2020年山东中考数学一模试卷【解析版】 33页

‎2020年山东中考数学一模试卷 一、选择题 ‎1．在算式（﹣2）□（﹣3）的□中填上运算符号，使结果最小，运算符号是（　　）‎ A．加号 B．减号 C．乘号 D．除号 ‎2．如图所示的几何体的俯视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．截止2020年3月2日全国新型冠状肺炎病人治愈44000多人，数44000用科学记数法表示为（　　）‎ A．4.4×104 B．44×103 C．0.44×105 D．4.4×103‎ ‎4．如图，OC是∠AOB的角平分线，l∥OB，若∠1＝52°，则∠2的度数为（　　）‎ A．52° B．54° C．64° D．69°‎ ‎5．下列计算正确的是（　　）‎ A．2a2•3a2＝6a2 B．（﹣3a2b）2＝6a4b2 ‎ C．（a+b）2＝a2+b2 D．﹣a2+2a2＝a2‎ ‎6．某中学随机调查了15名学生，了解他们一周在校参加体育锻炼时间．列表如下：则这15名学生一周在校参加体育锻炼时间的中位数和众数分别是（　　）‎ 锻炼时间（小时）‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 人数 ‎2‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎2‎ A．6，7 B．7，7 C．7，6 D．6，6‎ ‎7．在平面直角坐标系中，将函数y＝3x的图象向上平移6个单位长度，则平移后的图象与x轴的交点坐标为（　　）‎ A．（2，0） B．（﹣2，0） C．（6，0） D．（﹣6，0）‎ ‎8．化简+的结果是（　　）‎ A．x﹣2 B． C． D．‎ ‎9．一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝2x+3的根的情况是（　　）‎ A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 ‎ C．只有一个实数根 D．没有实数根 ‎10．在矩形ABCD中，E是BC边的中点，AE⊥BD，垂足为点F，则tan∠AED的值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．如图，四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，AB＝2，扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是（　　）‎ A．﹣ B．﹣ C．π﹣ D．π﹣‎ ‎12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x的顶点为A点，且与x轴的正半轴交于点B，P点为该抛物线对称轴上一点，则OP+AP的最小值为（　　）‎ A． B． C．3 D．2‎ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）‎ ‎13．分解因式：m3﹣m＝　 　．‎ ‎14．在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们只有颜色上的区别，其中有2个红球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，那么可以推算出n大约是　 　．‎ ‎15．当a＝　 　时，方程解是x＝1？‎ ‎16．如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需　 　个正五边形？‎ ‎17．小东从A地出发以某一速度向B地走去，同时小明从B地出发以另一速度向A地而行，y1、y2分别表示小东、小明离B地的距离（千米）与所用时间x（小时）的关系如图所示，根据图象提供的信息，请求出小明到达A地所需的时间应为　 　小时．‎ ‎18．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE，BF交于点G，将△BCF沿BF对折，得到△BPF，延长FP交BA延长线于点Q，下列4个结论：①AE＝BF；②AE⊥BF；③sin∠BQP＝；④S四边形ECFG＝4S△BGE；正确的结论有　 　．