笔记本电脑 295 台，则购买电子白板 101 块； 方案二：购买笔记本电脑 296 台，则购买电子白板 100 块； 方案三：购买笔记本电脑 297 台，则购买电子白板 99 块。 （3）设购买笔记本电脑数为 z 台，购买笔记本电脑和电子白板的总费用为 W 元， 则 W=4000z+15000（396﹣z）=﹣11000z+5940000， ∵W 随 z 的增大而减小，∴当 z=297 时，W 有最小值=2673000（元） ∴当购买笔记本电脑 297 台、购买电子白板 99 块时，最省钱，共需费用 2673000 元。 【考点】二元一次方程组和一元一次不等式组的应用。 【分析】（1）设购买 1 块电子白板需要 x 元，一台笔记本电脑需要 y 元，由题意得等量关系：①买 1 块电 子白板的钱=买 3 台笔记本电脑的钱+3000 元，②购买 4 块电子白板的费用+5 台笔记本电脑的费用=80000 元，由等量关系可得方程组，解方程组可得答案。 （2）设购买购买电子白板 a 块，则购买笔记本电脑（396﹣a）台，由题意得不等关系：①购买笔 记本电脑的台数≤购买电子白板数量的 3 倍；②电子白板和笔记本电脑总费用≤2700000 元，根据不等关系 可得不等式组，解不等式组，求出整数解即可。 29 （3）由于电子白板贵，故少买电子白板，多买电脑，根据（2）中的方案确定买的电脑数与电子 白板数，再算出总费用。 例 5. （2012 四川资阳 8 分）为了解决农民工子女就近入学问题，我市第一小学计划 2012 年秋季学期扩大 办学规模．学校决定开支八万元全部用于购买课桌凳、办公桌椅和电脑，要求购买的课桌凳与办公桌椅的 数量比为 20:1，购买电脑的资金不低于 16000 元，但不超过 24000 元．已知一套办公桌椅比一套课桌凳贵 80 元，用 2000 元恰好可以买到 10 套课桌凳和 4 套办公桌椅．（课桌凳和办公桌椅均成套购进） （1）(3 分)一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为多少元？ （2）(5 分)求出课桌凳和办公桌椅的购买方案． 【答案】（1）设一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为 x 元、y 元，得 y=x+80 10x+4y=2000    ，解得 x=120 y=200    。 ∴一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为 120 元、200 元。 （2）设购买办公桌椅 m 套，则购买课桌凳 20m 套，由题意有 1600≤80000－120×20m－200×m≤24000， 解得， 7821 m 2413 13 。 ∵m 为整数，∴m=22、23、24，有三种购买方案： 方案一 方案二 方案三 课桌凳（套） 440 460 480 办公桌椅（套） 22 23 24 【考点】二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用。 【分析】（1）根据一套办公桌椅比一套课桌凳贵 80 元以及用 2000 元恰好可以买到 10 套课桌凳和 4 套办 公桌椅，得出等式方程求出即可。 （2）利用购买电脑的资金不低于 16000 元，但不超过 24000 元，得出不等式组求出即可。 例 6. （2012 四川南充 8 分）学校 6 名教师和 234 名学生集体外出活动，准备租用 45 座大客车或 30 座小 客车，若租用 1 辆大车 2 辆小车供需租车费 1000 元；若若租用 2 辆大车 1 辆小车供需租车费 1100 元.[来 （1）求大、小车每辆的租车费各是多少元？ （2）若每辆车上至少．．要有一名教师，且总租车费用不超过．．．2300 元，求最省钱的租车方案。 30 例 7. （2012 广西河池 10 分）随着人们环保意识的不断增强，我市家庭电动自行车的拥有量逐年增 加.据 统计，某小区 2009 年底拥有家庭电动自行车 125 辆，2011 年底家庭电动自行车的拥有量达到 180 辆. (1)若该 小区 2009 年底到 2012 年底家庭电动自行车拥有量的年平均增长率相同，则该小区到 2012 年 底电动自行车将达到多少辆？ (2)为了缓解停车矛盾，该小区决定投资 3 万元再建若干个停车位，据测算，建造费用分别为室内车 位 1000 元/个，露天车位 200 元/个.考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的 2 倍，但不超 过室内车位的 2.5 倍，则该小区最多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案. 【答案】解：（1）设家庭电动自行车拥有量的年平均增长率为 x，则 125（1+x）2=180，解得 x1=0.2=25%，x2=－2.2（不合题意，舍去）。 31 ∴180（1+20%）=216（辆）。 答：该小区到 2012 年底家庭电动自行车将达到 216 辆。 （2）设该小区可建室内车位 a 个，露天车位 b 个，则 1000a 200b 30000 2a b 2.5a    ① ② ， 由①得 b=150－5a，代入②得 20≤a≤150 7 ∵a 是正整数，∴a=20 或 21。 当 a=20 时 b=50；当 a=21 时 b=45。 ∴方案一：建室内车位 20 个，露天车位 50 个； 方案二：室内车位 21 个，露天车位 45 个。 【考点】一元二次方程和一元一次不等式组的应用。 【分析】（1）设年平均增长率是 x，根据某小区 2009 年底拥有家庭电动自行车 125 辆，2011 年底家庭电 动自行车的拥有量达到 180 辆，可求出增长率，进而可求出到 2012 年底家庭电动车将达到多少辆。 （2）设建 x 个室内车位，根据投资钱数可表示出露天车位，根据计划露天车位的数量不少于室内 车位的 2 倍，但不超过室内车位的 3 倍，可列出不等式组求解，进而可求出方案情况。 例 8. （2012 黑龙江绥化 10 分）在实施“中小学校舍安全工程”之际，某市计划对 A、B 两类学校的校舍进 行改造，根据预算，改造一所 A 类学校和三所 B 类学校的校舍共需资金 480万元，改造三所 A 类学校和 一所 B 类学校的校舍共需资金 400 万元． （1）改造一所 A 类学校的校舍和一所 B 类学校的校舍所需资金分别是多少万元？ （2）该市某县 A、B 两类学校共有 8 所需要改造．改造资金由国家财政和地方财政共同承担，若国家财政 拨付的改造资金不超过 770 万元，地方财政投入的资金不少于 210 万元，其中地方财政投入到 A、B 两类 学校的改造资金分别为每所 20 万元和 30 万元，请你通过计算求出有几种改造方案，每个方案中 A、B 两 类学校各有几 所？ 【答案】解：（1）设改造一所 A 类学校的校舍需资金 x 万元，改造一所 B 类学校的校舍所需资金 y 万元， 则 x 3y 480 3x y 400    ，解得 x 90 y 130    。 答：改造一所 A 类学校和一所 B 类学校的校舍分别需资金 90 万元，130 万元。 （2）设 A 类学校应该有 a 所，则 B 类学校有（8－a）所． 32 则        20a 30 8 a 210 90 20 a 130 30 8 a 770          ，解得 a 3 a1    。∴1≤a≤3，即 a=1，2，3。 ∴共有 3 种改造方案：方案一：A 类学校有 1 所，B 类学校有 7 所；方案二：A 类学校有 2 所，B 类学校有 6 所；方案三：A 类学校有 3 所，B 类学校有 5 所。 【考点】二元一次方程组和一元一次不等式组的应用。 【分析】（1）方程（组）的应用解题关键是找出等量关系，列出方程（组）求解。本题等量关系为： 改造一所 A 类学校和三所 B 类学校的校舍共需资金 480 万元； 改造三所 A 类学校和一所 B 类学校的校舍共需资金 400 万元。 （2）不等式（组）的应用解题关键是找出不等量关系，列出不等式（组）求解。本题不等量关系 为： 地方财政投资 A 类学校的总钱数+地方财政投资 B 类学校的总钱数≥210； 国家财政投资 A 类学校的总钱数+国家财政投资 B 类学校的总钱数≤770。 例 9. （2012 广东深圳 8 分）“节能环保，低碳生活”是我们倡导的一种 生活方式，某家电商场计划用 11.8 万元购进节能型电视机、洗衣机和空调共 40 台，三种家电的进价和售价如下表所示： （1）在不超出现有资金前提下，若购进电视机的数量和洗衣机的数量相同，空调的数量不超过电视机的 数量的 3 倍．请问商场有哪几种进货方案？ （2）在“2012 年消费促进月”促销活动期问，商家针对这三种节能型)品推出“现金每购满 1000 元送 50 元 家电消费券一张、多买多送”的活动．在(1)的条件下若三种电器在活动期间全部售出，商家预估最多送出 消费券多少张？ 【答案】解：（1）设购进电视机 x 台，则洗衣机是 x 台，空调是（40－2x）台， 根据题意得：   40 2x 3x x0 40 2x 0 5000x 2000x 2400 40 2x 118000          ， 解得：8≤x≤10。 ∵x 是整数，从 8 到 10 共有 3 个正整数，∴有 3 种进货方案： 33 方案一：购进电视机 8 台，洗衣机是 8 台，空调是 24 台； 方案二：购进电视机 9 台，洗衣机是 9 台，空调是 22 台； 方案三：购进电视机 10 台，洗衣机是 10 台，空调是 20 台； （2）三种电器在活动期间全部售出的金额 y=5500x+2160x+2700（40－2x）， 即 y=2260x+10800。 ∵y=2260x+10800 是单调递增函数，∴当 x 最大时，y 的值最大。 ∵x 的最大值是 10，∴y 的最大值是：2260×10+10800=33400（元）。 ∵现金每购 1000 元送 50 元家电消费券一张， ∴33400 元，可以送 33 张家电消费券。 【考点】一次函数和一元一次不等式组的应用。 【分析】（1）设购进电视机 x 台，则洗衣机是 x 台，空调是（40－2x）台，根据空调的数量不超过电视机 的数量的 3 倍，且 x 以及 40-2x 都是非负整数，即可确定 x 的范围，从而确定进货方案。 （2）三种电器在活动期间全部售出的金额，可以表示成 x 的函数，根据函数的性质，即可确定 y 的最大值，从而确定购物卷的张数。 例 10. （2012 辽宁鞍山 12 分）某实验学校为开展研究性学习，准备购买一定数量的两人学习桌和三人学 习桌，如果购买 3 张两人学习桌，1 张三人学习桌需 220 元；如果购买 2 张两人学习桌，3 张三人学习桌 需 310 元． （1）求两人学习桌和三人学习桌的单价； （2）学校欲投入资金不超过 6000 元，购买两种学习桌共 98 张，以至少满足 248 名学生的需求，设购买 两人学习桌 x 张，购买两人学习桌和三人学习桌的总费用为 W 元，求出 W 与 x 的函数关系式；求出所有 的购买方案． 【答案】解：（1）设每张两人学习桌单价为 a 元和每张三人学习桌单价为 b 元， 根据题意得： 3a+b=220 2a+3b=310    ，解得 a=50 b=70    。 答：两人学习桌和三人学习桌的单价分别为 50 元，70 元。 （2）设购买两人学习桌 x 张，则购买 3 人学习桌（98﹣x）张，购买两人学习桌和三人学习 桌的总费用为 W 元， 则 W 与 x 的函数关系式为：W=50x+70（98﹣x）=﹣20x+6860； 根据题意得：     50x+70 98 x 6000 2x+3 98 x 248    ，解得 43≤x≤46。 34 ∵x 为整数，∴x=43，44，45，46。 ∴所有购买方案为：购买两人桌 43 张，购买三人桌 58 张； 购买两人桌 44 张，购买三人桌 54 张； 购买两人桌 45 张，购买三人桌 53 张； 购买两人桌 46 张，购买三人桌 52 张。 【考点】二元一次方程组、一元一次不等式组和一次函数的应用 【分析】（1）设每张两人学习桌单价为 a 元和每张三人学习桌单价为 b 元，根据如果购买 3 张两人学习桌， 1 张三人学习桌需 220 元；如果购买 2 张两人学习桌，3 张三人学习桌需 310 元分别得出等式方程，组成 方程组求出即可。 （2）根据购买两种学习桌共 98 张，设购买两人学习桌 x 张，则购买 3 人学习桌（98﹣x）张，根 据以至少满足 248 名学生的需求，以及学校欲投入资金不超过 6000 元得出不等式，进而求出即可。 练习题： 1. （2012 辽宁铁岭 12 分）为奖励在文艺汇演中表现突出的同学，班主任派生活委员小亮到文具店为获 奖同学购买奖品.小亮发现，如果买 1 个笔记本和 3 支钢笔，则需要 18 元；如果买 2 个笔记本和 5 支钢笔， 则需要 31 元. （1）求购买每个笔记本和每支钢笔各多少元？ （2）班主任给小亮的班费是 100 元，需要奖励的同学是 24 名（每人奖励一件奖品），若购买的钢笔数 不少于笔记本数，求小亮有哪几种购买方案？ 2. （2012 贵州铜仁 12 分）为了抓住梵净山文化艺术节的商机，某商店决定购进 A、B 两种艺术节纪念品．若 购进 A 种纪念品 8 件，B 种纪念品 3 件，需要 950 元；若购进 A 种纪念品 5 件，B 种纪念品 6 件，需要 800 元． （1）求购进 A、B 两种纪念品每件各需多少元？ （2）若该商店决定购进这两种纪念品共 100 件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这 100 件纪念品的 资金不少于 7500 元，但不超过 7650 元，那么该商店共有几种进货方案？ （3）若销售每件 A 种纪念品可获利润 20 元，每件 B 种纪念品可获利润 30 元，在第（2）问的各种进货方 案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？ 3. （2012 广西北海 8 分）某班有学生 55 人，其中男生与女生的人数之比为 6：5。 （1）求出该班男生与女生的人数； （2）学校要从该班选出 20 人参加学校的合唱团，要求：①男生人数不少于 7 人；②女生人数超过男生人 数 2 人以上。请问男、女生人数有几种选择方案？ 35 4. （2012 黑龙江牡丹江 10 分）某校为了更好地开展球类运动，体育组决定用 1600 元购进足球 8 个和篮 球 14 个，并且篮球的单价比足球的单价多 20 元，请解答下列问题： （1）求出足球和篮球的单价； （2）若学校欲用不超过 3240 元，且不少于 3200 元再次购进两种球 50 个，求出有哪几种购买方案？ （3）在（2）的条件下，若已知足球的进价为 50 元，篮球的进价为 65 元，则在第二次购买方案中，哪种 方案商家获利最多？ 5. （2012 辽宁本溪 12 分）某商店购进甲、乙两种型号的滑板车，共花费 13000 元，所购进甲型车的数量 不少于乙型车数量的二倍，但不超过乙型车数量的三倍。现已知甲型车每辆进价 200 元，乙型车每辆进价 400 元，设商店购进乙型车 x 辆。 （1）商店有哪几种购车方案？ （2）若商店将购进的甲、乙两种型号的滑板车全部售出，并且销售甲型车每辆获得利润 70 元，销售乙型 车每辆获得利润 50 元，写出此商店销售这两种滑板车所获得的总利润 y（元）与购进乙型车的辆数 x（辆） 之间的函数关系式？