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- 2021-11-12 发布
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2018年四川省泸州市中考数学试卷
一、选择题(本大题共12个小题,每小题3分,共36分)在每小题给出的四个选项中,有且只有一个是正确的,请将正确选项的字母填涂在答题卡相应的位置上.
1.(3分)在﹣2,0,,2四个数中,最小的是( )
A.﹣2 B.0 C. D.2
2.(3分)2017年,全国参加汉语考试的人数约为6500000,将6500000用科学记数法表示为( )
A.6.5×105 B.6.5×106 C.6.5×107 D.65×105
3.(3分)下列计算,结果等于a4的是( )
A.a+3a B.a5﹣a C.(a2)2 D.a8÷a2
4.(3分)如图是一个由5个完全相同的小正方体组成的立体图形,它的俯视图是( )
A. B. C. D.
5.(3分)如图,直线a∥b,直线c分别交a,b于点A,C,∠BAC的平分线交直线b于点D,若∠1=50°,则∠2的度数是( )
A.50° B.70° C.80° D.110°
23
6.(3分)某校对部分参加夏令营的中学生的年龄(单位:岁)进行统计,结果如下表:
年龄
13
14
15
16
17
人数
1
2
2
3
1
则这些学生年龄的众数和中位数分别是( )
A.16,15 B.16,14 C.15,15 D.14,15
7.(3分)如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AB中点,且AE+EO=4,则▱ABCD的周长为( )
A.20 B.16 C.12 D.8
8.(3分)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b.若ab=8,大正方形的面积为25,则小正方形的边长为( )
A.9 B.6 C.4 D.3
9.(3分)已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k﹣1=0有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围是( )
A.k≤2 B.k≤0 C.k<2 D.k<0
10.(3分)如图,正方形ABCD中,E,F分别在边AD,CD上,AF,BE相交于点G,若AE=3ED,DF=CF,则的值是( )
23
A. B. C. D.
11.(3分)在平面直角坐标系内,以原点O为原心,1为半径作圆,点P在直线y=上运动,过点P作该圆的一条切线,切点为A,则PA的最小值为( )
A.3 B.2 C. D.
12.(3分)已知二次函数y=ax2+2ax+3a2+3(其中x是自变量),当x≥2时,y随x的增大而增大,且﹣2≤x≤1时,y的最大值为9,则a的值为( )
A.1或﹣2 B.或 C. D.1
二、填空题(每小题3分,共12分)
13.(3分)若二次根式在实数范围内有意义,则x的取值范围是 .
14.(3分)分解因式:3a2﹣3= .
15.(3分)已知x1,x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两实数根,则的值是 .
16.(3分)如图,等腰△ABC的底边BC=20,面积为120,点F在边BC上,且BF=3FC,EG是腰AC的垂直平分线,若点D在EG上运动,则△CDF周长的最小值为 .
23
三、(每小题6分,共18分)
17.(6分)计算:π0++()﹣1﹣|﹣4|.
18.(6分)如图,EF=BC,DF=AC,DA=EB.求证:∠F=∠C.
19.(6分)化简:(1+)÷.
四、(每小题7分,共14分)
20.(7分)为了解某中学学生课余生活情况,对喜爱看课外书、体育活动、看电视、社会实践四个方面的人数进行调查统计.现从该校随机抽取n名学生作为样本,采用问卷调查的方法收集数据(参与问卷调查的每名学生只能选择其中一项).并根据调查得到的数据绘制成了如图7所示的两幅不完整的统计图.由图中提供的信息,解答下列问题:
(1)求n的值;
(2)若该校学生共有1200人,试估计该校喜爱看电视的学生人数;
(3)若调查到喜爱体育活动的4名学生中有3名男生和1名女生,现从这4名学生中任意抽取2名学生,求恰好抽到2名男生的概率.
21.(7分)某图书馆计划选购甲、乙两种图书.已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的2.5倍,用800元单独购买甲图书比用800元单独购买乙图书要少24本.
(1)甲、乙两种图书每本价格分别为多少元?