‎ 三、解答题（本大题共9个小题，共78分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎19．计算：‎ ‎20．解不等式组：，并把其解集在数轴上表示出来．‎ ‎21．如图，四边形ABCD，AD∥BC，DC⊥BC于C点，AE⊥BD于E，且DB＝DA．求证：AE＝CD．‎ ‎22．目前节能灯在城市已基本普及，今年安徽省面向农村地区推广，为响应号召，某商场用3800元购进甲、乙两种型号的节能灯共120只，两种灯的进价和售价如下表．‎ 进价（元/只）‎ 售价（元/只）‎ 甲型 ‎25‎ ‎30‎ 乙型 ‎45‎ ‎60‎ ‎（1）求甲、乙两种节能灯各进多少只？‎ ‎（2）全部售完120只节能灯后，该商场获利润多少元？‎ ‎23．如图，AB是圆O的直径，AD是弦，∠DAB＝22.5°，过点D作圆O的切线DC交AB的延长线于点C．‎ ‎（1）求∠C的度数：‎ ‎（2）若AB＝2，求BC的长度．‎ ‎24．由中宣部建没的“学习强国”学习平台正式上线，这是推动习近平新时代中国特色社会主义思想，推进马克思主义学习型政党和学习型社会建设的创新举措．某基层党组织对党员的某天的学习成绩进行了整理，分成5个小组（x表示成绩，单位：分，且10≤x＜70），根据学习积分绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图，其中第2、第5两组测试成绩人数直方图的高度比为4：1，请结合下列图表中相关数据回答下列问题：‎ 学习积分频数分布表 组别 成绩x分 频数 频率 第1组 ‎20≤x＜30‎ ‎5‎ 第2组 ‎30≤x b ‎＜40‎ 第3组 ‎40≤x＜50‎ ‎15‎ ‎30%‎ 第4组 ‎50≤x＜60‎ ‎10‎ 第5组 ‎60≤x＜70‎ a ‎（1）填空：a＝　 　，b＝　 　；‎ ‎（2）补全频数分布直方图：‎ ‎（3）已知该基层党组织中甲、乙两位党员的学习积分分别为61分、65分，现在从第5组中随机选取2人介绍经验，请用列表法或画树状图的方法，求出甲、乙两人中只有1人被选中的概率．‎ ‎25．如图1，点A（m，6），B（6，1）在反比例函数图象上，作直线AB，连接OA、OB．‎ ‎（1）求反比例函数的表达式和m的值；‎ ‎（2）求△AOB的面积；‎ ‎（3）如图2，E是线段AB上一点，作AD⊥x轴于点D，过点E作x轴的垂线，交反比例函数图象于点F，若EF＝AD，求出点E的坐标．‎ ‎26．综合与实践：再探平行四边形的性质 问题情境：‎ 学完平行四边形的有关知识后，同学们开展了再探平行四边形性质的数学活动，以下是“希望小组”得到的一个性质：‎ 如图1，已知平行四边形ABCD中，∠BAD＞90°，AE⊥BC于点E，AF垂直CD于点F，则∠EAF＝∠ABC．‎ 问题解决：‎ ‎（1）如图2，当0°＜∠BAD＜90°时，∠EAF＝∠ABC还成立吗？证明你发现的结论；‎ ‎（2）如图2，连接EF和AC，若∠ACB＝27°．求∠AFE的度数；‎ ‎（3）如图3，若∠BAD＝2α（0°＜α＜45°），AB＝BC，点G是射线CD上一点，且∠G+∠ABC＝180°．则BC+CG＝　 　AC．（用含α的三角函数表示）‎ ‎27．已知如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C分别为坐标轴上的三个点，且OA ‎＝1，OB＝3，OC＝4，‎ ‎（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；‎ ‎（2）在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P，使得以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）若点M为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当|PM﹣AM|的最大值时点M的坐标，并直接写出|PM﹣AM|的最大值．‎ 参考答案及解析 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只一项是符合题目要求的.）‎ ‎1．在算式（﹣2）□（﹣3）的□中填上运算符号，使结果最小，运算符号是（　　）‎ A．加号 B．减号 C．乘号 D．除号 ‎【分析】将各个运算符号放入算式中计算得到结果，比较即可．