并求出商店购进乙型车多少辆时所获得的利润最大？ 6. （2012 贵州黔西南 14 分）某工厂计划生产 A、B 两种产品共 10 件，其生产成本和利润如下表： A 种产品 B 种产品 成本（万元/件） 2 5 利润（万元/件） 1 3 （1）若工厂计划获利 14 万元，问 A、B 两种产品应分别生产多少件？ （2）若工厂计划投入资金不多于 44 万元，且获利多于 14 万元，问工厂有哪几种生产方案？ （3）在（2）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润。 7. （2012 河南省 10 分）某中学计划购买 A 型和 B 型课桌凳共 200 套，经招标，购买一套 A 型课桌凳比购 买一套 B 型课桌凳少用 40 元，，且购买 4 套 A 型和 6 套 B 型课桌凳共需 1820 元。 （1）求购买一套 A 型课桌凳和一套 B 型课桌凳各需多少元？ （2）学校根据实际情况，要求购买这两种课桌凳总费用不能超过 40880 元，并且购买 A 型课桌凳的 数量不能超过 B 型课桌凳的 2 3 ，求该校本次购买 A 型和 B 型课桌凳共有几种方案？哪种方案的总费用最 低？ 8. （2012 黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西 10 分）为了迎接“五·一”小长假的购物高峰，某运动品 牌服装专卖店准备购进甲、乙两种服装，甲种服装每件进价 l80 元，售价 320 元；乙种服装每件进价 l50 元，售价 280 元． (1)若该专卖店同时购进甲、乙两种服装共 200 件，恰好用去 32400 元，求购进甲、乙两种服装各多少件? 36 (2)该专卖店为使甲、乙两种服装共 200 件的总利润(利润=售价一进价)不少于 26700 元， 且不超过 26800 元，则该专卖店有几种进货方案? (3)在(2)的条件下，专卖店准备在 5 月 1 日当天对甲种服装进行优惠促销活动，决定对甲种服装每件优惠 a(08% x 得 x＞18750，不满足条件； 当 7500＜x≤10000 时，由 1500×5% +3000×10%+（x-7500）×20%>8% 解得 x＞9375，故 9375＜x≤10000。 ∴若该纳税人月工薪大于 9375 元且不超过 10000 元时，其纳税金额能超过月工薪的 8%。 【考点】一元一次不等式组的应用。 【分析】（1）按照图表计算即可得应纳多少税。 （2）设该纳税人的月工薪为 x 元，分 x≤4500，x＞18750，x＞9375 三种情况讨论得出该纳税 人的月工薪范围。 练习题： 1. （2011 广东河源 7 分）为了鼓励城区居民节约用水,某市规定用水收费标准如下：每户每月的用水量不 超过 20 度时(1 度=1 米 3 ),水费为 a 元/度；超过 20 度时，不超过部分仍为 元/度，超过部分为b 元/度．已 知某用户四份用水 15 度,交水费 22.5 元,五月份用水 30 度,交水费 50 元． (1) 求 ， 的值； 40 （2）若估计该用户六月份的水费支出不少于 60 元，但不超过 90 元，求该用户六月份的用水量 x 的取 值范围． 2. （2011 湖南益阳 10 分）某地为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制，即每月用水量不超过 14 吨（含 14 吨）时，每吨按政府补贴优惠价收费；每月超过 14 吨时，超过部分每吨按市场调节价收费．小 英家 1 月份用水 20 吨，交水费 29 元；2 月份用水 18 吨，交水费 24 元． （1）求每吨水的政府补贴优惠价和市场调节价分别是多少？ （2）设每月用水量为 x 吨，应交水费为 y 元，写出 y 与 x 之间的函数关系式； （3）小英家 3 月份用水 24 吨，她家应交水费多少元？ 六、在函数问题中的应用问题：不等式（组）的应用与函数问题相比较结合也有着广泛的应用。 典型例题： 例 1. （2012 广东梅州 8 分）一辆警车在高速公路的 A 处加满油，以每小时 60 千米的速度匀速行驶．已 知警车一次加满油后，油箱内的余油量 y（升）与行驶时间 x（小时）的函数关系的图象如图所示的直线 l 上的一部分． （1）求直线 l 的函数关系式； （2）如果警车要回到 A 处，且要求警车中的余油量不能少于 10 升，那么警车可以行驶到离 A 处的最远 距离是多少？ 【答案】解：（1）设直线 l 的解析式是 y=kx+b，由图示，直线经过（1，45），（ 3，42）两点，得 k+b=45 3k+b=42    ，解得 k= 6 b=60    。 ∴直线 l 的解析式是：y=﹣6x+60。 （2）由题意得：y=﹣6x+60≥10，解得 x≤ 25 3 。 ∴警车最远的距离可以到： 25 160 =25032 千米。 【考点】一次函数和一元一次不等式的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。 【分析】（1）根据直线 l 的解析式是 y=kx+b，将（3，42），（1，54）代入求出即可。 