23
(2)如果该图书馆计划购买乙图书的本数比购买甲图书本数的2倍多8本,且用于购买甲、乙两种图书的总经费不超过1060元,那么该图书馆最多可以购买多少本乙图书?
五、(每小题8分,共16分)
22.(8分)如图,甲建筑物AD,乙建筑物BC的水平距离AB为90m,且乙建筑物的高度是甲建筑物高度的6倍,从E(A,E,B在同一水平线上)点测得D点的仰角为30°,测得C点的仰角为60°,求这两座建筑物顶端C、D间的距离(计算结果用根号表示,不取近似值).
23.(8分)一次函数y=kx+b的图象经过点A(﹣2,12),B(8,﹣3).
(1)求该一次函数的解析式;
(2)如图,该一次函数的图象与反比例函数y=(m>0)的图象相交于点C(x1,y1),D(x2,y2),与y轴交于点E,且CD=CE,求m的值.
六、(每小题12分,共24分)
24.(12分)如图,已知AB,CD是⊙O的直径,过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P,⊙O的弦DE交AB于点F,且DF=EF.
23
(1)求证:CO2=OF•OP;
(2)连接EB交CD于点G,过点G作GH⊥AB于点H,若PC=4,PB=4,求GH的长.
25.(12分)如图11,已知二次函数y=ax2﹣(2a﹣)x+3的图象经过点A(4,0),与y轴交于点B.在x轴上有一动点C(m,0)(0<m<4),过点C作x轴的垂线交直线AB于点E,交该二次函数图象于点D.
(1)求a的值和直线AB的解析式;
(2)过点D作DF⊥AB于点F,设△ACE,△DEF的面积分别为S1,S2,若S1=4S2,求m的值;
(3)点H是该二次函数图象上位于第一象限的动点,点G是线段AB上的动点,当四边形DEGH是平行四边形,且▱DEGH周长取最大值时,求点G的坐标.
23
2018年四川省泸州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共12个小题,每小题3分,共36分)在每小题给出的四个选项中,有且只有一个是正确的,请将正确选项的字母填涂在答题卡相应的位置上.
1.(3分)在﹣2,0,,2四个数中,最小的是( )
A.﹣2 B.0 C. D.2
【解答】解:由正数大于零,零大于负数,得
﹣2<0<<2,
﹣2最小,
故选:A.
2.(3分)2017年,全国参加汉语考试的人数约为6500000,将6500000用科学记数法表示为( )
A.6.5×105 B.6.5×106 C.6.5×107 D.65×105
【解答】解:6500000=6.5×106,
故选:B.
3.(3分)下列计算,结果等于a4的是( )
A.a+3a B.a5﹣a C.(a2)2 D.a8÷a2
【解答】解:A、a+3a=4a,错误;
B、a5和a不是同类项,不能合并,故此选项错误;
C、(a2)2=a4,正确;
D、a8÷a2=a6,错误;
故选:C.
23
4.(3分)如图是一个由5个完全相同的小正方体组成的立体图形,它的俯视图是( )
A. B. C. D.
【解答】解:从上面看第一列是两个小正方形,第二列是一个小正方形,第三列是一个小正方形,
故选:B.
5.(3分)如图,直线a∥b,直线c分别交a,b于点A,C,∠BAC的平分线交直线b于点D,若∠1=50°,则∠2的度数是( )
A.50° B.70° C.80° D.110°
【解答】解:∵∠BAC的平分线交直线b于点D,
∴∠BAD=∠CAD,
∵直线a∥b,∠1=50°,
∴∠BAD=∠CAD=50°,
∴∠2=180°﹣50°﹣50°=80°.
故选:C.
6.(3分)某校对部分参加夏令营的中学生的年龄(单位:岁)进行统计,结果如下表:
23
年龄
13
14
15
16
17
人数
1
2
2
3
1
则这些学生年龄的众数和中位数分别是( )
A.16,15 B.16,14 C.15,15 D.14,15
【解答】解:由表可知16岁出现次数最多,所以众数为16岁,
因为共有1+2+2+3+1=9个数据,
所以中位数为第5个数据,即中位数为15岁,
故选:A.