‎ 解：（﹣2）+（﹣3）＝﹣5；（﹣2）﹣（﹣3）＝﹣2+3＝1；（﹣2）×（﹣3）＝6；（﹣2）÷（﹣3）＝，‎ 则在算式（﹣2）□（﹣3）的□中填上运算符号，使结果最小，运算符号是加号，‎ 故选：A．‎ ‎2．如图所示的几何体的俯视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有看到的棱都应表现在俯视图中．‎ 解：从上往下看，该几何体的俯视图与选项D所示视图一致．‎ 故选：D．‎ ‎3．截止2020年3月2日全国新型冠状肺炎病人治愈44000多人，数44000用科学记数法表示为（　　）‎ A．4.4×104 B．44×103 C．0.44×105 D．4.4×103‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．‎ 解：44000＝4.4×104．‎ 故选：A．‎ ‎4．如图，OC是∠AOB的角平分线，l∥OB，若∠1＝52°，则∠2的度数为（　　）‎ A．52° B．54° C．64° D．69°‎ ‎【分析】依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠BOC＝64°，再根据平行线的性质，即可得出∠2的度数．‎ 解：∵l∥OB，‎ ‎∴∠1+∠AOB＝180°，‎ ‎∴∠AOB＝128°，‎ ‎∵OC平分∠AOB，‎ ‎∴∠BOC＝64°，‎ 又l∥OB，且∠2与∠BOC为同位角，‎ ‎∴∠2＝64°，‎ 故选：C．‎ ‎5．下列计算正确的是（　　）‎ A．2a2•3a2＝6a2 B．（﹣3a2b）2＝6a4b2 ‎ C．（a+b）2＝a2+b2 D．﹣a2+2a2＝a2‎ ‎【分析】直接利用积的乘方运算法则以及完全平方公式、合并同类项法则以及单项式乘以单项式运算法则分别化简得出答案．‎ 解：A、2a2•3a2＝6a4，故此选项错误；‎ B、（﹣3a2b）2＝9a4b2，故此选项错误；‎ C、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故此选项错误；‎ D、﹣a2+2a2＝a2，正确．‎ 故选：D．‎ ‎6．某中学随机调查了15名学生，了解他们一周在校参加体育锻炼时间．列表如下：则这15名学生一周在校参加体育锻炼时间的中位数和众数分别是（　　）‎ 锻炼时间（小时）‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 人数 ‎2‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎2‎ A．6，7 B．7，7 C．7，6 D．6，6‎ ‎【分析】直接利用中位数和众数的概念求解可得．‎ 解：这组数据的中位数为第8个数据，即中位数为6h；6出现次数最多，众数为6h．‎ 故选：D．‎ ‎7．在平面直角坐标系中，将函数y＝3x的图象向上平移6个单位长度，则平移后的图象与x轴的交点坐标为（　　）‎ A．（2，0） B．（﹣2，0） C．（6，0） D．（﹣6，0）‎ ‎【分析】根据“上加下减”的原则求得平移后的解析式，令y＝0，解得即可．‎ 解：由“上加下减”的原则可知，将函数y＝3x 的图象向上平移6个单位长度所得函数的解析式为y＝3x+6，‎ ‎∵此时与x轴相交，则y＝0，‎ ‎∴3x+6＝0，即x＝﹣2，‎ ‎∴点坐标为（﹣2，0），‎ 故选：B．‎ ‎8．化简+的结果是（　　）‎ A．x﹣2 B． C． D．‎ ‎【分析】先把分母因式分解，再进行通分，然后分母不变，分子相加，最后约分即可．‎ 解：+＝+＝＝；‎ 故选：C．‎ ‎9．一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝2x+3的根的情况是（　　）‎ A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 ‎ C．只有一个实数根 D．没有实数根 ‎【分析】先化成一般式后，在求根的判别式．‎ 解：原方程可化为：x2﹣2x﹣4＝0，‎ ‎∴a＝1，b＝﹣2，c＝﹣4，‎ ‎∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣4）＝20＞0，‎ ‎∴方程有两个不相等的实数根．‎ 故选：A．‎ ‎10．