41 （2）利用 y=﹣6x+60≥10，求出 x 的取值范围，从而得出警车行驶的最远距离。 例 2. （2012 广东河源 7 分）一辆警车在高速公路的 A 处加满油，以每小时 60 千米的速度匀速行驶．已 知警车一次加满油后，油箱内的余油量 y( 升)与行驶的时间 x(小时)的函数关系的图象是如图所示的直线 l 的一部分． (1)求直线 l 的函数表达式； (2)如果警车要回到 A 处，且要求警车的余油量不能少于 10 升，那么警车可以以行驶到离 A 处的最远 距离是多少？ 【答案】解：（1）设直线 l 的解析式是 y=kx+b，由图示，直线经过（1，45），（ 3，42）两点，得 k+b=45 3k+b=42    ，解得 k= 6 b=60    。 ∴直线 l 的解析式是：y=﹣6x+60。 （2）由题意得：y=﹣6x+60≥10，解得 x≤ 25 3 。 ∴警车最远的距离可以到： 25 160 =25032 千米。 【考点】一次函数和一元一次不等式的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。 【分析】（1）根据直线 l 的解析式是 y=kx+b，将（3，42），（1，54）代入求出即可。 （2）利用 y=﹣6x+60≥10，求出 x 的取值范围，从而得出警车行驶的最远距离。 例 3. （2012 湖北荆门 10 分） 荆门市是著名的“鱼米之乡”．某水产经销商在荆门市长湖养殖场批发购进 草鱼和乌鱼（俗称黑鱼）共 75 千克，且乌鱼的进货量大于 40 千克．已知草鱼的批发单价为 8 元/千克，乌 鱼的批发单价与进货量的函数关系如图所示． （1）请直接写出批发购进乌鱼所需总金额 y（元）与进货量 x（千克）之间的函数关系式； （2）若经销商将购进的这批鱼当日零售，草鱼和乌鱼分别可卖出 89%、95%，要使总零售量不低于进货 量的 93%，问该经销商应怎样安排进货，才能使进货费用最低？最低费用是多少？ 42 【答案】解：（1）批发购进乌鱼所需总金额 y（元）与进货量 x（千克）之间的函数关系式为 26x(20 x 40)y= 24x(x 40)>    。 （2）设该经销商购进乌鱼 x 千克，则购进草鱼（75﹣x）千克，所需进货费用为 w 元． 由题意得：   x0 89% 75 x +95%x 93% 75 >     ，解得 x≥50。 由题意得 w=8（75﹣x）+24x=16x+600． ∵16＞0，∴w 的值随 x 的增大而增大。∴当 x=50 时，75﹣x=25，W 最小=1400（元）。 答：该经销商应购进草鱼 25 千克，乌鱼 50 千克，才能使进货费用最低，最低费用为 1400 元。 【考点】一次函数和一元一次不等式的应用。 【分析】（1）根据所需总金额 y（元）是进货量 x 与进价的乘积，即可写出函数解析式。 （2）根据总零售量不低于进货量的 93%这个不等关系即可得到关于进价 x 的不等式，解不等式即 可求得 x 的范围．费用可以表示成 x 的函数，根据函数的增减性，即可确定费用的最小值。 例 4. （2012 湖北恩施 8 分）小丁每天从某报社以每份 0.5 元买进报纸 200 分，然后以每份 1 元卖给读者， 报纸卖不完，当天可退回报社，但报社只按每份 0.2 元退给小丁，如果小丁平均每天卖出报纸 x 份，纯收 入为 y 元． （1）求 y 与 x 之间的函数关系式（要求写出自变量 x 的取值范围）； （2）如果每月以 30 天计算，小丁每天至少要买多少份报纸才能保证每月收入不低于 2000 元？ 【答案】解：（1）y=（1﹣0.5）x﹣（0.5﹣0.2）（ 200﹣x）=0.8x﹣60（0≤x≤200）。 （2）根据题意得：30（0.8x﹣60）≥2000，解得 x≥ 11383 。 ∴小丁每天至少要买 159 份报纸才能保证每月收入不低于 2000 元。 【考点】一次函数和一元一次不等式的应用。 43 【分析】（1）因为小丁每天从某市报社以每份 0.5 元买出报纸 200 份，然后以每份 1 元卖给读者，报纸卖 不完，当天可退回报社，但报社只按每份 0.2 元退给小丁，所以如果小丁平均每天卖出报纸 x 份，纯收入 为 y 元，则 y=（1﹣0.5）x﹣（0.5﹣0.2）（ 200﹣x）即 y=0.8x﹣60，其中 0≤x≤200 且 x 为整数。 （2）因为每月以 30 天计，根据题意可得 30（0.8x﹣60）≥2000，解之求解即可。 例 5. （2012 湖北孝感 10 分）为提醒人们节约用水，及时修好漏水的水龙头，两名同学分别做了水龙头漏 水实验，他们用于接水的量筒最大容量为 100 毫升． 实验一：小王同学在做水龙头漏水实验时，每隔 10 秒观察量筒中水的体积，记录的数据如下表(漏出 的水量精确到 1 毫升)： 时间 t(秒) 10 20 30 40 50 60 70 漏出的水量 V(毫升) 2 5 8 11 14 17 20 (1)在图 1 的坐标系中描出上表中数据对应的点； (2)如果小王同学继续实验，请探求多少秒后量筒中的水会满而溢出(精确到 1 秒)？ (3)按此漏水速度，一小时会漏水 千克(精确到 0.1 千克)． 实验二：小李同学根据自己的实验数据画出的图象如图 2 所示，为什么图象中会出现与横轴“平行”的 部分？ 