7.(3分)如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AB中点,且AE+EO=4,则▱ABCD的周长为( )
A.20 B.16 C.12 D.8
【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,
∵AE=EB,
∴OE=BC,
∵AE+EO=4,
∴2AE+2EO=8,
∴AB+BC=8,
∴平行四边形ABCD的周长=2×8=16,
故选:B.
8.(3分)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b.若ab=8,大正方形的面积为25,则小正方形的边长为( )
23
A.9 B.6 C.4 D.3
【解答】解:由题意可知:中间小正方形的边长为:a﹣b,
∵每一个直角三角形的面积为:ab=×8=4,
∴4×ab+(a﹣b)2=25,
∴(a﹣b)2=25﹣16=9,
∴a﹣b=3,
故选:D.
9.(3分)已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k﹣1=0有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围是( )
A.k≤2 B.k≤0 C.k<2 D.k<0
【解答】解:根据题意得△=(﹣2)2﹣4(k﹣1)>0,
解得k<2.
故选:C.
10.(3分)如图,正方形ABCD中,E,F分别在边AD,CD上,AF,BE相交于点G,若AE=3ED,DF=CF,则的值是( )
A. B. C. D.
【解答】解:如图作,FN∥AD,交AB于N,交BE于M.
23
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB∥CD,∵FN∥AD,
∴四边形ANFD是平行四边形,
∵∠D=90°,
∴四边形ANFD是解析式,
∵AE=3DE,设DE=a,则AE=3a,AD=AB=CD=FN=4a,AN=DF=2a,
∵AN=BN,MN∥AE,
∴BM=ME,
∴MN=a,
∴FM=a,
∵AE∥FM,
∴===,
故选:C.
11.(3分)在平面直角坐标系内,以原点O为原心,1为半径作圆,点P在直线y=上运动,过点P作该圆的一条切线,切点为A,则PA的最小值为( )
A.3 B.2 C. D.
【解答】解:如图,直线y=x+2与x轴交于点C,与y轴交于点D,作OH⊥CD于H,
当x=0时,y=x+2=2,则D(0,2),
当y=0时,x+2=0,解得x=﹣2,则C(﹣2,0),
∴CD==4,
23
∵OH•CD=OC•OD,
∴OH==,
连接OA,如图,
∵PA为⊙O的切线,
∴OA⊥PA,
∴PA==,
当OP的值最小时,PA的值最小,
而OP的最小值为OH的长,
∴PA的最小值为=.
故选:D.
12.(3分)已知二次函数y=ax2+2ax+3a2+3(其中x是自变量),当x≥2时,y随x的增大而增大,且﹣2≤x≤1时,y的最大值为9,则a的值为( )
A.1或﹣2 B.或 C. D.1
【解答】解:∵二次函数y=ax2+2ax+3a2+3(其中x是自变量),
∴对称轴是直线x=﹣=﹣1,
∵当x≥2时,y随x的增大而增大,
∴a>0,
∵﹣2≤x≤1时,y的最大值为9,
∴x=1时,y=a+2a+3a2+3=9,
∴3a2+3a﹣6=0,
23
∴a=1,或a=﹣2(不合题意舍去).
故选:D.
二、填空题(每小题3分,共12分)
13.(3分)若二次根式在实数范围内有意义,则x的取值范围是 x≥1 .
【解答】解:∵式子在实数范围内有意义,
∴x﹣1≥0,
解得x≥1.
故答案为:x≥1.
14.(3分)分解因式:3a2﹣3= 3(a+1)(a﹣1) .
【解答】解:3a2﹣3,
=3(a2﹣1),
=3(a+1)(a﹣1).
故答案为:3(a+1)(a﹣1).
15.(3分)已知x1,x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两实数根,则的值是 6 .
【解答】解:∵x1、x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两实数根,
∴x1+x2=2,x1x2=﹣1,=2x1+1,=2x2+1,
∴=+====6.
故答案为:6.
16.(3分)如图,等腰△
23
ABC的底边BC=20,面积为120,点F在边BC上,且BF=3FC,EG是腰AC的垂直平分线,若点D在EG上运动,则△CDF周长的最小值为 13 .
【解答】解:如图作AH⊥BC于H,连接AD.