在矩形ABCD中，E是BC边的中点，AE⊥BD，垂足为点F，则tan∠AED的值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由“SAS”可证△ABE≌△DCE，可得AE＝ED，通过证明△BEF∽△DAF，可得AF＝2EF，由勾股定理可求DF＝2EF，即可求tan∠AED的值．‎ 解：∵四边形ABCD是矩形 ‎∴AB＝CD，∠ABC＝∠C＝90°，AD＝BC ‎∵点E是BC的中点 ‎∴BE＝CE，且AB＝CD，∠ABC＝∠C＝90°‎ ‎∴△ABE≌△DCE（SAS）‎ ‎∴AE＝ED ‎∵AD∥BC ‎∴△BEF∽△DAF ‎∴‎ ‎∴AF＝2EF ‎∴AE＝3EF＝DE ‎∴DF＝＝2EF ‎∴tan∠AED＝‎ 故选：D．‎ ‎11．如图，四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，AB＝2，扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是（　　）‎ A．﹣ B．﹣ C．π﹣ D．π﹣‎ ‎【分析】根据菱形的性质得出△DAB是等边三角形，进而利用全等三角形的判定得出△ABG≌△DBH，得出四边形GBHD的面积等于△ABD的面积，进而求出即可．‎ 解：连接BD，‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，‎ ‎∴∠ADC＝120°，‎ ‎∴∠1＝∠2＝60°，‎ ‎∴△DAB是等边三角形，‎ ‎∵AB＝2，‎ ‎∴△ABD的高为，‎ ‎∵扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，‎ ‎∴∠4+∠5＝60°，∠3+∠5＝60°，‎ ‎∴∠3＝∠4，‎ 设AD、BE相交于点G，设BF、DC相交于点H，‎ 在△ABG和△DBH中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABG≌△DBH（ASA），‎ ‎∴四边形GBHD的面积等于△ABD的面积，‎ ‎∴图中阴影部分的面积是：S扇形EBF﹣S△ABD＝﹣×2×＝﹣．‎ 故选：A．‎ ‎12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x的顶点为A点，且与x轴的正半轴交于点B，P点为该抛物线对称轴上一点，则OP+AP的最小值为（　　）‎ A． B． C．3 D．2‎ ‎【分析】连接AO、AB，PB，作PH⊥OA于H，BC⊥AO于C，如图，解方程得到﹣x2+2x＝0得B（2，0），利用配方法得到A（，3），则OA＝2，从而可判断△AOB为等边三角形，接着利用∠OAP＝30°得到PH＝AP，利用抛物线的对称性得到PO＝PB，所以OP+AP＝PB+PH，根据两点之间线段最短得到当H、P、B共线时，PB+PH的值最小，最小值为BC的长，然后计算出BC的长即可．‎ 解：连接AO、AB，PB，作PH⊥OA于H，BC⊥AO于C，如图，‎ 当y＝0时，﹣x2+2x＝0，解得x1＝0，x2＝2，则B（2，0），‎ y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣）2+3，则A（，3），‎ ‎∴OA＝＝2，‎ 而AB＝AO＝2，‎ ‎∴AB＝AO＝OB，‎ ‎∴△AOB为等边三角形，‎ ‎∴∠OAP＝30°，‎ ‎∴PH＝AP，‎ ‎∵AP垂直平分OB，‎ ‎∴PO＝PB，‎ ‎∴OP+AP＝PB+PH，‎ 当H、P、B共线时，PB+PH的值最小，最小值为BC的长，‎ 而BC＝AB＝×2＝3，‎ ‎∴OP+AP的最小值为3．‎ 故选：C．‎ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）‎ ‎13．分解因式：m3﹣m＝　m（m+1）（m﹣1）　．‎ ‎【分析】先提取公因式m，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．‎ 解：m3﹣m，‎ ‎＝m（m2﹣1），‎ ‎＝m（m+1）（m﹣1）．‎ ‎14．在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们只有颜色上的区别，其中有2个红球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，那么可以推算出n大约是　10　．