【答案】解：实验一： （1）画图象如图所示： 44 （2）设 V 与 t 的函数关系式为 V=kt+b， 根据表中数据知：当 t=10 时，V=2；当 t=20 时，V=5， ∴ 2 10k b 5 20k b    ，解得： 3k 10 b1     。∴V 与 t 的函数关系式为 V= 3 t110  。 由题意得： ≥100，解得 t≥1010 2=33633 。 ∴337 秒后，量筒中的水会满面开始溢出。 （3）一小时会漏水 3 3600 110 =1079（毫克）=1.079（千克）≈1.1 千克。 实验二： ∵小李同学接水的量筒装满后开始溢出，量筒内的水不再发生变化， ∴图象中会出现与横轴“平行”的部分。 【考点】一次函数和一元一次不等式的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。 【分析】实验一： （1）根据图中的数据直接在坐标系中描出各点即可。 （2）先设出 V 与 t 的函数关系式为 V=kt+b，根据表中数据，列方程组求出 k、b，求出 V 与 t 的 函数关系式，再根据 V≥100，即可求出多少秒后，量筒中的水会满面开始溢出。 （3）根据（2）中的函数关系式，把 t=1 小时=3600 秒代入即可求出答案。 实验二：根据小李同学接水的量筒装满后开始溢出，量筒内的水不再发生变化，即可得出图象中 会出现与横轴“平行”的部分。 例 6. （2012 湖北鄂州 10 分）某私营服装厂根据 2011 年市场分析，决定 2012 年调整服装制作方案，准备 每周（按 120 工时计算）制作西服、休闲服、衬衣共 360 件，且衬衣至少 60 件。已知每件服装的收入和 45 所需工时如下表： 服装名称 西服 休闲服 衬衣 工时/件 2 1 3 1 4 1 收入（百元）/件 3 2 1 设每周制作西服 x 件，休闲服 y件，衬衣 z 件。 （1） 请你分别从件数和工时数两个方面用含有 x,y 的代数式表示衬衣的件数 z。 （2） 求 y 与 x 之间的函数关系式。 （3） 问每周制作西服、休闲服、衬衣各多少件时，才能使总收入最高？最高总收入是多少？ 【答案】解：（1）从件数方面：z=360－x－y， 从工时数方面：由 1 2 x+ 1 3 y+ 1 4 z=120 整理得：z=480－2x－ 4 3 y。 （2）由（1）得 360－x－y=480－2x－ y，整理得：y=360－3x。 （3）由题意得总收入 s=3x＋2y＋z=3x＋2（360－3x）＋2x=－x＋720 由题意得 2x 60 x0 360 3x 0      ，解得 30≤x≤120。 由一次函数的性质可知，当 x=30 的时候，s 最大，即当每周生产西服 30 件，休闲服 270 件，衬衣 60 件时，总收入最高，最高总收入是 690 百元。 【考点】一次函数和一元一次不等式组的应用。 【分析】（1）根据题目中的已知条件分别从件数和工时数两个方面用含 x，y 的关系式表示 z。 （2）由（1）整理得：y=360－3x。 （3）由题意得 s=3x+2y+z，化为一个自变量，得到关于 x 的一次函数。由题意得 ， 解得 30≤x≤120，从而根据一次函数的性质作答。 例 7. （2012 湖南益阳 8 分）为响应市政府“创建国家森林城市”的号召，某小区计划购进 A、B 两种树苗 共 17 棵，已知 A 种树苗每棵 80 元，B 种树苗每棵 60 元． （1）若购进 A、B 两种树苗刚好用去 1220 元，问购进 A、B 两种树苗各多少棵？ （2）若购买 B 种树苗的数量少于 A 种树苗的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费 用． 46 【答案】解：（1）设购进 A 种树苗 x 棵，则购进 B 种树苗（17﹣x）棵，根据题意得： 80x+60（17﹣x ）=1220，解得：x=10。∴17﹣x=7。 答：购进 A 种树苗 10 棵，B 种树苗 7 棵。 （2）设购进 A 种树苗 x 棵，则购进 B 种树苗（17﹣x）棵，根据题意得： 17﹣x＜x，解得：x＞8.5。 ∵购进 A、B 两种树苗所需费用为 80x+60（17﹣x）=20x+1020，是 x 的增函数， ∴费用最省需 x 取最小整数 9，此时 17﹣x=8，所需费用为 20×9+1020=1200（元）。 答：费用最省方案为：购进 A 种树苗 9 棵，B 种树苗 8 棵，这时所需费用为 1200 元。 【考点】一元一次方程、一元一次不等式和一次函数的应用。 【分析】（1）设购进 A 种树苗 x 棵，则购进 B 种树苗（17﹣x）棵，利用购进 A、B 两种树苗刚好用去 1220 元，结合单价，得出等式方程求出即可； （2）结合（1）的解和购买 B 种树苗的数量少于 A 种树苗的数量，可找出方案。 例 8. （2012 四川广元 8 分）某乡要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心，这样必须把 1200m3 的生活垃 圾运走。 （1）假如每天能运 xm3，所需时间为 y 天，写出 y 与 x 之间的函数关系式； （2）若每辆拖拉机一天能运 12m3，则 5 辆这样的拖拉机要多少天才能运完？ （3）在（2）的情况下，运了 8 天后，剩下的任务要在不超过 6 天的时间完成，那么至少需要增加多 少辆这样的拖拉机才能按时完成任务？ 【答案】解：（1）∵1200m3 的生活垃圾，每天运量 xm3， ∴共需时间1200 x 天运走，即 y 与 x 之间的函数关系式为 1200y x 。 （2）5 辆拖拉机每天能运 5×12m3=60 m3，则 y=1200÷60=20，即需要 20 天运完。 （3）假设需要增加 n 辆，根据题意：8×60+6×12（n+5）≥1200，解得 n≥5。 答：至少需要增加 5 辆。 【考点】反比例函数和一元一次不等式的的应用。 【分析】（1）根据每天能运 xm3，所需时间为 y 天的积就是 1200m3，即可写出函数关系式。 （2）把 x=12×5=60 代入，即可求得天数。 （3）算出 8 天以后剩余的数量，然后计算出 6 天运完所需的拖拉机数，即可求解。 例 9. （2012 四川德阳 11 分） 今年南方某地发生特大洪灾，政府为了尽快搭建板房安置灾民，给某厂下 达了生产 A 种板材 48000 ㎡和 B 种板材 24000 ㎡的任务. 47 ⑴如果该厂安排 210 人生产这两种材，每人每天能生产 A 种板材 60 ㎡或 B 种板材 40 ㎡，请问：应分 别安排多少人生产 A 种板材和 B 种板材，才能确保同时完成各自的生产任务？ ⑵某灾民安置点计划用该厂生产的两种板材搭建甲、乙两种规格的板房共 400 间，已知建设一间甲型 板房和一间乙型板房所需板材及安置人数如下表所示： 板房 A 种板材（m2） B 种板材（m2） 安置人数 甲型 108 61 12 乙型 156 51 10 问这 400 间板房最多能安置多少灾民？ 【答案】解：（1）设 x 人生产 A 种板材，根据题意得；   48000 24000=60x 40 210 x 解得，x=120。 经检验 x=120 是分式方程的解。 210﹣120=90。 ∴安排 120 人生产 A 种板材，90 人生产 B 种板材，才能确保同时完成各自的生产任务。 （2）设生产甲种板房 y 间，乙种板房（400﹣y）间，安置人数 z 人。 ∴根据题意，安置人数 z=12y+10（400﹣y）=2y+4000。 又由     108y+156 400 y 4800 61y+51 400 y 2400    解得：300≤y≤600。 ∵2＞0，∴z=2y+4000 随 y 增加而增加。 ∴当 y=360 时安置的人数最多。最多人数为 z 360 2 4000 4720   最多 。 ∴最多能安置 4720 人。 【考点】分式方程、一次函数和一元一次不等式组的应用。 【分析】（1）设 x 人生产 A 种板材，根据题意得列出方程，再解方程即可。 （2）设生产甲种板房 y 间，乙种板房（400﹣y）间，则安置人数为 12y+10（400﹣y）=2y+4000， 然后列出不等式组，最后根据一次函数的性质，即可求出答案。 例 10. （2012 四川凉山 9 分）某商场计划购进冰箱、彩电进行销售。相关信息如下表： 进价（元/台） 售价（元/台） 冰箱 a 2500 48 彩电 a 400 2000 （1）若商场用 80000 元购进冰箱的数量与用 64000 元购进彩电的数量相等，求表中 a 的值。 （2）为了满足市场需要求，商场决定用不超过 9 万元采购冰箱、彩电共 50 台，且冰箱的数量不少于彩电 数量的 5 6 。 ①该商场有哪几种进货方式？ ②若该商场将购进的冰箱、彩电全部售出，获得的最大利润为 w 元，请用所学的函数知识求出 w 的值。 【答案】解：（1）根据题意得 80000 64000 a a 400  ，解得 a=2000。 经检验 a=2000 是原方程的根。 ∴a=2000。 （2）设购买彩电 x 台，则购进冰箱（50－x）台。 ①根据题意得     550 x x 6 a 50 x a 400 x 90000        ，解得： 30025 x 11 。 ∴有三种进货方式： 1）购买彩电 25 台，则购进冰箱 25 台； 2）购买彩电 26 台，则购进冰箱 24 台； 3）购买彩电 27 台，则购进冰箱 23 台。 ②一个冰箱的利润为：500 元，一个彩电的利润为 400 元， ∴w=400x＋500（50－x）=－100x+25000， ∴w 为关于 x 的一次函数，且为减函数。 ∵ ，x 取整数， ∴当 x=25 时，获得的利润最大，最大为 22500 元。 【考点】一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式组的应用。 【分析】（1）分别表示冰箱和彩电的购进数量，根据相等关系列方程求解。 （2）设购买彩电 x 台，则购进冰箱（50－x）台。 ①根据题意列不等式组求解。 ②用含 x 的代数式表示利润 w，根据 x 的取值范围和一次函数的性质求解。 练习题： 1. （2012 湖南常德 7 分）某工厂生产 A、B 两种产品共 50 件，其生产成本与利润如下表： 49 若该工厂计划投入资金不超过 40 万元，且希望获利超过 16 万元，问工厂有哪几种生产方案？