∵EG垂直平分线段AC,
∴DA=DC,
∴DF+DC=AD+DF,
∴当A、D、F共线时,DF+DC的值最小,最小值就是线段AF的长,
∵•BC•AH=120,
∴AH=12,
∵AB=AC,AH⊥BC,
∴BH=CH=10,
∵BF=3FC,
∴CF=FH=5,
∴AF===13,
∴DF+DC的最小值为13.
故答案为13.
三、(每小题6分,共18分)
17.(6分)计算:π0++()﹣1﹣|﹣4|.
【解答】解:原式=1+4+2﹣4=3.
23
18.(6分)如图,EF=BC,DF=AC,DA=EB.求证:∠F=∠C.
【解答】证明:∵DA=BE,
∴DE=AB,
在△ABC和△DEF中,
,
∴△ABC≌△DEF(SSS),
∴∠C=∠F.
19.(6分)化简:(1+)÷.
【解答】解:原式=•
=.
四、(每小题7分,共14分)
20.(7分)为了解某中学学生课余生活情况,对喜爱看课外书、体育活动、看电视、社会实践四个方面的人数进行调查统计.现从该校随机抽取n名学生作为样本,采用问卷调查的方法收集数据(参与问卷调查的每名学生只能选择其中一项).并根据调查得到的数据绘制成了如图7所示的两幅不完整的统计图.由图中提供的信息,解答下列问题:
(1)求n的值;
(2)若该校学生共有1200人,试估计该校喜爱看电视的学生人数;
(3)若调查到喜爱体育活动的4名学生中有3名男生和1名女生,现从这4名学生中任意抽取2名学生,求恰好抽到2名男生的概率.
23
【解答】解:(1)n=5÷10%=50;
(2)样本中喜爱看电视的人数为50﹣15﹣20﹣5=10(人),
1200×=240,
所以估计该校喜爱看电视的学生人数为240人;
(3)画树状图为:
共有12种等可能的结果数,其中恰好抽到2名男生的结果数为6,
所以恰好抽到2名男生的概率==.
21.(7分)某图书馆计划选购甲、乙两种图书.已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的2.5倍,用800元单独购买甲图书比用800元单独购买乙图书要少24本.
(1)甲、乙两种图书每本价格分别为多少元?
(2)如果该图书馆计划购买乙图书的本数比购买甲图书本数的2倍多8本,且用于购买甲、乙两种图书的总经费不超过1060元,那么该图书馆最多可以购买多少本乙图书?
【解答】解:(1)设乙图书每本价格为x元,则甲图书每本价格是2.5x元,
根据题意可得:﹣=24,
解得:x=20,
经检验得:x=20是原方程的根,
则2.5x=50,
23
答:乙图书每本价格为20元,则甲图书每本价格是50元;
(2)设购买甲图书本数为x,则购买乙图书的本数为:2x+8,
故50x+20(2x+8)≤1060,
解得:x≤10,
故2x+8≤28,
答:该图书馆最多可以购买28本乙图书.
五、(每小题8分,共16分)
22.(8分)如图,甲建筑物AD,乙建筑物BC的水平距离AB为90m,且乙建筑物的高度是甲建筑物高度的6倍,从E(A,E,B在同一水平线上)点测得D点的仰角为30°,测得C点的仰角为60°,求这两座建筑物顶端C、D间的距离(计算结果用根号表示,不取近似值).
【解答】解:由题意知:BC=6AD,AE+BE=AB=90m
在Rt△ADE中,tan30°=,sin30°=
∴AE==AD,DE=2AD;
在Rt△BCE中,tan60°=,sin60°=,
∴BE==2AD,CE==4AD;
∵AE+BE=AB=90m
∴AD+2AD=90
∴AD=10(m)
23
∴DE=20m,CE=120m
∵∠DEA+∠DEC+∠CEB=180°,∠DEA=30°,∠CEB=60°,
∴∠DEC=90°
∴CD===20(m)
答:这两座建筑物顶端C、D间的距离为20m.
23.(8分)一次函数y=kx+b的图象经过点A(﹣2,12),B(8,﹣3).