‎ ‎【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．‎ 解：由题意可得，＝0.2，‎ 解得，n＝10．‎ 故估计n大约有10个．‎ 故答案为：10．‎ ‎15．当a＝　1　时，方程解是x＝1？‎ ‎【分析】把x＝1代入原方程可得关于a的方程，解方程即可求出a的值．‎ 解：把x＝1代入原方程，得+＝1，‎ 去分母，得：2（a﹣1）+3（1+a）＝6，‎ 去括号，得：2a﹣2+3+3a＝6，‎ 移项、合并同类项，得：5a＝5，‎ 系数化为1，得：a＝1，‎ 故答案为：1．‎ ‎16．如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需　7　个正五边形？‎ ‎【分析】先求出正五边形的内角的多少，求出每个正五边形被圆截的弧对的圆心角，即可得出答案．‎ 解：∵多边形是正五边形，‎ ‎∴内角是×（5﹣2）×180°＝108°，‎ ‎∴∠O＝180°﹣（180°﹣108°）﹣（180°﹣108°）＝36°，‎ ‎36°度圆心角所对的弧长为圆周长的，‎ 即10个正五边形能围城这一个圆环，‎ 所以要完成这一圆环还需7个正五边形 故答案为：7．‎ ‎17．小东从A地出发以某一速度向B地走去，同时小明从B地出发以另一速度向A地而行，y1、y2分别表示小东、小明离B地的距离（千米）与所用时间x（小时）的关系如图所示，根据图象提供的信息，请求出小明到达A地所需的时间应为　　小时．‎ ‎【分析】根据题意结合图象求出A、B两地之间的距离以及小明的速度即可解答．‎ 解：A、B两地之间的距离为：7.5÷（4﹣2.5）×4＝20（千米），‎ 小明的速度为：7.5÷2.5＝3（千米/时），‎ 小明到达A地所需的时间为：20÷3＝（小时）．‎ 故答案为：．‎ ‎18．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE，BF交于点G，将△BCF沿BF对折，得到△BPF，延长FP交BA延长线于点Q，下列4个结论：①AE＝‎ BF；②AE⊥BF；③sin∠BQP＝；④S四边形ECFG＝4S△BGE；正确的结论有　①②③④　．‎ ‎【分析】首先证明△ABE≌△BCF，再利用角的关系求得∠BGE＝90°，即可得到①AE＝BF；②AE⊥BF；△BCF沿BF对折，得到△BPF，利用角的关系求出QF＝QB，解出BP，QB，根据正弦的定义即可求解；根据AA可证△BGE与△BCF相似，进一步得到相似比，再根据相似三角形的性质即可求解．‎ 解：∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，‎ ‎∴CF＝BE，‎ 在△ABE和△BCF中，‎ ‎，‎ ‎∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），‎ ‎∴∠BAE＝∠CBF，AE＝BF，故①正确；‎ 又∵∠BAE+∠BEA＝90°，‎ ‎∴∠CBF+∠BEA＝90°，‎ ‎∴∠BGE＝90°，‎ ‎∴AE⊥BF，故②正确；‎ 根据题意得，FP＝FC，∠PFB＝∠BFC，∠FPB＝90°‎ ‎∵CD∥AB，‎ ‎∴∠CFB＝∠ABF，‎ ‎∴∠ABF＝∠PFB，‎ ‎∴QF＝QB，‎ 令PF＝k（k＞0），则PB＝2k 在Rt△BPQ中，设QB＝x，‎ ‎∴x2＝（x﹣k）2+4k2，‎ ‎∴x＝，‎ ‎∴sin∠BQP＝，故③正确；‎ ‎∵∠BGE＝∠BCF，∠GBE＝∠CBF，‎ ‎∴△BGE∽△BCF，‎ ‎∵BE＝BC，BF＝BC，‎ ‎∴BE：BF＝1：，‎ ‎∴△BGE的面积：△BCF的面积＝1：5，‎ ‎∴S四边形ECFG＝4S△BGE，故④正确，‎ 故答案为：①②③④．‎ 三、解答题（本大题共9个小题，共78分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎19．计算：‎ ‎【分析】直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值分别化简得出答案．‎ 解：原式＝﹣2﹣+1‎ ‎＝﹣1．‎ ‎20．解不等式组：，并把其解集在数轴上表示出来．‎ ‎【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．