哪种生 产方案获利润最大？最大利润是多少？ 2. （2012 湖南郴州 8 分）某校为开展好大课间活动，欲购买单价为 20 元的排球和单价为 80 元的篮球共 100 个． （1）设购买排球数为 x（个），购买两种球的总费用为 y（元），请你写出 y 与 x 的函数关系式（不要求写 出自变量的取值范围）； （2）如果购买两种球的总费用不超过 6620 元，并且篮球数不少于排球数的 3 倍，那么有哪几种购买方案？ （3）从节约开支的角度来看，你认为采用哪种方案更合算？ 3. （2012 四川泸州 6 分）某商店准备购进甲、乙两种商品。已知甲商品每件进价 15 元，售价 20 元；乙 商品每件进价 35 元，售价 45 元。 (1)若该商店同时购进甲、乙两种商品共 100 件，恰好用去 2700 元，求购进甲、乙两种商品各多少件？ (2)若该商店准备用不超过 3100 元购进甲、乙两种商品共 100 件，且这两种商品全部售出后获利不少 于 890 元，问应该怎样进货，才能使总利润最大，最大利润是多少？(利润=售价-进价) 4. （2012 辽宁丹东 10 分）甲、乙两工程队同时修 筑水渠，且两队所修水渠总长度相等．右图是两队 所修水渠长度 y(米)与修筑时间 x(时)的函数图像的一部分．请根据图中信息，解答下列问题： （1）①直接写出甲队在 0≤x≤5 的时间段内，y 与 x 之间的函数关系式 ； ②直接写出乙队在 2≤x≤5 的时间段内，y 与 x 之间的函数关系式 ； （2）求开修几小时后，乙队修筑的水渠长度开始超过甲队？ （3）如果甲队施工速度不变，乙队在修筑 5 小时后，施工速度因故减少到 5 米/时，结果两队同时完成任 务，求乙队从开修到完工所修水渠的长度为多少米？ A 种产品 B 种产品 成本 （万元／件） 0.6 0.9 利润 （万元／件） 0.2 0.4 50 5. （2012 山东青岛 10 分）在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进 行销售，并将所得利润捐给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量 y(个)于销售单价 x(元/个)之间的对应关系如图所示． (1)试判断 y 与 x 之间的函数关系，并求出函数关系式； (2)若许愿瓶的进价为 6 元/个，按照上述市场调查销售规律，求利润 w(元)与销售单价 x(元/个)之间的 函数关系式； (3)若许愿瓶的进货成本不超过 900 元，要想获得最大利润，试求此时这种许愿瓶的销售单价，并求出 最大利润． 6. （201 四川攀枝花 8 分）某经营世界著名品牌的总公司，在我市有甲、乙两家分公司，这两家公司都销 售香水和护肤品．总公司现香水 70 瓶，护肤品 30 瓶，分配给甲、乙两家分公司，其中 40 瓶给甲公司， 60 瓶给乙公司，且都能卖完，两公司的利润（元）如下表． （1）假设总公司分配给甲公司 x 瓶香水，求：甲、乙两家公司的总利润 W 与 x 之间的函数关系式； （2）在（1）的条件下，甲公司的利润会不会比乙公司的利润高？并说明理由； （3）若总公司要求总利润不低于 17370 元，请问有多少种不同的分配 方案，并将各种方案设计出来． 每瓶香水利润 每瓶护肤品利润 甲公司 180 200 乙公司 160 150 51 7. （2011 辽宁朝阳 12 分）为迎接 2011 年中国国际旅游节，某宾馆将总面积为 6 000 平方米的房屋装修改 造成普通客房(每间 26 平方米)和高级客房(每间 36 平方米)共 100 间及其他功能用房若干间，要求客房面积 不低于总面积的 50%，又不超过总面积的 60%. (1)求最多能改造成普通客房多少间． (2)在(1)的情况下，旅游节期间，普通客房以每间每天 100 元的价格全部租出，高级客房每天租出的间 数 y(间)与其价格 x(元/间)之间的关系如图所示．试问：该宾馆一天的最高客房收入能达到 12 000 元吗？若 能，求出此时高级客房的价格；若不能，请说明理由． 8. （2011 重庆江津 12 分）在“五个重庆”建设中，为了提高市民的宜居环境，某区规划修建一个文化广场 （平面图形如图所示），其中四边形 ABCD 是矩形，分别以 AB、BC、CD、DA 边为直径向外作半圆，若 整个广场的周长为 628 米，设矩形的边长 AB= y 米，BC= x 米．（注：取 π=3.14） （1）试用含 的代数式表示 ； （2）现计划在矩形 ABCD 区域上种植花草和铺设鹅卵石等，平均每平方米造价为 428 元，在四个半 圆的区域上种植草坪及铺设花岗岩，平均每平方米造价为 400 元； ①设该工程的总造价为 W 元，求 W 关于 的函数关系式； ②若该工程政府投入 1 千万元，问能否完成该工程的建设任务？若能，请列出设计方案，若不能，请 说明理由？ ③若该工程在政府投入 1 千万元的基础上，又增加企业募捐资金 64.82 万元，但要求矩形的边 BC 的 长不超过 AB 长的三分之二，且建设广场恰好用完所有资金，问：能否完成该工程的建设任务？若能，请 列出所有可能的设计方案，若不能，请说明理由．