(1)求该一次函数的解析式;
(2)如图,该一次函数的图象与反比例函数y=(m>0)的图象相交于点C(x1,y1),D(x2,y2),与y轴交于点E,且CD=CE,求m的值.
【解答】解:(1)把点A(﹣2,12),B(8,﹣3)代入y=kx+b
得:
解得:
∴一次函数解析式为:y=﹣
(2)分别过点C、D做CA⊥y轴于点A,DB⊥y轴于点B
23
设点C坐标为(a,b),由已知ab=m
由(1)点E坐标为(0,9),则AE=9﹣b
∵AC∥BD,CD=CE
∴BD=2a,EB=2(9﹣b)
∴OB=9﹣2(9﹣b)=2b﹣9
∴点D坐标为(2a,2b﹣9)
∴2a•(2b﹣9)=m
整理得m=6a
∵ab=m
∴b=6
则点D坐标化为(a,3)
∵点D在y=﹣图象上
∴a=4
∴m=ab=24
六、(每小题12分,共24分)
24.(12分)如图,已知AB,CD是⊙O的直径,过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P,⊙O的弦DE交AB于点F,且DF=EF.
(1)求证:CO2=OF•OP;
(2)连接EB交CD于点G,过点G作GH⊥AB于点H,若PC=4,PB=4,求GH的长.
23
【解答】(1)证明:∵PC是⊙O的切线,
∴OC⊥PC,
∴∠PCO=90°,
∵AB是直径,EF=FD,
∴AB⊥ED,
∴∠OFD=∠OCP=90°,
∵∠FOD=∠COP,
∴△OFD∽△OCP,
∴=,∵OD=OC,
∴OC2=OF•OP.
(2)解:如图作CM⊥OP于M,连接EC、EO.设OC=OB=r.
在Rt△POC中,∵PC2+OC2=PO2,
∴(4)2+r2=(r+4)2,
∴r=2,
∵CM==,
∵DC是直径,
∴∠CEF=∠EFM=∠CMF=90°,
23
∴四边形EFMC是矩形,
∴EF=CM=,
在Rt△OEF中,OF==,
∴EC=2OF=,
∵EC∥OB,
∴==,
∵GH∥CM,
∴==,
∴GH=.
25.(12分)如图11,已知二次函数y=ax2﹣(2a﹣)x+3的图象经过点A(4,0),与y轴交于点B.在x轴上有一动点C(m,0)(0<m<4),过点C作x轴的垂线交直线AB于点E,交该二次函数图象于点D.
(1)求a的值和直线AB的解析式;
(2)过点D作DF⊥AB于点F,设△ACE,△DEF的面积分别为S1,S2,若S1=4S2,求m的值;
(3)点H是该二次函数图象上位于第一象限的动点,点G是线段AB上的动点,当四边形DEGH是平行四边形,且▱DEGH周长取最大值时,求点G的坐标.
【解答】解:(1)把点A(4,0)代入,得
0=a•42﹣(2a﹣)×4+3
23
解得
a=﹣
∴函数解析式为:y=
设直线AB解析式为y=kx+b
把A(4,0),B(0,3)代入
解得
∴直线AB解析式为:y=﹣
(2)由已知,
点D坐标为(m,﹣)
点E坐标为(m,﹣)
∴AC=4﹣m
DE=(﹣)﹣(﹣)=﹣
∵BC∥y轴
∴
∴AE=
∵∠DFA=∠DCA=90°,∠FBD=∠CEA
∴△DEF∽△AEC
∵S1=4S2
∴AE=2DE
∴
解得m1=,m2=﹣(舍去)
故m值为
(3)如图,过点G做GM⊥DC于点M
23
由(2)DE=﹣
同理HG=﹣
∵四边形DEGH是平行四边形
∴﹣=﹣
整理得:(n﹣m)[]=0
∵m≠n
∴m+n=4,即n=4﹣m
∴MG=n﹣m=4﹣2m
由已知△EMG∽△BOA
∴
∴EG=
∴▱DEGH周长L=2[﹣+]=﹣
∵a=﹣<0
∴m=﹣时,L最大.
∴n=4﹣=
∴G点坐标为(,)
23
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