‎ 解：‎ 解不等式①得x≤4‎ 解不等式②得x＞1‎ 故原不等式组的解集是：1＜x≤4，‎ 把解集在数轴上表示出来为：‎ ‎21．如图，四边形ABCD，AD∥BC，DC⊥BC于C点，AE⊥BD于E，且DB＝DA．求证：AE＝CD．‎ ‎【分析】依据平行线的性质，即可得到∠ADB＝∠DBC，再根据∠C＝∠AED＝90°，DB＝DA，即可得到△AED≌△DCB，进而得到AE＝CD．‎ 解：∵AD∥BC ‎∴∠ADB＝∠DBC ‎∵DC⊥BC于点C，AE⊥BD于点E ‎∴∠C＝∠AED＝90°‎ 又∵DB＝DA ‎∴△AED≌△DCB（AAS）‎ ‎∴AE＝CD ‎22．目前节能灯在城市已基本普及，今年安徽省面向农村地区推广，为响应号召，某商场用3800元购进甲、乙两种型号的节能灯共120只，两种灯的进价和售价如下表．‎ 进价（元/只）‎ 售价（元/只）‎ 甲型 ‎25‎ ‎30‎ 乙型 ‎45‎ ‎60‎ ‎（1）求甲、乙两种节能灯各进多少只？‎ ‎（2）全部售完120只节能灯后，该商场获利润多少元？‎ ‎【分析】（1）利用节能灯数量和所用的价钱建立方程组即可；‎ ‎（2）每种灯的数量乘以每只灯的利润，最后求出之和即可．‎ 解：（1）设商场购进甲种节能灯x只，购进乙种节能灯y只，‎ 根据题意，得，‎ 解这个方程组，得．‎ 答：商场购进甲种节能灯80只，购进乙种节能灯40只；‎ ‎（2）由题意得：80×（30﹣25）+40×（60﹣45）＝1000（元），‎ 答：全部售完120只节能灯后，该商场获利润1000元．‎ ‎23．如图，AB是圆O的直径，AD是弦，∠DAB＝22.5°，过点D作圆O的切线DC交AB的延长线于点C．‎ ‎（1）求∠C的度数：‎ ‎（2）若AB＝2，求BC的长度．‎ ‎【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得到∠ODC＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ADO，求得∠DOC＝2∠A＝45°，于是得到结论；‎ ‎（2）根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．‎ 解：（1）连接OD，∵CD是圆O的切线，‎ ‎∴∠ODC＝90°，‎ ‎∵OA＝OD，‎ ‎∴∠A＝∠ADO，‎ ‎∴∠DOC＝2∠A＝45°，‎ ‎∴∠C＝90°﹣∠DOC＝45°；‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∵∠C＝45°，∠ODC＝90°，‎ ‎∴OC＝OD＝2，‎ ‎∴．‎ ‎24．由中宣部建没的“学习强国”‎ 学习平台正式上线，这是推动习近平新时代中国特色社会主义思想，推进马克思主义学习型政党和学习型社会建设的创新举措．某基层党组织对党员的某天的学习成绩进行了整理，分成5个小组（x表示成绩，单位：分，且10≤x＜70），根据学习积分绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图，其中第2、第5两组测试成绩人数直方图的高度比为4：1，请结合下列图表中相关数据回答下列问题：‎ 学习积分频数分布表 组别 成绩x分 频数 频率 第1组 ‎20≤x＜30‎ ‎5‎ 第2组 ‎30≤x＜40‎ b 第3组 ‎40≤x＜50‎ ‎15‎ ‎30%‎ 第4组 ‎50≤x＜60‎ ‎10‎ 第5组 ‎60≤x＜70‎ a ‎（1）填空：a＝　4　，b＝　32%　；‎ ‎（2）补全频数分布直方图：‎ ‎（3）已知该基层党组织中甲、乙两位党员的学习积分分别为61分、65分，现在从第5组中随机选取2人介绍经验，请用列表法或画树状图的方法，求出甲、乙两人中只有1人被选中的概率．‎ ‎【分析】（1）先利用第3组的频数除以它所占的百分比得到调查总人数，再计算出2组和第5组的总人数，接着根据第2、第5两组测试成绩人数直方图的高度比为4：1得到a＝4，第2组的人数为16人，从而计算出b的值；‎ ‎（2）利用第2、5组的人数补全直方图；‎ ‎（3）设甲为A，乙为B，另外两人用C、D表示，画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出甲、乙两人中只有1人被选中的结果数，然后根据概率公式计算．‎ 解：（1）调查的总人数为15÷30%＝50（人），‎ ‎∴第2组和第5组的人数为50﹣5﹣15﹣10＝20，‎ ‎∵第2、第5两组测试成绩人数直方图的高度比为4：1，‎ ‎∴a＝×20＝4，‎ 第2组的人数为20﹣4＝16（人）‎ ‎∴b＝×100%＝32%；‎ 故答案为4；32%；‎ ‎（2）由（1）可知，补全频数分布直方图如图所示：‎ ‎（3）设甲为A，乙为B，另外两人用C、D表示，画树状图为：‎ 共有12种等可能的结果数，其中甲、乙两人中只有1人被选中的结果数为8，‎ 所以甲、乙两人中只有1人被选中的概率＝＝．‎ ‎25．如图1，点A（m，6），B（6，1）在反比例函数图象上，作直线AB，连接OA、OB．‎ ‎（1）求反比例函数的表达式和m的值；‎ ‎（2）求△AOB的面积；‎ ‎（3）如图2，E是线段AB上一点，作AD⊥x轴于点D，过点E作x轴的垂线，交反比例函数图象于点F，若EF＝AD，求出点E的坐标．‎ ‎【分析】（1）设反比例函数的解析式为y＝，根据题意B点坐标得出k的值以及m的值；‎ ‎（2）设直线AB的解析式为y＝ax+b，求出直线AB的解析式，再利用S△AOB＝S△MON﹣S△AOM﹣S△BON，求出答案即可；‎ ‎（3）设E点的横坐标为m，则E（m，﹣m+7），F（m，），求出EF＝﹣m+7﹣，得出关于m的方程，求出m即可．‎ 解：（1）设反比例函数的解析式为y＝，‎ 将B（6，1）的坐标代入y＝，得k＝6．‎ ‎∴反比例函数的解析式为y＝．‎ 将A（m，6）的坐标代入y＝，得m＝1．‎ ‎（2）如图1，设直线AB的解析式为y＝ax+b，‎ 把A（1，6）和B（6，1）代入上式，得 ‎，‎ 解得：，‎ 故直线AB的解析式为：y＝﹣x+7，‎ ‎∴M（0，7），N（7，0），‎ ‎∴S△AOB＝S△MON﹣S△AOM﹣S△BON＝OM×ON﹣OM×|xA|﹣ON×|yB|‎ ‎＝×7×7﹣×7×1﹣×7×1‎ ‎＝．‎ ‎（3）设E点的坐标为（m，﹣m+7），则F（m，），‎ ‎∴EF＝﹣m+7﹣．‎ ‎∵EF＝AD，‎ ‎∴﹣m+7﹣＝×6．‎ 解得m1＝2，m2＝3，‎ 经检验，m1＝2，m2＝3是分式方程的根，‎ ‎∴E的坐标为（2，5）或（3，4）．‎ ‎26．综合与实践：再探平行四边形的性质 问题情境：‎ 学完平行四边形的有关知识后，同学们开展了再探平行四边形性质的数学活动，以下是“希望小组”得到的一个性质：‎ 如图1，已知平行四边形ABCD中，∠BAD＞90°，AE⊥BC于点E，AF垂直CD于点F，则∠EAF＝∠ABC．‎ 问题解决：‎ ‎（1）如图2，当0°＜∠BAD＜90°时，∠EAF＝∠ABC还成立吗？证明你发现的结论；‎ ‎（2）如图2，连接EF和AC，若∠ACB＝27°．求∠AFE的度数；‎ ‎（3）如图3，若∠BAD＝2α（0°＜α＜45°），AB＝BC，点G是射线CD上一点，且∠G+∠ABC＝180°．则BC+CG＝　2cosα　AC．（用含α的三角函数表示）‎ ‎【分析】（1）利用等角的余角相等证明即可．‎ ‎（2）证明△ABC∽△EAF，可得∠AFE＝∠ACB．‎ ‎（3）如图3中，过点A作AH⊥CD于H．首先证明AG＝AD，推出BC+CG＝2CH，解直角三角形即可解决问题．‎ 解：（1）如图2，∠EAF＝∠ABC还成立，‎ 理由：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AB∥CD，‎ ‎∴∠ABC+∠BCD＝180°，‎ 在四边形AECF中，∵AE⊥BC，AF⊥CD，‎ ‎∴∠AEC+∠AFC＝180°，‎ ‎∴∠EAF+∠BCD＝180°，‎ ‎∴∠EAF＝∠ABC．‎ ‎（2）如图2，∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴∠ABC＝∠ADC，AD＝BC，‎ ‎∴∠ABE＝∠ADF，‎ 在△ABE和△ADF中，‎ ‎∵∠ABE＝∠ADF，∠AEB＝∠AFD＝90°，‎ ‎∴△ABE∽△ADF，‎ ‎∴，‎ ‎∵AD＝BC，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵∠ABC＝∠EAF，‎ ‎∴△ABC∽△EAF，‎ ‎∴∠AFE＝∠ACB，‎ ‎∵∠ACB＝27°，‎ ‎∴∠AFE＝27°．‎ ‎（3）如图3中，过点A作AH⊥CD于H．‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，‎ ‎∴四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AD＝BC＝AB＝CD，AD∥BC，AB∥CD，∠BAD＝∠BCD＝2α，∠ACD＝∠ACB＝α，‎ ‎∴∠B+∠BCG＝180°，‎ ‎∵∠G+∠B＝180°，‎ ‎∴∠G＝∠BCG，‎ ‎∵∠ADG＝∠BCG，‎ ‎∴∠G＝∠ADG，‎ ‎∴AG＝AD，‎ ‎∵AH⊥DG，‎ ‎∴GD＝DH，‎ ‎∴BC+CG＝CD+CD+DG＝2（CD+DH）＝2CH＝2AC•cocα，‎ 故答案为2cosα．‎ ‎27．已知如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C分别为坐标轴上的三个点，且OA＝1，OB＝3，OC＝4，‎ ‎（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；‎ ‎（2）在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P，使得以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）若点M为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当|PM﹣AM|的最大值时点M的坐标，并直接写出|PM﹣AM|的最大值．‎ ‎【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，把A，B，C三点坐标代入求出a，b，c的值，即可确定出所求抛物线解析式；‎ ‎（2）在平面直角坐标系xOy中存在一点P，使得以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形，理由为：根据OA，OB，OC的长，利用勾股定理求出BC与AC 的长相等，只有当BP与AC平行且相等时，四边形ACBP为菱形，可得出BP的长，由OB的长确定出P的纵坐标，确定出P坐标，当点P在第二、三象限时，以点A、B、C、P为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形；‎ ‎（3）利用待定系数法确定出直线PA解析式，当点M与点P、A不在同一直线上时，根据三角形的三边关系|PM﹣AM|＜PA，当点M与点P、A在同一直线上时，|PM﹣AM|＝PA，‎ 当点M与点P、A在同一直线上时，|PM﹣AM|的值最大，即点M为直线PA与抛物线的交点，联立直线AP与抛物线解析式，求出当|PM﹣AM|的最大值时M坐标，确定出|PM﹣AM|的最大值即可．‎ 解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，‎ ‎∵A（1，0）、B（0，3）、C（﹣4，0），‎ ‎∴，‎ 解得：a＝﹣，b＝﹣，c＝3，‎ ‎∴经过A、B、C三点的抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+3；‎ ‎（2）在平面直角坐标系xOy中存在一点P，使得以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形，理由为：‎ ‎∵OB＝3，OC＝4，OA＝1，‎ ‎∴BC＝AC＝5，‎ 当BP平行且等于AC时，四边形ACBP为菱形，‎ ‎∴BP＝AC＝5，且点P到x轴的距离等于OB，‎ ‎∴点P的坐标为（5，3），‎ 当点P在第二、三象限时，以点A、B、C、P 为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形，‎ 则当点P的坐标为（5，3）时，以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形；‎ ‎（3）设直线PA的解析式为y＝kx+b（k≠0），‎ ‎∵A（1，0），P（5，3），‎ ‎∴，‎ 解得：k＝，b＝﹣，‎ ‎∴直线PA的解析式为y＝x﹣，‎ 当点M与点P、A不在同一直线上时，根据三角形的三边关系|PM﹣AM|＜PA，‎ 当点M与点P、A在同一直线上时，|PM﹣AM|＝PA，‎ ‎∴当点M与点P、A在同一直线上时，|PM﹣AM|的值最大，即点M为直线PA与抛物线的交点，‎ 解方程组，得或，‎ ‎∴点M的坐标为（﹣5，﹣）或（1，0）时，|PM﹣AM|的值最大，此时|PM﹣AM|的最大值为5．‎